含绝对值的函数图象的画法及其应用

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含绝对值的函数图象的画法及其应用

一、三点作图法

三点作图法是画函数)0(||≠++=ak c b ax k y 的图象的一种简捷方法（该函数图形形状似“V ”，故称V 型图）。

步骤是：①先画出V 型图顶点⎪⎭

⎫

⎝⎛

-

c a b

，；②在顶点两侧各找出一点；

③以顶点为端点分别与另两个点画两条射线，就得到函数)0(||≠++=ak c b ax k y 的图象。

例1. 作出下列各函数的图象。 （1）1|12|--=x y ；（2）|12|1+-=x y 。

解：（1）顶点⎪⎭

⎫

⎝⎛-12

1

，，两点（0，0）

，（1，0）。其图象如图1所示。

（2）顶点⎪⎭

⎫

⎝⎛

-

121

，，两点（－1，0）

，（0，0）。其图象如图2所示。

图1 图2

注：当k>0时图象开口向上，当k<0时图象开口向下。函数图象关于直线a

b x -

=对称。

二、翻转作图法

翻转作图法是画函数|)(|x f y =的图象的一种简捷方法。

步骤是：①先作出)(x f y =的图象；②若)(x f y =的图象不位于x 轴下方，则函数)(x f y =的图象就是函数|)(|x f y =的图象；③若函数)(x f y =的图象有位于x 轴下方的，则可把x 轴下方的图象绕x 轴翻转180°到x 轴上方，就得到了函数|)(|x f y =的图象。

例2. 作出下列各函数的图象。

（1）|1|||-=x y ；（2）|32|2--=x x y ；（3）|)3lg(|+=x y 。 解：（1）先作出1||-=x y 的图象，如图3，把图3中x 轴下方的图象翻上去，得到图4。图4就是要画的函数图象。

图3 图4

（2）先作出322--=x x y 的图象，如图5。把图5中x 轴下方的图象翻上去，得到图6。图6就是要画的函数图象。

图5 图6 图7 图8

（3）先作出)3lg(+=x y 的图象，如图7。把图7中x 轴下方的图象翻上去，得到图8。图8就是要画的函数图象。

三、分段函数作图法

分段函数作图法是把原函数等价转化为分段函数后再作图，这种方

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法是画含有绝对值的函数的图象的有效方法。

例3. 作出下列函数的图象。 （1）1||22+-=x x y ；（2）|1||1|-++=x x y ；（3）

|32|2

--=x x y 。

解：（1）⎪⎩⎪⎨⎧<++≥+-=+-=)

0(12)

0(121||222

2

x x x x x x x x y

图9就是所要画的函数图象。 （2）⎪⎩

⎪

⎨⎧><<--≤-=-++=)

1(2)11(2

)1(2|1||1|x x x x x x x y 图10就是所要画的函数图象。 （3）|32|2--=x x y ⎪⎩⎪⎨

⎧<--++-≥----=)032(32)

032(322

22

2

x x x x x x x x

⎪⎩⎪⎨⎧<<-++-≥-≤--=)

31(32)

31(322

2x x x x x x x 或

图11就是所要画的函数图象。

图9 图10 图11

注：分段函数作图法是画含绝对值函数的图象的常规之法。三点作

图法、翻转作图法虽然简便，但要注意适应的题型，第（3）小题也可用翻转作图法，有兴趣的同学不妨试一试。

四、应用

把数化为形是“数形结合”思想。利用图形的直观性化难为易，有事半功倍之效，简洁明快之感。

1. 求函数值域。

例4. 求函数|1||1|-++=x x y 的值域。

解：由图10知函数的值域为)2[∞+，。 2. 求函数的单调区间。

例5. 求函数|32|2--=x x y 的单调递增区间。 解：由图6知函数单调递增区间为［－1，1］ )3[∞+，。 3. 求方程解的个数。

例6. 求方程|)3lg(|1||22+=+-x x x 解的个数。

解：方程|)3lg(|1||22+=+-x x x 解的个数就是函数

1||22

+-=x x y 的图象与函数|)3lg(|+=x y 的图象在同一坐标系

中交点的个数。由图12知两个函数图象有5个交点，所以方程

|)3lg(|1||22

+=+-x x x 有5个解。

图12