函数基础-基础概念篇
函数入门基础知识
函数入门基础知识第一篇：函数入门基础知识函数是计算机程序中的基本模块之一，可以将一系列代码封装起来并为其命名，以便在需要时多次执行。
在任何程序语言中，函数都是极其重要的。
本文将介绍函数的基本概念和使用方法。
函数的基本概念函数是将一组相关操作封装成一个单元的代码块，它可以接收参数、执行操作并返回结果。
这些操作通常是在函数内执行的，并且仅使用在函数定义时指定的参数。
使用函数，程序员可以将复杂的代码分解为更易于理解和维护的模块，使代码更具可读性，并减少出现错误的可能性。
在编写函数时，常常需要考虑以下几个要素：1. 函数名：用于标识函数的名称，应是具有描述性的名称，如add、calculate、print等。
2. 参数：函数可能需要接收输入参数，这些参数可以在执行函数时由调用者指定。
3. 返回值：执行函数后，可能需要返回运算结果，这个结果可以是单个值，也可以是一个数据结构。
4. 函数体：包含实现函数功能的代码块。
使用函数的基本方法1. 函数定义：定义函数时，需要指定函数名和参数，同时在函数体内编写实现函数功能的代码。
例如，下面的代码示例定义了一个函数add，用于计算两个数的和。
```def add(a, b):c = a + breturn c```2. 函数调用：在程序中调用函数时，需要使用函数名和所需参数。
例如，下面的代码调用了上面定义的add函数，并输出其返回值。
```result = add(3, 5)print(result)```在执行该代码时，控制台输出8，即调用函数add后，其返回8作为结果。
函数的进阶使用除了基本功能之外，函数还可以用于实现更复杂的操作，如递归、函数内嵌、函数式编程等。
这些高级用法可以提高程序的效率，并改善代码的可读性和可维护性。
1. 递归：函数可以直接或间接地调用自身，这种方式称为递归。
递归一般用于解决涉及到分而治之的问题，例如计算斐波那契数列。
```def fibonacci(n):if n <= 1:return nelse:return fibonacci(n-1) + fibonacci(n-2)```2. 函数内嵌：函数可以在函数体内定义另一个函数，这种方式称为函数内嵌。
一次函数知识点总结9篇
一次函数知识点总结9篇第1篇示例：一次函数是初中阶段数学学习的重要内容之一。
它是一种最简单的线性函数，也是数学中最基础的函数之一。
一次函数的定义是形如y=kx+b的函数，其中x为自变量，y为因变量，k和b为常数，且k≠0。
一次函数的图象是一条直线，因此也被称为线性函数。
下面将从定义、性质、图象、应用等几个方面，对一次函数进行总结。
一、定义：一次函数y=kx+b是一种形式简单的线性函数，其中k 和b是常数且k≠0。
其中k称为斜率，b称为截距。
斜率代表了函数图象的倾斜程度，正数表示向上倾斜，负数表示向下倾斜；截距表示了函数与y轴的交点位置，即当x=0时，函数值为b。
一次函数的自变量x的最高次数为1。
三、图象：一次函数的图象是一条直线，因此也称为线性函数。
直线的斜率决定了图象的倾斜方向，截距决定了图象与y轴的交点位置。
当斜率为正时，图象右上倾斜；当斜率为负时，图象右下倾斜。
当截距为正时，图象在y轴上方；当截距为负时，图象在y轴下方。
四、应用：一次函数在现实生活中有着广泛的应用。
比如工资和工作时间的关系，距离和时间的关系等等都可以用一次函数来表示。
在经济学中，一次函数也有着重要的应用，如成本和产量的关系、供求关系等。
一次函数的应用范围十分广泛，在生活中随处可见。
一次函数是数学中最基础的函数之一，了解一次函数的性质和图象能够帮助我们更好地理解和应用各种函数。
在学习数学中，学好一次函数是至关重要的一步，也为后续学习更高阶函数和解决实际问题打下了坚实基础。
希望通过本文的总结，能够对一次函数有更深入的了解和应用。
第2篇示例：一次函数是初中数学中的一个基础知识点，也是数学学习的入门部分。
对于学生来说，掌握一次函数的相关知识，不仅可以帮助他们更好地理解数学知识，更可以培养他们的逻辑思维能力和解决问题的能力。
接下来我们就来总结一下一次函数的相关知识点。
一、定义：在数学中，一次函数是指一个函数，其定义域是实数集合，且函数表达式为f(x) = kx + b，其中k和b为实数，且k不等于零。
Excel函数基础-基础概念篇
那么你可以每天抽出一点时间去了解基础知识，刚开始的节奏也许会比较慢，正如盖一 座大厦，花在打地基的时间会比较多一样，只有基础牢固了，以后才能有更多的进步；
每一页内容希望可以做到逐字琢磨，并加以理解和实践，看完每一章内容也许只需要花 费一两个小时，但是掌握每一章内容可能需要一到两天甚至更久，第一次不必理解所有 的文字，掌握每篇重点即可，所谓循序渐进；
不要去背概念，这是老鸟深恶痛绝的，概念背的滚瓜烂熟也未必 能懂得其中的要领，一定要在用的过程中去理解；
本篇结束时会有小结部分总结重点内容；提供部分测试问题的答 案；还有在学习中可能会遇到的问题解答；
闲话打住，下面开始了解第一个概念：什么是公式？
公式
公式是Excel中以等号开头的可以得到一个结果的等式 公式以等号(=)开头，公式中可以包括函数、运算符、引用和常量。 例如：=5+2*3、=Sheet1!$Q$26、=A1>0、=sum(A:A)，等等都是公式。 在Excel的公式中乘号（×）用星号（*）代替，除号（÷）用斜杠（/）代替；
文本运算符：&，这个符号使用shift和7键即可输入。打开一个空表， A1输入：学习，B1输入：公式函数，C1输入：=A1&B1，回车后可 以看到，这个公式会把两个单元格的内容合起来。
提示：使用&得到的值是文本类型，假如A1内容为3，B1内容为5，=A1&B1可以得到35， 但是这个35是文本类型的数字。关于数字类型第二章会详细介绍，这里了解即可。
函数的结构：函数名，一对括号，参数，逗号；每个函数的参数数量不尽相同，但是两个参数之间需要 用逗号分开，如果仅有一个参数就不需要逗号了，也有的函数是不需要参数的。
一元函数知识点大一
一元函数知识点大一一元函数是大一学习数学中的重要内容，它对于理解数学的基础概念和解决实际问题具有重要作用。
本文将从函数的定义、函数的性质以及一些常见的函数类型等方面对一元函数的知识点进行详细介绍。
一、函数的定义和性质1. 函数的定义：函数是一种特殊的关系，它将一个元素从集合A映射到集合B中的另一个元素。
用数学符号表示，函数f可表示为f: A → B。
其中，A是函数的定义域，B是函数的值域。
2. 函数的性质：- 单射性：函数的每一个定义域元素对应着唯一的值域元素，即不同的定义域元素不能映射到相同的值域元素。
- 满射性：函数的每个值域元素都有至少一个定义域元素与之对应，即函数的值域等于定义域。
- 双射性：函数既是单射又是满射的，即不同的定义域元素对应不同的值域元素，同时每个值域元素都有至少一个定义域元素与之对应。
二、一些常见的函数类型1. 线性函数：线性函数是形如y = kx + b的函数，其中k和b 是常数。
它的图像是一条直线，斜率k决定了直线的斜率，截距b 决定了直线与y轴的交点。
2. 幂函数：幂函数是形如y = x^n的函数，其中n是常数。
幂函数的图像形状根据n的正负和奇偶性质而不同，例如当n为正偶数时，图像是一个开口向上的抛物线。
3. 指数函数：指数函数是形如y = a^x的函数，其中a是常数且a>0且a≠1。
指数函数的图像是一条递增或递减的曲线，其特点是对数相等时，函数值相等。
4. 对数函数：对数函数是指以某个正数为底的对数函数。
常见的对数函数有以10为底的常用对数函数y = log10 x和以自然常数e为底的自然对数函数y = ln x。
5. 三角函数：三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数等。
它们与三角比的关系密切，广泛应用于几何、物理等领域。
三、函数的运算与图像1. 函数的运算：函数之间可以进行加减乘除等基本的数学运算。
例如，两个函数f(x)和g(x)的和可以表示为(h = f + g)，其函数值为h(x) = f(x) + g(x)。
第2章 函数概念与基本初等函数Ⅰ 第8节 函数与方程
索引
3.(2019·全国Ⅲ卷)函数f(x)＝2sin x－sin 2x在[0，2π]的零点个数为( B )
A.2
B.3
C.4
D.5
解析 由2sin x－sin 2x＝0，得sin x＝0或cos x＝1. 又x∈[0，2π]，由sin x＝0， 得x＝0，π，2π. 由cos x＝1，得x＝0，2π. ∴f(x)＝0有三个实根0，π，2π， 即f(x)在[0，2π]上有三个零点.
索引
2.二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与零点的关系
Δ＝b2－4ac
Δ>0
Δ＝0
二次函数 y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图象
与x轴的交点 _(_x_1，__0_)_，__(_x_2_，__0_) _ ___(_x_1_，__0_)___
零点个数Biblioteka 21Δ<0
无交点 0
索引
常用结论
1.若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点.函数的 零点不是一个“点”，而是方程f(x)＝0的实根.
解析 (1)f(x)＝lg x的零点是1，故(1)错误. (2)f(a)·f(b)＜0是连续函数y＝f(x)在(a，b)内有零点的充分不必要条件，故(2) 错误.
索引
2.函数f(x)＝x＋ln x－3的零点所在的区间为( C )
A.(0，1)
B.(1，2)
C.(2，3)
D.(3，4)
解析 ∵f(x)在(0，＋∞)上单调递增， 且f(2)＝ln 2－1<0，f(3)＝ln 3>0， 故f(x)在(2，3)上有唯一零点，故选C.
索引
5.( 易 错 题 ) 设 函 数
函数的基本定义
§2.1函数及其表示1．函数的基本概念(1)函数的定义给定两个非空数集A和B，如果按照某个对应关系f，对于集合A中任何一个数x，在集合B 中都存在唯一确定的数f(x)与之对应，那么就把对应关系f叫作定义在集合A上的函数，记作f：A→B，或y＝f(x)，x∈A.(2)函数的定义域、值域在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫作自变量，集合A叫作函数的定义域；集合{f(x)|x∈A}叫作函数的值域．(3)函数的三要素：定义域、对应关系和值域．(4)函数的表示法表示函数的常用方法有列表法、图像法和解析法．2．映射的概念两个非空集合A与B间存在着对应关系f，而且对于A中的每一个元素x，B中总有唯一的一个元素y与它对应，就称这种对应为从A到B的映射．3．函数解析式的求法求函数解析式常用方法有待定系数法、换元法、配凑法、消去法．4．分段函数若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数． 5．函数定义域的求法【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)f (x )＝x 2x与g (x )＝x 是同一个函数．( × )(2)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数相等．( × )(3)若函数f (x )的定义域为{x |1≤x <3}，则函数f (2x －1)的定义域为{x |1≤x <5}．( × )(4)f (x )＝⎩⎨⎧1－x 2， －1≤x ≤1，x ＋1，x >1或x <－1，则f (－x )＝⎩⎨⎧1－x 2， －1≤x ≤1，－x ＋1，x >1或x <－1.( √ )(5)函数是特殊的映射．( √ )(6)函数f (x )＝x 2＋3＋1的值域是{y |y ≥1}．( × )1．(2014·江西)函数f (x )＝ln(x 2－x )的定义域为( ) A ．(0,1)B ．[0,1]C ．(－∞，0)∪(1，＋∞)D ．(－∞，0]∪[1，＋∞)答案 C解析 要使f (x )＝ln(x 2－x )有意义，只需x 2－x >0，解得x >1或x <0.所以函数f (x )＝ln(x 2－x )的定义域为 (－∞，0)∪(1，＋∞)．2．下列函数中，不满足．．．f (2x )＝2f (x )的是( ) A ．f (x )＝|x |B ．f (x )＝x －|x |C ．f (x )＝x ＋1D ．f (x )＝－x答案 C解析 将f (2x )表示出来，看与2f (x )是否相等． 对于A ，f (2x )＝|2x |＝2|x |＝2f (x )； 对于B ，f (2x )＝2x －|2x |＝2(x －|x |)＝2f (x )； 对于C ，f (2x )＝2x ＋1≠2f (x )； 对于D ，f (2x )＝－2x ＝2f (x )，故只有C 不满足f (2x )＝2f (x )，所以选C.3．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3x ，x >0，(13)x ，x ≤0，则满足方程f (a )＝1的所有a 的值组成的集合为________．答案 {3,0}解析 当a >0时，由log 3a ＝1，解得a ＝3>0，符合题意，当a ≤0时，由(13)a ＝1，解得a ＝0，符合题意，综上所述，a ＝0或a ＝3. 4．给出下列四个命题：①函数是其定义域到值域的映射；②f (x )＝x －2＋2－x 是函数；③函数y ＝2x (x ∈N )的图像是一条直线；④函数的定义域和值域一定是无限集合． 其中真命题的序号有________． 答案 ①②解析 对于①函数是映射，但映射不一定是函数； 对于②f (x )是定义域为{2}，值域为{0}的函数； 对于③函数y ＝2x (x ∈N )的图像不是一条直线； 对于④函数的定义域和值域不一定是无限集合.题型一 函数的概念 例1 有以下判断：①f (x )＝|x |x 与g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1， x ≥0－1，x <0表示同一函数；②函数y ＝f (x )的图像与直线x ＝1的交点最多有1个； ③f (x )＝x 2－2x ＋1与g (t )＝t 2－2t ＋1是同一函数；④若f (x )＝|x －1|－|x |，则f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫12＝0. 其中正确判断的序号是________． 答案 ②③解析 对于①，由于函数f (x )＝|x |x 的定义域为{x |x ∈R 且x ≠0}，而函数g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1， x ≥0－1，x <0的定义域是R ，所以二者不是同一函数；对于②，若x ＝1不是y ＝f (x )定义域内的值，则直线x ＝1与y ＝f (x )的图像没有交点，如果x ＝1是y ＝f (x )定义域内的值，由函数定义可知，直线x ＝1与y ＝f (x )的图像只有一个交点，即y ＝f (x )的图像与直线x ＝1最多有一个交点；对于③，f (x )与g (t )的定义域、值域和对应关系均相同，所以f (x )和g (t )表示同一函数；对于④，由于f ⎝⎛⎭⎫12＝⎪⎪⎪⎪12－1－⎪⎪⎪⎪12＝0，所以f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫12＝f (0)＝1. 综上可知，正确的判断是②③.思维升华 函数的值域可由定义域和对应关系唯一确定；当且仅当定义域和对应关系都相同的函数才是同一函数．值得注意的是，函数的对应关系是就结果而言的(判断两个函数的对应关系是否相同，只要看对于函数定义域中的任意一个相同的自变量的值，按照这两个对应关系算出的函数值是否相同)．(1)下列各组函数中，表示同一函数的是( )A ．f (x )＝|x |，g (x )＝x 2B ．f (x )＝x 2，g (x )＝(x )2C ．f (x )＝x 2－1x －1，g (x )＝x ＋1D ．f (x )＝x ＋1·x －1，g (x )＝x 2－1 (2)下列四个图像中，是函数图像的是( )A ．①B ．①③④C ．①②③D ．③④答案 (1)A (2)B解析 (1)A 中，g (x )＝|x |，∴f (x )＝g (x )． B 中，f (x )＝|x |(x ∈R )，g (x )＝x (x ≥0)， ∴两函数的定义域不同．C 中，f (x )＝x ＋1 (x ≠1)，g (x )＝x ＋1(x ∈R )， ∴两函数的定义域不同．D 中，f (x )＝x ＋1·x －1(x ＋1≥0且x －1≥0)， f (x )的定义域为{x |x ≥1}； g (x )＝x 2－1(x 2－1≥0)，g (x )的定义域为{x |x ≥1或x ≤－1}． ∴两函数的定义域不同．故选A.(2)由每一个自变量x 对应唯一一个f (x )可知②不是函数图像，①③④是函数图像． 题型二 求函数的解析式例2 (1)已知f (2x＋1)＝lg x ，则f (x )＝________.(2)已知f (x )是一次函数，且满足3f (x ＋1)－2f (x －1)＝2x ＋17，则f (x )＝________. (3)已知函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，且f (x )＝2f (1x )·x －1，则f (x )＝________.答案 (1)lg2x －1(x >1) (2)2x ＋7 (3)23x ＋13解析 (1)(换元法)令t ＝2x ＋1(t >1)，则x ＝2t －1，∴f (t )＝lg2t －1，即f (x )＝lg 2x －1(x >1)． (2)(待定系数法) 设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，则3f (x ＋1)－2f (x －1)＝3ax ＋3a ＋3b －2ax ＋2a －2b ＝ax ＋5a ＋b ， 即ax ＋5a ＋b ＝2x ＋17不论x 为何值都成立，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，b ＋5a ＝17，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝7，∴f (x )＝2x ＋7. (3)(消去法)在f (x )＝2f (1x )x －1中，用1x 代替x ，得f (1x )＝2f (x )1x－1，将f (1x )＝2f (x )x －1代入f (x )＝2f (1x )x －1中，可求得f (x )＝23x ＋13.思维升华 函数解析式的求法(1)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)，可用待定系数法； (2)换元法：已知复合函数f (g (x ))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围； (3)配凑法：由已知条件f (g (x ))＝F (x )，可将F (x )改写成关于g (x )的表达式，然后以x 替代g (x )，便得f (x )的解析式；(4)消去法：已知f (x )与f ⎝⎛⎭⎫1x 或f (－x )之间的关系式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f (x )．(1)已知f (x ＋1)＝x ＋2x ，则f (x )＝________.(2)(2013·安徽)定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋1)＝2f (x )．若当0≤x ≤1时，f (x )＝x (1－x )，则当－1≤x ≤0时，f (x )＝________.(3)已知f (x )满足2f (x )＋f (1x )＝3x ，则f (x )＝________.答案 (1)x 2－1(x ≥1) (2)－x (x ＋1)2 (3)2x －1x(x ≠0) 解析 (1)设x ＋1＝t (t ≥1)，则x ＝t －1. 代入f (x ＋1)＝x ＋2x ， 得f (t )＝t 2－1(t ≥1)， ∴f (x )＝x 2－1(x ≥1)．(2)当－1≤x ≤0时，0≤x ＋1≤1， 由已知f (x )＝12f (x ＋1)＝－12x (x ＋1)．(3)把题目中的x 换成1x ，得2f (1x )＋f (x )＝3x，联立方程⎩⎨⎧2f (x )＋f (1x)＝3x ， ①2f (1x )＋f (x )＝3x，②①×2－②得3f (x )＝6x －3x (x ≠0)．即f (x )＝2x －1x (x ≠0)．题型三 求函数的定义域例3 (1)函数f (x )＝ln xx －1＋x 12的定义域为( )A ．(0，＋∞)B ．(1，＋∞)C ．(0,1)D ．(0,1)∪(1，＋∞)(2)(2013·大纲全国)已知函数f (x )的定义域为(－1,0)，则函数f (2x ＋1)的定义域为( ) A ．(－1,1) B ．(－1，－12)C ．(－1,0)D ．(12，1)答案 (1)B (2)B解析 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧x x －1>0，x ≥0，解得x >1，故函数f (x )＝ln xx －1＋x 12的定义域为(1，＋∞)．(2)由－1<2x ＋1<0，解得－1<x <－12，故函数f (2x ＋1)的定义域为(－1，－12)．思维升华 简单函数定义域的类型及求法(1)已知函数的解析式，则构造使解析式有意义的不等式(组)求解． (2)抽象函数：①若已知函数f (x )的定义域为[a ，b ]，则函数f [g (x )]的定义域由不等式a ≤g (x )≤b 求出； ②若已知函数f [g (x )]的定义域为[a ，b ]，则f (x )的定义域为g (x )在x ∈[a ，b ]时的值域．(1)已知函数f (x )的定义域是[0,2]，则函数g (x )＝f (x ＋12)＋f (x －12)的定义域是________． (2)函数y ＝ln (x ＋1)－x 2－3x ＋4的定义域为________________________________________________________________________． 答案 (1)[12，32] (2)(－1,1)解析 (1)因为函数f (x )的定义域是[0,2]，所以函数g (x )＝f (x ＋12)＋f (x －12)中的自变量x 需要满足⎩⎨⎧0≤x ＋12≤2，0≤x －12≤2，解得：12≤x ≤32，所以函数g (x )的定义域是[12，32]．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，－x 2－3x ＋4>0，得－1<x <1.题型四 分段函数例4 (1)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x >0，x ＋1，x ≤0，若f (a )＋f (1)＝0，则实数a 的值等于( )A ．－3B ．－1C ．1D ．3(2)设函数y ＝f (x )在R 上有定义．对于给定的正数M ，定义函数f M (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x )，f (x )≤M ，M ，f (x )>M ，则称函数f M (x )为f (x )的“孪生函数”．若给定函数f (x )＝2－x 2，M ＝1，则f M (0)的值为( ) A ．2B ．1C. 2D ．－ 2答案 (1)A (2)B解析 (1)由题意知f (1)＝21＝2.∵f (a )＋f (1)＝0， ∴f (a )＋2＝0.①当a >0时，f (a )＝2a ,2a ＋2＝0无解；②当a ≤0时，f (a )＝a ＋1，∴a ＋1＋2＝0，∴a ＝－3. (2)由题设f (x )＝2－x 2≤1，得 当x ≤－1或x ≥1时，f M (x )＝2－x 2； 当－1<x <1时，f M (x )＝1.∴f M (0)＝1.思维升华 (1)分段函数是一个函数，“分段求解”是解决分段函数的基本原则．(2)在求分段函数值时，一定要注意自变量的值所在的区间，再代入相应的解析式；自变量的值不确定时，要分类讨论．(1)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3x ，x >0，2x ，x ≤0，则f (f (19))＝________.(2)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x ≤0，|log 2x |，x >0，则方程f (x )＝12的解集为________．答案 (1)14 (2){－1，22，2}解析 (1)f (f (19))＝f (log 319)＝f (－2)＝2－2＝14.(2)当x ≤0时，解2x ＝12得x ＝－1；当x >0时，解|log 2x |＝12得x ＝22或x ＝ 2.