3.3 静定平面刚架解析

悬臂梁法，某段杆的一端内力（或荷载）已知时； 简支梁法，某段杆的两端弯矩已知时。
【例3-10】试求作图3-25所示悬臂刚架的内力图。
q 2qa2 6qa
a
D F B E 3a
C
2q
A
4a
8qa
14qa2
2a 2a
10qa
4a
解：
(1) 求支反力 (2)求作M图 1) CD段
D
C
q
2qa
2
6qa
F B
10kN/m
D
2kN
F
20kN· m
C
MCD(求)
8kN· m
4kN
2m
24kN· m
① 杆AE：MAE = MEA = 0
FAy=17kN
16kN· m
② 杆EC：MEC = 0，MCE = 4×2 = 8kN· m (左侧受拉) ③ 杆BD：MBD = 0，MDB = 4×4 = 16 kN· m (右侧受拉) ④ 杆DF：MFD = 0，MDF = (2×2)+(×10×22)=24 kN· m(上 侧受拉)
2、方法：静定平面刚架内力图的基本作法是杆梁法，即把刚 架拆成若干个杆件，用截面法计算出各杆端内力，并根据杆端 内力分别绘出各杆的内力图，再拼合在一起成为刚架的内力图。 其内力计算方法原则上与静定梁相同。 3、通常步骤： 首先、由刚架的整体或局部平衡条件，求出支座反力或某些铰 结点处的约束力； 其次、用截面法逐杆计算各杆的杆端内力(控制截面的内力)； 然后、根据杆端内力按照静定梁方法分别作出各杆内力图；
E 3a
a
MDC=MCE=2qa2(左侧受拉)；
2q
A 8qa
4a
引直线相连。
2) DB段 MDB=2qa2(下侧受拉)
2a
14qa2
2a
10qa
4a
MBD=6qa×2a-2qa2=10qa2(上侧受拉)
3) BE段 MBE = (q×4a)×2a = MEB = 0 4) AB段 MAB=14qa2(左侧受拉)， 8qa2
FNBC(求)
【例3-9】试求作图示简支刚架的内力图。
2kN 20kN· m
2m C E A 4m B FBx=4kN
10kN/m
D F
4kN
2m
2m
FAy=17kN
FBy=45kN
解：
(1) 求支反力 (2)求作M图 1) 一求控制弯矩：
20kN· m
2m C E A 4m B FBx=4kN MDC(求) D 2m FBy=45kN
2) 二引直线相连 3) 三叠简支弯矩
20kN· m
2m
10kN/m
D
2kN
F
20kN· m
C
MCD(求)
C
E A 4m
28 8 C
E
(20)
40 24
D
(5)
16 F
8kN· m
4kN
2m
B
FBx=4kN MDC(求) 24kN· m D 2m
A
B
16kN· m
FAy=17kN
FBy=45kN
M图 (kN· m)
只有两杆相交组成的刚结点，称为简单刚结点。 当无外力偶作用时，汇交于该处两杆的杆端弯矩坐标 应绘在结点的同一侧(同在内侧或同在外侧)，且数值
相 等。作M图时，可充分利用这一特性。
【说明4】脱离体法是求内力的最基本方法，不要忘记。
【例3-8】试求作图示刚架的内力图。
FP
A
B l/2
FP
FP 4
l
l/2 C D
3、刚架优点：
1）内部空间较大， 2）杆件跨中弯矩峰值较小，弯矩分布均匀(经济 ) ， 3）制造比较方便。 因此，刚架在土木工程中得到广泛应用。
二、静定平面刚架的组成形式
a) 悬臂刚架
b) 简支刚
架
c) 三铰刚架
d) 多跨刚架
e) 多层刚架
三、静定平面刚架内力图的绘制
1、静定平面刚架的内力图有三种：弯矩图、剪力图和轴力图
（3）求作FQ图 （4）求作FN图
20kN· m
2m
10kN/m
2kN
28 8
40 (20) 24
(5)
16
4kN
2m 4kN
4m
17kN
2m
45kN
M图(kN· m)
17 4
22 4 23
2
4
17
45
FQ图(kN)
FN图(kN)
简支刚架小结：
支 反 力：一般先要求出3支杆的支反力； 解题顺序：从外围向中间。 解题方法：
根据已知 V，利用投影方程，求杆件轴力值。
3) 关于N 图的绘制：对于比较复杂的情况，可取结点为隔离体，
【说明2】绘图规定:
1、M图约定绘在刚架的杆件受拉一侧，不标注正负号； 2、Q图和N图可绘在杆件的任一侧，但必须标注正负 号，一般杆左或杆上为正，杆右或杆下为负； 其符号正负规定与梁相同。
【说明3】关于简单刚结点的概念，节点平衡
20kN· m
2m C E A
10kN/m
D
2kN
F
20kN· m
C
MCD(求)
8kN· m
4kN
2m
B 4m
FBx=4kN MDC=17kN
FBy=45k N
⑤ 杆CD：利用结点C和D隔离体(图3-24b、c)的力矩平衡条件， 可求出杆CD两端二控制截面的弯矩为: MCD = 20+8 = 28 kN·m (“箭尾”侧即上侧受拉) MDC = 24+16 = 40 kN·m (“箭尾”侧即上侧受拉)
l
FP 4
FP
A
B l/2 FP
A B
FP l 4
FP 4
C
l l
D
l/2
C
FP 4
FP l 4
D
M图
FP l 4
B
MCB(求)
解： (1) 求支反力 (2)求作M图
C
FP l 4
MBC(求)
A FP/4
B FP C FP/4 FQ图 D
A
B FP/4 FP
FN图
C
D B FP
FP/4
FNAB(求)
3.3 静定平面刚架
一、刚架的特点
1、构造特点：
一般由若干梁、柱等直杆组成且具有刚结点的结构，称为刚架
杆轴及荷载均在同一平面内且无多余约束的几何不变刚架， 称为静定平面刚架；
不在同一平面内无多余约束的几何不变刚架，称为静定空 间刚架。
2、力学特性：刚结点处夹角不可改变，且能承受和传递全 部内力（M、FQ、FN）。
最后、将各杆内力图拼合在一起，得到刚架的内力图。
【说明1】一般可按M图－V图－N图的顺序绘制内力图。
1）关于M图的绘制：对于每个杆件而言，实际上是分别应用
一次区段叠加法（一求控制截面弯矩，二引直线相连，三叠 简支弯矩）。
2） 关于V 图的绘制：
当M图为直线变化时，可根据微分关系，由M图“下坡”或“上 坡”的走向（沿杆轴由左向右看）及其“坡度”的大小，直 接确定Q的形状、正负和大小（如前所述）； 当M图为二次抛物线变化时，可取该杆段为隔离体，化为等效的 简支梁，根据杆端M1、M2及跨间荷载，叠加法绘V图 （先绘连接M1-M2的直线对应的V1图，再叠加简支梁V2图）