傅里叶级数习题课

1 傅里叶级数，并由此求级数 2 的和. n 1 n π x 补2 将 f ( x ) 0 x 2π展开为以2π 为周期的 2 1 n1 傅里叶级数，并由此求级数 ( 1) 的和. 2n 1 n 1
例6 将 f ( x ) x 2 在 [ π, π]上展开成傅里叶级数，
π π [ π , π ] 上的偶函数，f x f x 例9 设 f ( x ) 是 2 2 试证 f ( x )的傅里叶系数bn 0, a2 n 0.
例10 若 ( x ) 和 ( x )为 [ π, π]上的连续函数， ( x ) ( x ) 问 ( x ) 的傅里叶系数 an , bn 与 ( x )的傅里叶系数 n , n 有什么关系?
二、题型练习 （一）傅里叶级数的和函数 （二）傅里叶级数的展开
（三）傅里叶系数的特征
二、题型练习 （一）傅里叶级数的和函数 （二）傅里叶级数的展开
（三）傅里叶系数的特征
1 π x 0 例1 设 f ( x ) 则其以 2π 为周期的 2 1 x 0 x π

1 并由此求级数 2 的和. n 1 ( 2n 1) 例7 将 f ( x ) sin ax (a 0)在 ( π, π)上展开成傅里叶级数.
注 注意分情况讨论.

二、题型练习 （一）傅里叶级数的和函数 （二）傅里叶级数的展开
（三）傅里叶系数的特征
二、题型练习 （一）傅里叶级数的和函数 （二）傅里叶级数的展开
以2π为周期 的三角级数
f(x)
1 2 an f ( x ) cos nx dx 周期延拓 0 以2 为周期 (n 0,1,2) 傅里叶级数 1 ) sin nx dx 正弦级数 奇函数 (偶函数) bn f ( x0 (余弦级数) (n 1,2)
定义在 [ π, π] 上
a0 (an cos nx bn sin nx ) 2 n 1
以2π为周期 的三角级数
傅里叶级数
以2l为周期的 三角级数
a0 nπ x nπ x (an cos bn sin ) 2 n 1 l l
变 量 代 换
f(x)
以 2l 为周期
傅里叶级数在 x π 处收敛于何值.
1 π x 0 在 [ π, π]上展开为 例2 函数 f ( x ) 1 0 x π 傅里叶级数， 写出其和函数 s( x ).
2 例3 设 f ( x ) π x x (0 x π), 又设 s( x )是 f ( x ) 在 (0, π)
第九讲 傅里叶级数习题课
傅里叶级数习题课 一、内容小结 二、题型练习
傅里叶级数习题课 一、内容小结 二、题型练习
傅里叶级数
a0 (an cos nx bn sin nx ) 2 n 1 定义在 [ π, π] 上
周期延拓
以2π为周期 的三角级数
f(x)
以2π 为周期 奇函数
内以 2π 为周期的正弦级数展开式的和函数，求当
x ( π,2π) 时 s( x ) 的表达式.
1 x 0 x 2 例4 设 f ( x ) 1 2 2x x1 2 a0 s( x ) an cos nπ x , x , 2 n 1
an 2 其中

1
0
f ( x ) cos nπ xdx, (n 0,1,2,) ,
5 求 s . 2 补1 设 f ( x ) x 2 (0 x 1), s( x ) bn sin nπ x , x ,
其中bn 2

1
n 1
0
f ( x ) sin πxdx, (n 1,2,) ,
（三）傅里叶系数的特征
例8 若 f ( x ) 在 [ π, π] 上满足 f ( x π) f ( x ) 试证 f ( x )的傅里叶系数 a0 a2n b2n 0. 补3 若 f ( x ) 在 [ π, π] 上满足 f ( x π) f ( x ) 试证 f ( x )的傅里叶系数a2 n1 b2 n1 0.
1 求 s . 2
二、题型练习 （一）傅里叶级数的和函数 （二）傅里叶级数的展开
（三）傅里叶系数的特征
二、题型练习 （一）傅里叶级数的和函数 （二）傅里叶级数的展开
（三）傅里叶系数的特征
例5 将f ( x ) 2 | x | (1 x 1) 展开成以2为周期的
1 l an f ( x ) cos nπ x dx l l l ( n 0,1,2 ) 傅里叶级数 1 l nπ x bn f ( x ) sin d x l l l (n 1,2 )
傅里叶展开
收敛定理 设f (x)是以2l 为周期的周期函数,如果它满足:
(1) 在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点,
傅里叶级数
1 π an f ( x ) cos nx dx 周期延拓 π π ( n 0,1,2 ) f(x) 以2π 为周期 傅里叶级数 周期延拓 1 π 奇函数 (偶函数) bn π f ( x ) sin nx dx 正弦级数 π (余弦级数) 奇延拓 偶延拓 (n 1,2 ) 定义在 [0, π] 上
(2) 在一个周期内至多只有有限个极值点,
则f (x) 的傅里叶级数收敛,并且: 当x是f(x)的连续点时,级数收敛于f(x); 当x是f(x)的间断点时,级数收敛于
1 f ( x ) f ( x ) 2


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傅里叶级数习题课 一、内容小结 二、题型练习
傅里叶级数习题课 一、内容小结 二、题型练习
1 π an f ( x ) cos nx dx 0 π π (n 0,1,2) 傅里叶级数 1 2 π bn 傅里叶系数 f ( x ) sin nx dx 正弦级数 0π π (n 1,2)
傅里叶级数
定义在 [ , ] 上
a0 (an cos nx bn sin nx ) 2 n 1