所以方程f (x )＝12的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，22，2.分段函数意义理解不清致误典例：已知实数a ≠0，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋a ，x <1，－x －2a ，x ≥1，若f (1－a )＝f (1＋a )，则a 的值为________． 易错分析 本题易出现的错误主要有两个方面：(1)误以为1－a <1,1＋a >1，没有对a 进行讨论直接代入求解． (2)求解过程中忘记检验所求结果是否符合要求而致误． 解析 当a >0时，1－a <1,1＋a >1，由f (1－a )＝f (1＋a )可得2－2a ＋a ＝－1－a －2a ， 解得a ＝－32，不合题意；当a <0时，1－a >1,1＋a <1，由f (1－a )＝f (1＋a )可得－1＋a －2a ＝2＋2a ＋a ， 解得a ＝－34.答案 －34温馨提醒 (1)对于分段函数的求值问题，若自变量的取值范围不确定，应分情况求解． (2)检验所求自变量的值或范围是否符合题意求解过程中，求出的参数的值或范围并不一定符合题意，因此要检验结果是否符合要求.方法与技巧1．在判断两个函数是否为同一函数时，要紧扣两点：一是定义域是否相同；二是对应关系是否相同．2．定义域优先原则：函数定义域是研究函数的基础依据，对函数性质的讨论，必须在定义域上进行．3．函数解析式的几种常用求法：待定系数法、换元法、配凑法、消去法． 4．分段函数问题要分段求解．失误与防范求分段函数应注意的问题：在求分段函数的值f (x 0)时，首先要判断x 0属于定义域的哪个子集，然后再代入相应的关系式；分段函数的值域应是其定义域内不同子集上各关系式的取值范围的并集．A 组 专项基础训练 (时间：30分钟)1．(2014·山东)函数f (x )＝1(log 2x )2－1的定义域为( )A.⎝⎛⎭⎫0，12B ．(2，＋∞) C.⎝⎛⎭⎫0，12∪(2，＋∞)D.⎝⎛⎦⎤0，12∪[2，＋∞) 答案 C解析 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧x >0，(log 2x )2>1， 解得x >2或0<x <12.故选C.2．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≤1，2x ，x >1，则f (f (3))等于( )A.15B ．3C.23D.139答案 D解析 由题意知f (3)＝23，f ⎝⎛⎭⎫23＝⎝⎛⎭⎫232＋1＝139，∴f (f (3))＝f ⎝⎛⎭⎫23＝139.3．若函数y ＝f (x )的定义域为M ＝{x |－2≤x ≤2}，值域为N ＝{y |0≤y ≤2}，则函数y ＝f (x )的图像可能是( )答案 B解析 可以根据函数的概念进行排除，使用筛选法得到答案．4．设g (x )＝2x ＋3，g (x ＋2)＝f (x )，则f (x )等于( )A ．－2x ＋1B ．2x －1C ．2x －3D ．2x ＋7 答案 D解析 f (x )＝g (x ＋2)＝2(x ＋2)＋3＝2x ＋7.5．已知函数f (x )满足f (2x ＋|x |)＝log 2x |x |，则f (x )的解析式是( ) A ．f (x )＝log 2xB ．f (x )＝－log 2xC ．f (x )＝2－xD ．f (x )＝x －2答案 B解析 根据题意知x >0，所以f (1x )＝log 2x ，则f (x )＝log 21x＝－log 2x . 6．下列对应关系是集合P 上的函数的是________．(填序号)①P ＝Z ，Q ＝N ＋，对应关系f ：对集合P 中的元素取绝对值与集合Q 中的元素相对应； ②P ＝{－1,1，－2,2}，Q ＝{1,4}，对应关系f ：x →y ＝x 2，x ∈P ，y ∈Q ；③P ＝{三角形}，Q ＝{x |x >0}，对应关系f ：对集合P 中的三角形求面积与集合Q 中的元素对应．答案 ②解析 由于在①中，集合P 中的元素0在集合Q 中没有对应元素，并且③中的集合P 不是数集，从而知只有②正确．7．已知函数f (x )＝log 21x ＋1，f (a )＝3，则a ＝________. 答案 －78解析 由题意可得log 21a ＋1＝3，所以1a ＋1＝23，解得a ＝－78. 8．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x ≤2，f (x －2)，x >2，则f (log 27)＝________. 答案 74解析 f (log 27)＝f (log 27－2)＝f (log 274)＝27log 42＝74. 9．已知f (x )是二次函数，若f (0)＝0，且f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1，求函数f (x )的解析式．解 设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，又f (0)＝0，∴c ＝0，即f (x )＝ax 2＋bx .又∵f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1.∴a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＝ax 2＋bx ＋x ＋1.∴(2a ＋b )x ＋a ＋b ＝(b ＋1)x ＋1，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＋b ＝b ＋1，a ＋b ＝1，解得⎩⎨⎧ a ＝12，b ＝12.∴f (x )＝12x 2＋12x . 10．某人开汽车沿一条直线以60km /h 的速度从A 地到150 km 远处的B 地．在B 地停留1 h 后，再以50 km/h 的速度返回A 地，把汽车与A 地的距离x (km)表示为时间t (h)(从A 地出发开始)的函数，并画出函数的图像．解 x ＝⎩⎪⎨⎪⎧60t ， 0≤t ≤52，150， 52<t ≤72，150－50，(t －72) 72<t ≤132. 图像如右图所示． B 组 专项能力提升 (时间：15分钟) 11．已知f (x －1x )＝x 2＋1x 2，则f (3)＝________. A ．11B ．10C ．12D ．9 答案 A解析 ∵f (x －1x )＝x 2＋1x 2＝(x －1x)2＋2， ∴f (x )＝x 2＋2(x ≠0)，∴f (3)＝32＋2＝11.12．(微课)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－(12)x ，a ≤x <0，－x 2＋2x ，0≤x ≤4的值域是[－8,1]，则实数a的取值范围是( )A ．(－∞，－3]B ．[－3,0)C ．[－3，－1]D ．{－3} 答案 B解析 当0≤x ≤4时，f (x )∈[－8,1]；当a ≤x <0时，f (x )∈[－(12)a ，－1)， 所以[－12a ，－1)⊆[－8,1]，－8≤－12a <－1， 即－3≤a <0.13．已知f (x )＋2f (－x )＝3x －2，则f (x )＝______.答案 －3x －23解析 由f (x )＋2f (－x )＝3x －2，①可得f (－x )＋2f (x )＝－3x －2，②①－②×2得，－3f (x )＝3x －2－2(－3x －2)＝9x ＋2，∴f (x )＝－3x －23. 14．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4x ＋6，x ≤0，－x ＋6，x >0，则不等式f (x )<f (－1)的解集是____________________． 答案 (－3，－1)∪(3，＋∞)解析 f (－1)＝3，f (x )<3，当x ≤0时，x 2＋4x ＋6<3，解得x ∈(－3，－1)；当x >0时，－x ＋6<3，解得x ∈(3，＋∞)，故不等式的解集为(－3，－1)∪(3，＋∞)．15.行驶中的汽车在刹车时由于惯性作用，要继续往前滑行一段距离才能停下，这段距离叫作刹车距离．在某种路面上，某种型号汽车的刹车距离y (米)与汽车的车速x (千米/时)满足下列关系：y ＝x 2200＋mx ＋n (m ，n 是常数)．如图是根据多次实验数据绘制的刹车距离y (米)与汽车的车速x (千米/时)的关系图．(1)求出y 关于x 的函数表达式；(2)如果要求刹车距离不超过25.2米，求行驶的最大速度．解 (1)由题意及函数图像，得⎩⎨⎧ 402200＋40m ＋n ＝8.4，602200＋60m ＋n ＝18.6，解得m ＝1100，n ＝0， ∴y ＝x 2200＋x 100(x ≥0)． (2)令x 2200＋x 100≤25.2， 得－72≤x ≤70. ∵x ≥0，∴0≤x ≤70.故行驶的最大速度是70千米/时．。
第2章 函数概念与基本初等函数Ⅰ 第5节 指数与指数函数
索引
(2)如果函数y＝|3x－1|＋m的图象不经过第二象限，则实数m的取值范围是
___(_－__∞__，__－__1_]___.
解析 在同一平面直角坐标系中画出y＝|3x－1|与y ＝－m的图象，如图所示. 由函数y＝|3x－1|＋m的图象不经过第二象限， 则y＝|3x－1|与y＝－m在第二象限没有交点， 由图象知－m≥1，即m≤－1.
索引
2.分数指数幂 规定：正数的正分数指数幂的意义是 amn＝__n_a_m(a>0，m，n∈N*，且 n>1)； 1 正数的负分数指数幂的意义是 a－mn＝_n__a_m(a>0，m，n∈N*，且 n>1)；0 的正 分数指数幂等于 0；0 的负分数指数幂__没__有__意__义__.
索引
3.指数幂的运算性质 实数指数幂的运算性质：aras＝__a_r＋__s _；(ar)s＝__a_r_s ；(ab)r＝_a_r_b_r_，其中a>0， b>0，r，s∈R.
索引
(3)函数 y＝14x－12x＋1 在区间[－3，2]上的值域是__34_，__5_7__. 解析 因为 x∈[－3，2]，所以若令 t＝12x，则 t∈14，8， 故 y＝t2－t＋1＝t－212＋43. 当 t＝12时，ymin＝34； 当 t＝8 时，ymax＝57. 故所求函数值域为34，57.
索引
角度2 解简单的指数方程或不等式
例
3 (1)已知实数 1
a≠1，函数
f(x)＝42xa， －x，x≥x<00，，若
f(1－a)＝f(a－1)，则
a
的值为
__2______.
解析 当 a<1 时，41－a＝21，解得 a＝12； 当 a>1 时，代入不成立，故 a 的值为12.
函数概念与基本初等函数(最全)
（二）指数函数
1．了解指数函数模型的实际背景。
2．理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算。
3．理解指数函数的概念，会求与指数函数性质有关的问题。
4．知道指数函数是一类重要的函数模型。
（ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ）对数函数
1．理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用。
③实际应用问题的定义域，就是要使得有意义的自变量的取值集合.
二、值域：
1．函数y＝f(x)中，与自变量x的值的集合.
2．常见函数的值域求法，就是优先考虑，取决于，常用的方法有：①观察法；②配方法；③反函数法；④不等式法；⑤单调性法；⑥数形法；⑦判别式法；⑧有界性法；⑨换元法（又分为法和法）
例如：①形如y＝ ，可采用法；②y＝ ，可采用法或法；③y＝a[f(x)]2＋bf(x)＋c，可采用法；④y＝x－ ，可采用法；⑤y＝x－ ，可采用法；⑥y＝ 可采用法等.
3．在简单实际问题中建立函数式，首先要选定变量，然后寻找等量关系，求得函数的解析式，还要注意定义域．若函数在定义域的不同子集上的对应法则不同，可用分段函数来表示．
第2课时函数的定义域和值域
一、定义域：
1．函数的定义域就是使函数式的集合.
2．常见的三种题型确定定义域：
①已知函数的解析式，就是.
②复合函数f[g(x)]的有关定义域，就要保证内函数g(x)的域是外函数f(x)的域.
解：B
例3求函数 的值域。
解：（直接法）因为 ，所以 ，所以函数的值域为
方法小结：对于一些比较简单的函数，如正比例,反比例,一次函数,指数函数,对数函数,等等,
一元函数积分的基本概念及解析方法
一元函数积分的基本概念及解析方法积分是微积分学中的重要概念之一，它广泛应用于各个领域中的计算和解决问题。
而其中一元函数积分是最基础也是最常见的类型之一。
在本篇回答中，我们将介绍一元函数积分的基本概念和解析方法。
一、一元函数积分的基本概念1. 定义：一元函数的积分是对给定函数在某一区间上进行求和的一种运算。
通常用∫f(x)dx表示，其中∫是积分符号，f(x)是被积函数，dx表示自变量。
2. 不定积分与定积分：一元函数积分可以分为不定积分和定积分两种形式。
- 不定积分：表示对被积函数进行积分得到的一类函数。
不定积分的结果常常带有一个不确定的常数C，称为积分常数。
不定积分通常表示为F(x) + C的形式。
- 定积分：表示对被积函数在某一区间上进行积分得到的一个具体的数值。
定积分的结果是一个确定的数值。
3. 基本性质：一元函数积分具有以下基本性质：- 线性性质：若f(x)和g(x)是连续函数，a和b是常数，则有∫(af(x)+bg(x))dx = a∫f(x)dx + b∫g(x)dx。
- 区间可加性：若f(x)在区间[a, b]上连续，则有∫[a, b]f(x)dx = ∫[a, c]f(x)dx + ∫[c, b]f(x)dx。
- 基本运算法则：常见函数的不定积分有一些基本的运算法则，如幂函数积分、三角函数积分等，可以通过表格或特定的公式进行求解。
二、一元函数积分的解析方法1. 基本积分公式：一些基本的不定积分可以通过积分表格中的基本积分公式进行求解。
例如：- ∫x^ndx = x^(n+1)/(n+1) + C，其中n≠-1。
- ∫1/xdx = ln|x| + C。
2. 埃尔米特法则：该方法适用于只有有限个特殊点的函数。
根据积分的线性性质和区间可加性，将被积函数划分为若干个小区间，然后对每个小区间使用基本积分公式求解。
3. 分部积分法：对于两个函数相乘，可以通过分部积分法求解。
该方法得到的结果通常需要通过多次应用分部积分法得到。
高中数学知识点总结(第二章 函数的概念与基本初等函数Ⅰ第五节 函数的图象)
第五节 函数的图象一、基础知识1．利用描点法作函数图象 其基本步骤是列表、描点、连线． 首先：(1)确定函数的定义域； (2)化简函数解析式；(3)讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性等)；其次，列表，描点，连线． 2．函数图象的变换 (1)平移变换①y ＝f (x )的图象――――――――→a >0，右移a 个单位a <0，左移|a |个单位y ＝f (x －a )的图象； ②y ＝f (x )的图象――――――――→b >0，上移b 个单位b <0，下移|b |个单位y ＝f (x )＋b 的图象． “左加右减，上加下减”，左加右减只针对x 本身，与x 的系数,无关，上加下减指的是在f x 整体上加减.(2)对称变换①y ＝f (x )的图象―――――→关于x 轴对称 y ＝－f (x )的图象； ②y ＝f (x )的图象―――――→关于y 轴对称 y ＝f (－x )的图象； ③y ＝f (x )的图象――――――→关于原点对称y ＝－f (－x )的图象； ④y ＝a x (a >0且a ≠1)的图象―――――――→关于直线y ＝x 对称y ＝log a x (a >0且a ≠1)的图象． (3)伸缩变换①y ＝f (x )的图象―――――――――――――――――――→a >1，横坐标缩短为原来的1a 纵坐标不变0<a <1，横坐标伸长为原来的1a倍，纵坐标不变y ＝f (ax )的图象． ②y ＝f (x )的图象――――――――――――――――――――→a >1，纵坐标伸长为原来的a 倍，横坐标不变0<a <1，纵坐标缩短为原来的a 倍，横坐标不变y ＝af (x )的图象． (4)翻折变换 ①y ＝f (x )的图象――→x 轴下方部分翻折到上方x 轴及上方部分不变y ＝|f (x )|的图象；②y ＝f (x )的图象――→y 轴右侧部分翻折到左侧原y 轴左侧部分去掉，右侧不变y ＝f (|x |)的图象．二、常用结论1．函数图象自身的轴对称(1)f (－x )＝f (x )⇔函数y ＝f (x )的图象关于y 轴对称；(2)函数y ＝f (x )的图象关于x ＝a 对称⇔f (a ＋x )＝f (a －x )⇔f (x )＝f (2a －x )⇔f (－x )＝f (2a ＋x )；(3)若函数y ＝f (x )的定义域为R ，且有f (a ＋x )＝f (b －x )，则函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝a ＋b 2对称．2．函数图象自身的中心对称(1)f (－x )＝－f (x )⇔函数y ＝f (x )的图象关于原点对称；(2)函数y ＝f (x )的图象关于(a,0)对称⇔f (a ＋x )＝－f (a －x )⇔f (x )＝－f (2a －x )⇔f (－x )＝－f (2a ＋x )；(3)函数y ＝f (x )的图象关于点(a ，b )成中心对称⇔f (a ＋x )＝2b －f (a －x )⇔f (x )＝2b －f (2a －x )．3．两个函数图象之间的对称关系(1)函数y ＝f (a ＋x )与y ＝f (b －x )的图象关于直线x ＝b －a 2对称(由a ＋x ＝b －x 得对称轴方程)；(2)函数y ＝f (x )与y ＝f (2a －x )的图象关于直线x ＝a 对称； (3)函数y ＝f (x )与y ＝2b －f (－x )的图象关于点(0，b )对称； (4)函数y ＝f (x )与y ＝2b －f (2a －x )的图象关于点(a ，b )对称． 考点一 作函数的图象[典例] 作出下列函数的图象．(1)y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋3，x ≤1，－x 2＋4x －2，x >1；(2)y ＝2x ＋2； (3)y ＝x 2－2|x |－1.[解] (1)分段分别画出函数的图象，如图①所示．(2)y ＝2x＋2的图象是由y ＝2x 的图象向左平移2个单位长度得到的，其图象如图②所示．(3)y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x －1，x ≥0，x 2＋2x －1，x <0，其图象如图③所示．[变透练清]1.[变条件]若本例(2)变为y ＝⎝⎛⎭⎫12x －2，试作出其图象．解：y ＝⎝⎛⎭⎫12x －2的图象是由y ＝⎝⎛⎭⎫12x 的图象向右平移2个单位长度得到的，其图象如图 所示．2.[变条件]若本例(3)变为y ＝|x 2－2x －1|，试作出其图象．解：y ＝⎩⎨⎧x 2－2x －1，x ≥1＋2或x ≤1－2，－x 2＋2x ＋1，1－2<x <1＋2，其图象如图所示．考点二 函数图象的识辨[例1] (2018·全国卷Ⅱ)函数f (x )＝e x －e －xx 2的图象大致为( )[解析] ∵y ＝e x －e －x 是奇函数，y ＝x 2是偶函数，∴f (x )＝e x －e －xx 2是奇函数，图象关于原点对称，排除A 选项；当x ＝1时，f (1)＝e －1e >0，排除D 选项；又e>2，∴1e <12，∴e －1e >1，排除C 选项．故选B.[答案] B[例2] 已知定义在区间[0,4]上的函数y ＝f (x )的图象如图所示，则y ＝－f (2－x )的图象为( )[解析] 法一：先作出函数y ＝f (x )的图象关于y 轴的对称图象，得到y ＝f (－x )的图象； 然后将y ＝f (－x )的图象向右平移2个单位，得到y ＝f (2－x )的图象；再作y ＝f (2－x )的图象关于x 轴的对称图象，得到y ＝－f (2－x )的图象．故选D.法二：先作出函数y ＝f (x )的图象关于原点的对称图象，得到y ＝－f (－x )的图象；然后将y ＝－f (－x )的图象向右平移2个单位，得到y ＝－f (2－x )的图象．故选D.[答案] D [解题技法]1．函数图象与解析式之间的4种对应关系(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置，从函数的值域(或有界性)，判断图象的上下位置；(2)从函数的单调性，判断图象的升降变化趋势；(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性：奇函数的图象关于原点对称，在对称的区间上单调性一致，偶函数的图象关于y 轴对称，在对称的区间上单调性相反；(4)从函数的周期性，判断图象是否具有循环往复特点． 2．通过图象变换识别函数图象要掌握的两点(1)熟悉基本初等函数的图象(如指数函数、对数函数等函数的图象)； (2)了解一些常见的变换形式，如平移变换、翻折变换． 3．借助动点探究函数图象解决此类问题可以根据已知条件求出函数解析式后再判断函数的图象，也可以采用“以静观动”，即将动点处于某些特殊的位置处考察图象的变化特征，从而作出选择．[题组训练]1．(2019•郑州调研)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ≥01x ，x <0，g (x )＝－f (－x )，则函数g (x )的图象是( )解析：选D 法一：由题设得函数g (x )＝－f (－x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2，x ≤0，1x ，x >0，据此可画出该函数的图象，如题图选项D 中图象．故选D.法二：先画出函数f (x )的图象，如图1所示，再根据函数f (x )与－f (－x )的图象关于坐标原点对称，即可画出函数－f (－x )，即g (x )的图象，如图2所示．故选D.2.如图，不规则四边形ABCD 中，AB 和CD 是线段，AD 和BC 是圆弧，直线l ⊥AB 交AB 于E ，当l 从左至右移动(与线段AB 有公共点)时，把四边形ABCD 分成两部分，设AE ＝x ，左侧部分的面积为y ，则y 关于x 的图象大致是( )解析：选C 当l 从左至右移动时，一开始面积的增加速度越来越快，过了D 点后面积保持匀速增加，图象呈直线变化，过了C 点后面积的增加速度又逐渐减慢．故选C.考点三 函数图象的应用考法(一) 研究函数的性质[典例] 已知函数f (x )＝x |x |－2x ，则下列结论正确的是( ) A ．f (x )是偶函数，递增区间是(0，＋∞) B ．f (x )是偶函数，递减区间是(－∞，1) C ．f (x )是奇函数，递减区间是(－1,1) D ．f (x )是奇函数，递增区间是(－∞，0)[解析] 将函数f (x )＝x |x |－2x 去掉绝对值得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ≥0，－x 2－2x ，x <0，画出函数f (x )的图象，如图，观察图象可知，函数f (x )的图象关于原点对称，故函数f (x )为奇函数，且在(－1,1)上单调递减．[答案] C[解题技法] 利用函数的图象研究函数的性质对于已知或解析式易画出其在给定区间上图象的函数，其性质常借助图象研究： (1)从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值； (2)从图象的对称性，分析函数的奇偶性；(3)从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性．考法(二) 在不等式中的应用[典例] 若不等式(x －1)2<log a x (a >0，且a ≠1)在x ∈(1,2)内恒成立，则实数a 的取值范围为( )A ．(1,2] B.⎝⎛⎭⎫22，1C ．(1，2)D ．(2，2)[解析] 要使当x ∈(1,2)时，不等式(x －1)2<log a x 恒成立，只需函数y ＝(x －1)2在(1,2)上的图象在y ＝log a x 的图象的下方即可．当0<a <1时，显然不成立；当a >1时，如图，要使x ∈(1,2)时，y ＝(x －1)2的图象在y ＝log a x 的图象的下方，只需(2－1)2≤log a 2，即log a 2≥1，解得1<a ≤2，故实数a 的取值范围是(1,2]．[答案] A [解题技法]当不等式问题不能用代数法求解但其与函数有关时，常将不等式问题转化为两函数图象的上下关系问题，从而利用数形结合法求解．[题组训练]1．设奇函数f (x )在(0，＋∞)上为增函数，且f (1)＝0，则不等式f x －f －x x <0的解集为( )A ．(－1,0)∪(1，＋∞)B ．