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三垂线定理
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斜线的射影
做法：斜线上任去一点（除斜足外）作该 点在平面内的射影点，连结该点和斜足的 直线就是斜线在平面内的射影。
平面： 平面：a 斜线： 斜线：PO 射影： 射影：AO a
A P
O
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三垂线定理
三垂线定理： 平面内的一条直线， 三垂线定理：在平面内的一条直线，如果 的一条直线 和这个平面的一条斜线的射影垂直， 斜线的射影垂直 和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么 它也和这条斜线垂直。 斜线垂直 它也和这条斜线垂直。
已知条件：PA⊥平面a (A是P在平面内的 已知条件： ⊥平面 是 在平面内的 射影), a⊥AO 射影 ⊥ 求证： a⊥PO 求证： ⊥ 证明： ∵PA⊥平面 ， 证明： ⊥平面a， ∴PA⊥AO，PA⊥a(如果一条直线垂直 ⊥ ， ⊥ 如果一条直线垂直 于一个平面， 于一个平面，那么这条直线垂直于平面 内所有直线) 内所有直线 ∵a⊥AO ⊥ ∴a⊥平面 ⊥平面OAP(如果平面外一直线与平 如果平面外一直线与平 面内的两条相交直线垂直， 面内的两条相交直线垂直，那么这条直 线垂直于这个平面) 线垂直于这个平面 ∴a⊥PO ⊥
三垂线定理
制作者：06060114 阿依提拉
三垂线定理
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三垂线定理
复习 斜线与射影概念 三垂线定理 三垂线定理证明 习题 练习 作业
三垂线定理 2
复习（直线与平面的位置关系）
直线在平面内：
a l
l
直线与平面平行：
a
直线与平面相交：
a
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l
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复习上一节：直线与平面垂直
定义：如果一条直线垂直于平面内所有直线， 定义：如果一条直线垂直于平面内所有直线， 那么这条直线垂直于这个平面。 那么这条直线垂直于这个平面。 判定定理： 判定定理：如果平面外一直线与平面内的两条 相交（平行）直线垂直，那么这条直线垂直于 相交（平行）直线垂直， 这个平面。 这个平面。因为两条相交（平行）直线确定一 个平面。 重要结论）：如果一条直线垂直于一个平面， ）：如果一条直线垂直于一个平面 （重要结论）：如果一条直线垂直于一个平面， 那么这条直线垂直于平面内所有直线。 那么这条直线垂直于平面内所有直线。
Q
C
R
A
B
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巩固性练习： 1、若一条直线与平面的一条斜线在此平面上的射影垂直，则这条直线 与斜线的位置关系是（ D ） （A）垂直 （B）异面 （C）相交 （D）不能确定
2、在一个四面体中，如果它有一个面是直角三角形，那么它的另外三 个面（ C ） P （A）至多只能有一个直角三角形 （B）至多只能有两个直角三角形 （C）可能都是直角三角形 （D）一定都不是直角三角形
A C
B
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例题2:如图所示，已知 平面ABC，∠ACB= 90°， AQ⊥PC， 例题 如图所示，已知PA ⊥平面 如图所示 ， ° ⊥ ， AR⊥PB，试证 为直角三角形。 ⊥ ，试证∆PBC、 ∆PQR为直角三角形。 、 为直角三角形
P
证明：∵PA⊥平面ABC，∠ACB= 90°， ∴AC⊥BC，AC是斜线PC在 平面ABC的射影，∴BC⊥PC（三垂 线定理）， ∴∆PBC是直角三角形； ∴BC⊥平面PAC，AQ在平面PAC内， ∴BC⊥AQ，又PC⊥AQ， ∴AQ⊥平面PBC，∴QR是AR在平面 PBC的射影，又AR⊥PB， ∴QR⊥PB（三垂线逆定理）， ∴∆PQR是直角三角形。
P
即如果平面内直线a垂 即如果平面内直线 垂 直于平面的斜线PO的 直于平面的斜线 的 射影AO，则a垂直于 射影 ， 垂直于 斜线PO。 斜线 。
A
O
a
α
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三垂线定理
证明:在平面内的一条直线，如果和这个平面的 平面内的一条直线， 的一条直线
一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。 一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。 斜线的射影垂直 斜线垂直
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斜线
定义：如果一条直线与平面相交且不垂直 那么这条直线是这个平面的一条斜线。直 线与平面的交点称斜足。
l 平面： 平面：a 斜线： 斜线：l a O 斜足： 斜足：O
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射影
点：平面外一点向平面引垂线，那么垂足就是该 平面外一点向平面引垂线， 点在平面内的射影。 点在平面内的射影。 任何一个图形由点Βιβλιοθήκη Baidu成的，所以，图形发在平面 内的射影就是图形上的每一个点在平面内的射影 点组成图形是。显然直线的射影是直线 显然直线的射影是直线。 显然直线的射影是直线
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P
A
O
a
α
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三垂线定理包含几种垂直关系: 三垂线定理包含几种垂直关系
(1)线面垂直 （2）线射垂直 （3）线斜垂直
P
P O
P O
α
A
a
α
A
a
α
A
O
a
直 线 和 平面垂直
平面内的直 线和平面一 条斜线的射 影垂直
平面内的直 线和平面的 一条斜线垂 直
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例题一、引例：如图，已知PA⊥平面 一 引例：如图，已知 ⊥平面ABC，∠ABC=90°， ， ° 求证： ⊥ 。 求证：BC⊥PB。
P
证：∵PA⊥平面ABC，BC在平 面ABC内 ∴PA⊥BC，又∠ABC=90°， ∴BC⊥AB，∴BC⊥平面PAB， PB在平面PAB内， ∴BC⊥PB 思考： 思考： （1）证明线线垂直的方法有哪些？ ）证明线线垂直的方法有哪些？ （2）三垂线定理及其逆定理的主要内容。 ）三垂线定理及其逆定理的主要内容。
A C
B
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作业:P56 3,5,7
下课！ 休息 ！
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