(整理)高数下第十章复习题

第十章 曲线积分与曲面积分

曲线积分

一、对弧长的曲线积分 例1．计算

⎰

+L

y x ds e

2

2, 其中L 为圆周)0(2

22>=+a a y x , 直线

x y =及x 轴在第一象限内所围

成的扇形的整个边界。(07)

解：所求积分的曲线可分为三段：线段OA 、弧AB 、线段OB 。 线段OA ：y = 0，0 ≤ x ≤ a ，112

='+x y ，10

2

2-==⎰⎰+a

a

x OA

y x e dx e ds e

；

弧AB ：x =a cos t ，y =a sin t ，4

0π

≤

≤t ，a y x t t ='+'22，

4

40

2

2ππ

a

a AB

y x ae adt e ds e

==⎰⎰⋂

+；

线段OB ：y=x ，2

0a x ≤≤，212

='+x y ，122022

2-==

⎰⎰

+a a

x

OB

y x e dx e

ds e

。

所以，⎰+L

y x ds e

2

2=2)4

2(-+

π

a e a 。 例2．ds y L

⎰

2，其中L 为摆线的一拱)sin (t t a x -=，)cos 1(t a y -= （π≤≤t 0）(05)

解:

)cos 1(t a dt dx -=, t a dt

dy sin = 原式=⎰

+-⋅-π

2

2

2

2

2

2

sin )cos 1()cos 1(dt t a t a t a =⎰+-⋅-π

2

3

1cos 21)

cos 1(dt t t a

=dt t a

⎰-π

2

5

3

)cos 1(2=

15

1283

a 例3．计算⎰Γ

yzds x 2，其中Γ 为折线ABCD ，这里A , B , C , D 四点的坐标依次为点(0, 0, 0), (0, 0, 2), (1 ,0 , 2),

(1,3,2)；

解：所求积分的曲线可分为三段：线段AB 、线段BC 、线段CD 。

线段AB ：x = 0，y = 0，0 ≤ z ≤ 2，112

2='+'+z z y x ，02=⎰AB

yzds x ；

线段BC ：y = 0，z = 2，0 ≤ x ≤ 1，1122='+'+x x z y ,

02=⎰BC

yzds x ；

线段CD ：x = 1，z = 2，0 ≤ y ≤ 2，1122='+'+y y z x , ⎰⎰==2

0292ydy yzds x BC

；

所以，⎰Γ

yzds x 2= 9。

二、对坐标的曲线积分 曲面积分时候加根号倒

例1．⎰L

xydx ，其中L 为圆周 (x – a )2 + y 2 = a 2 (a >0)，及x 轴所围成的在第一象限内的区域的整个边界(按

逆时针方向绕行)；

解：将圆周ABO ：(x – a )2 + y 2 = a 2用参数方程表示：

⎩

⎨

⎧=+=t a y t

a a x sin cos （t 从0变到π）； x 轴上的一线段OA 为：y =0，（ x 从0变到2a ）；

则：⎰L

xydx 0=+=⎰

⎰ABO

OA

xydx xydx +⎰-+π

)sin (sin )cos (dt t a t a t a a ⎰+-=π

23sin )cos 1(tdt t a

O

B

A x

2a a

y x

o

A

B

x

o y a a ⎰⎰--=π

π0

230

23sin cos sin tdt t a tdt a 02

3--

=a π

32

a π

-

=。

例2．⎰

+--+L

y x dy

y x dx y x 2

2)()(，其中L 为圆周x 2 + y 2 = a 2 (按逆时针方向饶行)；

解：积分曲线L 的参数方程为：⎩

⎨

⎧==t a y t

a x sin cos （t 从0变到2π）；则

⎰+--+L

y

x dy

y x dx y x 2

2)()(dt t a t a t a t a t a t a a

)]cos )(sin cos ()sin )(sin cos [(120

2

---+=

⎰π

ππ

220

-=-=⎰

dt

例3．

⎰+-Γydz dy dx ,其中Γ为有向闭折线ABCA , 这里A , B , C 三点的坐标依次为点(1, 0, 0),

(0, 1, 0), (0, 0, 1)；

解：由A , B , C 三点的坐标可得有向线段AB , BC , CA 的参数方程及参数t 的变化范围为: ⎪⎩⎪⎨⎧==-=01z t

y t x t 由0变到1；⎪⎩⎪⎨⎧=-==t z t y x 10 t 由0变到1；⎪⎩⎪

⎨⎧-===t

z y t x 10 t 由0变到1； 则，

⎰+-AB

ydz dy dx =⎰

⋅+--1

0dt t dt dt = –2；

⎰+-BC

ydz dy dx =⎰

-+--⋅1

)1()(0dt t dt dt =

⎰

-

=-1

2

12)2(dt t ； ⎰

+-CA

ydz dy dx =1)(001

=-⋅+⋅-⎰

dt dt dt ； 所以，

⎰+-Γ

ydz dy dx =

2

1。 三、两类曲线积分之间的联系

例. 将对坐标的曲线积分⎰+L

dy y x Q dx y x P ),(),(化成对弧长的曲线积分, 其中L 为:沿上半圆周x 2 + y 2 = 2x 从

点(0, 0)到点(1, 1)。

解：由于L 的方程为⎪⎩⎪⎨⎧-==22x

x y x

x , x 从0变到1, 则∴--=},21,1{2

x x x T 22cos x x -=α, )1(cos x -=β, 故⎰+L

dy y x Q dx y x P ),(),(=

⎰-+-L

ds y x Q x y x P x x )),()1(),(2(

2。

四、格林公式

例1. 利用曲线积分, 求星形线x = a cos 3 t ，y = a sin 3 t 所围成的图形的面积。 解：画积分曲线如图，则所求面积为

A =⎰

-L ydx xdy 21

⎰

-⋅⋅-⋅⋅=π

202323)]sin (cos 3sin cos sin 3cos [2

1dt t t a t a t t a t a

=⎰

π20

222cos sin 23tdt t a =

832

a π。 例2. 设平面曲线12:2

2=+y x C 取正向，则曲线积分

=+-⎰

C

y x ydx

xdy 2

2 。（06）

解：2222

, y x

P Q x y x y

-==++ 22222

22 (0)()y x y x P Q x y x y -==+≠+ 。