(－∞，－1)∪(0,1)C ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)D ．(－1,0)∪(0,1)解析：选D 因为f (x )为奇函数， 所以不等式f x－f －xx<0可化为f xx<0， 即xf (x )<0，f (x )的大致图象如图所示． 所以xf (x )<0的解集为(－1,0)∪(0,1)．2．对a ，b ∈R ，记max{a ，b }＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≥b ，b ，a <b ，函数f (x )＝max{|x ＋1|，|x －2|}(x ∈R)的最小值是________．解析：函数f (x )＝max{|x ＋1|，|x －2|}(x ∈R)的图象如图所示， 由图象可得，其最小值为32.答案：323．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧log 2⎝⎛⎭⎫－x2，x ≤－1，－13x 2＋43x ＋23，x >－1，若f (x )在区间[m,4]上的值域为[－1,2]，则实数m 的取值范围为________．解析：作出函数f (x )的图象，当x ≤－1时，函数f (x )＝log 2⎝⎛⎭⎫－x2单调递减，且最小值为f (－1)＝－1，则令log 2⎝⎛⎭⎫－x 2＝2，解得x ＝－8；当x >－1时，函数f (x )＝－13x 2＋43x ＋23在(－1,2)上单调递增，在[2，＋∞)上单调递减，则最大值为f (2)＝2，又f (4)＝23<2，f (－1)＝－1，故所求实数m的取值范围为[－8，－1]．答案：[－8，－1][课时跟踪检测]A级1．为了得到函数y＝2x－2的图象，可以把函数y＝2x的图象上所有的点()A．向右平行移动2个单位长度B．向右平行移动1个单位长度C．向左平行移动2个单位长度D．向左平行移动1个单位长度解析：选B因为y＝2x－2＝2(x－1)，所以只需将函数y＝2x的图象上所有的点向右平移1个单位长度，即可得到y＝2(x－1)＝2x－2的图象．2．若函数y＝f(x)的图象如图所示，则函数y＝－f(x＋1)的图象大致为()解析：选C要想由y＝f(x)的图象得到y＝－f(x＋1)的图象，需要先将y＝f(x)的图象关于x轴对称得到y＝－f(x)的图象，然后向左平移1个单位长度得到y＝－f(x＋1)的图象，根据上述步骤可知C正确．3．(2018·浙江高考)函数y＝2|x|sin 2x的图象可能是()解析：选D 由y ＝2|x |sin 2x 知函数的定义域为R ， 令f (x )＝2|x |sin 2x ，则f (－x )＝2|－x |sin(－2x )＝－2|x |sin 2x . ∵f (x )＝－f (－x )，∴f (x )为奇函数． ∴f (x )的图象关于原点对称，故排除A 、B. 令f (x )＝2|x |sin 2x ＝0，解得x ＝k π2(k ∈Z)，∴当k ＝1时，x ＝π2，故排除C ，选D.4．下列函数y ＝f (x )图象中，满足f ⎝⎛⎭⎫14＞f (3)＞f (2)的只可能是( )解析：选D 因为f ⎝⎛⎭⎫14＞f (3)＞f (2)，所以函数f (x )有增有减，排除A 、B.在C 中，f ⎝⎛⎭⎫14＜f (0)＝1，f (3)＞f (0)，即f ⎝⎛⎭⎫14＜f (3)，排除C ，选D.5.已知函数f (x )的图象如图所示，则f (x )的解析式可以是( ) A ．f (x )＝ln|x |xB ．f (x )＝e xxC ．f (x )＝1x2－1D ．f (x )＝x －1x解析：选A 由函数图象可知，函数f (x )为奇函数，应排除B 、C.若函数为f (x )＝x －1x ，则x →＋∞时，f (x )→＋∞，排除D.6．已知函数y ＝f (x ＋1)的图象过点(3,2)，则函数y ＝f (x )的图象关于x 轴的对称图形一定过点________．解析：因为函数y ＝f (x ＋1)的图象过点(3,2)，所以函数y ＝f (x )的图象一定过点(4,2)，所以函数y ＝f (x )的图象关于x 轴的对称图形一定过点(4，－2)．答案：(4，－2)7.如图，定义在[－1，＋∞)上的函数f (x )的图象由一条线段及抛物线的一部分组成，则f (x )的解析式为________．解析：当－1≤x ≤0时，设解析式为f (x )＝kx ＋b (k ≠0)，则⎩⎪⎨⎪⎧ －k ＋b ＝0，b ＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝1，b ＝1.∴当－1≤x ≤0时，f (x )＝x ＋1.当x ＞0时，设解析式为f (x )＝a (x －2)2－1(a ≠0)， ∵图象过点(4,0)， ∴0＝a (4－2)2－1，∴a ＝14.故函数f (x )的解析式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，－1≤x ≤0，14x －22－1，x ＞0. 答案：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，－1≤x ≤0，14x －22－1，x ＞0 8．如图，函数f (x )的图象为折线ACB ，则不等式f (x )≥log 2(x ＋1)的解集为________．解析：令y ＝log 2(x ＋1)，作出函数y ＝log 2(x ＋1)图象如图所示．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2，y ＝log 2x ＋1得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1. ∴结合图象知不等式f (x )≥log 2(x ＋1)的解集为{x |－1<x ≤1}． 答案：{x |－1<x ≤1} 9．画出下列函数的图象． (1)y ＝e ln x ； (2)y ＝|x －2|·(x ＋1)．解：(1)因为函数的定义域为{x |x >0}且y ＝e ln x ＝x (x >0)， 所以其图象如图所示． (2)当x ≥2，即x －2≥0时，y ＝(x －2)(x ＋1)＝x 2－x －2＝⎝⎛⎭⎫x －122－94； 当x <2，即x －2<0时，y ＝－(x －2)(x ＋1)＝－x 2＋x ＋2＝－⎝⎛⎭⎫x －122＋94. 所以y ＝⎩⎨⎧⎝⎛⎭⎫x －122－94，x ≥2，－⎝⎛⎭⎫x －122＋94，x <2.这是分段函数，每段函数的图象可根据二次函数图象作出(其图象如图所示)．10．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3－x 2，x ∈[－1，2]，x －3，x ∈2，5].(1)在如图所示给定的直角坐标系内画出f (x )的图象；(2)写出f (x )的单调递增区间；(3)由图象指出当x 取什么值时f (x )有最值．解：(1)函数f (x )的图象如图所示．(2)由图象可知，函数f (x )的单调递增区间为[－1,0]，[2,5]．(3)由图象知当x ＝2时，f (x )min ＝f (2)＝－1，当x ＝0时，f (x )max ＝f (0)＝3.B 级1．若函数f (x )是周期为4的偶函数，当x ∈[0,2]时，f (x )＝x －1，则不等式xf (x )>0在 (－1,3)上的解集为( )A ．(1,3)B ．(－1,1)C ．(－1,0)∪(1,3)D ．(－1,0)∪(0,1)解析：选C 作出函数f (x )的图象如图所示．当x ∈(－1,0)时，由xf (x )>0得x ∈(－1,0)；当x ∈(0,1)时，由xf (x )>0得x ∈∅；当x ∈(1,3)时，由xf (x )>0得x ∈(1,3)．故x ∈(－1,0)∪(1,3)．2．(2019·山西四校联考)已知函数f (x )＝|x 2－1|，若0<a <b 且f (a )＝f (b )，则b 的取值范围是( )A ．(0，＋∞)B ．(1，＋∞)C ．(1，2)D ．(1,2) 解析：选C 作出函数f (x )＝|x 2－1|在区间(0，＋∞)上的图象如图所示，作出直线y ＝1，交f (x )的图象于点B ，由x 2－1＝1可得x B ＝2，结合函数图象可得b 的取值范围是(1，2)．3．已知函数f (x )的图象与函数h (x )＝x ＋1x＋2的图象关于点A (0,1)对称． (1)求f (x )的解析式；(2)若g (x )＝f (x )＋a x，且g (x )在区间(0,2]上为减函数，求实数a 的取值范围． 解：(1)设f (x )图象上任一点P (x ，y )，则点P 关于(0,1)点的对称点P ′(－x,2－y )在h (x )的图象上，即2－y ＝－x －1x ＋2，∴y ＝f (x )＝x ＋1x(x ≠0)． (2)g (x )＝f (x )＋a x ＝x ＋a ＋1x ，∴g ′(x )＝1－a ＋1x2. ∵g (x )在(0,2]上为减函数，∴1－a ＋1x2≤0在(0,2]上恒成立，即a ＋1≥x 2在(0,2]上恒成立， ∴a ＋1≥4，即a ≥3，故实数a 的取值范围是[3，＋∞)．4．若关于x 的不等式4a x －1<3x －4(a >0，且a ≠1)对于任意的x >2恒成立，求a 的取值范围．解：不等式4a x －1<3x －4等价于a x －1<34x －1. 令f (x )＝a x －1，g (x )＝34x －1， 当a >1时，在同一坐标系中作出两个函数的图象如图(1)所示，由图知不满足条件； 当0<a <1时，在同一坐标系中作出两个函数的图象如图(2)所示，当x ≥2时，f (2)≤g (2)，即a 2－1≤34×2－1， 解得a ≤12，所以a 的取值范围是⎝⎛⎦⎤0，12.。
高中试卷-第3单元 函数概念与性质(基础篇)(含答案)
第3单元函数概念与性质（基础篇）基础知识讲解1．分段函数的解析式求法及其图象的作法【基础知识】分段函数是定义在不同区间上解析式也不相同的函数．若函数在定义域的不同子集上的对应法则不同，可用几个式子来表示函数，这种形式的函数叫分段函数．已知一个分段函数在某一区间上的解析式，求此函数在另一区间上的解析式，这是分段函数中最常见的问题．【技巧方法】求解函数解析式的几种常用方法1、待定系数法，如果已知函数解析式的构造时，用待定系数法；2、换元法或配凑法，已知复合函数f[g（x）]的表达式可用换元法，当表达式较简单时也可用配凑法；3、消参法，若已知抽象的函数表达式，则用解方程组消参的方法求解f（x）；另外，在解题过程中经常用到分类讨论、等价转化等数学思想方法．分段函数是一类重要的函数模型．解决分段函数问题，关键抓住在不同的段内研究问题．2．函数单调性的性质与判断【基础知识】一般地，设函数f（x）的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1，x2，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），那么就说函数f（x）在区间D上是增函数；当x1＞x2时，都有f（x1）＜f（x2），那么就说函数f（x）在区间D上是减函数．若函数f（x）在区间D上是增函数或减函数，则称函数f（x）在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y＝f（x）的单调区间．【技巧方法】证明函数的单调性用定义法的步骤：①取值；②作差；③变形；④确定符号；⑤下结论．利用函数的导数证明函数单调性的步骤：第一步：求函数的定义域．若题设中有对数函数一定先求定义域，若题设中有三次函数、指数函数可不考虑定义域．第二步：求函数f（x）的导数f′（x），并令f′（x）＝0，求其根．第三步：利用f′（x）＝0的根和不可导点的x的值从小到大顺次将定义域分成若干个小开区间，并列表．第四步：由f′（x）在小开区间内的正、负值判断f（x）在小开区间内的单调性；求极值、最值．第五步：将不等式恒成立问题转化为f（x）max≤a或f（x）min≥a，解不等式求参数的取值范围．第六步：明确规范地表述结论3．复合函数的单调性【基础知识】复合函数就是由两个或两个以上的基本函数构成，这种函数先要考虑基本函数的单调性，然后再考虑整体的单调性．平常常见的一般以两个函数的为主．【技巧方法】求复合函数y＝f（g（x））的单调区间的步骤：（1）确定定义域；（2）将复合函数分解成两个基本初等函数；（3）分别确定两基本初等函数的单调性；（4）按“同增异减”的原则，确定原函数的单调区间．4．奇函数、偶函数【奇函数】如果函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝﹣f（x），那么函数f（x）就叫做奇函数，其图象特点是关于（0，0）对称．【技巧方法】①如果函数定义域包括原点，那么运用f（0）＝0解相关的未知量；②若定义域不包括原点，那么运用f（x）＝﹣f（﹣x）解相关参数；③已知奇函数大于0的部分的函数表达式，求它的小于0的函数表达式，如奇函数f（x），当x＞0时，f（x）＝x2+x那么当x＜0时，﹣x＞0，有f（﹣x）＝（﹣x）2+（﹣x）⇒﹣f（x）＝x2﹣x⇒f（x）＝﹣x2+x 【偶函数】如果函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝f（x），那么函数f（x）就叫做偶函数，其图象特点是关于y轴对称．【技巧方法】①运用f（x）＝f（﹣x）求相关参数，如y＝ax3+bx2+cx+d，那么a+c是多少？②结合函数图象关于y轴对称求函数与x轴的交点个数或者是某个特定的值，如偶函数f（﹣2）＝0，周期为2，那么在区间（﹣2，8）函数与x轴至少有几个交点．5．函数奇偶性的性质与判断【基础知识】①如果函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝﹣f （x），那么函数f（x）就叫做奇函数，其图象特点是关于（0，0）对称．②如果函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝f（x），那么函数f（x）就叫做偶函数，其图象特点是关于y轴对称．【技巧方法】①奇函数：如果函数定义域包括原点，那么运用f（0）＝0解相关的未知量；②奇函数：若定义域不包括原点，那么运用f（x）＝﹣f（﹣x）解相关参数；③偶函数：在定义域内一般是用f（x）＝f（﹣x）这个去求解；④对于奇函数，定义域关于原点对称的部分其单调性一致，而偶函数的单调性相反．6.函数解析式的求解及常用方法【基础知识】通过求解函数的解析式中字母的值，得到函数的解析式的过程就是函数的解析式的求解．【技巧方法】求解函数解析式的几种常用方法主要有1、换元法；2、待定系数法；3、凑配法；4、消元法；5、赋值法等．7.幂函数的单调性、奇偶性及其应用【基础知识】1.幂函数定义：一般地，函数y＝x a（a∈R）叫做幂函数，其中x是自变量，a是常数．（1）指数是常数；（2）底数是自变量；（3）函数式前的系数都是1；（4）形式都是y ＝x a ，其中a 是常数．8.幂函数的性质【基础知识】所有的幂函数在（0，+∞）上都有各自的定义，并且图象都过点（1，1）．（1）当a ＞0时，幂函数y ＝x a 有下列性质：a 、图象都通过点（1，1）（0，0）；b 、在第一象限内，函数值随x 的增大而增大；c 、在第一象限内，a ＞1时，图象开口向上；0＜a ＜1时，图象开口向右；d 、函数的图象通过原点，并且在区间[0，+∞）上是增函数．（2）当a ＜0时，幂函数y ＝x a 有下列性质：a 、图象都通过点（1，1）；b 、在第一象限内，函数值随x 的增大而减小，图象开口向上；c 、在第一象限内，当x 从右趋于原点时，图象在y 轴上方趋向于原点时，图象在y 轴右方无限逼近y 轴，当x 趋于+∞时，图象在x 轴上方无限地逼近x 轴．（3）当a ＝0时，幂函数y ＝x a 有下列性质：a 、y ＝x 0是直线y ＝1去掉一点（0，1），它的图象不是直线．9.五个常用幂函数的图象和性质（1）y ＝x ； （2）y ＝x 2； （3）y ＝x 3； （4）y ＝21x ； （5）y ＝x ﹣1y ＝xy ＝x 2y ＝x 3y ＝21xy ＝x ﹣1定义域R R R [0，+∞）{x |x ≠0}值域R [0，+∞）R [0，+∞）{y |y ≠0}奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单调性增x ∈[0，+∞）时，增x ∈（﹣∞，0]时，减增增x ∈（0，+∞）时，减x ∈（﹣∞，0）时，减公共点（1，1）（0，0）（1，1）（0，0）（1，1）（0，0）（1，1）（0，0）（1，1）10.幂函数的奇偶性（1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，并且函数图象都通过点（1，1）．（2）如果a ＞0，则幂函数的图象过点（0，0），（1，1），并在[0，+∞）上为增函数．（3）如果a ＜0，则幂函数的图象过点（1，1），并在（0，+∞）上为减函数．（4）当a 为奇数时，幂函数为奇函数，当a 为偶数时，幂函数为偶函数．11．函数最值的应用【基础知识】函数的最值顾名思义就是指函数在某段区间内的最大值和最小值．在日常生活中我们常常会遇到如何使成本最低，如何用料最少，如何占地最小等等的问题，这里面就可以转化为求函数的最值问题．另外，最值可分为最大值和最小值．【技巧方法】这种题的关键是把现实的问题转化为数学上的问题，具体的说是转化为函数最值问题，这里面需要同学们要具有转化思维，具有一定的建模能力，在很多高考题中也常常以大题的形式出现，所以务必引起重视．这里我们以具体的例题来讲解．12．根据实际问题选择函数类型【基础知识】1．实际问题的函数刻画在现实世界里，事物之间存在着广泛的联系，许多联系可以用函数刻画．用函数的观点看实际问题，是学习函数的重要内容．【技巧方法】常用到的五种函数模型：①直线模型：一次函数模型y ＝kx +b （k ≠0），图象增长特点是直线式上升（x 的系数k ＞0），通过图象可以直观地认识它，特例是正比例函数模型y ＝kx （k ＞0）．②反比例函数模型：y ＝xk（k ＞0）型，增长特点是y 随x 的增大而减小．③指数函数模型：y ＝a •b x +c （b ＞0，且b ≠1，a ≠0），其增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快（底数b ＞1，a ＞0），常形象地称为指数爆炸．④对数函数模型，即y ＝m log a x +n （a ＞0，a ≠1，m ≠0）型，增长特点是随着自变量的增大，函数值增大越来越慢（底数a ＞1，m ＞0）．⑤幂函数模型，即y ＝a •x n +b （a ≠0）型，其中最常见的是二次函数模型：y ＝ax 2+bx +c （a ≠0），其特点是随着自变量的增大，函数值先减小后增大（a ＞0）．在以上几种函数模型的选择与建立时，要注意函数图象的直观运用，分析图象特点，分析变量x 的范围，同时还要与实际问题结合，如取整等．习题演练一．选择题（共12小题）1．已知函数2()4,[,5]f x x x x m =-+Î的值域是[5,4]-，则实数m 的取值范围是（）A ．(,1)-¥-B ．(1,2]-C ．[1,2]-D ．[2,5]【答案】C 【解析】二次函数2()4f x x x =-+的图象是开口向下的抛物线.最大值为4，且在2x =时取得，而当5x =或1-时，()5f x =-.结合函数()f x 图象可知m 的取值范围是[1,2]-．故选:C ．2．函数241xy x =+的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】由函数的解析式可得：()()241xf x f x x --==-+，则函数()f x 为奇函数，其图象关于坐标原点对称，选项CD 错误；当1x =时，42011y ==>+，选项B 错误.故选：A.3．若函数()222,0,0x x x f x x ax x ì-³=í-+<î为奇函数，则实数a 的值为（ ）A ．2B ．2-C ．1D ．1-【答案】B 【解析】()f x Q 为奇函数 ()()f x f x \-=-当0x <时，0x -> ()()()2222f x f x x x x x\=--=-+=--又0x <时，()2f x x ax =-+ 2a \=-本题正确选项：B4．已知(1)232x f x -=+，则(6)f 的值为（）A ．15B ．7C ．31D ．17【答案】C 【解析】令12-=xt ，则22x t =+将22x t =+代入(1)232x f x -=+，得()2(22)347=++=+f t t t 所以()47=+f x x ，所以(6)46731=´+=f .故选：C5．设函数331()f x x x =-,则()f x （ ）A ．是奇函数，且在(0,+∞)单调递增B ．是奇函数，且在(0,+∞)单调递减C ．是偶函数，且在(0,+∞)单调递增D ．是偶函数，且在(0,+∞)单调递减【答案】A 【解析】因为函数()331f x x x=-定义域为{}0x x ¹，其关于原点对称，而()()f x f x -=-，所以函数()f x 为奇函数．又因为函数3y x =在()0,+¥上单调递增，在(),0-¥上单调递增，而331y x x -==在()0,+¥上单调递减，在(),0-¥上单调递减，所以函数()331f x x x =-在()0,+¥上单调递增，在(),0-¥上单调递增．故选：A ．6．若函数(31)4,1(),1a x a x f x ax x -+<ì=í-³î，是定义在R 上的减函数，则a 的取值范围为（）A ．1183éö÷êëø，B ．103æöç÷èø，C ．1,8éö+¥÷êëøD ．11,,83æùéö-¥+¥ç÷úêèûëøU 【答案】A【解析】因为函数()f x 是定义在R 上的减函数，所以3100314a a a a a -<ìï-<íï-+³-î，解得1183a £<.故选：A.7．幂函数()()22121m f x m m x -=-+在()0,¥+上为增函数，则实数m 的值为（ ）A ．0B ．1C ．1或2D ．2【答案】D【解析】因为函数()f x 是幂函数，所以2211m m -+=，解得0m =或2m =，因为函数()f x 在()0,¥+上为增函数，所以210m ->，即12m >，2m =，故选：D.8．已知函数1()3()3x x f x =-，则()f xA ．是奇函数，且在R 上是增函数B ．是偶函数，且在R 上是增函数C ．是奇函数，且在R 上是减函数D ．是偶函数，且在R 上是减函数【答案】A【解析】函数()133xx f x æö=-ç÷èø的定义域为R ，且()()111333,333x x x x x x f x f x --éùæöæöæö-=-=-+=--=-êúç÷ç÷ç÷èøèøèøêúëû即函数()f x 是奇函数，又1y 3,3xx y æö==-ç÷èø在R 都是单调递增函数，故函数()f x 在R 上是增函数．故选A.9．下列函数()f x 中，满足“对任意1x ，()20,1x Î，当12x x <时，都有()()12f x f x <”的是（ ）A ．()1f x x =-B ．()1f x x =C ．()112x f x æö=-ç÷èøD ．()sin 2f x x=【答案】C 【解析】根据题意可得，函数()f x 在区间()0,1单调递增，对A ，B ，函数()f x 在区间()0,1单调递减，故A ，B 错误；对D ，函数()f x 在区间()0,1先增后减，故D 错误；故选：C.10．已知关于x 的方程21x m -=有两个不等实根，则实数m 的取值范围是（ ）A ．(,1]-¥-B ．(),1-¥-C ．[1,)+¥D ．()1,+¥【答案】D【解析】由题意,画出()2x f x m =-的图像如下图所示:由图像可知,若方程21x m -=有两个不等实根则函数图像在y 轴左侧的最大值大于等于1即可所以1m >即(1,)m Î+¥故选:D11．一元二次方程2510x x m -+-=的两根均大于2，则实数m 的取值范围是（ ）A ．21,4éö-+¥÷êëø B ．(,5)-¥-C ．21,54éö--÷êëøD ．21,54æö--ç÷èø【答案】C【解析】关于x 的一元二次方程2510x x m -+-=的两根均大于2，则Δ25440(2)41010522m f m ìï=-+³ï=-+->íïï>î,解得2154m -<-….故选C.12．设奇函数()f x 在[]3,3-上是减函数，且()33f =-，若不等式()21f x t <+对所有的[]3,3x Î-都成立，则t 的取值范围是（ ）A ．[]1,1-B ．()1,+¥C ．(),1-¥D ．()(),11,-¥+¥U 【答案】B【解析】因为奇函数()f x 在[]3,3-上是减函数，且()33f =-，所以()()max 33f x f =-=，若不等式()21f x t <+对所有的[]3,3x Î-都成立，则321t <+，解可得1t >，故选：B二．填空题（共6小题）13．设函数21,2()1(2),2x x f x f x x -³=íï+<ïî，则(3)f -=________.