梯形辅助线的常见作法完整版

梯形辅助线的常见作法 HEN system office room 【HEN16H-HENS2AHENS8Q8-HENH1688】

例谈梯形中的常用辅助线

在解（证）有关梯形的问题时，常常要添作辅助线，把梯形问题转化为三角形或平行四边形问题。本文举例谈谈梯形中的常用辅助线，以帮助同学们

更好地理解和运用。

一、平移

1、平移一腰：从梯形的一个顶点作一腰的平行线，把梯形转化为一个三角形和一个平行四边形。

［例1］如图1，梯形ABCD的上底AB=3，下底CD=8，腰AD=4，求另一腰BC的取值范围。

图1

析解：过点B作BM//AD交CD于点M，则梯形ABCD转化为△BCM和平行四边形ABMD。在△BCM 中，BM=AD=4，CM=CD－DM=CD－AB=8－3=5，所以BC的取值范围是：

5－4

2、平移两腰：利用梯形中的某个特殊点，过此点作两腰的平行线，把两腰转化到同一个三角形中。

［例2］如图2，在梯形ABCD中，AD//BC，∠B ＋∠C=90°，AD=1，BC=3，E、F分别是AD、BC的中点，连接EF，求EF的长。

图2

析解：过点E分别作AB、CD的平行线，交BC 于点G、H，可得

∠EGH＋∠EHG=∠B＋∠C=90°

则△EGH是直角三角形

因为E、F分别是AD、BC的中点，容易证得F 是GH的中点

所以)

CH

BG

BC

(

2

1

GH

2

1

EF-

-

=

=

3、平移对角线：过梯形的一个顶点作对角的平行线，将已知条件转化到一个三角形中。

［例3］如图3，在等腰梯形ABCD中，

AD//BC，AD=3，BC=7，BD=2

5，求证：AC⊥B

图3

析解：过点C作BD的平行线交AD的延长线点E，易得四边形BCED是平行四边形，则DE= CE=BD=2

5，所以AE=AD＋DE=AD＋BC=3＋7=1在等腰梯形ABCD中，AC=BD=2

5，所以在△A 中，2

2

2

2

2AE

100

)2

5(

)2

5(

CE

AC=

=

+

=

+，AC⊥CE，于是AC⊥BD。

［例4］如图4，在梯形ABCD中，AD//BC，AC=15cm，BD=20cm，高DH=12cm，求梯形ABCD 面积。

图4

析解：过点D作DE//AC，交BC的延长线于E，则四边形ACED是平行四边形，即

DCE

ACD

ABD

S

S

S

∆

∆

∆

=

=。

所以

DBE

ABCD

S

S

∆

=

梯形

由勾股定理得2

2

2D

AC

DH

DE

EH-

=

-

=

9

12

152

2=

-

=（cm）

16

12

20

DH

BD

BH2

2

2

2=

-

=

-

=（cm）所以

)

cm

(

150

12

)

16

9(

2

1

DH

BE

2

1

S2 DBE

=

⨯

+

⨯

=

⋅

=

∆

，即形ABCD的面积是150cm2。

二、延长

即延长两腰相交于一点，可使梯形转化为三角形。

［例5］如图5，在梯形ABCD中，AD//BC，∠B=50°，∠C=80°，AD=2，BC=5，求CD的长。

图5

析解：延长BA、CD交于点E。在△BCE中，∠B=50°，∠C=80°。

所以∠E=50°，从而BC=EC=5

同理可得AD=ED=2

所以CD=EC－ED=5－2=3

三、作对角线

即通过作对角线，使梯形转化为三角形。

［例6］如图6，在直角梯形ABCD中，

AD//BC，AB⊥AD，BC=CD，BE⊥CD于点E，求证：AD=DE。

图6

析解：连结BD，由AD//BC，得∠ADB=∠DBE；由BC=CD，得∠DBC=∠BDC。所以∠ADB=∠BDE。又∠BAD=∠DEB=90°，BD=BD，所以Rt△BAD≌Rt△BED，得AD=DE。

四、作梯形的高

1、作一条高，从底边的一个端点作另一条底边的垂线，把梯形转化为直角三角形或矩形。

［例7］如图7，在直角梯形ABCD中，

AB//DC，∠ABC=90°，AB=2DC，对角线AC⊥BD，垂足为F，过点F作EF//AB，交AD于点E，求证：四边形ABFE是等腰梯形。

图7

析证：过点D作DG⊥AB于点G，则易知四边形DGBC是矩形，所以DC=BG。

因为AB=2DC，所以AG=GB。

从而DA=DB，于是∠DAB=∠DBA。

又EF//AB，所以四边形ABFE是等腰梯形。

2、作两条高：从同一底边的两个端点作另条底边的垂线，把梯形转化为两个直角三角形一个矩形。

［例8］如图8，在梯形ABCD中，AD为上AB>CD，求证：BD>AC。

图8

析证：作AE⊥BC于E，作DF⊥BC于F，则AE=DF。在Rt△ABE和Rt△DCF中，因为AB>C

AE=DF。

所以由勾股定理得BE>CF。

即BF>CE。在Rt△BDF和Rt△CAE中

由勾股定理得BD>AC

五、作中位线

1、已知梯形一腰中点，作梯形的中位线。

［例9］如图9，在梯形ABCD中，AB//DC，是BC的中点，∠AOD=90°，求证：AB＋CD=AD

图9

析证：取AD的中点E，连接OE，则易知O

梯形ABCD的中位线，从而OE=

2

1

（AB＋CD）①在△AOD中，∠AOD=90°，AE=DE

所以AD

2

1

OE=②

由①、②得AB＋CD=AD。

2、已知梯形两条对角线的中点，连接梯形顶点与一条对角线中点，并延长与底边相交，问题转化为三角形中位线。

［例10］如图10，在梯形ABCD中，AD//B E、F分别是BD、AC的中点，求证：（1）

EF//AD；（2）)

AD

BC

(

2

1

EF-

=。

图10

析证：连接DF，并延长交BC于点G，易证AFD≌△CFG

则AD=CG，DF=GF