常用基本初等函数求导公式积分公式

(1) (2)

(3) (4)

(5) (6)

(7) (8)

(9) (10)

(11) (12) ，

(13) (14)

(15) (16)

函数的和、差、积、商的求导法则

设，都可导，则

（1）（2）（是常数）

（3）（4）

反函数求导法则

若函数在某区间内可导、单调且，则它的反函数在对应区间内也可导，且

或

复合函数求导法则

设，而且及都可导，则复合函数的导数为

或

２. 双曲函数与反双曲函数的导数.

双曲函数与反双曲函数都是初等函数，它们的导数都可以用前面的求导公式和求导法则求出．

可以推出下表列出的公式：

常用积分公式表·例题和点评

⑴

d k x kx c =+⎰ (k

为常数)

⑵1

1

d (1)1

x x x c μ

μμμ+≠-

=++⎰

特别，

2

11

d x c x x =-+⎰,

3

22

3

x x c =+,

x c =⎰

⑶

1

d ln ||x x c x

=+⎰ ⑷d ln x

x

a a x c a

=+⎰

, 特别，e d e x x x c =+⎰

⑸

sin d cos x x x c =-+⎰ ⑹cos d sin x x x c =+⎰ ⑺

2

2

1d csc d cot sin x x x x c x ==-+⎰⎰

⑻

2

2

1d sec d tan cos x x x x c x ==+⎰⎰

⑼

arcsin

(0)x

x c a a

=+>⎰

,

特别，arcsin x x c =+

⑽

2211d arctan (0)x x c a a a a x =+>+⎰,特别，2

1

d arctan 1x x c x =++⎰

⑾

22

11d ln (0)2a x x c a a a x a x

+=+>--⎰ 或

22

11d ln (0)2x a x c a a x a x a -=+>+-⎰

⑿tan d ln cos x x x c =-+⎰

⒀cot d ln sin x x x c =+⎰

⒁

ln csc cot 1csc d d ln tan sin 2x x c

x x x x

c x ⎧-+⎪==⎨+⎪⎩

⎰⎰

⒂

πln sec tan 1sec d d ln tan cos 24x x c

x x x x c

x ⎧++⎪

==⎛⎫⎨++ ⎪⎪⎝⎭⎩

⎰⎰

⒃

(0)

a x >==

⎰

ln x c ++

⒄

2(0)

arcsin 2a a x x c a >==+⎰

⒅

x

⎰

2(ln 2

a a x c >==++

⒆22

22sin cos e sin d e sin cos e cos d e ax

ax ax ax a bx b bx bx x c a b b bx a bx bx x c a b -⎧=+⎪⎪+⎨+⎪=+⎪+⎩

⎰

⎰

⒇

12222212

123

d ()2(1)()2(1)n

n n n x n x c a x n a a x n a I I ---==+++-+-⎰

（递推公式） 跟我做练习

(一般情形下，都是先做恒等变换或用某一个积分法，最后套用某一个积分公式) 例24

⑴

2)x x =

-[套用公式⒅]

1

ln (2)2

x =

-+

⑵

[

1

(24)42

x x x =

-+⎰

⎰

2145)2

2

x x x =

-++

=(请你写出答案)

⑶

2)x x =

-

ln (2)x ⎡=-+⎣ [套用公式⒃]

⑷

1

2x x =

2122x =

+

=(请你写出答案)

⑸

2)x x =

-

232arcsin

23x -=[套用公式⒄]

⑹

[

1

(42)42

x x x =

---⎰

⎰

214)2

2

x x x =-

+-+

=(请你写出答案)

⑺

=

=[套用公式⑼]2

arcsin

3

x -=

⑻

(42)4d 12

x x

--=

-

212

2

=-

=(请你写出答案)

例25 求原函数4

1

d 1x x +⎰

. 解 因为

)21)(21()2()1(2)21(1222222424x x x x x x x x x x +-++=-+=-++=+

所以令

411x ++为待定常数）D C B A ,,

,(

22=

从恒等式1)12)(()12)((22≡+++++-+x x D x C x x B Ax (两端分子相等)，可得方程组

⎪⎪⎩

⎪⎪

⎨

⎧

=+=+++-=++-=+（三次项系数）（二次项系数）（一次项系数）常数项0022022)(1C A D C B A D C B A D B

解这个方程组(在草纸上做)，得21

,2

21,21,221=-===

D C B A . 因此， 4

1

d 1x x +

⎰

x x =+

右端的第一个积分为

1

4

x x x =

2

2

1

1d 4x x =

+⎛+

+

⎝

⎭⎰(套用积分公式)