【答案】0【解析】Q 21,2()1(2),2x x f x f x x ³=íï+<ïî\当12x <时，()(2)f x f x =+Q 132-<\(3)(1)(1)f f f -=-=又Q 112³\2(1)10f =-=故答案为：0.14．已知正实数a ，b 满足22a b +=，则41a b a b æöæö++ç÷ç÷èøèø的最小值为__________【答案】252【解析】解：Q 正实数a ，b 满足22a b +=，\22a b =+³12£ab .则()()()2222222414424414ab a b ab a b ab a a b a b a b a b b b a ++æöæö++=×=+++++-ç÷=ç÷è+èøø84ab ab=+-.令ab t =，10,2t æùÎçúèû.即有8844ab t ab t +-=+-，又函数()84f t t t =+-在10,2æùçúèû上单调递减，\()12522f t f æö³=ç÷èø.故答案为：252.15．函数()f x 为定义在R 上的奇函数，且满足()(2)f x f x =-，若(1)3f =，则(1)(2)(50)f f f +++=L __________．【答案】3【解析】()(2)f x f x =-Q ，(2)()f x f x \+=-，又()f x 为奇函数，(2)()(),(4)(2)()f x f x f x f x f x f x \+=-=-+=-+=()f x \是周期为4的周期函数，()f x Q 是定义在R 上的奇函数，(0)0,(4)(0)0f f f \=\==，(2)(0)0,(3)(1)(1)3f f f f f ===-=-=-(1)(2)(3)(4)0f f f f \+++=，()()()()()12...50012123f f f f f \+++=´++=.故答案为：3．16．设偶函数()f x 满足()()240xf x x =-³，则满足()20f a ->的实数a 的取值范围为________．【答案】()(),04,-¥+¥U 【解析】∵偶函数()f x 满足()()240xf x x =-³，\函数()f x 在[)0,+¥上为增函数，且()20f =，∴不等式()20f a ->等价为()()22f a f ->，\22a ->，即22a ->或22a -<-，解得4a >或0a <．故答案为：()(),04,-¥+¥U .17．已知函数23()(1)m f x m m x +=+-是幂函数，且该函数是偶函数，则m 的值是____【答案】1【解析】∵函数23()(1)m f x m m x +=+-是幂函数，∴211m m +-=，解得2m =-或1m =，又∵该函数是偶函数，当2m =-时，函数()f x x =是奇函数，当1m =时，函数4()f x x =是偶函数，即m 的值是1，故答案为1.18．函数()()222323y x x x x =---+零点的个数为_____________.【答案】2【解析】函数()()222323y x x x x =---+零点的个数，即方程()()2223230x x x x ---+=实数根的个数.由()()2223230x x x x ---+=，即2230x x --=或2230x x -+=由()()223310x x x x --=-+=得3x =或1x =-.由()22231+20x x x -+=-=无实数根.所以函数()()222323y x x x x =---+的零点有2个.故答案为：2三．解析题（共6小题）19．已知函数2(x 0)()2-x (x 0)x f x ì£ï=íï>î，试解答下列问题：（1）求[(2)]f f -的值；（2）求方程()f x =12x 的解．【答案】（1）2-；（2）43x =或0x =【解析】解：（1）Q 函数2(0)()2(0)x x f x x x ìï=íï->î…，所以()()2224f -=-=所以()[(2)]4242f f f -==-=-（2）当0x £时，即212x x =，解得0x =或12x =（舍去）；当0x >时，即122x x -=，解得43x =；综上所述，43x =或0x =．20．（1）已知()f x 是一次函数，且2(21)(2)65f x f x x +--=+，求()f x 的解析式；（2）已知函数2(3)46f x x x -=-+，求()f x 的解析式．【答案】（1）()23f x x =-；（2）2()23f x x x =++.【解析】解：（1）因为()f x 是一次函数，所以可设()f x kx b=+则2(21)(2)2[(21)][(2)]3465f x f x k x b k x b kx k b x +--=++--+=++=+，所以3645k k b =ìí+=î，解得23k b =ìí=-î ，所以()23f x x =-．（2）令3t x =-，则3x t =+．因为2(3)46f x x x -=-+，所以2()(3)4(3)6f t t t =+-++223t t =++．故2()23f x x x =++．【点睛】本题主要考查待定系数法求函数解析式，换元法求函数解析式，属于常考题型.21．函数()f x 对任意的,R m n Î都有()()()1f m n f m f n +=+-,并且0x >时，恒有()1f x >.(1).求证：()f x 在R 上是增函数；(2).若(3)4f =解不等式2(5)2f a a +-<【答案】(1)证明见解析；(2)(3,2)a Î-【解析】(1).设12,R x x Î,且12x x <,则210x x ->,所以21()1f x x ->212111()()[()]()f x f x f x x x f x -=-+-2111()()1()0f x x f x f x =-+-->即21()()f x f x >,所以()f x 是R 上的增函数.(2).因为,R m n Î,不妨设1m n ==,所以(11)(1)(1)1f f f +=+-,即(2)2(1)1f f =-，(3)(21)(2)(1)1f f f f =+=+-=2(1)1(1)13(1)24f f f -+-=-=，所以(1)2f =.2(5)(1)f a a f +-<，因为()f x 在R 上为增函数，所以251a a +-<得到32a -<<,即(3,2)a Î-.22．已知定义在()1,1-上的奇函数()f x ，当()0,1Îx 时，()241xx f x =+.（1）当()0,1Îx 时，解方程()25f x =；（2）求()f x 在区间(]1,0-上的解析式.【答案】（1）Æ；（2）0,0()2,1041xx x f x x =ìï=í--<<ï+î.【解析】（1）222122522024152x x x x x =Þ×-×+=Þ=+或221x x =Þ=-（舍）或1x =（舍）；故当()0,1Îx 时，方程()25f x =无解，即解集为Æ.（2）由题意知： ()00=f ；当()1,0x Î-时，()()224141x xx x f x f x ---=--=-=++综上所述，0,0()2,1041xx x f x x =ìï=í--<<ï+î.23．已知幂函数()f x x a=的图像过点()2,4.（1）求函数()f x 的解析式；（2）设函数()()21h x f x kx =--在[]1,1-是单调函数，求实数k 的取值范围.【答案】（1）()2f x x =；（2）(][),44,-¥-È+¥.【解析】（1）因为()f x x a=的图像过点()2,4，所以24a =，则2a =，所以函数()f x 的解析式为：()2f x x =；（2）由（1）得()221h x x kx =--，所以函数()h x 的对称轴为4k x =，若函数()h x 在[]1,1-是单调函数，则14k £-或14k ³，即4k £-或4k ³，所以实数k 的取值范围为(][),44,-¥-È+¥.24．暑假期间，某旅行社为吸引中学生去某基地参加夏令营，推出如下收费标准：若夏令营人数不超过30，则每位同学需交费用600元；若夏令营人数超过30，则营员每多1人，每人交费额减少10元（即：营员31人时，每人交费590元，营员32人时，每人交费580元，以此类推），直到达到满额70人为止.（1）写出夏令营每位同学需交费用y （单位：元）与夏令营人数x 之间的函数关系式；（2）当夏令营人数为多少时，旅行社可以获得最大收入？最大收入是多少？【答案】（1）**600,130,10900,3070,x x N y x x x N죣Î=í-+<£Îî（2）当人数为45人时，最大收入为20250元【解析】（1）由题意可知每人需交费y 关于人数x 的函数：**600,130,10900,3070,x x N y x x x N죣Î=í-+<£Îî（2）旅行社收入为()f x ，则()f x xy =，即*2*600,130,()10900,3070,x x x N f x x x x x N 죣Î=í-+<£Îî，当*130,x x N ££Î时，()f x 为增函数，所以()()max 306003018000f x f ==´=，当*3070,x x N <£Î时，()f x 为开口向下的二次函数，对称轴45x =，所以在对称轴处取得最大值，()()max 4520250f x f ==.综上所述：当人数为45人时，最大收入为20250元.。
三角函数的概念与基本性质
三角函数的概念与基本性质三角函数是高中数学中重要的概念之一，它与三角形的关系密切，是解决三角形相关问题的基础。
本文将介绍三角函数的概念与基本性质，帮助读者更好地理解和应用三角函数。
一、三角函数的概念三角函数是指以角度为自变量，以某一边的长度比例为函数值的函数。
常见的三角函数有正弦函数（sin）、余弦函数（cos）、正切函数（tan）等。
以一个直角三角形为例，假设其中一个锐角为θ。
那么，正弦函数sinθ的定义为：sinθ = 对边/斜边，余弦函数cosθ的定义为：cosθ = 邻边/斜边，正切函数tanθ的定义为：tanθ = 对边/邻边。
这些定义是根据三角形中的几何关系推导而来的。
二、三角函数的基本性质1. 周期性：正弦函数、余弦函数、正切函数都具有周期性。
以正弦函数为例，sin(θ+2π) = sinθ，即正弦函数在每个周期内的取值是相同的。
这一性质在解决三角函数相关问题时非常重要。
2. 奇偶性：正弦函数是奇函数，即sin(-θ) = -sinθ；余弦函数是偶函数，即cos(-θ) = cosθ。
这意味着正弦函数关于原点对称，而余弦函数关于y轴对称。
3. 互余关系：正弦函数和余弦函数具有互余关系，即sinθ = cos(π/2 - θ)，cosθ = sin(π/2 - θ)。
这一性质可以通过三角函数的定义和几何关系进行推导。
4. 三角函数的范围：正弦函数和余弦函数的取值范围在[-1, 1]之间，而正切函数的取值范围为全体实数。
5. 三角函数的图像：正弦函数和余弦函数的图像是连续的曲线，呈现周期性变化。
正切函数的图像则是一条连续的曲线，但在某些点上有无穷大的间断点。
三、三角函数的应用三角函数在实际问题中有广泛的应用，以下列举几个常见的应用场景。
1. 三角函数在三角形相关问题中的应用：通过三角函数的定义和性质，可以解决三角形的边长、角度等相关问题。
例如，已知一个三角形的一边和一个角度，可以利用正弦函数或余弦函数求解其他边长或角度。
函数概念与基本初等函数Ⅰ
第二章函数概念与基本初等函数Ⅰ命题人：李厚强审稿：魏崇德（一）函数1．了解构成函数的要素，了解映射的概念,会求一些简单函数的定义域和值域2．理解函数的三种表示法：解析法、图象法和列表法，能根据不同的要求选择恰当的方法表示简单的函数。
3．了解分段函数，能用分段函数来解决一些简单的数学问题。
4．理解函数的单调性，会讨论和证明一些简单的函数的单调性；理解函数奇偶性的含义，会判断简单的函数奇偶性。
5．理解函数的最大（小）值及其几何意义，并能求出一些简单的函数的最大（小）值6．会运用函数图像理解和研究函数的性质（二）指数函数1．了解指数函数模型的实际背景。
2．理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算。
3．理解指数函数的概念，会求与指数函数性质有关的问题。
4．知道指数函数是一类重要的函数模型。
（三）对数函数1．理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用。
2．理解对数函数的概念；会求与对数函数性质有关的问题3．知道对数函数是一类重要的函数模型4．了解指数函数与对数函数互为反函数（）。
（四）幂函数1．了解幂函数的概念。
2．结合函数的图像，了解它们的变化情况。
（五）函数与方程1．了解函数零点的概念，结合二次函数的图像，了解函数的零点与方程根的联系。
2．理解并掌握连续函数在某个区间上存在零点的判定方法。
能利用函数的图象和性质判别函数零点的个数（六）函数模型及其应用1．了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征。
知道直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义。
2．了解函数模型（如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型）的广泛应用。
3．能利用给定的函数模型解决简单的实际问题。
函数及其表示一、映射1．映射：设A、B是两个集合，如果按照某种对应关系f，对于集合A中的元素，在集合B中都有元素和它对应，这样的对应叫做到的映射，记作 .2．象与原象：如果f:A→B是一个A到B的映射，那么和A中的元素a对应的叫做象，叫做原象。
高中数学知识点总结(第二章 函数的概念与基本初等函数Ⅰ第二节 函数的单调性与最值)
第二节函数的单调性与最值一、基础知识1．增函数、减函数定义：设函数f(x)的定义域为I：(1)增函数：如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数．(2)减函数：如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数．增(减)函数定义中的x1，x2的三个特征一是任意性；二是有大小，即x1<x2(x1>x2)；三是同属于一个单调区间，三者缺一不可．2．单调性、单调区间若函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做函数y＝f(x)的单调区间.有关单调区间的两个防范(1)单调区间只能用区间表示，不能用不等式表示．(2)有多个单调区间应分别写，不能用符号“∪”连接，也不能用“或”连接，只能用“逗号”或“和”连接．3．函数的最值设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：(1)对于任意的x∈I，都有f(x)≤M或f(x)≥M.(2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M.那么，我们称M是函数y＝f(x)的最大值或最小值．函数最值存在的两条结论(1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值．当函数在闭区间上单调时最值一定在端点取到．(2)开区间上的“单峰”函数一定存在最大(小)值．二、常用结论在公共定义域内：(1)函数f(x)单调递增，g(x)单调递增，则f(x)＋g(x)是增函数；(2)函数f (x )单调递减，g (x )单调递减，则f (x )＋g (x )是减函数； (3)函数f (x )单调递增，g (x )单调递减，则f (x )－g (x )是增函数； (4)函数f (x )单调递减，g (x )单调递增，则f (x )－g (x )是减函数；(5)若k >0，则kf (x )与f (x )单调性相同；若k <0，则kf (x )与f (x )单调性相反； (6)函数y ＝f (x )(f (x )>0)在公共定义域内与y ＝－f (x )，y ＝1f x的单调性相反；(7)复合函数y ＝f [g (x )]的单调性与y ＝f (u )和u ＝g (x )的单调性有关．简记：“同增异减”． 考点一 确定函数的单调性区间)[典例] (1)求函数f (x )＝－x 2＋2|x |＋1的单调区间． (2)试讨论函数f (x )＝ax x －1(a ≠0)在(－1,1)上的单调性．[解] (1)易知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ＋1，x ≥0，－x 2－2x ＋1，x <0＝⎩⎪⎨⎪⎧－x －12＋2，x ≥0，－x ＋12＋2，x <0.画出函数图象如图所示，可知单调递增区间为(－∞，－1]和[0,1]，单调递减区间为[－1,0]和[1，＋∞)．(2)法一：定义法 设－1<x 1<x 2<1， f (x )＝a ⎝⎛⎭⎪⎫x －1＋1x －1＝a ⎝⎛⎭⎫1＋1x －1，则f (x 1)－f (x 2)＝a ⎝⎛⎭⎫1＋1x 1－1－a ⎝⎛⎭⎫1＋1x 2－1＝a x 2－x 1x 1－1x 2－1.由于－1<x 1<x 2<1，所以x 2－x 1>0，x 1－1<0，x 2－1<0， 故当a >0时，f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)， 函数f (x )在(－1,1)上单调递减；当a <0时，f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)， 函数f (x )在(－1,1)上单调递增． 法二：导数法 f ′(x )＝ax ′x －1－ax x －1′x －12＝ax －1－ax x －12＝－ax －12.当a >0时，f ′(x )<0，函数f (x )在(－1,1)上单调递减； 当a <0时，f ′(x )>0，函数f (x )在(－1,1)上单调递增．[解题技法] 判断函数单调性和求单调区间的方法(1)定义法：一般步骤为设元―→作差―→变形―→判断符号―→得出结论．(2)图象法：如果f (x )是以图象形式给出的，或者f (x )的图象易作出，则可由图象的上升或下降确定单调性．(3)导数法：先求导数，利用导数值的正负确定函数的单调性及区间．(4)性质法：对于由基本初等函数的和、差构成的函数，根据各初等函数的增减性及复合函数单调性性质进行判断；复合函数单调性，可用同增异减来确定．[题组训练]1．下列函数中，满足“∀x 1，x 2∈(0，＋∞)且x 1≠x 2，(x 1－x 2)·[f (x 1)－f (x 2)]<0”的是( ) A ．f (x )＝2x B ．f (x )＝|x －1| C ．f (x )＝1x－xD ．f (x )＝ln(x ＋1)解析：选C 由(x 1－x 2)·[f (x 1)－f (x 2)]<0可知，f (x )在(0，＋∞)上是减函数，A 、D 选项中，f (x )为增函数；B 中，f (x )＝|x －1|在(0，＋∞)上不单调；对于f (x )＝1x －x ，因为y ＝1x 与y ＝－x在(0，＋∞)上单调递减，因此f (x )在(0，＋∞)上是减函数．2．函数f (x )＝log 12(x 2－4)的单调递增区间是( )A ．(0，＋∞)B ．(－∞，0)C ．(2，＋∞)D ．(－∞，－2)解析：选D 令t ＝x 2－4，则y ＝log 12t .因为y ＝log 12t 在定义域上是减函数，所以求原函数的单调递增区间，即求函数t ＝x 2－4的单调递减区间，结合函数的定义域，可知所求区间为(－∞，－2)．3．判断函数f (x )＝x ＋ax (a >0)在(0，＋∞)上的单调性．解：设x 1，x 2是任意两个正数，且x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝⎝⎛⎭⎫x 1＋a x 1－⎝⎛⎭⎫x 2＋a x 2＝x 1－x 2x 1x 2(x 1x 2－a )． 当0<x 1<x 2≤a 时，0<x 1x 2<a ，x 1－x 2<0， 所以f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)， 所以函数f (x )在(0，a ]上是减函数；当a ≤x 1<x 2时，x 1x 2>a ，x 1－x 2<0， 所以f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)， 所以函数f (x )在[a ，＋∞)上是增函数．综上可知，函数f (x )＝x ＋ax (a >0)在(0，a ]上是减函数，在[a ，＋∞)上是增函数．考点二 求函数的值域最值)[典例] (1)(2019•深圳调研)函数y ＝|x ＋1|＋|x －2|的值域为________．(2)若函数f (x )＝－ax＋b (a >0)在⎣⎡⎦⎤12，2上的值域为⎣⎡⎦⎤12，2，则a ＝________，b ＝________. (3)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2－4x ，x ≤0，sin x ，x >0的最大值为________．[解析] (1)图象法函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋1，x ≤－1，3，－1<x <2，2x －1，x ≥2.作出函数的图象如图所示．根据图象可知，函数y ＝|x ＋1|＋|x －2|的值域为[3，＋∞)． (2)单调性法∵f (x )＝－ax ＋b (a >0)在⎣⎡⎦⎤12，2上是增函数， ∴f (x )min ＝f ⎝⎛⎭⎫12＝12，f (x )max ＝f (2)＝2.即⎩⎨⎧－2a ＋b ＝12，－a2＋b ＝2，解得a ＝1，b ＝52.(3)当x ≤0时，f (x )＝－x 2－4x ＝－(x ＋2)2＋4，而－2∈(－∞，0]，此时f (x )在x ＝－2处取得最大值，且f (－2)＝4；当x >0时，f (x )＝sin x ，此时f (x )在区间(0，＋∞)上的最大值为1.综上所述，函数f (x )的最大值为4.[答案] (1)[3，＋∞) (2)1 52(3)4[提醒] (1)求函数的最值时，应先确定函数的定义域．(2)求分段函数的最值时，应先求出每一段上的最值，再选取其中最大的作为分段函数的最大值，最小的作为分段函数的最小值．[题组训练]1．函数f (x )＝x 2＋4x 的值域为________．解析：当x >0时，f (x )＝x ＋4x ≥4，当且仅当x ＝2时取等号； 当x <0时，－x ＋⎝⎛⎭⎫－4x ≥4， 即f (x )＝x ＋4x ≤－4，当且仅当x ＝－2取等号，所以函数f (x )的值域为(－∞，－4]∪[4，＋∞)． 答案：(－∞，－4]∪[4，＋∞)2．若x ∈⎣⎡⎦⎤－π6，2π3，则函数y ＝4sin 2x －12sin x －1的最大值为________，最小值为________．解析：令t ＝sin x ，因为x ∈⎣⎡⎦⎤－π6，2π3， 所以t ∈⎣⎡⎦⎤－12，1，y ＝f (t )＝4t 2－12t －1， 因为该二次函数的图象开口向上，且对称轴为t ＝32，所以当t ∈⎣⎡⎦⎤－12，1时，函数f (t )单调递减，所以当t ＝－12时，y max ＝6；当t ＝1时，y min ＝－9. 答案：6 －93．已知f (x )＝x 2＋2x ＋ax ，x ∈[1，＋∞)，且a ≤1.若对任意x ∈[1，＋∞)，f (x )>0恒成立，则实数a 的取值范围是________．解析：对任意x ∈[1，＋∞)，f (x )>0恒成立等价于x 2＋2x ＋a >0在x ∈[1，＋∞)上恒成立，即a >－x 2－2x 在x ∈[1，＋∞)上恒成立．又函数y ＝－x 2－2x 在[1，＋∞)上单调递减， ∴(－x 2－2x )max ＝－3，故a >－3， 又∵a ≤1，∴－3<a ≤1. 答案：(－3,1]考点三 函数单调性的应用考法(一) 比较函数值的大小[典例] 设偶函数f (x )的定义域为R ，当x ∈[0，＋∞)时，f (x )是增函数，则f (－2)，f (π)，f (－3)的大小关系是( )A ．f (π)>f (－3)>f (－2)B ．f (π)>f (－2)>f (－3)C ．f (π)<f (－3)<f (－2)D ．f (π)<f (－2)<f (－3)[解析] 因为f (x )是偶函数，所以f (－3)＝f (3)，f (－2)＝f (2)． 又因为函数f (x )在[0，＋∞)上是增函数． 所以f (π)>f (3)>f (2)，即f (π)>f (－3)>f (－2)． [答案] A[解题技法] 比较函数值大小的解题思路比较函数值的大小时，若自变量的值不在同一个单调区间内，要利用其函数性质，转化到同一个单调区间内进行比较，对于选择题、填空题能数形结合的尽量用图象法求解．考法(二) 解函数不等式[典例] 设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x <2，x 2，x ≥2.若f (a ＋1)≥f (2a －1)，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，1]B ．