第七章正弦稳态分析(精)
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A phj[ Am sin(t )] phj[ 2 A sin(t )] A
Am phj[ Am sin(t )] Am
相量法反变换phj-1为已知相量，变换成正弦量。
2 A sin(t ) Am sin(t ) phj 1[ A ] phj 1[ A ] Am sin(t ) phj 1[ Am ] phj 1[ Am ]
实验室的交流电压表、电流表的表面标尺刻度都 是有效值，包括交流电机和电器上的铭牌。
正弦量的平均值则是指在一周期内其绝对值的平 均值，或者说其正半波的平均值。
2 T I a 2 I m sin tdt I m 0.637 I m T 0 2
其中Imsint= i(t)为正弦电流，对电压也同样适用。
第七章 正弦稳态分析
上海交通大学本科学位课程
2003年9月
在正弦信号激励下电路的稳态响应是电路理 论中的重要课题，这是因为正弦信号比较容 易产生和获得，在科学研究和工程技术中， 许多电气设备和仪器都是以正弦波为基本信 号的。 根据富里叶级数和富里叶积分的数学理论， 周期信号都能够分解为一系列正弦信号的迭 加。利用线性电路的迭加性，可以把正弦稳 态分析的方法推广到非正弦周期信号激励的 线性电路中去。因此也可以说，知道了正弦 稳态响应后，原则上就知道了任何周期信号 激励下的响应。
Am sin(t ) Im( Ame j (t ) ) Im( Ame j e jt ) Im( Am e jt )
其中
Am
Ame j
是t=0时的复值常数，称相量
Am e jt
称旋转相量， e jt 称旋转因子
相量可表示为 Am Ame j Am 作为复数，相量又常用s复平面上的有向线段 表示。这样的图称相量图。 j 设 Am1 Am1e j Am2 Am2e j 2
有效值也称均方根值，即
1 T 2 I i t dt 0 T
有效值
I
Im 2
0.707 I m
以上情况同样适合于正弦电压
v(t ) Vm sin(t ) 2V sin(t )
1 T 2 V v t dt T 0
V Vm 2 0.707Vm
正弦量和相量
随时间按正弦规律变化的 电压和电流，称正弦电压 和正弦电流。 y(t)=Amsin(t+)
Am最大值，角频率，初相位, (-180＜＜180)
Am sin(t )
Am
0
t
最大值，角频率，初相位为正弦量的三要素。 三要素确定后，正弦量就被唯一确定。 若正弦量为电流i(t)，则i(t)=Imsin(t+)其中Im 是正弦电流最大值，I是正弦电流有效值。
Im(Z1e jt ) Im(Z2e jt )
则Z1=Z2。反之，若Z1=Z2，则在所有时刻
Im(Z1e jt ) Im(Z2e jt )
两角速度相同的旋转相量在所有时刻在虚轴上 的投影都相等，则这两相量相等。
平均值
Ia
2
I m 0.637 I m
有效值大于其平均值
根据欧拉公式
e j cos j sin
当是t的函数时，正弦量Amsin(t+)可用复值函 数来表示 。
Am sin(t ) Im( Ame j (t ) ) Im( Ame j e jt ) Im( Am e jt )
定理3 设Z为复数，其极坐标形式是
Zme j
d d jt Im( Ze ) Im Ze jt Im( j Ze jt ) dt dt
取虚部和求导的运算可互换；复值函数 Zme jt 对 t 的导数等于该函数与j的乘积。 定理4 设Z1、Z2为复数,为角频率。若所有时刻
Am
也称最大值相量。因为最大值与有效值A 之间的关系 Am 2 A
Am sin(t ) 2 A sin(t ) Im( 2 Ae j (t ) ) Im( 2 A e jt )
Biblioteka BaiduAe j
其中 A
称有效值相量，且
Am 2 A
正弦量与相量间属一种变换，称相量法变换phj。 相量法变换phj为已知正弦量变换成相量。
Am 2
0
jAme j2 j Am 2
Am 2 1 Am1 Am1 j
1
一个相量乘一个j，向逆时针方向旋转90，乘一个 -j， 向顺时针方向旋转90，所以称 j e j 90 90旋转因子
旋转相量和正弦量之间的关系是一一对应关系
Am sin(t ) Im( Am e jt )
Am cos(t ) Re( Am e jt )
j
f (t )
t2
0
F
2 F Fm
1
0
t2
2
t
根据数学知识，任意个相同频率的正弦量的代 数和这些正弦量的任意阶导数的代数和，仍然 j A A e 是同频率的正弦量。因此，相量 m m 完全用来表示和反应已知频率下的正弦量。但 相量并不等于正弦量，只有旋转相量才和正弦 量有一一对应关系。
几个定理
定理1 若为实数，Z(t)为任何实变数t的复值函 数，则Im[Z(t)]= Im[Z(t)] 实数与复值函数相乘后取虚部等于复值函数 取虚部后与实数相乘。 定理2 若Z1(t) 和Z2(t)为任何实变数t的复值函数， 则Im[Z1(t)+ Z2(t)]=Im[Z1(t)]+ Im[Z2(t)]。 复值函数相加后取虚部等于各复值函数取虚 部后相加。
1
且 Am1=Am2=Am，1=2
同相
0
Am 2
Am1
1
1＞2
=90
j
Am1
超前
Am2
Am1
j1
角度
j
Am1
Am2
落后
角度
Ame
j (2 90 )
0
Am 2
