逻辑运算公理

逻辑运算公理

常用的逻辑运算公理如表1.2所示

表1.2 常用逻辑运算公理

1.3 逻辑运算定理

常用的逻辑运算定理如表1.3所示

表1.3 常用逻辑运算定理

1.4 常用公式

逻辑运算的公式有许多，在表1.4中列出了五个常用公式，实际上，只要经过证明的等式都可以在以后的变换和化简时使用。

表1.4 常用公式

注：公式1、2为吸收律和分配律的应用，公式3为多余因子定律，公式4为多余项定律，公式5为与或和或与转换定律。

1.5 逻辑代数的三个基本规则

1.代入规则

若两个逻辑函数相等，即F=G，且F和G中都存在变量A，如果将所有出现变量A的地方都用一个逻辑函数L代替，则等式仍然成立。这个规则称为代入规则。

因为任何一个逻辑函数，它和一个逻辑变量一样，只有两种可能的取值(0和1)，所以代入规则是正确的。

有了代入规则，就可以将基本等式（定理、常用公式）中的变量用某一逻辑函数来代替，从而扩大了它们的应用范围。

例已知等式A(B+E)=AB+AE,将所有出现E的地方代之以(C+D)，试证明等式成立。

解: 原式左边=A[B+(C+D)]=AB+A(C+D)=AB+AC+AD

原式右边=AB+A(C+D)=AB+AC+AD

所以等式A[B+(C+D)]=AB+A(C+D)成立。

注意：在使用代入规则时，必须将所有出现被代替变量的地方都用同一函数代替，否则不正确。

2.反演规则

设L是一个逻辑函数表达式，如果将L中所有的“·”(注意，在逻辑表达式中，不致混淆的地方,“·”常被忽略)换为“＋”，所有的“＋”换为“·”；所有的常量0换为常量1，所有的常量1换为常量0；所有的原变量换为反变量，所有的反变量换为原变量，这样将得到一个新的逻辑函数，这个新的逻辑函数就是原函数L的反函数，或称为补函数，记作。这个规则称为反演规则。

反演规则又称为德·摩根定理，或称为互补规则。运用反演规则可以方便地求出反函数。

例已知，求反函数。

解：按照反演规则，得

例已知，求反函数。

解：按照上述法则得。

注意：

(1)使用反演规则时，必须保证运算优先顺序不变，即如果在原函数表达式中，AB之间先运算，再和其他变量进行运算，那么反函数的表达式中，必须保证AB之间先运算。

(2)对于反变量以外的非号应保留不变。

3.对偶规则

设L是一个逻辑表达式，如果将L中的“·”、“+”互换；所有的“0”、“1”互换，那么就得到一个新的逻辑函数式，称为L的对偶式，记作L´。这个规则称为对偶规则。例如L=(A+B)(A+C)，则。

注意：L的对偶式L´和L的反演式是不同的，在求L´时不能将原变量和反变量互换。变换时仍要保持原式中运算先后顺序。

推论：若两个逻辑函数相等，即F=G，则它们的对偶式也相等，即F´=G´；反之，若F´=G´，则必有F=G。

利用对偶规则，可从已知公式中得到更多的运算公式，例如，吸收律成立，则它的对偶式A·(A+B)=AB也成立。