(－∞，2]C ．[2,6]D ．[2，＋∞)[解析] 易知函数f (x )在定义域(－∞，＋∞)上是增函数，∵f (a ＋1)≥f (2a －1)， ∴a ＋1≥2a －1，解得a ≤2.故实数a 的取值范围是(－∞，2]． [答案] B[解题技法] 求解含“f ”的函数不等式的解题思路先利用函数的相关性质将不等式转化为f (g (x ))>f (h (x ))的形式，再根据函数的单调性去掉“f ”，得到一般的不等式g (x )>h (x )(或g (x )<h (x ))．考法(三) 利用单调性求参数的范围(或值)[典例] (2019•南京调研)已知函数f (x )＝x －a x ＋a2在(1，＋∞)上是增函数，则实数a 的取值范围是________．[解析] 设1<x 1<x 2，∴x 1x 2>1. ∵函数f (x )在(1，＋∞)上是增函数，∴f (x 1)－f (x 2)＝x 1－a x 1＋a2－⎝⎛⎭⎫x 2－a x 2＋a 2 ＝(x 1－x 2)⎝⎛⎭⎫1＋a x 1x 2<0.∵x 1－x 2<0，∴1＋ax 1x 2>0，即a >－x 1x 2.∵1<x 1<x 2，x 1x 2>1，∴－x 1x 2<－1，∴a ≥－1. ∴a 的取值范围是[－1，＋∞)． [答案] [－1，＋∞)[解题技法]利用单调性求参数的范围(或值)的方法(1)视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数；(2)需注意若函数在区间[a ，b ]上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的．[题组训练]1．已知函数f (x )的图象向左平移1个单位后关于y 轴对称，当x 2>x 1>1时，[f (x 2)－f (x 1)]·(x 2－x 1)<0恒成立，设a ＝f ⎝⎛⎭⎫－12，b ＝f (2)，c ＝f (3)，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．c >a >b B ．c >b >a C ．a >c >bD ．b >a >c解析：选D 由于函数f (x )的图象向左平移1个单位后得到的图象关于y 轴对称，故函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称，所以a ＝f ⎝⎛⎭⎫－12＝f ⎝⎛⎭⎫52.当x 2>x 1>1时，[f (x 2)－f (x 1)](x 2－x 1)<0恒成立，等价于函数f (x )在(1，＋∞)上单调递减，所以b >a >c .2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax 2－x －14，x ≤1，log a x －1，x >1是R 上的单调函数，则实数a 的取值范围是( )A.⎣⎡⎭⎫14，12 B.⎣⎡⎦⎤14，12 C.⎝⎛⎦⎤0，12 D.⎣⎡⎭⎫12，1解析：选B 由对数函数的定义可得a >0，且a ≠1.又函数f (x )在R 上单调，而二次函数y ＝ax 2－x －14的图象开口向上，所以函数f (x )在R 上单调递减，故有⎩⎪⎨⎪⎧ 0<a <1，12a≥1，a ×12－1－14≥log a1－1，即⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1，0<a ≤12，a ≥14.所以a ∈⎣⎡⎦⎤14，12.[课时跟踪检测]A 级1．下列四个函数中，在x ∈(0，＋∞)上为增函数的是( ) A ．f (x )＝3－x B ．f (x )＝x 2－3x C ．f (x )＝－1x ＋1D ．f (x )＝－|x |解析：选C 当x >0时，f (x )＝3－x 为减函数；当x ∈⎝⎛⎭⎫0，32时，f (x )＝x 2－3x 为减函数，当x ∈⎝⎛⎭⎫32，＋∞时，f (x )＝x 2－3x 为增函数；当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝－1x ＋1为增函数；当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝－|x |为减函数．2．若函数f (x )＝ax ＋1在R 上单调递减，则函数g (x )＝a (x 2－4x ＋3)的单调递增区间是( )A ．(2，＋∞)B ．(－∞，2)C ．(4，＋∞)D ．(－∞，4)解析：选B 因为f (x )＝ax ＋1在R 上单调递减，所以a <0. 而g (x )＝a (x 2－4x ＋3)＝a (x －2)2－a .因为a <0，所以g (x )在(－∞，2)上单调递增．3．已知函数f (x )是定义在区间[0，＋∞)上的函数，且在该区间上单调递增，则满足f (2x －1)＜f ⎝⎛⎭⎫13的x 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫13，23 B.⎣⎡⎭⎫13，23 C.⎝⎛⎭⎫12，23D.⎣⎡⎭⎫12，23解析：选D 因为函数f (x )是定义在区间[0，＋∞)上的增函数，满足f (2x －1)＜f ⎝⎛⎭⎫13. 所以0≤2x －1＜13，解得12≤x ＜23.4．(2019·菏泽模拟)定义新运算⊕：当a ≥b 时，a ⊕b ＝a ；当a <b 时，a ⊕b ＝b 2，则函数f (x )＝(1⊕x )x －(2⊕x )，x ∈[－2，2]的最大值等于( )A ．－1B ．1C ．6D ．12解析：选C 由题意知当－2≤x ≤1时，f (x )＝x －2，当1<x ≤2时，f (x )＝x 3－2，又f (x )＝x －2，f (x )＝x 3－2在相应的定义域内都为增函数，且f (1)＝－1，f (2)＝6，∴f (x )的最大值为6.5．已知函数f (x )是R 上的增函数，A (0，－3)，B (3,1)是其图象上的两点，那么不等式－3＜f (x ＋1)＜1的解集的补集是(全集为R)( )A ．(－1,2)B ．(1,4)C ．(－∞，－1)∪[4，＋∞)D ．(－∞，－1]∪[2，＋∞)解析：选D 由函数f (x )是R 上的增函数，A (0，－3)，B (3,1)是其图象上的两点，知不等式－3＜f (x ＋1)＜1即为f (0)＜f (x ＋1)＜f (3)，所以0＜x ＋1＜3，所以－1＜x ＜2，故不等式－3＜f (x ＋1)＜1的解集的补集是(－∞，－1]∪[2，＋∞)．6．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2－ax －5，x ≤1，a x ，x >1是R 上的增函数，则实数a 的取值范围是( )A ．[－3,0)B ．(－∞，－2]C ．[－3，－2]D ．(－∞，0)解析：选C 若f (x )是R 上的增函数，则应满足⎩⎪⎨⎪⎧－a2≥1，a <0，－12－a ×1－5≤a 1，解得－3≤a ≤－2.7．已知函数f (x )＝x 2－2x －3，则该函数的单调递增区间为________．解析：设t ＝x 2－2x －3，由t ≥0，即x 2－2x －3≥0，解得x ≤－1或x ≥3，所以函数f (x )的定义域为(－∞，－1]∪[3，＋∞)．因为函数t ＝x 2－2x －3的图象的对称轴为x ＝1，所以函数t ＝x 2－2x －3在(－∞，－1]上单调递减，在[3，＋∞)上单调递增，所以函数f (x )的单调递增区间为[3，＋∞)．答案：[3，＋∞)8．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，x ≥1，－x 2＋2，x <1的最大值为________．解析：当x ≥1时，函数f (x )＝1x为减函数，所以f (x )在x ＝1处取得最大值，为f (1)＝1；当x <1时，易知函数f (x )＝－x 2＋2在x ＝0处取得最大值，为f (0)＝2.故函数f (x )的最大值为2.答案：29．若函数f (x )＝1x 在区间[2，a ]上的最大值与最小值的和为34，则a ＝________.解析：由f (x )＝1x 的图象知，f (x )＝1x 在(0，＋∞)上是减函数，∵[2，a ]⊆(0，＋∞)，∴f (x )＝1x 在[2，a ]上也是减函数，∴f (x )max ＝f (2)＝12，f (x )min ＝f (a )＝1a ，∴12＋1a ＝34，∴a ＝4. 答案：410．(2019·甘肃会宁联考)若f (x )＝x ＋a －1x ＋2在区间(－2，＋∞)上是增函数，则实数a 的取值范围是________．解析：f (x )＝x ＋a －1x ＋2＝x ＋2＋a －3x ＋2＝1＋a －3x ＋2，要使函数在区间(－2，＋∞)上是增函数，需使a －3<0，解得a <3.答案：(－∞，3)11．已知函数f (x )＝1a －1x (a ＞0，x ＞0)．(1)求证：f (x )在(0，＋∞)上是增函数；(2)若f (x )在⎣⎡⎦⎤12，2上的值域是⎣⎡⎦⎤12，2，求a 的值． 解：(1)证明：任取x 1＞x 2＞0， 则f (x 1)－f (x 2)＝1a －1x 1－1a ＋1x 2＝x 1－x 2x 1x 2，∵x 1＞x 2＞0，∴x 1－x 2＞0，x 1x 2＞0， ∴f (x 1)－f (x 2)＞0， 即f (x 1)＞f (x 2)，∴f (x )在(0，＋∞)上是增函数．(2)由(1)可知，f (x )在⎣⎡⎦⎤12，2上是增函数， ∴f ⎝⎛⎭⎫12＝1a －2＝12，f (2)＝1a －12＝2，解得a ＝25. 12．已知f (x )＝x x －a(x ≠a )． (1)若a ＝－2，试证f (x )在(－∞，－2)内单调递增；(2)若a ＞0且f (x )在(1，＋∞)内单调递减，求a 的取值范围．解：(1)证明：当a ＝－2时，f (x )＝x x ＋2. 任取x 1，x 2∈(－∞，－2)，且x 1＜x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1＋2－x 2x 2＋2＝2x 1－x 2x 1＋2x 2＋2. 因为(x 1＋2)(x 2＋2)＞0，x 1－x 2＜0，所以f (x 1)－f (x 2)＜0，即f (x 1)＜f (x 2)，所以f (x )在(－∞，－2)内单调递增．(2)任取x 1，x 2∈(1，＋∞)，且x 1＜x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1－a －x 2x 2－a ＝a x 2－x 1x 1－a x 2－a. 因为a ＞0，x 2－x 1＞0，又由题意知f (x 1)－f (x 2)＞0，所以(x 1－a )(x 2－a )＞0恒成立，所以a ≤1.所以0＜a ≤1.所以a 的取值范围为(0,1]．B 级1．若f (x )＝－x 2＋4mx 与g (x )＝2m x ＋1在区间[2,4]上都是减函数，则m 的取值范围是( ) A ．(－∞，0)∪(0,1]B ．(－1,0)∪(0,1]C ．(0，＋∞)D ．(0,1]解析：选D 函数f (x )＝－x 2＋4mx 的图象开口向下，且以直线x ＝2m 为对称轴，若在区间[2,4]上是减函数，则2m ≤2，解得m ≤1；g (x )＝2m x ＋1的图象由y ＝2m x 的图象向左平移一个单位长度得到，若在区间[2,4]上是减函数，则2m >0，解得m >0.综上可得，m 的取值范围是(0,1]．2．已知函数f (x )＝ln x ＋x ，若f (a 2－a )>f (a ＋3)，则正数a 的取值范围是________． 解析：因为f (x )＝ln x ＋x 在(0，＋∞)上是增函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a 2－a >a ＋3，a 2－a >0，a ＋3>0，解得－3<a <－1或a >3.又a>0，所以a>3.答案：(3，＋∞)3．已知定义在R上的函数f(x)满足：①f(x＋y)＝f(x)＋f(y)＋1，②当x>0时，f(x)>－1.(1)求f(0)的值，并证明f(x)在R上是单调增函数;(2)若f(1)＝1，解关于x的不等式f(x2＋2x)＋f(1－x)>4.解：(1)令x＝y＝0，得f(0)＝－1.在R上任取x1>x2，则x1－x2>0，f(x1－x2)>－1.又f(x1)＝f[(x1－x2)＋x2]＝f(x1－x2)＋f(x2)＋1>f(x2)，所以函数f(x)在R上是单调增函数．(2)由f(1)＝1，得f(2)＝3，f(3)＝5.由f(x2＋2x)＋f(1－x)>4得f(x2＋x＋1)>f(3)，又函数f(x)在R上是增函数，故x2＋x＋1>3，解得x<－2或x>1，故原不等式的解集为{x|x<－2或x>1}．。
2025版高考数学一轮总复习第2章函数概念与基本初等函数Ⅰ第1讲函数的概念及其表示课件
运算求解 综合性 逻辑推理 数学运算
运算求解 创新性 逻辑推理
考题
考点
考向
关键能力 考查要求 核心素养
2021新高 函数奇偶性 利用奇偶性求 运算求解 基础性 数学运算
考Ⅰ，13 与周期性 解参数的值
2021新高 函数奇偶性 函数奇偶性的 运算求解 基础性 数学运算
(2)如果两个函数的定义域相同，并且___对__应__关__系___完全一致，则这
两个函数为相等函数．
3．函数的表示法 表示函数的常用方法有___解__析__法___、图象法和列表法．
知识点二 分段函数 1．若函数在其定义域的不同子集上，因对函数称为分段函数．分段函数表示的是一个 函数． 2．分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于 各段函数的值域的__并__集____.
第一讲 函数的概念及其表示
知识梳理 · 双基自测
知识梳理 知识点一 函数的概念及其表示 1．函数的概念
函数
两个集合A，B
设A，B是两个__非__空__数__集____
如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中 对应关系f：A→B 的__任__意____一个数x，在集合B中都有__唯__一__确__定___
x (5)函数 y＝ x－1定义域为 x>1.( × )
题组二 走进教材 2．(必修1P67T1改编)若函数y＝f(x)的定义域为M＝{x|－2≤x≤2}， 值域为N＝{y|0≤y≤2}，则函数y＝f(x)的图象可能是( B )
[解析] A中函数的定义域不是[－2,2]；C中图象不表示函数；D中 函数的值域不是[0,2]．
的定义域为x2<x<3，且x≠52 .
第二章 函数的概念与基本初等函数1-3节有答案
第二章函数的概念与基本初等函数Ⅰ第一节函数及其表示一、基础知识1．函数与映射的概念2．函数的有关概念(1)函数的定义域、值域：在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．求函数定义域的策略(1)确定函数的定义域常从解析式本身有意义，或从实际出发．(2)如果函数y＝f(x)是用表格给出，则表格中x的集合即为定义域．(3)如果函数y＝f(x)是用图象给出，则图象在x轴上的投影所覆盖的x的集合即为定义域．(2)函数的三要素：定义域、值域和对应关系．(3)相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据.两函数值域与对应关系相同时，两函数不一定相同．(4)函数的表示法：表示函数的常用方法有：解析法、图象法、列表法．3．分段函数若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数．关于分段函数的3个注意(1)分段函数虽然由几个部分构成，但它表示同一个函数．(2)分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集．(3)各段函数的定义域不可以相交．考点一函数的定义域[典例] (1)(2019·长春质检)函数y ＝ln (1－x )x ＋1＋1x 的定义域是( )A ．[－1,0)∪(0,1)B ．[－1,0)∪(0,1]C ．(－1,0)∪(0,1]D ．(－1,0)∪(0,1)(2)已知函数f (x )的定义域为(－1,0)，则函数f (2x ＋1)的定义域为( ) A ．(－1,1) B.⎝⎛⎭⎫－1，－12 C ．(－1,0)D.⎝⎛⎭⎫12，1[解析] (1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧1－x >0，x ＋1>0，x ≠0，解得－1<x <0或0<x <1.所以原函数的定义域为(－1,0)∪(0,1)．(2)令u ＝2x ＋1，由f (x )的定义域为(－1,0)，可知－1<u <0，即－1<2x ＋1<0， 得－1<x <－12.[答案] (1)D (2)B [解题技法]1．使函数解析式有意义的一般准则 (1)分式中的分母不为0； (2)偶次根式的被开方数非负； (3)y ＝x 0要求x ≠0；(4)对数式中的真数大于0，底数大于0且不等于1； (5)正切函数y ＝tan x ，x ≠k π＋π2(k ∈Z)；(6)实际问题中除考虑函数解析式有意义外，还应考虑实际问题本身的要求． 2．抽象函数的定义域问题(1)若已知函数f (x )的定义域为[a ，b ]，其复合函数f (g (x ))的定义域由不等式a ≤g (x )≤b 求出；(2)若已知函数f (g (x ))的定义域为[a ，b ]，则f (x )的定义域为g (x )在x ∈[a ，b ]上的值域．[题组训练]1.函数f (x )＝1ln (x ＋1)＋4－x 2的定义域为( )A ．[－2,0)∪(0,2]B ．(－1,0)∪(0,2]C ．[－2,2]D ．(－1,2]解析：选B 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，ln (x ＋1)≠0，4－x 2≥0，得－1<x ≤2，且x ≠0.2.若函数y ＝f (x )的定义域是[1,2 019]，则函数g (x )＝f (x ＋1)x －1的定义域是________________．解析：因为y ＝f (x )的定义域是[1,2 019]，所以若g (x )有意义，应满足⎩⎪⎨⎪⎧1≤x ＋1≤2 019，x －1≠0，所以0≤x ≤2 018，且x ≠1.因此g (x )的定义域是{x |0≤x ≤2 018，且x ≠1}． 答案：{x |0≤x ≤2 018，且x ≠1}考点二 求函数的解析式[典例] (1)已知二次函数f (2x ＋1)＝4x 2－6x ＋5，求f (x )； (2)已知函数f (x )满足f (－x )＋2f (x )＝2x ，求f (x )． [解] (1)法一：待定系数法因为f (x )是二次函数，所以设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，则f (2x ＋1)＝a (2x ＋1)2＋b (2x ＋1)＋c ＝4ax 2＋(4a ＋2b )x ＋a ＋b ＋c .因为f (2x ＋1)＝4x 2－6x ＋5， 所以⎩⎪⎨⎪⎧4a ＝4，4a ＋2b ＝－6，a ＋b ＋c ＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－5，c ＝9，所以f (x )＝x 2－5x ＋9(x ∈R)． 法二：换元法令2x ＋1＝t (t ∈R)，则x ＝t －12，所以f (t )＝4⎝⎛⎭⎫t －122－6·t －12＋5＝t 2－5t ＋9(t ∈R)，所以f (x )＝x 2－5x ＋9(x ∈R)． 法三：配凑法因为f (2x ＋1)＝4x 2－6x ＋5＝(2x ＋1)2－10x ＋4＝(2x ＋1)2－5(2x ＋1)＋9， 所以f (x )＝x 2－5x ＋9(x ∈R)．(2)解方程组法由f (－x )＋2f (x )＝2x ， ①得f (x )＋2f (－x )＝2－x ，②①×2－②，得3f (x )＝2x ＋1－2－x .即f (x )＝2x ＋1－2－x3.故f (x )的解析式是f (x )＝2x ＋1－2－x3(x ∈R)．[解题技法] 求函数解析式的4种方法及适用条件 (1)待定系数法先设出含有待定系数的解析式，再利用恒等式的性质，或将已知条件代入，建立方程(组)，通过解方程(组)求出相应的待定系数．(2)换元法对于形如y ＝f (g (x ))的函数解析式，令t ＝g (x )，从中求出x ＝φ(t )，然后代入表达式求出f (t )，再将t 换成x ，得到f (x )的解析式，要注意新元的取值范围．(3)配凑法由已知条件f (g (x ))＝F (x )，可将F (x )改写成关于g (x )的表达式，然后以x 替代g (x )，便得f (x )的解析式．(4)解方程组法已知关于f (x )与f ⎝⎛⎭⎫1x 或f (－x )的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f (x )．[提醒] 由于函数的解析式相同，定义域不同，则为不相同的函数，因此求函数的解析式时，如果定义域不是R ，一定要注明函数的定义域．[题组训练]1.[口诀第2句]已知f (x )是二次函数，且f (0)＝0，f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1，则f (x )＝________________.解析：设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)， 由f (0)＝0，知c ＝0，f (x )＝ax 2＋bx . 又由f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1，得a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＝ax 2＋bx ＋x ＋1， 即ax 2＋(2a ＋b )x ＋a ＋b ＝ax 2＋(b ＋1)x ＋1，所以⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＝b ＋1，a ＋b ＝1，解得a ＝b ＝12.所以f (x )＝12x 2＋12x (x ∈R)．答案：12x 2＋12x (x ∈R)2.[口诀第3句]已知f ⎝⎛⎭⎫2x ＋1＝lg x ，则f (x )＝________________.解析：令2x ＋1＝t ，得x ＝2t －1，则f (t )＝lg 2t －1，又x >0，所以t >1，故f (x )的解析式是f (x )＝lg2x －1(x >1)． 答案：lg2x －1(x >1) 3.[口诀第4句]已知f (x )满足2f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫1x ＝3x ，则f (x )＝________. 解析：∵2f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫1x ＝3x ，①把①中的x 换成1x ，得2f ⎝⎛⎭⎫1x ＋f (x )＝3x.② 联立①②可得⎩⎨⎧2f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫1x ＝3x ，2f ⎝⎛⎭⎫1x ＋f (x )＝3x，解此方程组可得f (x )＝2x －1x(x ≠0)．答案：2x －1x (x ≠0)考点三 分段函数考法(一) 求函数值[典例] (2019·石家庄模拟)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3x ，x >0，a x ＋b ，x ≤0(0<a <1)，且f (－2)＝5，f (－1)＝3，则f (f (－3))＝( )A ．－2B ．2C ．3D ．－3[解析] 由题意得，f (－2)＝a －2＋b ＝5，① f (－1)＝a －1＋b ＝3，②联立①②，结合0<a <1，得a ＝12，b ＝1，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3x ，x >0，⎝⎛⎭⎫12x ＋1，x ≤0，则f (－3)＝⎝⎛⎭⎫12－3＋1＝9，f (f (－3))＝f (9)＝log 39＝2. [答案] B[解题技法] 求分段函数的函数值的策略(1)求分段函数的函数值时，要先确定要求值的自变量属于哪一区间，然后代入该区间对应的解析式求值；(2)当出现f (f (a ))的形式时，应从内到外依次求值；(3)当自变量的值所在区间不确定时，要分类讨论，分类标准应参照分段函数不同段的端点．考法(二) 求参数或自变量的值(或范围)[典例] (2018·全国卷Ⅰ)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x，x ≤0，1，x >0，则满足f (x ＋1)<f (2x )的x 的取值范围是( )A ．(－∞，－1]B ．(0，＋∞)C ．(－1,0)D ．