Am1 Ame
Am1
1
Am e j2 e j 90 Ame j2 (cos 90 j sin 90 )
Am phj[ Am sin(t )] Am
相量法反变换phj-1为已知相量，变换成正弦量。
2 A sin(t ) Am sin(t ) phj 1[ A ] phj 1[ A ] Am sin(t ) phj 1[ Am ] phj 1[ Am ]
实验室的交流电压表、电流表的表面标尺刻度都 是有效值，包括交流电机和电器上的铭牌。
正弦量的平均值则是指在一周期内其绝对值的平 均值，或者说其正半波的平均值。
2 T I a 2 I m sin tdt I m 0.637 I m T 0 2
其中Imsint= i(t)为正弦电流，对电压也同样适用。
第七章 正弦稳态分析
上海交通大学本科学位课程
2003年9月
在正弦信号激励下电路的稳态响应是电路理 论中的重要课题，这是因为正弦信号比较容 易产生和获得，在科学研究和工程技术中， 许多电气设备和仪器都是以正弦波为基本信 号的。 根据富里叶级数和富里叶积分的数学理论， 周期信号都能够分解为一系列正弦信号的迭 加。利用线性电路的迭加性，可以把正弦稳 态分析的方法推广到非正弦周期信号激励的 线性电路中去。因此也可以说，知道了正弦 稳态响应后，原则上就知道了任何周期信号 激励下的响应。
Am sin(t ) Im( Ame j (t ) ) Im( Ame j e jt ) Im( Am e jt )
其中
Am
Ame j
是t=0时的复值常数，称相量
Am e jt
称旋转相量， e jt 称旋转因子
相量可表示为 Am Ame j Am 作为复数，相量又常用s复平面上的有向线段 表示。这样的图称相量图。 j 设 Am1 Am1e j Am2 Am2e j 2
有效值也称均方根值，即
1 T 2 I i t dt 0 T
有效值
I
Im 2
0.707 I m
以上情况同样适合于正弦电压
v(t ) Vm sin(t ) 2V sin(t )
1 T 2 V v t dt T 0
V Vm 2 0.707Vm
正弦量和相量
随时间按正弦规律变化的 电压和电流，称正弦电压 和正弦电流。 y(t)=Amsin(t+)
Am最大值，角频率，初相位, (-180＜＜180)
Am sin(t )
Am
0
t
最大值，角频率，初相位为正弦量的三要素。 三要素确定后，正弦量就被唯一确定。 若正弦量为电流i(t)，则i(t)=Imsin(t+)其中Im 是正弦电流最大值，I是正弦电流有效值。
Im(Z1e jt ) Im(Z2e jt )
则Z1=Z2。反之，若Z1=Z2，则在所有时刻
Im(Z1e jt ) Im(Z2e jt )
两角速度相同的旋转相量在所有时刻在虚轴上 的投影都相等，则这两相量相等。
平均值
Ia
2
I m 0.637 I m
有效值大于其平均值
根据欧拉公式
e j cos j sin
当是t的函数时，正弦量Amsin(t+)可用复值函 数来表示 。
Am sin(t ) Im( Ame j (t ) ) Im( Ame j e jt ) Im( Am e jt )
定理3 设Z为复数，其极坐标形式是
Zme j
d d jt Im( Ze ) Im Ze jt Im( j Ze jt ) dt dt
取虚部和求导的运算可互换；复值函数 Zme jt 对 t 的导数等于该函数与j的乘积。 定理4 设Z1、Z2为复数,为角频率。若所有时刻
Am
也称最大值相量。因为最大值与有效值A 之间的关系 Am 2 A
Am sin(t ) 2 A sin(t ) Im( 2 Ae j (t ) ) Im( 2 A e jt )
Biblioteka BaiduAe j
其中 A
称有效值相量，且
Am 2 A
正弦量与相量间属一种变换，称相量法变换phj。 相量法变换phj为已知正弦量变换成相量。
Am 2
0
jAme j2 j Am 2
Am 2 1 Am1 Am1 j
1
一个相量乘一个j，向逆时针方向旋转90，乘一个 -j， 向顺时针方向旋转90，所以称 j e j 90 90旋转因子
旋转相量和正弦量之间的关系是一一对应关系
Am sin(t ) Im( Am e jt )
Am cos(t ) Re( Am e jt )
j
f (t )
t2
0
F
2 F Fm
1
0
t2
2
t
根据数学知识，任意个相同频率的正弦量的代 数和这些正弦量的任意阶导数的代数和，仍然 j A A e 是同频率的正弦量。因此，相量 m m 完全用来表示和反应已知频率下的正弦量。但 相量并不等于正弦量，只有旋转相量才和正弦 量有一一对应关系。
几个定理
定理1 若为实数，Z(t)为任何实变数t的复值函 数，则Im[Z(t)]= Im[Z(t)] 实数与复值函数相乘后取虚部等于复值函数 取虚部后与实数相乘。 定理2 若Z1(t) 和Z2(t)为任何实变数t的复值函数， 则Im[Z1(t)+ Z2(t)]=Im[Z1(t)]+ Im[Z2(t)]。 复值函数相加后取虚部等于各复值函数取虚 部后相加。
1
且 Am1=Am2=Am，1=2
同相
0
Am 2
Am1
1
1＞2
=90
j
Am1
超前
Am2
Am1
j1
角度
j
Am1
Am2
落后
角度
Ame
j (2 90 )
0
Am 2
Am1 Ame
Am1
1
Am e j2 e j 90 Ame j2 (cos 90 j sin 90 )