第三章 第二节 谓词逻辑的公理系统 [兼容模式]
第3章 谓词逻辑

【谓词公式的类型】根据公式与解释的关系,可以把谓词公式分为三种 类型:永真式、矛盾式和可满足式。 定义 3.13 若公式 A 在任何解释下均为真,则称 A 为永真式。 定义 3.14 若公式 A 在任何解释下均为假,则称 A 为矛盾式(或永假式)。 定义 3.15 若(至少)存在一个解释使公式 A 为真,则称 A 为可满足式。
例3.5 用谓词公式表示下列命题: (1) 所有人都吃饭 (2) 存在不吃饭的人 (2) 没有不吃饭的人
令 M (x) 表示: x 是人
E (x) 表示: x 吃饭 (1) x ( M ( x ) E ( x)) (2) x( M ( x) E ( x)) (3) (x( M ( x) E ( x)))
• 存在量词:表示个体变元在个体论域中取某个值 的量词称为存在量词
符号 加上一个个体变元表示。如 x, y
量词
所有的、任意的、一切的、每一个 有些、至少有一个、某一些、存在
x
x
3.2 谓词公式
定 义 3.5 设 P 是 一 个 n 元 谓 词 , t1 , t2 ,, tn 是 项 , 则
P(t1 , t2 ,, tn ) 构成一个谓词公式,称为原子谓词公式。
F(x): x 是奇数 H(x,y): x 大于 y L(x,y): x 比 y 聪明
定义 3.6 谓词逻辑中的合式公式定义如下: (1) 任何一个原子谓词公式都是合式公式; (2) 若 A 是合式公式,则 ( A ) 也是合式公式; (3) 若 A, 是合式公式, ( A B ) , A B ) , A B ) , B 则 ( ( ( A B ) 都是合式公式; (4) 若 A 是合式公式,则 ( xA ) , ( xA ) 也是合式公式; (5) 仅由(1)—(4)在有限步内产生的公式才是合式公式。
第3章谓词逻辑

第3章谓词逻辑谓词逻辑原子命题是命题逻辑中最基本的组成单元,不能对它再作进一步的分解,但同时也无法反映出某些原子命题的共同特征和相互关系。
例如,用p表示命题“小李是大学生”,用q表示命题“小王是大学生”,在命题逻辑的范畴中它们是两个独立的原子命题,p和q之间没有任何关系。
但是,命题“小李是大学生”和“小王是大学生”之间有着相同的结构和内在的联系,它们都具有相同的谓语(及宾语)“是大学生”,不同的只是主语,它们都描述了“是大学生”这样一个共同的特性;而使用原子命题表示时并没有能将这一共性刻画出来。
再如著名的苏格拉底三段论:凡是人都是要死的。
苏格拉底是人。
所以苏格拉底是要死的。
这个推理显然是正确的。
但是,如用p、q、r分别表示上面3个命题,由于p∧q?r不是永真式,因此它不是正确的推理;也就是说,当p和q都为真时,得不出r一定为真。
其根本原因在于命题逻辑不能将命题p、q、r间的内在的联系反映出来。
为了克服命题逻辑的局限性,引入了谓词和量词对原子命题和命题间的相互关系做进一步的剖析,从而产生了谓词逻辑。
谓词逻辑亦称一阶逻辑,它同命题逻辑一样,是数理逻辑中最基础的内容。
§3.1谓词、量词与自然语句形式化§3.1.1 谓词在谓词逻辑中,一般将原子命题分解为个体词和谓词两个部分。
定义3.1个体词(individual)是一个命题里表示思维对象的词,表示独立存在的具体或抽象的客体。
简单地讲,个体词就表示各种事物,相当于汉语中的名词。
具体的、确定的个体词称为个体常项,一般用a、b、c表示;抽象的、不确定的个体词称为个体变项,一般用x、y、z表示。
个体变项的取值范围称做个体域或论域(domain of the discourse),宇宙间一切事物组成的个体域称做全总个体域(universal domain of individuals)。
注:本书在提及论域时,如未特别说明,指的都是全总个体域。
《离散数学》谓词逻辑

§3.5 前束范式
§3.6 谓词逻辑的推理
4
谓词与量词
个体词(individual)是一个命题里表示思维
对象的词,表示独立存在的具体或抽象的客体
具体的、确定的个体词称为个体常项,一般用
a, b, c 表示
抽象的、不确定的个体词称为个体变项,一般
用 x, y, z 表示
个体变项的取值范围称作个体域或论域
那么在解释2下该命题是真命题。
24
谓词公式及分类
类似于命题逻辑,也可以对谓词逻辑
公式进行分类:
设 A 为一个谓词公式,若 A 在任何解
释下真值均为真,则称 A 为普遍有效
的公式或逻辑有效式(logically valid
formula)
例
(x)
(P(x)∨P(x))
(x) P(x) P(y)
第三章 谓词逻辑
《离散数学及应用》
第三章 谓词逻辑
苏格拉底三段论:
凡是人都是要死的。
苏格拉底是人。
所以苏格拉底是要死的。
p∧q r
重言式?正确的推理?
