全微分

∆z = f ( x + ∆x , y + ∆y ) − f ( x , y ) = [ f ( x + ∆x , y + ∆y ) − f ( x , y + ∆y )]
用拉氏定理 + [ f ( x , y + ∆y ) − f ( x , y )],
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8.3 全 微 分
f ( x + ∆ x , y + ∆y ) − f ( x , y + ∆y )
时 而趋于0, 说明它不能随着 ρ → 0 而趋于 当ρ → 0时,
∆z − [ f x (0,0) ⋅ ∆x + f y ( 0,0) ⋅ ∆y ] ≠ o(ρ),
因此, 函数在点(0,0)处不可微 处不可微. 因此 函数在点 处不可微
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8.3 全 微 分
说明 多元函数的各偏导数存在并不能保证 全微分存在. 全微分存在 各偏导数存在只是全微分存在 的必要条件而不是充分条件. 的必要条件而不是充分条件 这也是一元函数推广到多元函数出现的又 这也是一元函数推广到多元函数出现的又 一元函数推广到多元函数 一个原则区别 区别. 一个原则区别 现再假定函数的 各个偏导数连续 则可证明 各个偏导数连续, 函数是可微分的 函数是可微分的. 可微分
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8.3 全 微 分
一、全微分的定义
为了引进全微分的定义, 为了引进全微分的定义 先来介绍 全增量. 全增量. 全增量的概念 全增量的概念 设二元函数z 在点P(x, y)的某邻域 设二元函数 = f (x, y)在点 在点 的某邻域 内有定义, 当变量x、 点 内有定义 当变量 、y点(x, y)处分别有增量 处分别有增量∆x, 处分别有增量 ∆y时, 函数取得的增量 时
其中 ε 1 → 0 ( ∆x → 0, ∆y → 0)
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8.3 全 微 分
同理 f ( x , y + ∆y ) − f ( x , y )
= f y ( x , y )∆y + ε 2 ∆y , 当∆y → 0时, ε 2 → 0,
∆ z = f x ( x , y )∆ x + ε 1 ∆ x + f y ( x , y )∆ y + ε 2 ∆y = f x ( x , y )∆x + f y ( x , y )∆ y + ε 1 ∆ x + ε 2 ∆ y
分为
∂z ∂z dz = ∆x + ∆y. ∂x ∂y
可微必可导
8
8.3 全 微 分 如果函数z 在点(x, 可微分 则该函数在点(x, 的 可微分, 如果函数 = f (x, y)在点 y)可微分 则该函数在点 y)的 在点
∂z ∂z 且函数z 在点(x, 的全微分为 在点 偏导数 、 必存在,且函数 = f (x, y)在点 y)的全微分为 ∂x ∂y ∂z ∂z dz = ∆x + ∆y ∂x ∂y
dy = A⋅ ∆x = f ′( x)dx.
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8.3 全 微 分
定义8.6 如果函数 = f (x, y)在点 y)的全 定义 如果函数z 在点(x, 的全 在点 增量 ∆z = f ( x + ∆x , y + ∆y ) − f ( x , y ) 可表示为
∆z = A∆x + B∆y + o(ρ) (ρ → 0)
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8.3 全 微 分
∂z ∂z 定理8.4 8.4的条件 即两个偏导数 注 定理8.4的条件 (即两个偏导数 , 在 ∂x ∂y 连续) 点(x, y)连续 仅是函数 = f (x, y)在点 y)处 可微 连续 仅是函数z 在点(x, 处 在点
的充分条件, 并非必要条件. 的充分条件 并非必要条件 如 1 2 2 ( x + y ) sin 2 , x2 + y2 ≠ 0 函数f ( x , y ) = x + y2 0, x2 + y2 = 0 在原点(0,0)可微 事实上 可微. 在原点 可微 事实上, 1 2 ( ∆x ) sin f (0 + ∆x ,0) − f (0,0) ( ∆x ) 2 f x (0,0) = lim = lim ∆x → 0 ∆x → 0 ∆x ∆x =0 同样, 同样 f y (0,0) = 0 ∆z − [ f x (0,0)∆x + f y (0,0)∆y ] = o( ρ )
= f x ( x + θ 1 ∆x , y + ∆ y )∆x = f x ( x , y )∆x + ε 1 ∆x
由f x ( x , y )在点( x , y )连续.
