chapter3 复变函数的幂级数展开
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(3) 既存在使级数发散的正实数, 也存在使级数收 敛的正实数.
10
y
收敛圆 收敛半径
o
R.
.
x
注意 在收敛圆周上是收敛还是发散, 不能作出
一般的结论, 要对具体级数进行具体分析.
11
4)收敛半径的求法
n 2 c ( z a ) c c ( z a ) c ( z a ) n 0 1 2 n 0
收敛半径 z 1
收敛半径 z 1
1 1 1 1 n 1 2 ( ) 2 ( nz ) 2 n( n 1) z n 2 , 收敛半径 z 1 3 2 (1 z ) (1 z ) n 0 n 0
…
ln
(1 z )
z
0
z 1 z n 1 zn n dz z dz , 收敛半径 z 1 0 1 z n 0 n 0 n 1 n 1 n
21
设函数 f ( z ) 在区域 D 内解析,
K为 D 内以z0 为中心的任一圆周 , z0 r
它与它的内部全包含于 D
z0
.z . r .
K 内任意点
K
圆周 z0 r
D
22
由柯西积分公式 , 有
1 f ( ) f (z) d , 其中 K 取正方向. 2π i K z
绝对 收敛 a 与 b 绝对 收敛
n 1 n n 1 n n 1 n
6
3.复变函数项级数
设 { f n ( z )} ( n 1,2,) 为一复变函数序列,
其中各项在区域 D内有定义.表达式 称为复变函数项级数, 记作 f n ( z ) . 级数最前面 n 项的和 称为这级数的部分和.
数学物理方法
李晓红
西南科技大学理学院
2017/5/4
1
复变函数的幂级数展开
一、幂级数 二、泰勒级数展开 三、洛朗级数展开 四、奇点
2
1.复数列
设 { n } (n 1,2,) 为一复数列, 其中
n an ibn , 又设 a ib 为一确定的复数,
如果任意给定 0, 相应地都能找到一个正数
24
将函数展开成泰勒级数
常用方法: 直接法和间接法.
1.直接法:
由泰勒展开定理计算系数
1 ( n) c n f ( z 0 ) , n 0 , 1 , 2 , n!
将函数 f ( z ) 在 z0 展开成幂级数.
25
例如， 求 e z 在 z 0 的泰勒展开式 .
因为(e z )( n) e z ,
2 n 1 z3 z5 z sin z z ( 1)n , 3! 5! ( 2n 1)!
( R )
2n z2 z4 z cos z 1 ( 1)n , 2! 4! ( 2n)!
( R )
27
2. 间接展开法 : 借助于一些已知函数的展开式 , 结合解析 函数的性质, 幂级数运算性质 (逐项求导, 积分 等)和其它数学技巧 (代换等) , 求函数的泰勒展
z ( 1) ( 2n 1)! n 0
n0 c
或
a
z
cn n 1 f ( )d (z a) . n 0 n 1
积分后所得的幂级数收敛半径不变.
18
例
f ( z) z n
n 0
收敛半径 z 1
n 2 n z 1 z z z n 0
1 z 1 lim , n 1 z 1 z
(e z )( n )
z 0
1 , ( n 0 , 1 , 2 ,)
2 n n z z z 故有 e z 1 z 2! n! n 0 n!
因为 e 在复平面内处处解析 ,
所以级数的收敛半径 R .
26
z
仿照上例 , 可得 sinz 与 cosz 在 z 0 的泰勒展开式.
n 1
最常用的级数！
1 2 n n 1 z z z z , 1 z n 0
19
1 1 z z2 zn zn , 1 z n 0
1 1 n n 1 ( ) ( z ) nz , 2 (1 z ) 1 z n 0 n 0
cn ( z a )
n
的级数称为幂级数.
当 a 0 时,
n 2 n c z c c z c z c z . n 0 1 2 n n 1
8
2)收敛定理 ----阿贝尔Abel定理
n c z 如果级数 n 在 z z0 ( 0) 收敛, 那么对
n
(anb0 an1b1 a0bn ) z ,
n0
zR
15
(2)幂级数的代换(复合)运算 如果当 z r 时, f ( z ) an z , 又设在
n n 0
z R 内 g ( z ) 解析且满足 g( z ) r , 那么当 z R
时, f [ g ( z )] an [ g ( z )] .
N ( ), 使 n 在 n N 时成立,
则 称为复数列 { n } 当 n 时的极限 ,
记作
lim n .
n
此时也称复数列 { n } 收敛于 .
3
2.复数项级数
, 1) 定义 设{ n } {an ibn } (n 1,2,)为一复数列
并且极限 lim sn s 称为级数的和.
n
如果部分和数列 { sn } 不收敛, 那 么 级 数 n发 散.