2
第三章 谓词逻辑
为了克服命题逻辑的局限性,引入了
3
谓词和量词对原子命题和命题间的相
互关系做进一步的剖析,从而产生了
为谓词。这是一元(目)谓词,以
P(x), Q(x), …表示。
例
Human
(Socrates)
Mortal (Socrates)
7
谓词与量词
如果在命题里的个体词多于一个,那
么表示这几个个体词间的关系的词称
作谓词。这是多元(目)谓词,有 n
个个体的谓词 P(x1, …, xn) 称 n 元(目)
第三章 谓词逻辑与归结原理

以正向推理所得结果作为假设进 行反向推理
退出
是 还需要正向推理吗?
否
2014-4-9
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华北电力大学
概述-推理的控制策略
搜索策略
推理时,要反复用到知识库中的规则,而知识库中 的规则又很多,这样就存在着如何在知识库中寻找 可用规则的问题 为有效控制规则的选取,可以采用各种搜索策略 常用搜索策略:
归结推理方法在人工智能推理方法中有着很重 要的历史地位,是机器定理证明的主要方法
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华北电力大学
归结法的特点
归结法是一阶逻辑中,至今为止的最有效的半可 判定的算法。也是最适合计算机进行推理的逻辑 演算方法 半可判定 一阶逻辑中任意恒真公式,使用归结原理,总 可以在有限步内给以判定(证明其为永真式) 当不知道该公式是否为恒真时,使用归结原理 不能得到任何结论
(5) 上下文限制
上下文限制就是把产生式规则按它们所描述的上下文分组,在某种 上下文条件下,只能从与其相对应的那组规则中选择可应用的规则
2014-4-9
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华北电力大学
概述-推理的控制策略
推理的控制策略
3.冲突解决策略
(6) 按匹配度排序
在不精确匹配中,为了确定两个知识模式是否可以进行匹配,需要 计算这两个模式的相似程度,当其相似度达到某个预先规定的值时,就 认为它们是可匹配的。若有几条规则均可匹配成功,则可根据它们的匹 配度来决定哪一个产生式规则可优先被应用
如专家系统、智能机器人、模式识别、自然语言理解等
推理
按照某种策略从已有事实和知识推出结论的过程。 推理是由程序实现的,
称为推理机
医疗诊断专家系统
• 知识库中存储经验及医学常识 • 数据库中存放病人的症状、化验结果等初始事实 • 利用知识库中的知识及一定的控制策略,为病人诊治疾病、开出医疗处方就 是推理过程
离散数学讲义第三章谓词逻辑.ppt

题函数。 例如 H(x),L(x,y,z)均是简单命题函数。
(P(x,y)∨L(x,y,z)) P(y, x)是一复合命题函数
在命题函数中,个体变元的取值范围称为个体域。
例4 P(x,y)表示“2 x+y=1”,若x,y的个体域为正整数集,
则总是假;
若x,y的个体域为有理数集,则y=1―2x,对任意的有理数k , 在x= k,y =1―2k时,P( k,1―2k)为真。
6
三、量词和全总个体域
1.量词
使用前面介绍的概念,还不足以表达日常生活中 的各种命题。
例如:对于命题 “ 所有的正整数都是素数 ”
和 “ 有些正整数是素数 ” 仅用个体词和谓词是很难表达的。 量词 在命题里表示数量的词。
(1) 全称量词
“ x” x D(x),
7
如“所有人都是要死的。”可表示为 x的个体域为全体人的集合。
15
3.4 变元的约束
例1 令 P(x, y):“ x<y ”,Q(x):x是有理数;F(x):
x可以表示为分数。判断下列式子那些是命题函数,那些 是命题? P(x, y) P(x, y)∧ Q(x) Q(x) → F(x)