(0 < θ 1 < 1)
令 f x ( x + θ 1 ∆x , y + ∆y ) − f x ( x , y ) = ε 1
∆z = f ( x + ∆x , y + ∆y ) − f ( x , y )
在点(x, 的 全增量. 称为 f (x, y)在点 y)的 全增量. 在点
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8.3 全 微 分
一元函数的微分
y = f (x)
∆y = f ( x + ∆x) − f ( x) = A⋅ ∆x + o(∆x)
成立(其中 是与 无关的常数), 成立 其中A是与 无关的常数 则称函数 其中 是与∆x y = f (x)在点 可微, 在点x 可微 在点
8.3 全 微 分
8.3
全 微 分
total differentiation
全微分的定义 全微分在近似计算中的应用 小结 思考题 作业
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第8章 多元函数微分法及其应用
8.3 全 微 分
偏导数讨论的只是某一自变量变化时 函数的变化率. 函数的变化率 现在来讨论当各个自变量同时变化时 函数的变化情况. 函数的变化情况
∆x →必要条件) 若函数z 定理8.3(可微的必要条件) 若函数 = f (x, y) 在点(x, 可微分, 则该函数在点(x, 的偏导数 在点 y) 可微分 则该函数在点 y)的偏导数
∂z ∂z 在点(x, 的全微 在点 、 必存在 且函数 = f (x, y)在点 y)的全微 必存在, 且函数z ∂x ∂y
∆z − [ f x ( x , y ) ⋅ ∆x + f y ( x , y ) ⋅ ∆y ] ε 1 ∆x + ε 2 ∆y = ρ ρ
ε 1 ∆x + ε 2 ∆ y ρ→0 0, → 因为 ≤ ε1 + ε 2 ρ
在点(x, 处可微. 故函数 z = f (x, y)在点 y)处可微 在点
f ( x + ∆x , y ) − f ( x , y ) ∂z = lim =A ∆x ∂x ∆x →0 ∂z 可微 ⇒ 可偏导 同理可得 B = . ∂y 不可偏导 ⇒ 不可微
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8.3 全 微 分
一元函数的可导与可微的关系? 一元函数的可导与可微的关系 一元函数在某点的导数存在 ⇔微分存在 微分存在. 全微分存在 多元函数的各偏导数存在 ⇔全微分存在. 下面举例说明 由定理8.3知 二元函数可微一定存在两个偏导数. 由定理 知: 二元函数可微一定存在两个偏导数 但两个偏导数都存在函数也不一定可微. 但两个偏导数都存在函数也不一定可微 xy , x 2 + y 2 ≠ 0, x2 y2 + 如, f ( x , y ) = 2 2 0, x + y =0 ( 在点 0,0)处有, f x (0,0) = f y (0,0) = 0. (由偏导数定义可求得 由偏导数定义可求得) 由偏导数定义可求得
∆x ⋅ ∆ y , ∆z − [ f x (0,0) ⋅ ∆x + f y (0,0) ⋅ ∆y ] = 2 2 ( ∆ x ) + ( ∆y )
∆x ⋅ ∆y ( ∆x ) 2 + ( ∆y )2
如果考虑点 P ′( ∆x , ∆y ) 沿直线 y = x 趋近于 趋近于(0,0), 则
ρ
∆x ⋅ ∆x 1 = , 2 2 = ( ∆x ) + ( ∆x ) 2
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8.3 全 微 分
xy , x 2 + y 2 ≠ 0, ∆z = A∆x + B∆y + o(ρ) 2 2 f ( x, y) = x + y ? ∆z −[ f x ( x0 , y0 )∆x + f y ( x0 , y0 )∆y] = o(ρ) 0, x 2 + y 2 = 0, ( 在点 0,0)处有
可微分, 证 如果函数 z = f (x, y)在点 (x, y)可微分 在点P 在点 P ′( x + ∆x , y + ∆y ) ∈ P 的某个邻域 总成立, 成立 0时 上式仍成立 当∆y = 0时, 上式仍成立, 此时 ρ = | ∆x |,