(－∞，0)[解析] 法一：分类讨论法①当⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≤0，2x ≤0，即x ≤－1时，f (x ＋1)<f (2x )，即为2－(x ＋1)<2－2x，即－(x ＋1)<－2x ，解得x <1. 因此不等式的解集为(－∞，－1]．②当⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≤0，2x >0时，不等式组无解．③当⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，2x ≤0，即－1<x ≤0时，f (x ＋1)<f (2x )，即为1<2－2x，解得x <0.因此不等式的解集为(－1,0)．④当⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，2x >0，即x >0时，f (x ＋1)＝1，f (2x )＝1，不合题意．综上，不等式f (x ＋1)<f (2x )的解集为(－∞，0)． 法二：数形结合法∵f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x ，x ≤0，1，x >0，∴函数f (x )的图象如图所示． 结合图象知，要使f (x ＋1)<f (2x )， 则需⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1<0，2x <0，2x <x ＋1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≥0，2x <0， ∴x <0，故选D. [答案] D[解题技法]已知函数值(或范围)求自变量的值(或范围)的方法(1)根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值(或范围)是否符合相应段的自变量的取值范围，最后将各段的结果合起来(求并集)即可；(2)如果分段函数的图象易得，也可以画出函数图象后结合图象求解．[题组训练]1．设f (x )＝⎩⎨⎧x ，0＜x ＜1，2(x －1)，x ≥1，若f (a )＝f (a ＋1)，则f ⎝⎛⎭⎫1a ＝( ) A ．2 B ．4 C ．6D ．8解析：选C 当0＜a ＜1时，a ＋1＞1，f (a )＝a ，f (a ＋1)＝2(a ＋1－1)＝2a ， ∵f (a )＝f (a ＋1)，∴a ＝2a ， 解得a ＝14或a ＝0(舍去)．∴f ⎝⎛⎭⎫1a ＝f (4)＝2×(4－1)＝6.当a ≥1时，a ＋1≥2，f (a )＝2(a －1)，f (a ＋1)＝2(a ＋1－1)＝2a ， ∵f (a )＝f (a ＋1)，∴2(a －1)＝2a ，无解． 综上，f ⎝⎛⎭⎫1a ＝6.2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x ≤1，f (x －1)，x >1，则f (f (3))＝________.解析：由题意，得f (3)＝f (2)＝f (1)＝21＝2，∴f (f (3))＝f (2)＝2. 答案：23．(2017·全国卷Ⅲ)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≤0，2x ，x >0，则满足f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫x －12>1的x 的取值范围是________．解析：由题意知，可对不等式分x ≤0,0<x ≤12，x >12讨论．①当x ≤0时，原不等式为x ＋1＋x ＋12>1，解得x >－14，故－14<x ≤0.②当0<x ≤12时，原不等式为2x ＋x ＋12>1，显然成立．③当x >12时，原不等式为2x ＋2x －12>1，显然成立．综上可知，所求x 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－14，＋∞. 答案：⎝⎛⎭⎫－14，＋∞ 4．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫12x －7，x <0，x ，x ≥0，若f (a )<1，则实数a 的取值范围是____________．解析：若a <0，则f (a )<1⇔⎝⎛⎭⎫12a －7<1⇔⎝⎛⎭⎫12a <8，解得a >－3，故－3<a <0； 若a ≥0，则f (a )<1⇔a <1，解得a <1，故0≤a <1. 综上可得－3<a <1. 答案：(－3,1)[课时跟踪检测]1．下列所给图象是函数图象的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选B ①中当x ＞0时，每一个x 的值对应两个不同的y 值，因此不是函数图象；②中当x ＝x 0时，y 的值有两个，因此不是函数图象；③④中每一个x 的值对应唯一的y 值，因此是函数图象．故选B.2．函数f (x )＝2x －1＋1x －2的定义域为( ) A ．[0,2)B ．(2，＋∞)C ．[0,2)∪(2，＋∞)D ．(－∞，2)∪(2，＋∞)解析：选C 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2x －1≥0，x －2≠0，解得x ≥0，且x ≠2.3．已知f ⎝⎛⎭⎫12x －1＝2x －5，且f (a )＝6，则a 等于( ) A.74 B ．－74C.43D ．－43解析：选A 令t ＝12x －1，则x ＝2t ＋2，f (t )＝2(2t ＋2)－5＝4t －1，则4a －1＝6，解得a ＝74.4．(2019·贵阳检测)下列函数中，同一个函数的定义域与值域相同的是( ) A ．y ＝x －1 B ．y ＝ln x C ．y ＝13x －1D ．y ＝x ＋1x －1解析：选D 对于A ，定义域为[1，＋∞)，值域为[0，＋∞)，不满足题意；对于B ，定义域为(0，＋∞)，值域为R ，不满足题意；对于C ，定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，值域为(－∞，－1)∪(0，＋∞)，不满足题意；对于D ，y ＝x ＋1x －1＝1＋2x －1，定义域为(－∞，1)∪(1，＋∞)，值域也是(－∞，1)∪(1，＋∞)．5．(2018·福建期末)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ＋a ，x >0，4x －2－1，x ≤0.若f (a )＝3，则f (a －2)＝( )A ．－1516B ．3C ．－6364或3D ．－1516或3解析：选A 当a >0时，若f (a )＝3，则log 2a ＋a ＝3，解得a ＝2(满足a >0)；当a ≤0时，若f (a )＝3，则4a －2－1＝3，解得a ＝3，不满足a ≤0，所以舍去．于是，可得a ＝2.故f (a －2)＝f (0)＝4－2－1＝－1516.6．已知函数y ＝f (2x －1)的定义域是[0,1]，则函数f (2x ＋1)log 2(x ＋1)的定义域是( )A ．[1,2]B ．(－1,1] C.⎣⎡⎦⎤－12，0 D ．(－1,0)解析：选D 由f (2x －1)的定义域是[0,1]， 得0≤x ≤1，故－1≤2x －1≤1， ∴f (x )的定义域是[－1,1]， ∴要使函数f (2x ＋1)log 2(x ＋1)有意义，需满足⎩⎪⎨⎪⎧－1≤2x ＋1≤1，x ＋1>0，x ＋1≠1，解得－1<x <0.7．下列函数中，不满足f (2 018x )＝2 018f (x )的是( ) A ．f (x )＝|x | B ．f (x )＝x －|x | C ．f (x )＝x ＋2D ．f (x )＝－2x解析：选C 若f (x )＝|x |，则f (2 018x )＝|2 018x |＝2 018|x |＝2 018f (x )；若f (x )＝x －|x |，则f (2 018x )＝2 018x －|2 018x |＝2 018(x －|x |)＝2 018f (x )；若f (x )＝x ＋2，则f (2 018x )＝2 018x ＋2，而2 018f (x )＝2 018x ＋2 018×2，故f (x )＝x ＋2不满足f (2 018x )＝2 018f (x )；若f (x )＝－2x ，则f (2 018x )＝－2×2 018x ＝2 018×(－2x )＝2 018f (x )．故选C.8．已知具有性质：f ⎝⎛⎭⎫1x ＝－f (x )的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数，下列函数： ①f (x )＝x －1x ；②f (x )＝x ＋1x ；③f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，0<x <1，0，x ＝1，－1x ，x >1.其中满足“倒负”变换的函数是( ) A ．①② B ．①③ C ．②③D ．①解析：选B 对于①，f (x )＝x －1x ，f ⎝⎛⎭⎫1x ＝1x－x ＝－f (x )，满足题意；对于②，f ⎝⎛⎭⎫1x ＝1x ＋x ＝f (x )，不满足题意；对于③，f ⎝⎛⎭⎫1x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，0<1x<1，0，1x ＝1，－x ，1x >1，即f ⎝⎛⎭⎫1x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1x，x >1，0，x ＝1，－x ，0<x <1，故f ⎝⎛⎭⎫1x ＝－f (x )，满足题意．综上可知，满足“倒负”变换的函数是①③.9．(2019·青岛模拟)函数y ＝ln ⎝⎛⎭⎫1＋1x ＋1－x 2的定义域为________． 解析：由⎩⎪⎨⎪⎧1＋1x >0，1－x 2≥0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x <－1或x >0，－1≤x ≤1⇒0<x ≤1.所以该函数的定义域为(0,1]． 答案：(0,1]10．(2019·益阳、湘潭调研)若函数f (x )＝⎩⎨⎧lg (1－x )，x <0，－2x ，x ≥0，则f (f (－9))＝________.解析：∵函数f (x )＝⎩⎨⎧lg (1－x )，x <0，－2x ，x ≥0，∴f (－9)＝lg 10＝1，∴f (f (－9))＝f (1)＝－2.答案：－211．(2018·张掖一诊)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x ＞0，x ＋1，x ≤0，若f (a )＋f (1)＝0，则实数a 的值等于________．解析：∵f (1)＝2，且f (1)＋f (a )＝0，∴f (a )＝－2＜0，故a ≤0. 依题知a ＋1＝－2，解得a ＝－3. 答案：－312．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧12x ＋1，x ≤0，－(x －1)2，x ＞0，使f (x )≥－1成立的x 的取值范围是________．解析：由题意知⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，12x ＋1≥－1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0，－(x －1)2≥－1， 解得－4≤x ≤0或0＜x ≤2， 故所求x 的取值范围是[－4,2]． 答案：[－4,2]13．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋b ，x ＜0，2x ，x ≥0，且f (－2)＝3，f (－1)＝f (1)．(1)求函数f (x )的解析式；(2)在如图所示的直角坐标系中画出f (x )的图象．解：(1)由f (－2)＝3，f (－1)＝f (1)，得⎩⎪⎨⎪⎧－2a ＋b ＝3，－a ＋b ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－1，b ＝1，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋1，x ＜0，2x ，x ≥0.(2)函数f (x )的图象如图所示．第二节函数的单调性与最值一、基础知识1．增函数、减函数定义：设函数f(x)的定义域为I：(1)增函数：如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数．(2)减函数：如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数．增(减)函数定义中的x1，x2的三个特征一是任意性；二是有大小，即x1<x2(x1>x2)；三是同属于一个单调区间，三者缺一不可．2．单调性、单调区间若函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做函数y＝f(x)的单调区间.有关单调区间的两个防范(1)单调区间只能用区间表示，不能用不等式表示．(2)有多个单调区间应分别写，不能用符号“∪”连接，也不能用“或”连接，只能用“逗号”或“和”连接．3．函数的最值设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：(1)对于任意的x∈I，都有f(x)≤M或f(x)≥M.(2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M.那么，我们称M是函数y＝f(x)的最大值或最小值．函数最值存在的两条结论(1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值．当函数在闭区间上单调时最值一定在端点取到．(2)开区间上的“单峰”函数一定存在最大(小)值．二、常用结论在公共定义域内：(1)函数f(x)单调递增，g(x)单调递增，则f(x)＋g(x)是增函数；(2)函数f (x )单调递减，g (x )单调递减，则f (x )＋g (x )是减函数； (3)函数f (x )单调递增，g (x )单调递减，则f (x )－g (x )是增函数； (4)函数f (x )单调递减，g (x )单调递增，则f (x )－g (x )是减函数；(5)若k >0，则kf (x )与f (x )单调性相同；若k <0，则kf (x )与f (x )单调性相反； (6)函数y ＝f (x )(f (x )>0)在公共定义域内与y ＝－f (x )，y ＝1f (x )的单调性相反；(7)复合函数y ＝f [g (x )]的单调性与y ＝f (u )和u ＝g (x )的单调性有关．简记：“同增异减”．考点一 确定函数的单调性(区间))[典例] (1)求函数f (x )＝－x 2＋2|x |＋1的单调区间． (2)试讨论函数f (x )＝ax x －1(a ≠0)在(－1,1)上的单调性．[解] (1)易知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ＋1，x ≥0，－x 2－2x ＋1，x <0＝⎩⎪⎨⎪⎧－(x －1)2＋2，x ≥0，－(x ＋1)2＋2，x <0. 画出函数图象如图所示，可知单调递增区间为(－∞，－1]和[0,1]，单调递减区间为[－1,0]和[1，＋∞)．(2)法一：定义法 设－1<x 1<x 2<1， f (x )＝a ⎝⎛⎭⎪⎫x －1＋1x －1＝a ⎝⎛⎭⎫1＋1x －1，则f (x 1)－f (x 2)＝a ⎝⎛⎭⎫1＋1x 1－1－a ⎝⎛⎭⎫1＋1x 2－1＝a (x 2－x 1)(x 1－1)(x 2－1).由于－1<x 1<x 2<1，所以x 2－x 1>0，x 1－1<0，x 2－1<0， 故当a >0时，f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)， 函数f (x )在(－1,1)上单调递减；当a <0时，f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)， 函数f (x )在(－1,1)上单调递增． 法二：导数法f ′(x )＝(ax )′(x －1)－ax (x －1)′(x －1)2＝a (x －1)－ax (x －1)2＝－a(x －1)2. 当a >0时，f ′(x )<0，函数f (x )在(－1,1)上单调递减； 当a <0时，f ′(x )>0，函数f (x )在(－1,1)上单调递增．[解题技法] 判断函数单调性和求单调区间的方法(1)定义法：一般步骤为设元―→作差―→变形―→判断符号―→得出结论．(2)图象法：如果f (x )是以图象形式给出的，或者f (x )的图象易作出，则可由图象的上升或下降确定单调性．(3)导数法：先求导数，利用导数值的正负确定函数的单调性及区间．(4)性质法：对于由基本初等函数的和、差构成的函数，根据各初等函数的增减性及复合函数单调性性质进行判断；复合函数单调性，可用同增异减来确定．[题组训练]1．下列函数中，满足“∀x 1，x 2∈(0，＋∞)且x 1≠x 2，(x 1－x 2)·[f (x 1)－f (x 2)]<0”的是( ) A ．f (x )＝2x B ．f (x )＝|x －1| C ．f (x )＝1x－xD ．f (x )＝ln(x ＋1)解析：选C 由(x 1－x 2)·[f (x 1)－f (x 2)]<0可知，f (x )在(0，＋∞)上是减函数，A 、D 选项中，f (x )为增函数；B 中，f (x )＝|x －1|在(0，＋∞)上不单调；对于f (x )＝1x －x ，因为y ＝1x 与y ＝－x 在(0，＋∞)上单调递减，因此f (x )在(0，＋∞)上是减函数．2．函数f (x )＝log 12(x 2－4)的单调递增区间是( )A ．(0，＋∞)B ．(－∞，0)C ．(2，＋∞)D ．(－∞，－2)解析：选D 令t ＝x 2－4，则y ＝log 12t .因为y ＝log 12t 在定义域上是减函数，所以求原函数的单调递增区间，即求函数t ＝x 2－4的单调递减区间，结合函数的定义域，可知所求区间为(－∞，－2)．3．判断函数f (x )＝x ＋ax (a >0)在(0，＋∞)上的单调性．解：设x 1，x 2是任意两个正数，且x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝⎝⎛⎭⎫x 1＋a x 1－⎝⎛⎭⎫x 2＋a x 2＝x 1－x 2x 1x 2(x 1x 2－a )． 当0<x 1<x 2≤a 时，0<x 1x 2<a ，x 1－x 2<0，所以f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)， 所以函数f (x )在(0，a ]上是减函数； 当a ≤x 1<x 2时，x 1x 2>a ，x 1－x 2<0， 所以f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)， 所以函数f (x )在[a ，＋∞)上是增函数．综上可知，函数f (x )＝x ＋ax (a >0)在(0，a ]上是减函数，在[a ，＋∞)上是增函数．考点二 求函数的值域(最值))[典例] (1)(2019•深圳调研)函数y ＝|x ＋1|＋|x －2|的值域为________．(2)若函数f (x )＝－ax＋b (a >0)在⎣⎡⎦⎤12，2上的值域为⎣⎡⎦⎤12，2，则a ＝________，b ＝________. (3)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2－4x ，x ≤0，sin x ，x >0的最大值为________．[解析] (1)图象法函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋1，x ≤－1，3，－1<x <2，2x －1，x ≥2.作出函数的图象如图所示．根据图象可知，函数y ＝|x ＋1|＋|x －2|的值域为[3，＋∞)． (2)单调性法∵f (x )＝－ax ＋b (a >0)在⎣⎡⎦⎤12，2上是增函数， ∴f (x )min ＝f ⎝⎛⎭⎫12＝12，f (x )max ＝f (2)＝2.即⎩⎨⎧－2a ＋b ＝12，－a2＋b ＝2，解得a ＝1，b ＝52.(3)当x ≤0时，f (x )＝－x 2－4x ＝－(x ＋2)2＋4，而－2∈(－∞，0]，此时f (x )在x ＝－2处取得最大值，且f (－2)＝4；当x >0时，f (x )＝sin x ，此时f (x )在区间(0，＋∞)上的最大值为1.综上所述，函数f (x )的最大值为4.[答案] (1)[3，＋∞) (2)1 52(3)4[提醒] (1)求函数的最值时，应先确定函数的定义域．(2)求分段函数的最值时，应先求出每一段上的最值，再选取其中最大的作为分段函数的最大值，最小的作为分段函数的最小值．[题组训练]1．函数f (x )＝x 2＋4x 的值域为________．解析：当x >0时，f (x )＝x ＋4x ≥4，当且仅当x ＝2时取等号； 当x <0时，－x ＋⎝⎛⎭⎫－4x ≥4， 即f (x )＝x ＋4x ≤－4，当且仅当x ＝－2取等号，所以函数f (x )的值域为(－∞，－4]∪[4，＋∞)． 答案：(－∞，－4]∪[4，＋∞)2．若x ∈⎣⎡⎦⎤－π6，2π3，则函数y ＝4sin 2x －12sin x －1的最大值为________，最小值为________．解析：令t ＝sin x ，因为x ∈⎣⎡⎦⎤－π6，2π3， 所以t ∈⎣⎡⎦⎤－12，1，y ＝f (t )＝4t 2－12t －1， 因为该二次函数的图象开口向上，且对称轴为t ＝32，所以当t ∈⎣⎡⎦⎤－12，1时，函数f (t )单调递减，所以当t ＝－12时，y max ＝6；当t ＝1时，y min ＝－9. 答案：6 －93．已知f (x )＝x 2＋2x ＋ax ，x ∈[1，＋∞)，且a ≤1.若对任意x ∈[1，＋∞)，f (x )>0恒成立，则实数a 的取值范围是________．解析：对任意x ∈[1，＋∞)，f (x )>0恒成立等价于x 2＋2x ＋a >0在x ∈[1，＋∞)上恒成立，即a >－x 2－2x 在x ∈[1，＋∞)上恒成立．又函数y ＝－x 2－2x 在[1，＋∞)上单调递减， ∴(－x 2－2x )max ＝－3，故a >－3，又∵a ≤1，∴－3<a ≤1. 答案：(－3,1]考点三 函数单调性的应用考法(一) 比较函数值的大小[典例] 设偶函数f (x )的定义域为R ，当x ∈[0，＋∞)时，f (x )是增函数，则f (－2)，f (π)，f (－3)的大小关系是( )A ．f (π)>f (－3)>f (－2)B ．f (π)>f (－2)>f (－3)C ．f (π)<f (－3)<f (－2)D ．f (π)<f (－2)<f (－3)[解析] 因为f (x )是偶函数，所以f (－3)＝f (3)，f (－2)＝f (2)． 又因为函数f (x )在[0，＋∞)上是增函数． 所以f (π)>f (3)>f (2)，即f (π)>f (－3)>f (－2)． [答案] A[解题技法] 比较函数值大小的解题思路比较函数值的大小时，若自变量的值不在同一个单调区间内，要利用其函数性质，转化到同一个单调区间内进行比较，对于选择题、填空题能数形结合的尽量用图象法求解．考法(二) 解函数不等式[典例] 设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x <2，x 2，x ≥2.若f (a ＋1)≥f (2a －1)，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，1]B ．(－∞，2]C ．[2,6]D ．[2，＋∞)[解析] 易知函数f (x )在定义域(－∞，＋∞)上是增函数，∵f (a ＋1)≥f (2a －1)， ∴a ＋1≥2a －1，解得a ≤2.故实数a 的取值范围是(－∞，2]． [答案] B[解题技法] 求解含“f ”的函数不等式的解题思路先利用函数的相关性质将不等式转化为f (g (x ))>f (h (x ))的形式，再根据函数的单调性去掉“f ”，得到一般的不等式g (x )>h (x )(或g (x )<h (x ))．考法(三) 利用单调性求参数的范围(或值)[典例] (2019•南京调研)已知函数f (x )＝x －a x ＋a2在(1，＋∞)上是增函数，则实数a 的取值范围是________．[解析] 设1<x 1<x 2，∴x 1x 2>1. ∵函数f (x )在(1，＋∞)上是增函数， ∴f (x 1)－f (x 2)＝x 1－a x 1＋a2－⎝⎛⎭⎫x 2－a x 2＋a 2 ＝(x 1－x 2)⎝⎛⎭⎫1＋a x 1x 2<0.∵x 1－x 2<0，∴1＋ax 1x 2>0，即a >－x 1x 2.