x(Q( x) F ( x))
例2 令H(x):x是人;M(y):y是药;S(x,y):x对y过敏。判断:
3.1、 3.2 谓词的概念与表示; 命题函数和量词 3.3 ~ 3.5 谓词演算的合适公式; 变元的约束 ; 谓词公式的解释 3.6 谓词演算的永真式 3.7 谓词演算的推理理论
1
3.1、3.2 谓词、命题函数和量词 例 判断下述论断的正确性
“苏格拉底三段论” : 凡人都是要死的, 苏格拉底是人, 所以苏格拉底是要死的。 类似的例子 还有许多。 例如:
谓词演算与消解归结原理

合一 算法
18
Department of Computer Science & Technology, Nanjing University Artificial Intelligence Spring
3.3.2 合一
是判断两个谓词表达式匹配所需的一种代入算法
在谓词演算中,变元有两种约束使用的方法:
在特定解释下,命题对变元的变域中的所有常元指派
为真,则称该变元是全称性变元。代表全称量词的符号 是 ,括号常常用于表示量词的约束范围
存在性变元。至少存在变元的变域中的一个值使包含
变元的表达式为真时,表达式才为真。代表存在量词 的符号是彐
Department of Computer Science & Technology, Nanjing University Artificial Intelligence Spring
Department of Computer Science & Technology, Nanjing University Artificial Intelligence Spring
2
3.1 命题演算
3.1.2
命题演算的语义
—如两个命题表达式 在任何真值指派下都有相同的值, 则称为是等价的
12
3.2.2 谓词演算的语义
一个论域D上的解释: 假设论域D是一个非空集合,在D上的一个解释把论域D的 实体指派给一个谓词演算表达式的每一个常元、变元、谓词 及函词符号,于是有: 1)每一个常元指派了D的一个元素。 2)对每一个变元,指派D的一个非空集合,这是该变元的 变域。 3)每个n元谓词P定义在论域D中的n个参数上,并定义了从 Dn到{T,F}的一个映射。 4) 每个m元函词f定义在论域D的m个参数上,并定义了从 Dm到{T,F}的一个映射。 在一种解释下,一个表达式的意义是在该解释下的一个真值 指派。
命题逻辑公理系统

(¬Q→¬R) →(R →Q)
计算机学院
5
5
缩写公式
Q∨R=(¬Q→R) Q∧R=¬ (Q→¬R) Q↔R=(Q→R) ∧(R→Q) Q⊕R=¬ (Q↔R)
计算机学院
计算机学院
6
6
公式复杂度
公式Q的复杂度表示为FC(Q)
• 命题变元复杂度为0,如果 是命题变元,则FC (Q)=0。 命题变元复杂度为0 如果Q是命题变元 是命题变元, • 如果公式 ¬R,则FC (Q)=FC(R)+1。 如果公式Q=¬ , 。 • 如果公式Q=R1→R2,则FC (Q)=max{FC(R1), FC(R2)}+1。 如果公式 。
定义了所有合式公式
计算机学院
3
3
命题逻辑的公理系统
有以下三个公理模式,其中P,Q,R可为任意公式 有以下三个公理模式,其中P,Q,R可为任意公式 P,Q,R
• 公理模式T1 公理模式T • 公理模式T2 公理模式T
–(P→ (Q→R)) →((P→Q) →(P→R)) (P –Q→ (R→Q) Q
定义3.2 是合式公式集, 定义3.2 设Γ是合式公式集, Q是 合式公式, 合式公式,有推理步骤A1,A2,…An, 公式序列α1, α2,… αn ,其中 公式序列α
• • • •
Γ称为推演的前提集, 称为推演的前提集, 前提集 称α为结论
A1=α1 A2=α2 An=αn
….
