绝对值常见题型及其解法分析

绝对值常见题型及其解法分析

绝对值是初中数学的重点和难点，为了帮助同学们深刻理解和牢固掌握这一基本知识，本文列举了几例绝对值常见题型及它们的解法分析，供同学们参考. 例1 （1）绝对值等于本身的数是__________数.

（2）绝对值等于相反数的数__________数.

分析：本题运用了绝对值的代数意义：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值是零.值得注意的是：零的绝对值是零包括两层意思：其一，零的绝对值是它本身；其二零的绝对值是它的相反数，熟练掌握了这种特殊性质，可知，第一题正解为非负数，第二题正解为非正数. 例2 24x

，求x.

分析：本题应用了绝对值的一个基本性质：互为相反数的两个数的绝对值相等.即

或

，由此可求出正确答案

或. 解：∵24x

或

或

例3 3

3x

x ，求x 的取值范围.

分析：本题有两种思路：一是运用绝对值的另一个基本性质：任何一个数的绝对值都是非负数，由此可知即；二是运用绝对值的代数意义：负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值是零.由此可知，，即.注意不能忽略的情况. 解法一：由绝对值性质可知：任何一个数的绝对值均为非负数.

，即

解法二：33(3)x x x

，即

例4 2

10x

y ，求x

y 的值.

分析：本题运用了任何一个数的绝对值均为非负数以及几个非负数的和为零，则每个非负数均为零.由此可得：2,1,2(1)1x y x y 解：∵2

1

0x y

2

0,10x y

2,1x

y

2

(1)

1x

y

例5. 已知

，化简A B B C C A .

分析：本题必须先判断绝对值符号里的代数式的符号，再根据绝对值的代数意义进行化简. 解：∵

0,0,0A B B C C A

A B B C C A

()[()]A B B C C

A

B A

C B C A

22C B

例6 已知,

1,B A

A C C B

，化简A B A C

B C .

分析：本题必须先由已知条件求出A 、B 、C 的取值范围0,0,0A B

C

后判断绝对

值符号里的代数式的符号，再根据绝对值的代数意义进行化简. 解：∵,

1,B A

A C C B

0,0,0A B C

0,0,0A

B A

C B C

∴A B

A C

B C

()[()][()]A

B A

C B C

A B C A C B

222C A B

例7. 化简x+2

35x x

分析：要去掉三个绝对值符号，就要同时确定三个绝对值符号里的代数式的正负性，可采用零点分段法将数轴分成四段再化简. 解：由20,30,50x

x x ，分别求得零点值2,3,5x x x

当时，原式(2)[(3)][(5)]

43x

x x x 当时，原式(2)[(3)](5)

6x x x

x

当时，原式2[(3)](5)

10

x x x x

当

时，原式

2

(3)

(5)

43x x x

x

例8 求13x x 的最小值.

分析：本题有两种解法.

解法一（利用绝对值的代数意义）： 当时，原式=13422x x x

当13x 时，原式

当3x

时，原式

所以13x x 的最小值为2.

解法二（利用数轴解题）：

x x表示实数x表示的点P到在数轴上表示出实数1、3的对应点A、B，式子13

A、B的距离之和，由图可知：

当P点位于线段AB上时，PA＋PB取得最小值2.

x x的最小值为2.

所以13