复 级 数: n an i bn
n 1
n 1
充要条件 必要条件
收敛 a 与 b 都收敛
n 1 n
n 1
n 1
…
20
二、泰勒定理
定理 设 f ( z ) 在区域 D 内解析, z0 为 D 内的一
点, d 为 z0 到 D 的边界上各点的最短距离, 那么
n 当 z z0 d 时, f ( z ) cn ( z z0 ) 成立, n 0
泰勒级数 泰勒展开式 1 ( n) 其中 cn f ( z0 ), n 0, 1, 2, n!
1 f ( )d n 于 是 f (z) ( z z ) 0 n1 n 0 2 πi K ( z 0 ) ( n) f ( z0 ) ( z z0 ) n n! n 0
推导中用到导 数的柯西公式
f
n
f n! d , n 1, 2, z n 1 2 i l z
满足 z z0 的 z , 级数必绝对收敛, 如果 在 z z0 级数发散, 那么对满足 z z0 的 ห้องสมุดไป่ตู้ , 级数必发散.
n 0
9
3)收敛圆与收敛半径 对于一个幂级数, 其收敛半径的情况有三种: (1) 对所有的正实数都收敛.即级数在复平面内处 处收敛.
(2) 对所有的正实数除 z 0 外都发散. 此时, 级数在复平面内除原点外处处发散.
2 0 , n k ; 因为级数是缺项级数 , 即C n 2 1 , n k .
R R1 R2 1
14
5)幂级数的运算与性质
(1)设 f ( z ) an z n , R r1 , g( z ) bn z n , R r2 .
n 0 n 0
f ( z ) g( z ) an z n bn z n (an bn ) z n ,
n 0 n 0 n 0
f ( z ) g( z ) ( an z n ) ( bn z n ),
n 0 n 0
R min(r1 , r2 )
因为积分变量 取在圆周K 上, 点 z 在 K 的内部,
z z0 所以 1. z0
则
1 1 z ( z0 ) ( z z0 ) 1 z0 1 z z0 1 z0
z0
.z . r .
K
D
23
1 z z0 z z0 2 1 ( )( ) z0 z0 z0 z z0 n ( ) z0 1 n ( z z0 ) . n 1 n 0 ( z0 )
表达式
n 1 2 n n1
称为复数项无穷级数. 部分和 其最前面 n 项的和 sn 1 2 n 称为级数的部分和.
4
2) 复级数的收敛与发散
如果部分和数列 { sn } 收敛, 那 么 级 数 n收 敛,
n 1
开式.
间接法的优点:
不需要求各阶导数与收敛半径 , 因而比直
接展开更为简洁 , 使用范围也更为广泛 .
28
例如，
利用间接展开法求sin z 在 z 0 的泰勒展开式 .
1 iz sin z (e e iz ) 2i
1 ( iz )n ( iz )n 2i n0 n! n0 n!
2
cn (n 1)! (2) 由R lim lim n c n n! n 1 cn n! (3) 由R lim lim 0 n c n ( n 1)! n 1
13
( 4)
z
k 1
k2
1 R1 lim n n C n 故 R 1 lim 1 R2 n n C n
n
n收敛 lim n 0 n n1
5
n 1
n
n 1
3)复级数的绝对收敛与条件收敛
如果 n 收敛,
n 1
则称级数
n为绝对收敛. n 1
非绝对收敛的收敛级数称为条件收敛级数.
复 级 数: n an i bn
n 1 n 1 n 1
方法1: 比值法
cn R lim n c n 1
方法2: 根值法
R lim
1 cn
12
n n
例1 求下列幂级数的收敛半径
zn (1) 2 n 0 n
zn n ( 2) ( 3) n! z n 0 n! n 0
(4) z .
k2 k 1
cn (n 1) lim 1 解 (1) 由R lim 2 n c n n n 1
7
fn ( z ) n 1
f1 ( z ) f 2 ( z ) f n ( z )
n 1
sn ( z ) f1 ( z ) f 2 ( z ) f n ( z )
4. 幂级数
1) 在复变函数项级数中, 形如
n 2 c ( z a ) c c ( z a ) c ( z a ) n 0 1 2 n 0
n n 0
16
复变幂级数在收敛圆内的解析性
n 0
n c ( z z ) 设幂级数 n 的收敛半径 为 R, 那么 0
n f ( z ) c ( z z ) f ( z ) , 它的和函数 即 (1) n 0
是收敛圆 z a R 内的解析函数 .
n 0
(2) f ( z ) 在收敛圆 z a R 内的导数可将其幂
n 1 f ( z ) nc ( z z ) . 级数逐项求导得到, 即 n 0 n 1
求导后所得的幂级数收敛半径不变.