∆z = A∆x + B∆y + o(ρ)
∆z = f ( x + ∆x , y + 0) − f ( x , y ) = A ⋅ ∆x + o(| ∆x |),
ρ = ( ∆ x ) 2 + ( ∆y ) 2
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8.3 全 微 分
1 2 2 2 2 x + y ≠ 0, ( x + y ) sin 2 2, 函数f ( x , y ) = x +y 0, x 2 + y 2 = 0, 在原点(0,0)可微 可微. 在原点 可微 f x ( 0, 0 ) = 0 ∆ z = f ( 0 + ∆ x ,0 + ∆ y ) − f ( 0 , 0 ) f y (0,0) = 0 1 2 2 = [( ∆x ) + ( ∆y ) ]sin ( ∆ x ) 2 + ( ∆y ) 2 0 ∆z − [ f x (0,0)∆x + f y (0,0)∆y ] lim ( ρ = ( ∆x ) 2 + ( ∆ y ) 2 )
其中A B仅与 y 有关, 而不依赖于∆x 仅与x、 其中 、 仅与 、 有关 而不依赖于 、∆y,
ρ = ( ∆x ) 2 + ( ∆y )2 , 则称函数 = f (x, y)在点 y) 则称函数z 在点(x, 在点
处 可微分,A∆x + B∆y 称为函数 = f (x, y)在点 可微分, 称为函数z 在点 (x, y)处的 全微分.记作 dz, 即 dz = A∆x + B∆y. 处的 全微分. 函数若在某平面区域D内处处可微时 函数若在某平面区域 内处处可微时, 则称 内处处可微时 这函数在D内的 可微函数. 这函数在 内的 可微函数.全微分的定义可推广 到三元及三元以上函数. 到三元及三元以上函数
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8.3 全 微 分
上一节指出, 多元函数在某点各个偏导数即 上一节指出 多元函数在某点各个偏导数即 在某点各个偏导数 使都存在 都不能保证函数在该点连续, 存在, 使都存在 都不能保证函数在该点连续 而多元函 函数在该点连续 在某点可微 可微是否保证 数在某点可微是否保证 函数在该点连续 在点(x, 可微分 可微分, 在点 定理8.2 若函数z 定理8.2 若函数 = f (x, y)在点 y)可微分 则函数在点(x, 必连续 必连续. 则函数在点 y)必连续 由全微分的定义, 证 由全微分的定义 有
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8.3 全 微 分
可微的充分条件) 定理8.4 可微的充分条件 若函数z 定理8.4 (可微的充分条件 若函数 = f (x, y) ∂z ∂z ( 、 在 x, y)连续, 则该函数在点 (x, y) 的偏导数 ∂x ∂y 可微分. 可微分 假定偏导数在点P(x, y)连续 就含有偏导数 连续, 连续 就含有偏导数 证 假定偏导数在点 在该点的某一邻域内必存在的意思 今后常这样理解 在该点的某一邻域内必存在的意思. (今后常这样理解 的意思 今后常这样理解).
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8.3 全 微 分
dz = A∆x + B∆y
注
∆z = A∆x + B∆y + o( ρ )
dz
全微分有类似一元函数微分的 两个性质: 全微分有类似一元函数微分的 两个性质: (1) dz是∆x与∆y的线性函数 是 与 的线性函数; (2) ∆z与dz之差是比 ρ 高阶无穷小. 与 之差是比 高阶无穷小. 可微与连续有何关系呢？ 可微与连续有何关系呢？ 可微与偏导数存在有何关系呢？ 可微与偏导数存在有何关系呢？ 微分系数 A = ? B = ?
令ρ → 0, 则∆x → 0, ∆y → 0
∆z = A∆x + B∆y + o( ρ ) ( ρ → 0)
ρ →0
ρ →0
可得 lim ∆z = lim( A∆x + B∆y + o( ρ )) = 0 显然, 显然 多元函数可微必连续 不连续的函数 一定是不可微的. 不连续的函数 一定是不可微 不可微的 一元函数连续的 定义 lim ∆y = 0