求圆锥曲线离心率的几种方法

你今天的日积月累，终会变成别人的望尘莫及。

关于椭圆离心率

设椭圆x a y b

a b 222

210+=>>（）的左、右焦点分别为F F 12、，如果

椭圆上存在点P ，使∠=︒F PF 1290，求离心率e 的取值范围。

解法1：利用曲线范围

设P （x ，y ），又知F c F c 1200（，），（，）-，则

F P x c y F P x c y F PF F P F P F P F P x c x c y x y c 121212122222

9000→→

→

→

→

→

=+=-∠=︒⊥⋅=+-+=+=()()()()，，，由，知，

则，

即得

将这个方程与椭圆方程联立，消去y ，可解得

x a c a b a b F PF x a

a c a

b a b

a 2

2222

22

1222

2222

222

9000=

--∠=︒

≤<≤--<但由椭圆范围及知即

可得，即，且从而得，且所以，）

c b c a c c a e c a e c a e 2222222

2212

2

1≥≥-<=

≥=<∈[

解法2：利用二次方程有实根

由椭圆定义知

||||||||||||PF PF a PF PF PF PF a 121222122224+=⇒++=

你今天的日积月累，终会变成别人的望尘莫及。

又由，知则可得这样，与是方程的两个实根，因此

∠=︒+===--+-=F PF PF PF F F c PF PF a c PF PF u au a c 12122212221222122229042220||||||||||()

||||()

∆=--≥⇒=≥

⇒≥

4801

22

2

2222

22a a c e c a e ()

因此，e ∈[

)2

2

1 解法3：利用三角函数有界性

记∠=∠=PF F PF F 1221αβ，，由正弦定理有

||sin ||sin ||

sin ||||sin sin ||||||||sin sin sin cos cos

PF PF F F PF PF F F PF PF a F F c e c a 121212121212902211222

122

βααβ

αβαβαβαβ

==

︒⇒++=+====+=+-=

-又，，则有

而知从而可得09002

45222

12

2

1

≤-<︒≤

-<︒<-≤≤<||||

cos αβαβαβ

e

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解法4：利用焦半径 由焦半径公式得

||||||||||PF a ex PF a ex PF PF F F a cx e x a cx e x c a e x c x c a e P x y x a x a 1212221222222222

2

2

2

2

2

22

2

22224220=+=-+=+++-+=+==

-≠±≤<，又由，所以有

即，又点（，）在椭圆上，且，则知，即

022

2

1222

2≤-<∈c a e a

e 得，）

[

解法5：利用基本不等式

由椭圆定义，有212a PF PF =+|||| 平方后得

42228212221212221222a PF PF PF PF PF PF F F c =++⋅≤+==||||||||(||||)||

得c a

2212≥ 所以有，）e ∈[2

21 解法6：巧用图形的几何特性

由∠=︒F PF 1290，知点P 在以||F F c 122=为直径的圆上。 又点P 在椭圆上，因此该圆与椭圆有公共点P 故有c b c b a c ≥⇒≥=-2222

由此可得，）e ∈[

2

2

1

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演练

一、直接求出a c ，或求出a 与b 的比值，以求解e 。

在椭圆中，a c

e =，222

22221a

b a b a a

c a c e -=-=== 1.已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率等于

_____

2.已知椭圆两条准线间的距离是焦距的2倍，则其离心率为

_____

3.若椭圆经过原点，且焦点为)0,3(),0,1(21F F ,则椭圆的离心率为____

4.已知矩形ABCD ，AB ＝4，BC ＝3，则以A 、B 为焦点，且过C 、D 两点的椭圆的离心率为

___

5.若椭圆)0(,122

22>>=+b a b

y a x 短轴端点为P 满足21PF PF ⊥，则

椭圆的离心率为=e ___

6..已知

)0.0(12

1>>=+n m n

m 则当mn 取得最小值时，椭圆122

22=+n y m x 的的离心率为____