17
(3) f ( z ) 在收敛圆内可以逐项积分, 即
c
f ( z )dz cn ( z a )n dz , c z a R.
10
y
收敛圆 收敛半径
o
R.
.
x
注意 在收敛圆周上是收敛还是发散, 不能作出
一般的结论, 要对具体级数进行具体分析.
11
4)收敛半径的求法
n 2 c ( z a ) c c ( z a ) c ( z a ) n 0 1 2 n 0
收敛半径 z 1
收敛半径 z 1
1 1 1 1 n 1 2 ( ) 2 ( nz ) 2 n( n 1) z n 2 , 收敛半径 z 1 3 2 (1 z ) (1 z ) n 0 n 0
…
ln
(1 z )
z
0
z 1 z n 1 zn n dz z dz , 收敛半径 z 1 0 1 z n 0 n 0 n 1 n 1 n
21
设函数 f ( z ) 在区域 D 内解析,
K为 D 内以z0 为中心的任一圆周 , z0 r
它与它的内部全包含于 D
z0
.z . r .
K 内任意点
K
圆周 z0 r
D
22
由柯西积分公式 , 有
1 f ( ) f (z) d , 其中 K 取正方向. 2π i K z
绝对 收敛 a 与 b 绝对 收敛
n 1 n n 1 n n 1 n
6
3.复变函数项级数
设 { f n ( z )} ( n 1,2,) 为一复变函数序列,
其中各项在区域 D内有定义.表达式 称为复变函数项级数, 记作 f n ( z ) . 级数最前面 n 项的和 称为这级数的部分和.
数学物理方法
李晓红
西南科技大学理学院
2017/5/4
1
复变函数的幂级数展开
一、幂级数 二、泰勒级数展开 三、洛朗级数展开 四、奇点
2
1.复数列
设 { n } (n 1,2,) 为一复数列, 其中
n an ibn , 又设 a ib 为一确定的复数,
如果任意给定 0, 相应地都能找到一个正数
24
将函数展开成泰勒级数
常用方法: 直接法和间接法.
1.直接法:
由泰勒展开定理计算系数
1 ( n) c n f ( z 0 ) , n 0 , 1 , 2 , n!
将函数 f ( z ) 在 z0 展开成幂级数.
25
例如， 求 e z 在 z 0 的泰勒展开式 .
因为(e z )( n) e z ,
2 n 1 z3 z5 z sin z z ( 1)n , 3! 5! ( 2n 1)!
( R )
2n z2 z4 z cos z 1 ( 1)n , 2! 4! ( 2n)!
( R )
27
2. 间接展开法 : 借助于一些已知函数的展开式 , 结合解析 函数的性质, 幂级数运算性质 (逐项求导, 积分 等)和其它数学技巧 (代换等) , 求函数的泰勒展
z ( 1) ( 2n 1)! n 0
n0 c
或
a
z
cn n 1 f ( )d (z a) . n 0 n 1
积分后所得的幂级数收敛半径不变.
18
例
f ( z) z n
n 0
收敛半径 z 1
n 2 n z 1 z z z n 0
1 z 1 lim , n 1 z 1 z
(e z )( n )
z 0
1 , ( n 0 , 1 , 2 ,)
2 n n z z z 故有 e z 1 z 2! n! n 0 n!
因为 e 在复平面内处处解析 ,
所以级数的收敛半径 R .
26
z
仿照上例 , 可得 sinz 与 cosz 在 z 0 的泰勒展开式.
n 1
最常用的级数！
1 2 n n 1 z z z z , 1 z n 0
19
1 1 z z2 zn zn , 1 z n 0
1 1 n n 1 ( ) ( z ) nz , 2 (1 z ) 1 z n 0 n 0
cn ( z a )
n
的级数称为幂级数.
当 a 0 时,
n 2 n c z c c z c z c z . n 0 1 2 n n 1
8
2)收敛定理 ----阿贝尔Abel定理
n c z 如果级数 n 在 z z0 ( 0) 收敛, 那么对
n
(anb0 an1b1 a0bn ) z ,
n0
zR
15
(2)幂级数的代换(复合)运算 如果当 z r 时, f ( z ) an z , 又设在
n n 0
z R 内 g ( z ) 解析且满足 g( z ) r , 那么当 z R
时, f [ g ( z )] an [ g ( z )] .
N ( ), 使 n 在 n N 时成立,
则 称为复数列 { n } 当 n 时的极限 ,
记作
lim n .
n
此时也称复数列 { n } 收敛于 .
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2.复数项级数
, 1) 定义 设{ n } {an ibn } (n 1,2,)为一复数列
并且极限 lim sn s 称为级数的和.
n
如果部分和数列 { sn } 不收敛, 那 么 级 数 n发 散.