推理序列
(αn =Q) =Q)
• 命题变元p1,p2,…pn • 联结词符号¬,→; • 括号(,) 括号(,)
合式公式
• 命题变元是合式公式; 命题变元是合式公式; • 若Q是公式,则(¬Q)是合式公式; 是公式, 是合式公式; 是合式公式 计算机学院 • 若Q,R是公式,则(Q→R)是合式公式。 是合式公式。 Q,R是公式, 是公式 R)是合式公式
第3.3节--谓词逻辑的归结原理PPT课件

辖域扩展
x y z w ( P ( a , x , y ) Q ( w , b ) R ( z ))
辖域扩展
4)求 skolem 标准型
x y z w ( P ( a , x , y ) Q ( w , b ) R ( z ))
x z w ( P ( a , x , f ( x )) Q ( w , b ) R ( z ))
2008-2009学年第1学期
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1515
求mgu的步骤
① 令W={F1, F2},k=0,W0=W,σ0={ }; ② 若Wk已合一,停止,σk就是mgu;否则找不一
致集Dk; ③ 若Dk存在vk和tk,且vk不出现于tk,转④;否则
不可合一; ④ 令σk+1= σk·{tk/vk},Wk+1=Wk{tk/vk} ⑤ k=k+1,转②。
2) 深入到量词后,得:
x yP ( a , x , y ) x ( yQ ( y , b ) R ( x ))
3)求前束范式,得:
x yP ( a , x , y ) z ( wQ ( w , b ) R ( z ))
换名
x yP ( a , x , y ) z w ( Q ( w , b ) R ( z ))
Q(a, y)∨R(b, z)
2008-2009学年第1学期
.
1919
归结式的合理性
∵{C1, C2} R ∴{C1, C2} {C1, C2, R} 但是,若R=□,则意味着C1和C2是互否定的,{C1, C2}
是不可满足的。
归结使子句集不断增大,一旦归结出“□”,则子句集中 有互否定的单元子句存在,从而整个子句集是不可满足 的。
2008-2009学年第1学期
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设 B 是公式 A 的闭包,则 Γ├ A 当且仅当 Γ├ B。 证明 设 Var(A) = {y1,…, yn},则 B 为 ∀y1…∀yn A。 归纳证明:对于任意变元 y1,…, ym 和任意公式 C, Γ├ C 当且仅当 Γ├ ∀y1…∀ymC。 1. 当 m = 0 时, ∀y1…∀ymC 和 C 是相同的公式, 结论显然成立。 2. 2 设结论对于 m 成立 成立。 若 Γ├ C,则由UG规则得出 Γ├ ∀ym+1C ,再由 归纳假设得出, Γ├ ∀y1…∀ym∀ym+1C。 若 Γ├ ∀y1…∀ym∀ym+1C,则由例3.6得出, Γ├ ∀y2…∀ym∀ym+1C,再由归纳假设得出, Γ├ C。 令 m = n,即得到 Γ├ A 当且仅当 Γ├ B。
第三章 公理系统
§3.1 命题逻辑的公理系统 §3.2 谓词逻辑的公理系统 作业
§3.2 谓词逻辑的公理系统
一阶谓词逻辑公理系统所使用的符号如下: 1. 个体变元 x1 , x2 , … 2. 个体常元 a1 , a2 , … n n 3. 对于每个正整数 n,n 元函数符号 f1 , f 2 , L n n 4. 对于每个正整数 n,n 元谓词符号 P , P2 ,L 1 5. 6. 7. 8. 联结词符号 ¬,→ 量词符号 ∀ 括号 (,) 逗号
定义3.5 设 Γ 是语句集。如果公式序列 A1,…, An 中 的每个公式 Ai 满足以下条件之一: 1. Ai 是公理, 2. Ai ∈Γ, 3. 有 j, k < i 使得用 MP 规则由 Aj , Ak 可推出 Ai , 4. 有 j < i 使得用 UG 规则由 Aj 可推出 Ai ; 则称 A1,…, An 为 An 的从 Γ 的一个推演。称 Γ 为推 演的前提集, An 为推演的结论。 如果存在 B 的从 Γ 的推演,则记为 Γ├ B。 将 {A1,…, An }├ B 简记为 A1,…, An├ B, 将 ∅├ B 简记为├ B。
