高中信息技术算法与程序设计分册4.2穷举法教案

4.2穷举法

[授课形式]

讲授课、实践课

[教学目标]

1、理解穷举法是计算机求解问题的基本算法。

2、掌握穷举法设计程序的基本思路。

3、通过调试不同的程序，掌握穷举法穷举技巧。

4、对于多种解决问题的方案，学会评价它们的好坏。

[教学重点]

1、建立正确的数学模型，确定穷举方案。

2、根据命题确定即变量的取值范围。

3、正确表达“符合条件”的判断。

[教学难点]

1、如何确定穷举方案。

2、如何评价各种穷举方案的优劣。

[教学方法]

讲授法、探究法、演练法

[教学课时]

2课时

[教学过程]

穷举法的思路是，列举出所有可能的情况，逐个判断有哪些是符合问题所要求的条件，从而得到问题的解答。

穷举算法模式：

（1）问题解的可能搜索的范围：用循环或循环嵌套结构实现；

（2）写出符合问题解的条件；

（3）能使程序优化的语句，以便缩小搜索范围，减少程序运行时间。

陈婷所在学校的3个环保活动小组经常利用节假日去栽树。有一天，李老师问他们3个小组各栽了多少棵树?

因为李老师是教数学的，陈婷就调皮地回答：“3个小组的栽树数量相乘的积是30723，您能把3个小组的栽树数

量算出来吗?”李老师说：“只有这个条件不能确定答案呀。你能补充点情况吗?’’于是陈婷补充说：“A组都

是大个子同学组成的，栽的树虽然不到100棵，但比另外两组合起来的还要多。栽树最少的C组也早就超过了10棵。

这时李老师说：“那我算出来了。”李老师是怎样算出来的呢?

李老师后来告诉陈婷，她用的是穷举法。

例题一：栽树数量问题的求解

a、b、c是三个整数，100>a>b>c>10， a ×b× C=30723，且a>b+c，试确定a、b、c的值。

(1)分析问题。

解决这个问题应当从a ×b× C=30723人手。把30723分解成三个正整数相乘的积，只能有有限种情况，我们可以把这些情况一一罗列出来，然后分析哪一种情况是符合条件(100>a>b>c>10，且a>b+c)的，从而找到答案(在列举所有情况时，注意三个因子都大于10，这可以减少列举的工作量)。

把30723分解为3个大于10的因子的乘积只有5种情况：11×19×147，11×21×133，19×33×49，11×49× 57，19×21×77。

在这5种情况中符合最大数a大于b+c而且小于100的，只有最后一种情况，即a=77，b=2l，c=19。

(2)设计算法。

设计穷举法的关键是如何列举所有可能的情况，绝对不能遗漏，最好不要重复。在列举时注意变量的范围，可以减少工作量。

我们可以从最小的变量c人手，让它从10开始变化。但变化的范围到哪里为止呢?粗略估算一下，三个数相乘的积是30723，最小的c不会超过积的立方根。但VB语言没有立方根的内部函数，我们可以用平方根作近似的替代，不必作太多的推算。当c值产生之后，就可以处理变量b。因为它不小于c，让它从c开始，也让它变化到30723的平方根。

有了c和b的值之后，就要判断它们的乘积是否30723的因子。如果是，计算出第三个因子a，然后进行判断：a是否大于b+c并且小于100。满足条件的就是解答了。算法描述如下：

①令变量c取值10；

②令变量b取值c；

③如果b×c能整除30723，那么下一步，否则转⑥；

④a=30723÷(b×c)；

⑤如果a>b+c并且a<100，那么输出解答a、b、c的值；

⑥如果b< ，那么b值增加1后返回③；

⑦如果c< ，那么c值增加1后返回②；

⑧结束。

(3)编写程序。

根据算法写出程序如下：

(4)调试程序。

本程序没有特别安排其他控件，程序运行后单击窗体可得结果(如下图)。

复核知这个结果是符合题意的。

例题二：

现有面值为l元、2元和5元的钞票(假设每种钞票的数量都足够多)，从这些

钞票中取出30张使其总面值为100元，问有多少种取法?输出每种取法中各种面

额钞票的张数。

(1)分析问题

本问题有3种面额的钞票，钞票的总张数是30张，应当如何穷举呢?经分析可

以知道：当有两种面额的钞票数目确定了之后，可以从总张数30确定第三种钞

票的张数，然后由总面额是否100元而判断这个组合是否合乎要求。

(2)设计算法

用a、b、c分别记录1元、2元、5元钞票的张数。变量n记录符合条件的解的

数目。穷举的过程如下：

①让n=0，c=0；

②b=0；

③让a=30-b-c；

④检查5*c+2*b+c是否等于100,若是，则得到一组解，这时让n增加1。并且

输出解答；

⑤如果b<30，那么让b增加1，返回步骤③；

⑥如果c<20，那么让c增加1，返回步骤②；

⑦结束。

把这些步骤用框图表示:

(3)交流

如果首先进行最小面额的钞票的选择，程序代码该如何写？与以上的方法比

较，哪一个程序的判断比较的次数多些？

穷举法的基本思路

穷举法的思路是列举一切与命题相关的情况，然后根据问题设定的条件，逐个加以检查，找到满足条件的解答。但是在穷举时，“与命题相关的情况”所包含的范围可能很广，如果不加以限制可能会白白耗费计算机的运行时间。如上例程序中若把“Sqr(n)”都改为“n／2”，你得等待很长的时间。所以，在设计穷举的过程时，应当建立适当的数学模型，构造穷举的框架，然后通过逐步求精的过程，改善算法，使穷举过程变得恰当。