复 级 数: n an i bn
n 1
n 1
充要条件 必要条件
收敛 a 与 b 都收敛
n 1 n
n 1
n 1
…
20
二、泰勒定理
定理 设 f ( z ) 在区域 D 内解析, z0 为 D 内的一
点, d 为 z0 到 D 的边界上各点的最短距离, 那么
n 当 z z0 d 时, f ( z ) cn ( z z0 ) 成立, n 0
泰勒级数 泰勒展开式 1 ( n) 其中 cn f ( z0 ), n 0, 1, 2, n!
1 f ( )d n 于 是 f (z) ( z z ) 0 n1 n 0 2 πi K ( z 0 ) ( n) f ( z0 ) ( z z0 ) n n! n 0
推导中用到导 数的柯西公式
f
n
f n! d , n 1, 2, z n 1 2 i l z
满足 z z0 的 z , 级数必绝对收敛, 如果 在 z z0 级数发散, 那么对满足 z z0 的 ห้องสมุดไป่ตู้ , 级数必发散.
n 0
9
3)收敛圆与收敛半径 对于一个幂级数, 其收敛半径的情况有三种: (1) 对所有的正实数都收敛.即级数在复平面内处 处收敛.
(2) 对所有的正实数除 z 0 外都发散. 此时, 级数在复平面内除原点外处处发散.
2 0 , n k ; 因为级数是缺项级数 , 即C n 2 1 , n k .
R R1 R2 1
14
5)幂级数的运算与性质
(1)设 f ( z ) an z n , R r1 , g( z ) bn z n , R r2 .
n 0 n 0
f ( z ) g( z ) an z n bn z n (an bn ) z n ,
n 0 n 0 n 0
f ( z ) g( z ) ( an z n ) ( bn z n ),
n 0 n 0
R min(r1 , r2 )
因为积分变量 取在圆周K 上, 点 z 在 K 的内部,
z z0 所以 1. z0
则
1 1 z ( z0 ) ( z z0 ) 1 z0 1 z z0 1 z0
z0
.z . r .
K
D
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1 z z0 z z0 2 1 ( )( ) z0 z0 z0 z z0 n ( ) z0 1 n ( z z0 ) . n 1 n 0 ( z0 )
表达式
n 1 2 n n1
称为复数项无穷级数. 部分和 其最前面 n 项的和 sn 1 2 n 称为级数的部分和.
4
2) 复级数的收敛与发散
如果部分和数列 { sn } 收敛, 那 么 级 数 n收 敛,
n 1
开式.
间接法的优点:
不需要求各阶导数与收敛半径 , 因而比直
接展开更为简洁 , 使用范围也更为广泛 .
28
例如，
利用间接展开法求sin z 在 z 0 的泰勒展开式 .
1 iz sin z (e e iz ) 2i
1 ( iz )n ( iz )n 2i n0 n! n0 n!
2
cn (n 1)! (2) 由R lim lim n c n n! n 1 cn n! (3) 由R lim lim 0 n c n ( n 1)! n 1
13
( 4)
z
k 1
k2
1 R1 lim n n C n 故 R 1 lim 1 R2 n n C n
n
n收敛 lim n 0 n n1
5
n 1
n
n 1
3)复级数的绝对收敛与条件收敛
如果 n 收敛,
n 1
则称级数
n为绝对收敛. n 1
非绝对收敛的收敛级数称为条件收敛级数.
复 级 数: n an i bn
n 1 n 1 n 1
方法1: 比值法
cn R lim n c n 1
方法2: 根值法
R lim
1 cn
12
n n
例1 求下列幂级数的收敛半径
zn (1) 2 n 0 n
zn n ( 2) ( 3) n! z n 0 n! n 0
(4) z .
k2 k 1
cn (n 1) lim 1 解 (1) 由R lim 2 n c n n n 1
7
fn ( z ) n 1
f1 ( z ) f 2 ( z ) f n ( z )
n 1
sn ( z ) f1 ( z ) f 2 ( z ) f n ( z )
4. 幂级数
1) 在复变函数项级数中, 形如
n 2 c ( z a ) c c ( z a ) c ( z a ) n 0 1 2 n 0
n n 0
16
复变幂级数在收敛圆内的解析性
n 0
n c ( z z ) 设幂级数 n 的收敛半径 为 R, 那么 0
n f ( z ) c ( z z ) f ( z ) , 它的和函数 即 (1) n 0
是收敛圆 z a R 内的解析函数 .
n 0
(2) f ( z ) 在收敛圆 z a R 内的导数可将其幂
n 1 f ( z ) nc ( z z ) . 级数逐项求导得到, 即 n 0 n 1
求导后所得的幂级数收敛半径不变.
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(3) f ( z ) 在收敛圆内可以逐项积分, 即
c
f ( z )dz cn ( z a )n dz , c z a R.