Γ |− ( Dm ) z11,,L,,zynn ,即 Γ├ B。 y L
得出 ∀x P ( x1 ),但是 P ( x1 ) |= ∀x P ( x1 ) 。 /
1 1 1 1 1 1 1 1
如果允许前提集 Γ 有自由变元,则需限制概括规 则的使用范围:若 xi 不是在推演的第 k 步之前所出 现的 Γ 中公式的自由变元,则在第 k 步可由 A 推 出 ∀xi A。
定理3.9 若 A 是重言式,则├ A 。 4. 若 Ai 由 Aj 用 UG 规则推出,其中 j < i,Ai 为 ∀xk Aj 。由归纳假设知, Γ |= Aj 。任取满足 Γ 的解释 I,则 I |= Aj 。设 v 是 I 中任意赋值,任 取 d∈DI ,则 I(Aj)(v[xk /d]) = 1,因此 I(∀xk Aj)(v) = 1。所以 Γ |= Ai 。 而 An 即是 A,所以 Γ |= A 。 推论:若 ├ A,则 |= A 证明 设 A 是命题逻辑永真式 B 的替换实例,
一阶谓词逻辑的项定义如下: 1. 个体变元是项; 2. 个体常元是项; 3. 若 t1 ,…, tn 是项,则 f i n (t1 , L , t n )是项。 一阶谓词逻辑的公式定义如下: 1. 若 t1 ,…, tn 是项,则 Pi n (t1 ,L , t n )是公式; 2. 若 A 是公式,则 ¬A 是公式; 3. 若 A, B 是公式,则 (A → B) 是公式; 4. 若 A 是公式,则 ∀xi A 是公式。
1
有以下两个推理规则 1. 分离规则(MP规则) 从 A 和 A → B 推出 B。 2. 概括规则(UG规则) 从 A 推出 ∀xi A。 两条规则都是有穷的规则。 若 Γ |= A 且 Γ |= A → B ,则 Γ |= B 。 若 Γ 是语句集且 Γ |= A ,则 Γ |= ∀xi A 。 证明 任给满足 Γ 的解释 I 和 I 中赋值 v。任取 d∈ DI ,因为 Γ 是语句集,所以 I 和 v[xi/d] 满足 Γ ,因而 I(A)(v[xi /d]) = 1,因此 I(∀xiA)(v) = 1。 这表明 Γ |= ∀xi A 。
4. 若 Ai 由 Aj 用 UG 规则推出,其中 j < i,Ai 为 ∀xk Aj 。由归纳假设知, Γ├ A → Aj 。由 UG 规 则得出 Γ├ ∀xk (A → Aj) 。因为 A 是语句,所以 xk 不是 A 的自由变元, ∀xk (A → Aj) → (A → ∀xk Aj) 是公理五。再用 是公 五 再用 MP 规则得出 Γ├ A → ∀xk Aj , 即 Γ ├ A → Ai 。 因此 Γ├ A → An ,即 Γ├ A → B 。 (⇐) Γ ∪{A}├ A 且 Γ ∪{A}├ A → B , 所以 Γ ∪{A}├ B。
如果要证明 Γ├ A → B ,只有当 A 是语句时,才能 使用演绎定理将 A 移至左边去证明 Γ ∪ {A}├ B 。 这很不方便。 当 A 有自由变元时,可以用常元代入 A 中的自由 变元(用 Γ 中不出现的不同常元代入不同自由变 元)由 A → B 得到 A′ → B′,使得 A′ 成为语句,将 A B ,使得 A A′ 移至左边去证明 Γ ∪ {A′}├ B′ 。再由演绎定理得 出 Γ├ A′ → B′,下面的定理保证了这时 Γ├ A → B 也成立。
定理3.11 设 b1,…, bn 是在语句集 Γ 中不出现的不 同常元, y1,…, yn 是在公式 A 中不出现的不同变元, 用 y1,…, yn 分别代替 A 中的 b1,…, bn 得到 B。 若 Γ├ A ,则 Γ ├ B。 证明 设 C1,…, Cm 是 A 的从 Γ 的一个推演, z1,…, zn 是在 C1,…, Cm 中不出现的不同变元,且 { z1,…, zn }∩{y1,…, yn} =∅。用 z1,…, zn 分别代替 C1,…, Cm 中出现的 b1,…, bn 得到 D1,…, Dm 。 我们证明: D1,…, Dm 是Dm的从 Γ的一个推演。