∵1<x 1<x 2，x 1x 2>1，∴－x 1x 2<－1，∴a ≥－1. ∴a 的取值范围是[－1，＋∞)． [答案] [－1，＋∞)[解题技法]利用单调性求参数的范围(或值)的方法(1)视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数；(2)需注意若函数在区间[a ，b ]上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的．[题组训练]1．已知函数f (x )的图象向左平移1个单位后关于y 轴对称，当x 2>x 1>1时，[f (x 2)－f (x 1)]·(x 2－x 1)<0恒成立，设a ＝f ⎝⎛⎭⎫－12，b ＝f (2)，c ＝f (3)，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．c >a >b B ．c >b >a C ．a >c >bD ．b >a >c解析：选D 由于函数f (x )的图象向左平移1个单位后得到的图象关于y 轴对称，故函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称，所以a ＝f ⎝⎛⎭⎫－12＝f ⎝⎛⎭⎫52.当x 2>x 1>1时，[f (x 2)－f (x 1)](x 2－x 1)<0恒成立，等价于函数f (x )在(1，＋∞)上单调递减，所以b >a >c .2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax 2－x －14，x ≤1，log a x －1，x >1是R 上的单调函数，则实数a 的取值范围是( )A.⎣⎡⎭⎫14，12 B.⎣⎡⎦⎤14，12 C.⎝⎛⎦⎤0，12 D.⎣⎡⎭⎫12，1解析：选B 由对数函数的定义可得a >0，且a ≠1.又函数f (x )在R 上单调，而二次函数y ＝ax 2－x －14的图象开口向上，所以函数f (x )在R 上单调递减，故有⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1，12a≥1，a ×12－1－14≥log a1－1，即⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1，0<a ≤12，a ≥14.所以a ∈⎣⎡⎦⎤14，12.[课时跟踪检测]A 级1．下列四个函数中，在x ∈(0，＋∞)上为增函数的是( ) A ．f (x )＝3－x B ．f (x )＝x 2－3x C ．f (x )＝－1x ＋1D ．f (x )＝－|x |解析：选C 当x >0时，f (x )＝3－x 为减函数；当x ∈⎝⎛⎭⎫0，32时，f (x )＝x 2－3x 为减函数，当x ∈⎝⎛⎭⎫32，＋∞时，f (x )＝x 2－3x 为增函数；当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝－1x ＋1为增函数；当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝－|x |为减函数．2．若函数f (x )＝ax ＋1在R 上单调递减，则函数g (x )＝a (x 2－4x ＋3)的单调递增区间是( )A ．(2，＋∞)B ．(－∞，2)C ．(4，＋∞)D ．(－∞，4)解析：选B 因为f (x )＝ax ＋1在R 上单调递减，所以a <0. 而g (x )＝a (x 2－4x ＋3)＝a (x －2)2－a .因为a <0，所以g (x )在(－∞，2)上单调递增．3．已知函数f (x )是定义在区间[0，＋∞)上的函数，且在该区间上单调递增，则满足f (2x －1)＜f ⎝⎛⎭⎫13的x 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫13，23 B.⎣⎡⎭⎫13，23 C.⎝⎛⎭⎫12，23D.⎣⎡⎭⎫12，23解析：选D 因为函数f (x )是定义在区间[0，＋∞)上的增函数，满足f (2x －1)＜f ⎝⎛⎭⎫13.所以0≤2x －1＜13，解得12≤x ＜23.4．(2019·菏泽模拟)定义新运算⊕：当a ≥b 时，a ⊕b ＝a ；当a <b 时，a ⊕b ＝b 2，则函数f (x )＝(1⊕x )x －(2⊕x )，x ∈[－2，2]的最大值等于( )A ．－1B ．1C ．6D ．12解析：选C 由题意知当－2≤x ≤1时，f (x )＝x －2，当1<x ≤2时，f (x )＝x 3－2，又f (x )＝x －2，f (x )＝x 3－2在相应的定义域内都为增函数，且f (1)＝－1，f (2)＝6，∴f (x )的最大值为6.5．已知函数f (x )是R 上的增函数，A (0，－3)，B (3,1)是其图象上的两点，那么不等式－3＜f (x ＋1)＜1的解集的补集是(全集为R)( )A ．(－1,2)B ．(1,4)C ．(－∞，－1)∪[4，＋∞)D ．(－∞，－1]∪[2，＋∞)解析：选D 由函数f (x )是R 上的增函数，A (0，－3)，B (3,1)是其图象上的两点，知不等式－3＜f (x ＋1)＜1即为f (0)＜f (x ＋1)＜f (3)，所以0＜x ＋1＜3，所以－1＜x ＜2，故不等式－3＜f (x ＋1)＜1的解集的补集是(－∞，－1]∪[2，＋∞)．6．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2－ax －5，x ≤1，a x ，x >1是R 上的增函数，则实数a 的取值范围是( )A ．[－3,0)B ．(－∞，－2]C ．[－3，－2]D ．(－∞，0)解析：选C 若f (x )是R 上的增函数，则应满足⎩⎪⎨⎪⎧－a2≥1，a <0，－12－a ×1－5≤a 1，解得－3≤a ≤－2.7．已知函数f (x )＝x 2－2x －3，则该函数的单调递增区间为________．解析：设t ＝x 2－2x －3，由t ≥0，即x 2－2x －3≥0，解得x ≤－1或x ≥3，所以函数f (x )的定义域为(－∞，－1]∪[3，＋∞)．因为函数t ＝x 2－2x －3的图象的对称轴为x ＝1，所以函数t ＝x 2－2x －3在(－∞，－1]上单调递减，在[3，＋∞)上单调递增，所以函数f (x )的单调递增区间为[3，＋∞)．答案：[3，＋∞)8．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，x ≥1，－x 2＋2，x <1的最大值为________．解析：当x ≥1时，函数f (x )＝1x 为减函数，所以f (x )在x ＝1处取得最大值，为f (1)＝1；当x <1时，易知函数f (x )＝－x 2＋2在x ＝0处取得最大值，为f (0)＝2.故函数f (x )的最大值为2.答案：29．若函数f (x )＝1x 在区间[2，a ]上的最大值与最小值的和为34，则a ＝________.解析：由f (x )＝1x 的图象知，f (x )＝1x 在(0，＋∞)上是减函数，∵[2，a ]⊆(0，＋∞)，∴f (x )＝1x 在[2，a ]上也是减函数，∴f (x )max ＝f (2)＝12，f (x )min ＝f (a )＝1a ，∴12＋1a ＝34，∴a ＝4. 答案：410．(2019·甘肃会宁联考)若f (x )＝x ＋a －1x ＋2在区间(－2，＋∞)上是增函数，则实数a 的取值范围是________．解析：f (x )＝x ＋a －1x ＋2＝x ＋2＋a －3x ＋2＝1＋a －3x ＋2，要使函数在区间(－2，＋∞)上是增函数，需使a －3<0，解得a <3.答案：(－∞，3)11．已知函数f (x )＝1a －1x (a ＞0，x ＞0)．(1)求证：f (x )在(0，＋∞)上是增函数；(2)若f (x )在⎣⎡⎦⎤12，2上的值域是⎣⎡⎦⎤12，2，求a 的值． 解：(1)证明：任取x 1＞x 2＞0， 则f (x 1)－f (x 2)＝1a －1x 1－1a ＋1x 2＝x 1－x 2x 1x 2，∵x 1＞x 2＞0，∴x 1－x 2＞0，x 1x 2＞0， ∴f (x 1)－f (x 2)＞0， 即f (x 1)＞f (x 2)，∴f (x )在(0，＋∞)上是增函数．(2)由(1)可知，f (x )在⎣⎡⎦⎤12，2上是增函数， ∴f ⎝⎛⎭⎫12＝1a －2＝12，f (2)＝1a －12＝2， 解得a ＝25.12．已知f (x )＝xx －a(x ≠a )．(1)若a ＝－2，试证f (x )在(－∞，－2)内单调递增；(2)若a ＞0且f (x )在(1，＋∞)内单调递减，求a 的取值范围． 解：(1)证明：当a ＝－2时，f (x )＝xx ＋2.任取x 1，x 2∈(－∞，－2)，且x 1＜x 2， 则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1＋2－x 2x 2＋2＝2(x 1－x 2)(x 1＋2)(x 2＋2). 因为(x 1＋2)(x 2＋2)＞0，x 1－x 2＜0， 所以f (x 1)－f (x 2)＜0，即f (x 1)＜f (x 2)， 所以f (x )在(－∞，－2)内单调递增． (2)任取x 1，x 2∈(1，＋∞)，且x 1＜x 2， 则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1－a －x 2x 2－a ＝a (x 2－x 1)(x 1－a )(x 2－a ). 因为a ＞0，x 2－x 1＞0，又由题意知f (x 1)－f (x 2)＞0， 所以(x 1－a )(x 2－a )＞0恒成立，所以a ≤1. 所以0＜a ≤1.所以a 的取值范围为(0,1]．B 级1．若f (x )＝－x 2＋4mx 与g (x )＝2mx ＋1在区间[2,4]上都是减函数，则m 的取值范围是( )A ．(－∞，0)∪(0,1]B ．(－1,0)∪(0,1]C ．(0，＋∞)D ．(0,1]解析：选D 函数f (x )＝－x 2＋4mx 的图象开口向下，且以直线x ＝2m 为对称轴，若在区间[2,4]上是减函数，则2m ≤2，解得m ≤1；g (x )＝2m x ＋1的图象由y ＝2mx 的图象向左平移一个单位长度得到，若在区间[2,4]上是减函数，则2m >0，解得m >0.综上可得，m 的取值范围是(0,1]．2．已知函数f (x )＝ln x ＋x ，若f (a 2－a )>f (a ＋3)，则正数a 的取值范围是________． 解析：因为f (x )＝ln x ＋x 在(0，＋∞)上是增函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2－a >a ＋3，a 2－a >0，a ＋3>0，解得－3<a <－1或a >3.又a >0，所以a >3. 答案：(3，＋∞)3．已知定义在R 上的函数f (x )满足：①f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )＋1，②当x >0时，f (x )>－1. (1)求f (0)的值，并证明f (x )在R 上是单调增函数; (2)若f (1)＝1，解关于x 的不等式f (x 2＋2x )＋f (1－x )>4. 解：(1)令x ＝y ＝0，得f (0)＝－1.在R 上任取x 1>x 2，则x 1－x 2>0，f (x 1－x 2)>－1. 又f (x 1)＝f [(x 1－x 2)＋x 2]＝f (x 1－x 2)＋f (x 2)＋1>f (x 2)， 所以函数f (x )在R 上是单调增函数． (2)由f (1)＝1，得f (2)＝3，f (3)＝5.由f (x 2＋2x )＋f (1－x )>4得f (x 2＋x ＋1)>f (3)， 又函数f (x )在R 上是增函数，故x 2＋x ＋1>3， 解得x <－2或x >1，故原不等式的解集为{x |x <－2或x >1}．第三节 函数的奇偶性与周期性一、基础知1．函数的奇偶性函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提条件．若f (x )≠0，则奇(偶)函数定义的等价形式如下：(1)f (－x )＝f (x )⇔f (－x )－f (x )＝0⇔f (－x )f (x )＝1⇔f (x )为偶函数；(2)f (－x )＝－f (x )⇔f (－x )＋f (x )＝0⇔f (－x )f (x )＝－1⇔f (x )为奇函数．2．函数的周期性 (1)周期函数对于函数f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的任何值时，都有f (x ＋T )＝f (x )，那么就称函数f (x )为周期函数，称T 为这个函数的周期．周期函数定义的实质存在一个非零常数T ，使f (x ＋T )＝f (x )为恒等式，即自变量x 每增加一个T 后，函数值就会重复出现一次．(2)最小正周期如果在周期函数f (x )的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f (x )的最小正周期．二、常用结论1．函数奇偶性常用结论(1)如果函数f (x )是奇函数且在x ＝0处有定义，则一定有f (0)＝0；如果函数f (x )是偶函数，那么f (x )＝f (|x |)．(2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．(3)在公共定义域内有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．2．函数周期性常用结论 对f (x )定义域内任一自变量x ： (1)若f (x ＋a )＝－f (x )，则T ＝2a (a >0)． (2)若f (x ＋a )＝1f (x )，则T ＝2a (a >0)． (3)若f (x ＋a )＝－1f (x )，则T ＝2a (a >0)．3．函数图象的对称性(1)若函数y ＝f (x ＋a )是偶函数，即f (a －x )＝f (a ＋x )，则函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝a 对称．(2)若对于R 上的任意x 都有f (2a －x )＝f (x )或f (－x )＝f (2a ＋x )，则y ＝f (x )的图象关于直线x ＝a 对称．(3)若函数y ＝f (x ＋b )是奇函数，即f (－x ＋b )＋f (x ＋b )＝0，则函数y ＝f (x )关于点(b,0)中心对称．考点一 函数奇偶性的判断[典例] 判断下列函数的奇偶性： (1)f (x )＝36－x 2|x ＋3|－3；(2)f (x )＝1－x 2＋x 2－1； (3)f (x )＝log 2(1－x 2)|x －2|－2；(4)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，x <0，x 2－x ，x >0.[解] (1)由f (x )＝36－x 2|x ＋3|－3，可知⎩⎪⎨⎪⎧ 36－x 2≥0，|x ＋3|－3≠0⇒⎩⎪⎨⎪⎧－6≤x ≤6，x ≠0且x ≠－6，故函数f (x )的定义域为(－6,0)∪(0,6]，定义域不关于原点对称，故f (x )为非奇非偶函数．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2≥0，x 2－1≥0⇒x 2＝1⇒x ＝±1，故函数f (x )的定义域为{－1,1}，关于原点对称，且f (x )＝0，所以f (－x )＝f (x )＝－f (x )，所以函数f (x )既是奇函数又是偶函数．(3)由⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2>0，|x －2|－2≠0⇒－1<x <0或0<x <1，定义域关于原点对称．此时f (x )＝log 2(1－x 2)|x －2|－2＝log 2(1－x 2)2－x －2＝－log 2(1－x 2)x ，故有f (－x )＝－log 2[1－(－x )2]－x ＝log 2(1－x 2)x ＝－f (x )，所以函数f (x )为奇函数． (4)法一：图象法画出函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，x <0，x 2－x ，x >0的图象如图所示，图象关于y 轴对称，故f (x )为偶函数．法二：定义法易知函数f (x )的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，当x >0时，f (x )＝x 2－x ，则当x <0时，－x >0，故f (－x )＝x 2＋x ＝f (x )；当x <0时，f (x )＝x 2＋x ，则当x >0时，－x <0，故f (－x )＝x 2－x ＝f (x )，故原函数是偶函数．法三：f (x )还可以写成f (x )＝x 2－|x |(x ≠0)，故f (x )为偶函数．[题组训练]1．(2018·福建期末)下列函数为偶函数的是( ) A ．y ＝tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π4 B ．y ＝x 2＋e |x | C ．y ＝x cos xD ．y ＝ln|x |－sin x解析：选B 对于选项A ，易知y ＝tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π4为非奇非偶函数；对于选项B ，设f (x )＝x 2＋e |x |，则f (－x )＝(－x )2＋e |－x |＝x 2＋e |x |＝f (x )，所以y ＝x 2＋e |x |为偶函数；对于选项C ，设f (x )＝x cos x ，则f (－x )＝－x cos(－x )＝－x cos x ＝－f (x )，所以y ＝x cos x 为奇函数；对于选项D ，设f (x )＝ln|x |－sin x ，则f (2)＝ln 2－sin 2，f (－2)＝ln 2－sin(－2)＝ln 2＋sin 2≠f (2)，所以y ＝ln|x |－sin x 为非奇非偶函数，故选B.2．设函数f (x )＝e x －e －x2，则下列结论错误的是( )A ．|f (x )|是偶函数B ．－f (x )是奇函数C ．f (x )|f (x )|是奇函数D ．f (|x |)f (x )是偶函数解析：选D ∵f (x )＝e x －e －x2，则f (－x )＝e －x －e x2＝－f (x )．∴f (x )是奇函数． ∵f (|－x |)＝f (|x |)，∴f (|x |)是偶函数，∴f (|x |)f (x )是奇函数．考点二 函数奇偶性的应用[典例] (1)(2019·福建三明模拟)函数y ＝f (x )是R 上的奇函数，当x <0时，f (x )＝2x ，则当x >0时，f (x )＝( )A ．－2xB ．2－xC ．－2－xD ．2x(2)(2018·贵阳摸底考试)已知函数f (x )＝a －2e x ＋1(a ∈R)是奇函数，则函数f (x )的值域为( )A ．(－1,1)B ．(－2,2)C ．(－3,3)D ．(－4,4)[解析] (1)当x >0时，－x <0，∵x <0时，f (x )＝2x ，∴当x >0时，f (－x )＝2－x .∵f (x )是R 上的奇函数，∴当x >0时，f (x )＝－f (－x )＝－2－x .(2)法一：由f (x )是奇函数知f (－x )＝－f (x )，所以a －2e －x＋1＝－a ＋2e x ＋1，得2a ＝2e x＋1＋2e －x ＋1，所以a ＝1e x ＋1＋e x e x ＋1＝1，所以f (x )＝1－2e x ＋1.因为e x ＋1>1，所以0<1e x ＋1<1，－1<1－2e x ＋1<1，所以函数f (x )的值域为(－1,1)．法二：函数f (x )的定义域为R ，且函数f (x )是奇函数，所以f (0)＝a －1＝0，即a ＝1，所以f (x )＝1－2e x ＋1.因为e x ＋1>1，所以0<1e x ＋1<1，－1<1－2e x ＋1<1，所以函数f (x )的值域为(－1,1)．[答案] (1)C (2)A[解题技法]应用函数奇偶性可解决的四类问题及解题方法(1)求函数值将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解．(2)求解析式先将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用奇偶性求解，或充分利用奇偶性构造关于f (x )的方程(组)，从而得到f (x )的解析式．(3)求函数解析式中参数的值利用待定系数法求解，根据f (x )±f (－x )＝0得到关于待求参数的恒等式，由系数的对等性得参数的值或方程(组)，进而得出参数的值．(4)画函数图象和判断单调性利用奇偶性可画出另一对称区间上的图象及判断另一区间上的单调性．[题组训练]1．(2019·贵阳检测)若函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝log 2(x ＋2)－1，则f (－6)＝( )A ．2B ．4C ．－2D ．－4解析：选C 根据题意得f (－6)＝－f (6)＝1－log 2(6＋2)＝1－3＝－2.2．已知函数f (x )为奇函数，当x >0时，f (x )＝x 2－x ，则当x <0时，函数f (x )的最大值为________．解析：法一：当x <0时，－x >0，所以f (－x )＝x 2＋x .又因为函数f (x )为奇函数，所以f (x )＝－f (－x )＝－x 2－x ＝－⎝⎛⎭⎫x ＋122＋14，所以当x <0时，函数f (x )的最大值为14. 法二：当x >0时，f (x )＝x 2－x ＝⎝⎛⎭⎫x －122－14，最小值为－14，因为函数f (x )为奇函数，所以当x <0时，函数f (x )的最大值为14.答案：143．(2018·合肥八中模拟)若函数f (x )＝x ln(x ＋a ＋x 2)为偶函数，则a ＝________. 解析：∵f (x )＝x ln(x ＋a ＋x 2)为偶函数，∴f (－x )＝f (x )，即－x ln(a ＋x 2－x )＝x ln(x ＋a ＋x 2)，从而ln[(a ＋x 2)2－x 2]＝0，即ln a ＝0，故a ＝1.答案：1考点三 函数的周期性[典例] (1)(2018·开封期末)已知定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＝－f (x ＋2)，当x ∈(0,2]时，f (x )＝2x ＋log 2x ，则f (2 019)＝( )A ．5 B.12C ．2D ．－2(2)(2018·江苏高考)函数f (x )满足f (x ＋4)＝f (x )(x ∈R)，且在区间(－2,2]上，f (x )＝⎩⎨⎧cos πx2，0<x ≤2，⎪⎪⎪⎪x ＋12，－2<x ≤0，则f (f (15))的值为________．[解析] (1)由f (x )＝－f (x ＋2)，得f (x ＋4)＝f (x )，所以函数f (x )是周期为4的周期函数，所以f (2 019)＝f (504×4＋3)＝f (3)＝f (1＋2)＝－f (1)＝－(2＋0)＝－2.(2)由函数f (x )满足f (x ＋4)＝f (x )(x ∈R)， 可知函数f (x )的周期是4， 所以f (15)＝f (－1)＝⎪⎪⎪⎪－1＋12＝12， 所以f (f (15))＝f ⎝⎛⎭⎫12＝cos π4＝22. [答案] (1)D (2)22[题组训练]1．(2019·山西八校联考)已知f (x )是定义在R 上的函数，且满足f (x ＋2)＝－1f (x )，当2≤x ≤3时，f (x )＝x ，则f ⎝⎛⎭⎫－112＝________. 解析：∵f (x ＋2)＝－1f (x )，∴f (x ＋4)＝f (x )， ∴f ⎝⎛⎭⎫－112＝f ⎝⎛⎭⎫52，又2≤x ≤3时，f (x )＝x ， ∴f ⎝⎛⎭⎫52＝52，∴f ⎝⎛⎭⎫－112＝52. 答案：522．(2019·哈尔滨六中期中)设f (x )是定义在R 上的周期为3的函数，当x ∈[－2,1)时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧4x 2－2，－2≤x ≤0，x ，0<x <1，则f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫214＝________. 解析：由题意可得f ⎝⎛⎭⎫214＝f ⎝⎛⎭⎫6－34＝f ⎝⎛⎭⎫－34＝4×⎝⎛⎭⎫－342－2＝14，f ⎝⎛⎭⎫14＝14.答案：14[课时跟踪检测]A 级1．下列函数为奇函数的是( ) A ．f (x )＝x 3＋1 B ．f (x )＝ln 1－x1＋xC ．f (x )＝e xD ．f (x )＝x sin x解析：选B 对于A ，f (－x )＝－x 3＋1≠－f (x )，所以其不是奇函数；对于B ，f (－x )＝ln 1＋x 1－x＝－ln1－x 1＋x＝－f (x )，所以其是奇函数；对于C ，f (－x )＝e －x ≠－f (x )，所以其不是奇函数；对于D ，f (－x )＝－x sin(－x )＝x sin x ＝f (x )，所以其不是奇函数．故选B.2．(2019·南昌联考)函数f (x )＝9x ＋13x 的图象( )A ．关于x 轴对称B ．关于y 轴对称C ．关于坐标原点对称D ．关于直线y ＝x 对称解析：选B 因为f (x )＝9x ＋13x ＝3x ＋3－x ，易知f (x )为偶函数，所以函数f (x )的图象关于y轴对称．3．设函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2(x ＋1)，x ≥0，g (x )，x ＜0，则f (－7)＝( )A ．3B ．－3C ．2D ．－2解析：选B 因为函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2(x ＋1)，x ≥0，g (x )，x ＜0，所以f (－7)＝－f (7)＝－log 2(7＋1)＝－3.4．若定义在R 上的偶函数f (x )和奇函数g (x )满足f (x )＋g (x )＝e x ，则g (x )＝( ) A ．e x －e －xB.12(e x ＋e －x )C.12(e －x －e x ) D.12(e x －e －x )解析：选D 因为f (x )＋g (x )＝e x ，所以f (－x )＋g (－x )＝f (x )－g (x )＝e －x ，。
