【精选习题】第二章一阶微分方程的初等解法

【精选习题】第二章一阶微分方程的初等解法

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第二章 一阶微分方程的初等解法

2-1 已知⎰≠=x

x dt t f x f 0

,0 ,1)()(试求函数)(x f 的一般表达式。

解 对方程⎰=x

dt t f x f 0

1)()(，两边关于x 求导得

⎰=+'x

x f dt t f x f 0

20)()()(，

即

0)()

(1)(2=+'x f x f x f ， 分离变量，可求得

)(21

)(C x x f +±=，

代入原方程可得0=C ，从而)(x f 的一般表达式为x x f 21

)(=。

评注：本题中常数的确定不能直接通过所给积分方程得到，而是需将通解代回原方程来确定。

2-2 求具有性质)

()(1)()()(s x t x s x t x s t x -+=

+的函数)(t x ，已知)0(x '存在。 解 由导数的定义可得 s s x t x s x t x s x s t x s t x t x s s )]()(1[)()()(lim )

()(lim

)(200-+=-+='→→ s

s x s x t x t x s )()()(1)(1lim 20⋅-+=→， 显然可得0)0(=x ，故

)](1[)0()0()(lim

)](1[)(202t x x s

x s x t x t x s +⋅'=-⋅+='→ 分离变量，再积分可得 ])0(tan[)(C t x t x +'=，

再由0)0(=x ，知0=C ，从而 ])0(tan[)(t x t x '=。

评注：本题是函数方程的求解问题，利用导数定义建立微分关系，转化为求解常微分方程的初值问题。

2-3 若0),(),(≠+y y x N x y x M ，证明齐次方程0),(),(=+dy y x N dx y x M 有积分因子

)

,(),(1y x yN y x xM +。 证 方法1 用凑微分法求积分因子。

我们有恒等式

dy y x N dx y x M ),(),(+

)})(),(),(())(),(),({(21y

dy x dx y y x N x y x M y dy x dx y y x N x y x M --+++= 而

)ln(xy d y

dy x dx =+， y

x d y dy x dx ln =-， 所以原方程变为

0}ln )),(),(()ln()),(),({(21=-++y

x d y y x N x y x M xy d y y x N x y x M 。 用y

y x N x y x M y x ),(),(1),(+=μ乘上式两边，得 0ln ),(),(),(),(21)ln(21=+-+y

x d y y x N x y x M y y x N x y x M xy d ， 由于y y x N x y x M y y x N x y x M ),(),(),(),(+-为零次齐次函数，故它可表成y

x 的某一函数，记为)(y x f ， )(ln )()(),(),(),(),(ln y x F e f y x f y y x N x y x M y y x N x y x M y x

===+-， 原方程进一步可改写成

0ln )(ln 21ln 21=+y

x d y x F xy d ， 它为一个恰当方程，表明y

y x N x y x M y x ),(),(1),(+=μ为齐次方程的积分因子。 方法2 化为分离变量方程求积分因子。

设),(),,(y x N y x M 是m 次齐次函数，则令ux y =， udx xdu dy +=，有

),,1(),(),(u M x xu x M y x M m ==),,1(),(),(u N x xu x N y x N m ==

将其代入原方程0),(),(=+dy y x N dx y x M 中，得

0}),1(]),1(),1({[=++du u xN dx u u N u M x m ， 可以看出上方程为可分离变量的方程，只要给上式乘以积分因子

)

,(),(1)],1(),1([1),(1y x yN y x xM u uN u M x y x m +=+=+μ， 方程就可变量分离，即化为恰当方程，因此，齐次方程的积分因子是

)

,(),(1),(y x yN y x xM y x +=μ。 方法3 用定义求积分因子。

由积分因子的定义，只需证明二元函数 ),(),(1),(y x yN y x xM y x +=

μ满足 x

N y M ∂∂=∂∂)()(μμ即可。为此，我们计算 y yN xM M y

M ∂+∂=∂∂)()(μ ])()([)(1 2M y yN xM yN xM y M yN xM ∂+∂-+∂∂+= ][)(1 2

NM y N yM y M yN yN xM -∂∂-∂∂+=， x yN xM N x

N ∂+∂=∂∂)()(μ ])()([)(1 2N x yN xM yN xM x

N yN xM ∂+∂-+∂∂+=][)(1 2NM x M xN x N xM yN xM -∂∂-∂∂+=

， x

N y M ∂∂-∂∂)()(μμ 2)()

()( yN xM MN NM y MN NM x y y x x +-+-=， 由于

),(),(y x N y x M dx dy -=为齐次方程，令)(x

y g N M =