有以下五个公理模式,其中 A, B, C 可为任意公式, i 可为任意正整数。 公理模式一 公理模式三 公理模式四 A → (B → A) (¬A → ¬B) → (B → A) 公理模式二 (A →(B → C )) →((A → B) →(A→ C ))
∀xi A → Atxi ,其中项 t 对于 A 中的 xi 可代入
例3.6 若 Γ├ ∀xi A 且项 t 对于公式 A 中的 xi 可代
i 入,则 Γ├ Atx。
证明 1. Γ├ ∀xi A 2. Γ├ ∀xi A → Atxi 3. Γ├ Atxi
xi t
已知 公理四 MP 规则
若取 t 为 xi ,则 A 即为 A。所以,若 Γ├ ∀xi A, 则 Γ├ A 。
如果 A1,…, An 是 B 的从 ∅ 的推演,则称 A1,…, An 为 B 的证明。如果├ B ,则称 B 为定理。 这里限定前提都是语句,是因为若允许前提中有自 由变元,就会推出错误的结论。例如,
令 Γ = {P ( x1 )} ,使用 UG 规则可由 P ( x1 )
1 1 1 1
定理3.8(可靠性定理)若 Γ├ A,则 Γ |=A。 证明 设 A1,…, An 是 A 的从 Γ 的推演。 归纳证明: Γ |= Ai ,i = 1, 2,…, n。 1. 若 Ai 是公理,则 Ai 是永真式,所以 Γ |= Ai 。 2. 若 Ai∈Γ ,则 Γ |= Ai 。 3. 若 Ai 由 Aj , Ak 用 MP 规则推出,其中 j, k < i, Ak 为 Aj → Ai 。由归纳假设知, Γ |= Aj 且 Γ |= Aj → Ai 。若解释 I 满足 Γ,则对于 I 中每 个赋值 v,I(Aj)(v) = I(Aj → Ai )(v) = 1,因而 I(Ai)(v) = 1。所以 Γ |= Ai 。
在上面的证明中引进新变元 z1,…, zn 是必要的。 虽然 y1,…, yn 在 A (即 Cm )中不出现,但是 y1,…, yn 在 C1,…, Cm-1 中可能出现。如果直接用 y1,…, yn 分别代替 C1,…, Cm 中出现的 b1,…, bn 得到 D1,…, Dm 时, 则虽然 Ci 是公理, Di 却可能不是公理。 例如,设 Ci 是公理五
公理模式五 ∀xi (A → B) → (A → ∀xiB) ,其中变元 xi 不是 A 的自由变元。
公理一、二、三都是重言式,因而是永真式。 公理四和公理五都是永真式。 公理五是永真式证明如下: ∀xi (A → B) → (A → ∀xiB) ,其中变元 xi 不是 A 的 自由变元。 任给解释 I 和 I 中赋值 v,若 I(∀xi (A → B))(v) = I(A)(v) = 1, 则对于每个 d∈ DI , I(A → B)(v[xi /d]) = 1 。因为 xi 不是 A 的自由变元,所以 I(A)(v[xi /d]) = 1。因而, I(B)(v[xi /d]) = 1 。所以, I(∀xiB)(v) = 1 。
∀y1 ( P1 (b1 ) → P1 ( y1 )) → ( P1 (b1 ) → ∀y1 P1 ( y1 )) 1 1 1 1
则 Di 是
∀y1 ( P1 ( y1 ) → P1 ( y1 )) → ( P1 ( y1 ) → ∀y1 P1 ( y1 )) 1 1 1 1
这不是永真式,因而不是公理。
2
定理3.10(演绎定理) 若 A 是语句,则 Γ ∪{A}├ B 当且仅当 Γ├ A → B。 证明 (⇒) 设 A1,…, An 是 B 的从 Γ ∪{A}的推演。 归纳证明: Γ├ A → Ai ,i = 1 ,…, n。 1. 若 Ai 是公理或者 Ai∈Γ ,则 Γ├ Ai ,由 例3.2 知, Γ ├ A → Ai 。 2. 若 Ai 是 A ,由 例3.1 知,Γ├ A → Ai 。 3. 若 Ai 由 Aj , Ak 用 MP 规则推出,其中 j, k < i, Ak 为 Aj → Ai 。由归纳假设知, Γ├ A → Aj 且 Γ├ A → (Aj → Ai),由 例3.3 得出 Γ├ A → Ai 。