(完整版)高中数学变化率问题导数的概念(老师版)

1.1.1 变化率问题1.1.2 导数的概念

[学习目标] 1.理解函数平均变化率、瞬时变化率的概念.2.掌握函数平均变化率的求法.3.掌握导数的概念，会用导数的定义求简单函数在某点处的导数.

知识点一 函数的平均变化率 1.平均变化率的概念

设函数y ＝f (x )，x 1，x 2是其定义域内不同的两个点，那么函数的变化率可用式子

f (x 2)－f (x 1)

x 2－x 1

表示，我们把这个式子称

为函数y ＝f (x )从x 1到x 2的平均变化率，习惯上用Δx 表示x 2－x 1，即Δx ＝x 2－x 1，可把Δx 看作是相对于x 1的一个“增量”，可用x 1＋Δx 代替x 2；类似地，Δy ＝f (x 2)－f (x 1).于是，平均变化率可以表示为Δy

Δx .

2.求平均变化率

求函数y ＝f (x )在[x 1，x 2]上平均变化率的步骤如下： (1)求自变量的增量Δx ＝x 2－x 1； (2)求函数值的增量Δy ＝f (x 2)－f (x 1)；

(3)求平均变化率Δy Δx ＝f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1＝f (x 1＋Δx )－f (x 1)

Δx .

思考 (1)如何正确理解Δx ，Δy? (2)平均变化率的几何意义是什么？

答案 (1)Δx 是一个整体符号，而不是Δ与x 相乘，其值可取正值、负值，但Δx ≠0；Δy 也是一个整体符号，若Δx ＝x 1－x 2，则Δy ＝f (x 1)－f (x 2)，而不是Δy ＝f (x 2)－f (x 1)，Δy 可为正数、负数，亦可取零. (2)如图所示：

y ＝f (x )在区间[x 1，x 2]上的平均变化率是曲线y ＝f (x )在区间[x 1，x 2]上陡峭程度的“数量化”，曲线陡峭程度是平均变化率的“视觉化”，⎪⎪⎪⎪

Δy Δx 越大，曲线y ＝f (x )在区间[x 1，x 2]上越“陡峭”，反之亦然.

平均变化率的几何意义是函数曲线上过两点的割线的斜率，若函数y ＝f (x )图象上有两点A (x 1，f (x 1))，B (x 2，f (x 2))，则

f (x 2)－f (x 1)

x 2－x 1

＝k AB .

知识点二 瞬时速度与瞬时变化率

把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度.做直线运动的物体，它的运动规律可以用函数s ＝s (t )描述，设Δt 为时间改变量，在t 0＋Δt 这段时间内，物体的位移(即位置)改变量是Δs ＝s (t 0＋Δt )－s (t 0)，那么位移改变量Δs 与时间改变量Δt 的比就是这段时间内物体的平均速度v ，即v ＝

Δs Δt ＝s (t 0＋Δt )－s (t 0)Δt

.

物理学里，我们学习过非匀速直线运动的物体在某一时刻t 0的速度，即t 0时刻的瞬时速度，用v 表示，物体在t 0时刻的瞬时速度v 就是运动物体在t 0到t 0＋Δt 这段时间内的平均变化率s (t 0＋Δt )－s (t 0)

Δt 在Δt →0时的极限，即v ＝lim Δt →0 Δs Δt ＝lim Δt →0 s (t 0＋Δt )－s (t 0)Δt .瞬时速度就是位移函数对时间的瞬时变化率. 思考 (1)瞬时变化率的实质是什么？ (2)平均速度与瞬时速度的区别与联系是什么？

答案 (1)其实质是当平均变化率中自变量的改变量趋于0时的值，它是刻画函数值在某处变化的快慢.

(2)①区别：平均变化率刻画函数值在区间[x 1，x 2]上变化的快慢，瞬时变化率刻画函数值在x 0点处变化的快慢；②联系：当Δx 趋于0时，平均变化率Δy

Δx 趋于一个常数，这个常数即为函数在x 0处的瞬时变化率，它是一个固定值.

知识点三 导数的概念 函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数

一般地，函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率是lim Δx →0 Δy

Δx ＝lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx

，我们称它为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′|0x x =，即f ′(x 0)＝lim Δx →0

Δy Δx ＝lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx

. 思考 (1)函数f (x )在x 0处的导数满足什么条件时存在？ (2)求解函数f (x )在x 0处导数的步骤是什么？

答案 (1)函数f (x )在x 0处可导，是指Δx →0时，Δy Δx 有极限，如果Δy

Δx 不存在极限，就说函数在点x 0处无导数.

(2)求解函数f (x )在x 0处导数的步骤如下： ①求函数值的增量：Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)； ②求平均变化率：Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)

Δx ；

③取极限，得导数：f ′(x 0)＝lim Δx →0

Δy

Δx ＝lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx

.

题型一 求平均变化率

例1 求函数y ＝f (x )＝2x 2＋3在x 0到x 0＋Δx 之间的平均变化率，并求当x 0＝2，Δx ＝1

2时该函数的平均变化率.

解 当自变量从x 0变化到x 0＋Δx 时，函数的平均变化率为

Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ＝[2(x 0＋Δx )2＋3]－(2x 20＋3)Δx ＝4x 0Δx ＋2(Δx )2

Δx

＝4x 0＋2Δx . 当x 0＝2，Δx ＝12时，平均变化率的值为4×2＋2×12

＝9.

反思与感悟 平均变化率是函数值的增量与相应自变量的增量的比值，所以求函数在给定区间[x 0，x 0＋Δx ]上的平均变化率问题，即求Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)

Δx

的值.

跟踪训练1 (1)已知函数y ＝f (x )＝2x 2－1的图象上一点(1,1)及其邻近一点(1＋Δx,1＋Δy )，则Δy

Δx

＝ .