数学基础知识-函数
函数Ⅰ教学要求1. 理解函数的概念.2. 理解函数的三种表示法.3. 理解函数的单调性.4. 理解函数的奇偶性.5. 了解函数的实际应用举例.Ⅱ教材分析本章内容介绍现实世界中许多量之间有依赖关系，一个量变化时另一个量也随之变化. 函数是研究变量之间确定性依赖关系的数学模型，是数学中最基本的概念之一.教材的编写从中职学生实际出发，使用与集合相对应的语言刻画函数概念，使学生认识到函数是描述客观世界中变量间依赖关系的数学模型.列举了大量的实例，使学生建立起函数的概念，进而强化对函数符号意义的理解.函数的图像是数形结合的基础，要让学生理解函数的图像的意义. 教材充分利用函数图像，让学生通过观察图像获得对函数基本性质的直观认识，这样处理充分体现了数形结合的思想.本章在引进函数的概念后，介绍了函数的三种不同表示方法：列表法、解析法和图像法，使学生对函数这一抽象概念有更深刻的理解和认识.本章出现了较多的概念和数学符号，内容较为抽象，需从实际问题出发，从实例入手，从具体问题抽象出数学概念，体现数学与生活实际的密切联系，提升学生的学习兴趣.学好本章的关键是：深刻理解函数的概念和函数图像的意义. 除此之外，对于刚刚入第3章函数校的中职生，在教学中，要做好与初中知识的衔接. 主要注意以下几个方面：(1) 加强概念的教学．引入概念应注意从学生熟悉的事物入手．教师每讲授一个新概念时，要给学生提供能反映概念本质属性的素材，使学生在获得一定的感性认识的基础上，通过观察、比较、归纳提高到理性认识，以形成完整的概念．对容易混淆的概念，适当采用对比的方法，使学生从正误两种例子中加深对概念的理解．(2) 温故而知新．在引进和运用新知识时，尽量复习已学过的知识，使已学过的知识得到不断的重现而加以巩固；要有意识地应用集合和命题的符号和术语；对于有关条件和结论，要经常注意提到是不是充分条件或必要条件；注意复习函数的定义域与不等式的解法等．(3) 注意数形结合．用数形结合的方法分析研究和解决一个问题．对中职学生具有特殊的重要意义．分析函数性质时作出简图，便于增强学生对函数直观的感知：观察图像的性态，用分析的方法研究函数的性质，使直观的感知上升到理性的认识．例如，对函数的单调性和奇偶性，要尽可能地画出简图．本章教学重点1. 函数的概念.2. 函数的图像和性质.3. 函数的应用.本章教学难点1. 函数的概念.2. 函数的实际应用.本章学时安排如下（仅供参考）3.1 函数的概念约2学时3.2 函数的三种表示法约2学时3.3 函数的性质约4学时3.4 函数的实际应用举例约2学时本章小结与复习约2学时数学（基础模块）上册教学参考书III 教学建议和习题答案3.1 函数的概念1. 引入函数的概念通常有两种方法，一种方法是借助映射的定义，另一种方法是通过实例分析，体会集合与集合间的对应关系，这种关系即为函数.教材采用了后一种方法，从背景实例入手，在体会两个变量之间依赖关系的基础上，引导学生运用与集合对应的语言刻画函数的概念，使得函数的引入简单明了.2. 函数的三要素为自变量，因变量和对应关系，三者缺一不可.理解在某个区间上定义的函数与函数在区间具体点上的取值的区别.两个函数相等，不但要对应关系相同，定义域也要相同.3. 对于函数定义，我们应注意以下几点：(1)函数是指自变量到因变量的对应关系．(2) 一个函数包括两个要素：定义域和对应法则，值域被对应法则和定义域所完全确定．(3) 自变量的一个值唯一对应因变量的一个值．如果一个自变量与两个以上的数对应，那么这种关系就不叫做函数关系；但几个自变量同时对应一个因变量是符合函数定义的．(4) 在定义中，我们用f表示函数，其实还可换用其他字母表示，如g、ϕ等．同样．自变量x也可换用其他字母表示，如t、k等．分别以x、t、k为自变量的三个函数,55==,=，sky5tvx如果它们的定义域相同，则它们表示的是同一函数关系:“一个数的5倍”．(5) 我们用字母“f ”，“ϕ”表示函数(对应法则)，f(x)表示f在x的值．这种讲法说成对定义域内每一数a，)(af表示自变量在ax=时的值是一致的．符号f(x)又常常用来表示函数式．(6) 在初中，把因变量看作自变量的函数，现在我们又把函数看成一种法则或关系．前者虽然把因变量当作函数，但在定义中，仍然使用了对应与映射的观点，这与后者定义的函数，在本质上已比较接近．由于说惯了“y是x的函数”，引入新定义后，这种说法仍然保留．“y是x的函数”，“函数y=(x)”，“函数f(x)”等说法，都是允许的．第3章 函数课堂练习答案1.（1）是；（2）是； (3) 不是；（4）是.2.（1）{|0}x x ≥；（2）{|5}x x ≠-；（3）{|}x x ∈R ；（4）[0,2)(2,)+∞.3.(0)2f =-; 5(1)3f =-; 4(2)3f =-; 221()23f x x =-; 15(1)33f x x +=-. 习题3.1答案1.（1）是；（2）不是.2.（1）{|5}x x ≠；（2）{|33}x x x ≤-≥或；（3）3{|7}2x x ≤≤； （4）{|11}x x -≤<.3.（1）{5,11,17}； （2）[3, )+∞.4.（1）(,2](2,)-∞-+∞；（2）()5f -=1117,(-2)=8,(3) ,(10) 310f f f --==. 3.2 函数的三种表示法1. 函数的概念包含三个要素：定义域、值域和对应法则.目前中职阶段，值域通常取数学（基础模块）上册教学参考书为实数集，因此表示一个函数就要指明它的定义域和对应法则.2. 当函数f(x)的定义域A 是有限集时，可以用一张表格来表示函数，第一行写出A 的各个元素，第二行写出相应的函数值，这种表示函数的方法叫做列表法.3. 当f(x)的定义域A 是无限集或有限集时，通常要寻找一个或几个式子来表示对应法则，即用一个或几个等式来表示函数，这一个或几个等式叫做这个函数的解析表达式，简称为解析式.4. 在用解析法表示定义域为数集的函数时，如果没有标明定义域，那么我们约定：函数)(x f 的定义域是指所有使解析式有意义的实数x 组成的集合，不再每次声明.此外要注意，在实际问题中，还必须结合问题的实际意义来确定自变量x 的取值范围.5. 用平面直角坐标系里的图像表示两个变量之间的函数关系的方法称为图像法.用图像法表示函数的最大优点是直观，因为函数的图像是数形结合的基础. 为此首先要把什么是函数的图像搞清楚.教材中给函数的图像下了一个定义：设)(x f 是定义域为A 的一个函数，任取A ∈a ，在平面直角坐标系Oxy 里，描出坐标为M a f a 的点))(,(.当a 取遍A 的所有元素时，坐标为))(,(a f a 的点构成的图像，称为函数)(x f 的图像.从这个定义可以得出：点)(,)(),(a f b A a x f b a M =∈⇔且的图像上在.即，点)(),(x f b a M 在的图像上当且仅当它的横坐标a 属于定义域，纵坐标b 等于a 处的函数值.这个结论十分重要，它是利用函数的图像研究函数性质的基础.课堂练习答案1. 15, {|, 100}y x x x x =∈≤N .2.第3章函数习题3.2答案1. 列表法表示为：解析法表示为：=∈；2, {1,2,3,4}y x x图像法表示为：该函数的值域为{2,4,6,8}.2.（1）(2)数学（基础模块）上册教学参考书(3) (4)f x的图像上.3. M点和Q点均不在()3.3 函数的性质f x在区间上是增函数还是减函数，可使用图像法进行判别，它具有直观易1. 函数()f x的单调性，去用一条光滑的曲线联结描懂的优点，但是要注意：我们不能默认函数()f x的单调性，在画基本初等函数在出的各点，然后又让学生从这样画出的图像去判断()某个区间上的图像时，往往是要先用定义证明函数的单调性，然后才能用一条光滑曲线联结描出的各点，得到该函数在某个区间上的图像，之后利用对称性等画出该函数在另第3章 函数一个区间上的图像，这样对于该函数在另一个区间上的单调性就可以从图像来判断了.2. 对于任意的一次函数)0(≠+=k b kx y 的单调性，自然应当用定义法去判断. 先统一写出)()(21x f x f -的表达式，然后分k ＞0和k ＜0两种情形判断)()(21x f x f -的正负. 教材的例2给出了使用定义法判断一个二次函数在某个区间上的单调性的求解过程.3. 本教材在阐述奇函数和偶函数的定义上有创新.抓住讨论函数奇偶性的实质是研究函数图像对称性这一事实，先让学生观察常见的两 个函数的图像的对称性，再填表研究互为相反数的x 值对应的函数值的特点.由此引出了偶函数和奇函数的定义，并且定义也说明了偶函数和奇函数的图像关于原点对称，起了一箭双雕的作用.我们这种讲法阐明了为什么要引进奇函数和偶函数的概念，而且简捷地证明了奇函数和偶函数的图像的对称性.4. 在教学中应结合图形给学生讲解“点),(b a P 关于y 轴的对称点Q 的坐标是),(b a -，关于原点的对称点M 的坐标是(,)a b --”这两个结论. 它们在探索)(x f 的图像的对称性时极为有用.5. 判断函数的单调性和奇偶性均有2种方法：图像法和定义法.对于不同的问题应选择合适的方法进行判断，教材中的“思考时刻”提到了关于奇偶性的图像判断法，这里，教师应加以说明.6. 教材中“思考时刻”答案：正比例函数()(0)f x kx k =≠是奇函数；反比例函数()(0)k f x k x=≠是奇函数. 课堂练习3.3.1答案1. 在(,1]-∞-上单调递减，在(1,1]-上单调递增，在(1,3]上单调递减，在(3,]+∞上单调递增.2. 减函数.3. 单调递增.4. 证明：设120x x <<<+∞，则211212125()55()()0x x f x f x x x x x --=-=>⋅，数学（基础模块）上册教学参考书故函数5()0+f x x=∞在（，）上是减函数. 5. 证明：令123x x ≤<<+∞，则2212121212111()()(3)(3)()[()2]333f x f x x x x x x x -=--+-=--++ 又120x x -<，126x x +>，所以，12()()0f x f x ->，即()f x =21(3)53x --+在[3,)+∞上为减函数. 课堂练习3.3.2答案（1）奇函数；（2）非奇非偶函数；（3）非奇非偶函数；（4）偶函数.习题3.3答案1.（1）图略，在(,)-∞+∞上单调递减；（2）图略，在(,0)-∞上单调递增，在(0,)+∞上单调递增；（3）图略，在(,0)-∞上单调递减，在(0,)+∞上单调递增；（4）图略，在(,)-∞+∞上单调递增.2.（1）奇函数；（2）非奇非偶函数；（3）偶函数；（4）非奇非偶函数.3. (5)3f -=-.4. (1)(3)f f -<.5. 证明：令6z x =-，则2()2(6)5f x x =-+可以写成2()25f z z =+.易知()f z 为偶函数，且在0z ≤时为减函数，故原函数()f x 在(,6]-∞上为减函数.第3章 函数3.4 函数的实际应用举例1. 对于实际问题，通过观察和收集数据，研究变量之间的依赖关系，建立一个函数模型，然后利用已知数据，求出函数的解析式. 有了解析式，就可以深入研究这个函数的性质（例如，最大值或最小值等），也可以利用解析式作出预测.本节就是想让学生了解如何从实际问题建立函数模型，求出函数的解析式，利用解析式作预测，以及利用解析式研究函数的最大值或最小值.2. 教材中例1讨论了奥运会早期的撑杆跳高纪录与时间的关系. 从1900年，1904年，1908年这三届奥运会的撑杆跳高纪录来看，每一届比上一届的纪录提高了0.20米，这是均匀变化，因此试着建立一次函数的模型. 用待定系数法求出一次函数的解析式后，用这个解析式预测1912年奥运会的撑杆跳高纪录是准确的，但是预测1988年奥运会撑杆跳高却与实际纪录相差太大. 我们在教材中指出，用所建立的函数模型，在已知数据邻近处作预测，结果是与实际情况比较吻合的；远离已知数据作预测是不可靠的. 这个观点应当让学生知道，这样在用数学知识解决实际问题时才不会出差错.此外，我们在教材中还指出，光看三届奥运会纪录是远远不够的，需要有足够多届的奥运会纪录才有可能研究撑杆跳高纪录与时间的关系.这也是告诉学生如何正确运用数学知识解决实际生活中的问题，不能仅凭少数几次的数据就作出结论.3. 教材中的其他两个例子都是利用一元二次函数的知识解决最大值问题，其步骤是：首先求出函数的解析式，然后利用配方法求出二次函数在x 取何值时达到最大（或最小）值，并且要检查x 所取的值是否在实际问题允许的范围内.课堂练习答案当矩形的长和宽都为8cm 时，矩形的面积最大，最大面积为64cm 2.习题3.4答案1. ()60f x x =，(5)300f =.2. 1()504f x x =-+.数学（基础模块）上册教学参考书- 34 - 3. 0v t g =时达到最大高度，在空中运行02v t g=着地. 4. 当产量100=x 时（满足0＜x ＜200），有最大利润,最大利润为9 900元.Ⅳ 复习题3答案A 组1. 6-.2. 2()2f x x x -=-.3.(1)31, (2)28, (6)30f f f ===.4.（1）(1)4, (3)2f f ==-；（2）(1)4, (2)7, (2)19f f f =-=--=-.5.（1）7{|}5x x ≠-； （2）{|5, 5}x x x ≤-≥；（3）{|25}x x -<≤；（4）1{|, 3}2x x x ≤-≥.6.（1）奇函数； （2）偶函数；（3）偶函数； （4）非奇非偶函数；（5）非奇非偶函数； （6）偶函数.7. 由定义容易证明，略.8. 证明：令120x x <<，则 121222()()0f x f x x x -=->， 故()f x 在区间(,0)-∞上是减函数.9. 设里程数为x ,票价为f(x),则函数解析式为第3章 函数- 35 - 205;3510;()41015;51519.x x f x x x <≤⎧⎪<≤⎪=⎨<≤⎪⎪<≤⎩10.售价应定为14元，此时获得最大利润为360元.B 组1. 证明：令120x x <<，则12()()f x f x >，且有210x x <-<-，由于()f x 为奇函数，有2121()()()()0f x f x f x f x ---=-+>故()f x 在(0,)+∞上为减函数.2.（1）方案1获得利润240 000元；方案2获得利润432 000元；（2）采用方案3可获得最大利润.当转让服装数量为1 100套时，利润最大，最大利润为432 500元.。
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不要去背概念，这是老鸟深恶痛绝的，概念背的滚瓜烂熟也未必 能懂得其中的要领，一定要在用的过程中去理解；
本篇结束时会有小结部分总结重点内容；提供部分测试问题的答 案；还有在学习中可能会遇到的问题解答； 闲话打住，下面开始了解第一个概念：什么是公式？
公式
公式是Excel中以等号开头的可以得到一个结果的等式 公式以等号(=)开头，公式中可以包括函数、运算符、引用和常量。 例如：=5+2*3、=Sheet1!$Q$26、=A1>0、=sum(A:A)，等等都是公式。 在 Excel 的公式中乘号（×）用星号（ * ）代替，除号（÷）用斜杠（ / ）代替；
技巧分享：Ctrl+;（按着CTRL键按一下分号键）可以快速输入当天日期
函数
Excel中存在大量预设的函数，每个函数在使用不同的参数后都可以得到各种 结果，例如：=SUM(A:A)，这个公式用到了SUM函数，可以实现求和功能。
可以在Excel中点击fx这个按钮（左图上方箭头所 指位置）或者按住shift键和f3功能键，调出插入函 数对话框，选择全部函数（左图中间箭头所指位 置），查看Excel的全部内置函数，选择具体函数 后，查看简短说明或者点击函数帮助（左图下方 箭头所指位置）了解该函数的详细说明。 也可以点击公式选项卡，在函数库中选择函数， 如上图。
算术运算符包括：加（+）、减（-）、乘（*）、除（/）、乘方 （^），百分比（%）。 关于百分号的一个用法：
提示：除100（/100）可以用%代替，公式结果一样，但是公式减少 了三个字符。那么除10000（/10000）如果用%的话改怎么写呢？不 妨自己动手试试自己的想法是否正确。
运算符分为四种不同类型：算术、比较、文本连接和引用。
掌握核心概念，突破菜鸟瓶颈！
了解函数原理，掌握学习方法！
提升办公效率，体会学习乐趣！
引言
这不是一个介绍excel基础知识的资料，它仅仅为一些想学习excel函数应用却又难以入 门的朋友提供一些帮助；
我们假定你已经有了一些 excel 的使用经验，例如新建一个表格并能够简单的排版，同 时你也见过一些公式以及函数，尽管你可能不明白它们的作用和含义；
乘方运算用符号 ^，（这个符号使用 shift 和6键即可输入），例如，10 的5次
方，数学式为：105，Excel中写作：=10^5。
小测试：试将以下算式改写为Excel的公式：
算式1：3+(5+20)÷4算式2：10×[(5+7)÷6]算式3：23×（4-2）
提示：在 Excel公式中，数学算式里的中括号和大括号一律用小括号代替，中括号和大 括号在Excel公式中有其他的含义，后文会有详细介绍；公式中的所有符号请在英文输 入模式下完成。
除了上页所说的，用插入函数的方法来写公式，还可以直 接在单元格输入公式内容，如果你记得函数名，那怕只记 得函数名的开头几个字母也行，在单元格内输入=和函数 名的开头字母，Excel会出现以你输入字母开头的所有函数， 当我们选择其中某一个函数时，会有一个简短的函数说明， 如左图。
在编辑栏输入公式也有同样的效果，当函数名输 入完成后，输入(，这个括号代表函数名完成输入， Excel会接着提示这个函数需要提供哪些参数。
提示：Excel中大于等于是>=，不是≥，小于等于是<=，不是≤，不等于是<>，不是≠。
例如： =(A1<=B1) ， =(A1>B1)*10 ， =A1=“ 优秀 ” ，这三个公式里用到了比较 运算符，比较运算的结果为逻辑值，关于逻辑值第二章会详细介绍，这里了 解即可。
文本运算符：&，这个符号使用 shift和7键即可输入。打开一个空表， A1输入：学习，B1输入：公式函数，C1输入：=A1&B1，回车后可 以看到，这个公式会把两个单元格的内容合起来。
菜鸟成功秘技：在你输入某个函数的过程中，不妨将鼠标停留在提示的其他函数上，大
致了解一下对应函数的功能，不管是不是用的到，多认识几个函数，对今后的好处都是 不可估量的
技巧分享：Ctrl+9（按着CTRL键按一下数字9）可以快速隐藏选定的行。
算术运算符
打开一个空表， A1 单元格输入一个数字，例如 150 ， B1 输入公式： =A1/100，回车后B1显示结果为1.5，这个公式中用到了单元格引用 （A1）和运算符除号（/），意思是对A1单元格的数据除以100，在 C1单元格输入 =A1%，回车后你会发现结果和 B1的公式结果一样， 这里就是利用了百分号（%）直接参与运算了。
第一篇、学习基础从概念开始
本篇主要介绍一些公式中可能涉及到的基本概念；
每页说明一个概念，每页下方或许会有一句话的重点提示，这是 务必要搞清楚并且能够理解的要点；
个别页面有些提示语，都是一些容易忽视的地方，需要谨记； 还有些“成功秘技”之类的语句，仅仅是老鸟个人经验，并非重 点； 个别概念需要动手实践，一定不要偷懒，只有动手了、明白了， 才是学会了！
技巧分享：按住shift键拖动行、列或者单元格，可以移动选择的数据。
相对引用
绝对引用、相对引用和混合引用可以说是三个概念，也可以说是一个概念， 就是“ $”这个符号的用法。而关于这个问题，理解比概念本身更重要。按 照以下步骤实际操作一下有助于你轻松掌握本页内容。
在表格里输入：=a1（如果你是在a1单元格输入的话，可能会提示循环引用， 不用管提示，直接确定），下拉几个单元格（不用管公式得到什么结果）， 显示公式：按公式选项卡的显示公式按钮或者按住Ctrl按一下~键（在数字 1的左边），看到的结果应该是右图所示。 发现规律了吗？字母（列号）不变，数字（行号）发生了变化。
提示：使用&得到的值是文本类型，假如A1内容为3，B1内容为5，=A1&B1可以得到35， 但是这个35是文本类型的数字。关于数字类型第二章会详细介绍，这里了解即可。
引用运算符： “:”（冒号） 区域运算符、“,”（逗号） 联合运算 符、“ ”（空格） 交集运算符。这三个运算符的含义下页介绍。
技巧分享：在单元格内按住alt键回车，即可在同一单元格内换行输入。
函数的结构：函数名，一对括号，参数，逗号；每个函数的参数数量不尽相同，但是两个参数之间需要 用逗号分开，如果仅有一个参数就不需要逗号了，也有的函数是不需要参数的。 例如：=NOW()，这个函数前面加等号，可以直接构成公式，得到当前日期和时间，是个不需要参数的 函数。 =SUM(A:A,5)，这个函数有两个参数，A:A和5，两个参数之间用逗号分开，公式得到A列所有数字与5 之和。
你的工作需要经常使用表格人并且会遇到数据统计之类的任务，或者见过别人使用公式 和函数自己很有兴趣想去了解；
那么你可以每天抽出一点时间去了解基础知识，刚开始的节奏也许会比较慢，正如盖一 座大厦，花在打地基的时间会比较多一样，只有基础牢固了，以后才能有更多的进步；
每一页内容希望可以做到逐字琢磨，并加以理解和实践，看完每一章内容也许只需要花 费一两个小时，但是掌握每一章内容可能需要一到两天甚至更久，第一次不必理解所有 的文字，掌握每篇重点即可，所谓循序渐进； 请关注每章的重点并保证有充足的练习时间；当你读完全部内容后可以重新再看一次， 相信会有新的收获，所谓温故知新！ 每页最后会有一句话总结重点内容，页面下方有一个Excel技巧供学习积累； 部分页面的内容对于功力尚浅的朋友来说可以看起来会有不适感，常见症状为眩晕、焦 虑，如遇此类内容立即跳过进入下一页，并不会对你的学习有任何不良后果，可待日后 功力提升再回头重新修炼，所谓循序渐进，切勿急于求成！
当你需要选择较多的单元格时，例如要选择A列的1000个单元格， 用鼠标拉选会很费力，这时候可以在名称框里输入A1：A1000， 回车即可完成，可谓是准确快捷。
当选择一行或者一列的时候，名称框显示选择范围内第 一个单元格，这个可以自己试试。 上页介绍了三个引用运算符： “:”（冒号） 、“,”（逗号） 、“ ”（空格） 。刚 才的例子里已经用了冒号，下面再通过几个例子理解一下引用的含义。 名称框里输入E5：F6回车、3:5回车、E4,F7,G1:G8回车、5:7 C:G回车（7后面有个空 格哦），你还可以输入更多的引用方式，相信可以理解冒号、逗号和空格在引用中的 作用了，这里需要提示一下，理解作用即可，不必纠结具体定义和为什么会这样。
名称框
左图中红色箭头所指的白色区域就是名称框，通 常显示当前选定的单元格位置，左图中选定的 C4单元格。
当表格数据较大时，如果要选择后面的单元格，可以直 接在名称框输入，比如，要选择Z100单元格，可以直接 在名称框输入Z100，回车，而不用去拉滚动条来找单元 格了。
当选择一个区域的时候，同时观察名称框，会显示选择 范围的行数和列数，字母R代表行，字母C代表列，左图 中选定的范围就是7行3列的一个区域。 掌握这一点很重要，当你后面学习了函数的时候，经常 要知道行列等信息，就可以通过名称框来知道这些。
技巧分享：在单元格内按住Ctrl和shift键不松手，再按一下冒号键即可输入当前时间。
编辑栏
左图中红色框内白色的区域就是编辑 栏，通常我们习惯双击单元格修改里 面的内容或公式，其实也可以在编辑 栏里进行修改。
当有公式或者自定义格式时，编辑栏看到的和单元格看到的内容往往不同，例 如上图中，编辑栏看到的是=NOW()，NOW 是一个不需要参数的函数，可以得 到系统日期和时间；而在单元格看到的是这个公式的结果，也就是说，编辑栏 里看到的是真实的内容，单元格看到的是最终显示的内容。
技巧分享：选择多个单元格，输入内容后按住Ctrl键回车，可以快速批量输入相同内容。