量子力学第四章 - 4

归一化给出
9
4.6 线性谐振子与占有数表象（续 8）
Chapter 4. The representation for the states and dynamical variable
aˆn(
)
Nn 2
d d
e
1 2
2
Hn(
)
Nn 2
1 2
e2
d d
H
n
Nn 2

1
e2
2
Hn
aˆ †n()
Nn 2
d d
1 2 e 2 H
n
Nn 2
2Hn ( )
12
H n ( ) e 2
5
4.6 线性谐振子与占有数表象（续4）
Chapter 4. The representation for the states and dynamical variable
2
4.6 线性谐振子与占有数表象
Chapter 4. The representation for the states and dynamical variable
哈密顿算符： Hˆ pˆ 2 1 m 2x2
2m 2
1．算符 aˆ 、 aˆ† 的引入
（１）
1/x量纲
令
x
(aˆ aˆ†) 2m
Chapter 4. The representation for the states and dynamical variable
Chapter.4 态和力学量的表象
The representation for the states and dynamical variables
1
引言（续 2）
Chapter 4. The representation for the states and dynamical variable
基态（真空态）的求解
由 aˆ 0 0
aˆ
2
x
1
2
d
dx
2
x
1
2
d dx
0
x
0
d0 x 0 x
2
xdx
ln0 x
2
2
x2
c
2 x2
0 x N e 2
4.3 量子力学公式的矩阵表示
Matrix representation of formula for quantum mechanics
4.4 幺正变换
Unitary transformation
4.5 狄拉克符号
Dirac symbols
4.6 线性谐振子与占有数表象
Linear oscillator and occupation number representation
式表明经算符 aˆ 作用后，体系由状态 n 变到状
态 n 1 ，即粒子数减少一个，所以称 aˆ 为粒子的
湮灭算符。同理，称 aˆ† 为粒子的产生算符。
7
4.6 线性谐振子与占有数表象（续 6）
4. 态矢的构造
Chapter 4. The representation for the states and dynamical variable
d d
（4）
aˆ†
1 2
d d
3
4.6 线性谐振子与占有数表象（续2）
2．aˆ 、 aˆ† 的对易关系
Chapter 4. The representation for the states and dynamical variable
[aˆ, aˆ]=[aˆ†, aˆ†] 0 [aˆ, aˆ†] 1
由 aˆ n n n 1 n 0 aˆ 0 0
aˆ† n n 1 n 1 n 0 aˆ† 0 1
aˆ†aˆ† 0 aˆ† 1 2 2
aˆ† 3 0 aˆ† aˆ† 2 0 2aˆ† 2 3! 3
(aˆ†)n 0 n! n
n 1 (aˆ† )n 0 n!
8
4.6 线性谐振子与占有数表象（续 7）
n 、n 1 和 n 1 都是谐振子哈密顿算符 Hˆ 的本征
态矢，分别对应于本征值 En E 、 n1 E 、 n1 。
由 En n 1 2 可知，谐振子的能量只能以 为单
位改变。这个能量单位可视为一个粒子。
En 是 n 个能量为 的粒子的总能量加上零点能。
本征态 n 表示体系在这个态中有 n 个粒子。（7）
Nn1 2 n
Nn 1
故
aˆ n
aˆ
†
n
n
n1
n 1n1
（6）
aˆ n n n 1 （7）
aˆ n
n 1 n 1 （8）
6
4.6 线性谐振子与占有数表象（续 5）
Chapter 4. The representation for the states and dynamical variable
研 究 内 容
Chapter 4. The representation for the states and dynamical variable
4.1 态的表象
The representation of the states
4.2 算符的矩阵表示
Matrix representation of operators
（3）
记
m
pˆ
i
m (aˆ aˆ†) 2
aˆ
2
x
i
2
pˆ
或
aˆ
2
x
1 2
d
dx
x
aˆ †
2
i
x
2
pˆ
aˆ †
2
x
1 2
d
dx
（注意）aˆ不是厄米算符 (aˆ† aˆ)
x
1 (aˆ aˆ †)
2
pˆ
i
(aˆ aˆ †)
2
aˆ
1 2
Chapter 4. The representation for the states and dynamical variable
在坐标表象中， 线性谐振子的 本征函数：
12x2
n(x) Nne 2 Hn( x)
Nn
2
n
1/ n!
2
12
或 n ( ) Nne 2 Hn ( )
利用
2 Hn ( ) Hn1( ) 2nHn1( ) （2.7.13）
Hn ( ) 2nHn1( )
（2.7.12）
aˆ n ( )
12
2nNne 2 Hn1( )
2n
Nn Nn1
n1
aˆ† n ( )
1 2
1 2
Nne 2
Hn1( )
1 2
Nn Nn1
n1
因 Nn 1 , Nn 2n 1
证明:
aˆ
aˆ †
aˆ †
aˆ
1 2
d
d
d
d
d
d
d
d
1 2
2
d d
d d
1
d2 d 2
2
d d
d d
1
d2 d
1
或者，利用
aˆ
2
x
i
2
pˆ
以及
[xˆ, pˆ x ] i
aˆ †
2
x
i
2
pˆ
给出上述对易关系。 4
4.6 线性谐振子与占有数表象（续3）
3 ．aˆ 、aˆ† 的 物 理 意 义