巧用反比例函数的对称性解题
中考数学备考专题复习 反比例函数(含解析)(2021年整理)
2017年中考数学备考专题复习反比例函数（含解析）2017年中考数学备考专题复习反比例函数（含解析）编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2017年中考数学备考专题复习反比例函数（含解析））的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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1反比例函数一、单选题（共12题;共24分）1、（2016•龙东)已知反比例函数y= ，当1＜x＜3时,y的最小整数值是( )A、3B、4C、5D、62、如果等腰三角形的底边长为x，底边上的高为y，则它的面积为定植S时，则x与y的函数关系式为（）A、y=B、y=C、y=D、y=3、（2016•大庆）已知A(x1， y1）、B（x2， y2）、C（x3，y3）是反比例函数y= 上的三点，若x1＜x2＜x3 , y2＜y1＜y3，则下列关系式不正确的是（）A、x1•x2＜0B、x1•x3＜0C、x2•x3＜0D、x1+x2＜04、将一次函数y=x图象向下平移b个单位，与双曲线y=交于点A，与x轴交于点B,则OA2—OB2=( )A、—2B、2C 、—D 、5、如图所示，点P（3a，a）是反比例函数y=(k＞0）与⊙O的一个交点,图中阴影部分的面积为10π,则反比例函数的解析式为（）A、y=B、y=C、y=D、y=6、如图，△AOB为等边三角形,点A在第四象限,点B的坐标为（4，0），过点C（4，0）作直线l交AO于D,交AB于E，且点E在某反比例函数y=(k≠0）图象上，当△ADE和△DCO的面积相等时，k2的值为（）A 、—B 、—C、—3D、—67、教室里的饮水机接通电源就进入自动程序,开机加热时每分钟上升10℃，加热到100℃，停止加热,水温开始下降，此时水温(℃）与开机后用时（min）成反比例关系．直至水温降至30℃，饮水机关机．饮水机关机后即刻自动开机，重复上述自动程序．若在水温为30℃时,接通电源后，水温y（℃）和时间（min）的关系如图,为了在上午第一节下课时（8：45）能喝到不超过50℃的水，则接通电源的时间可以是当天上午的（）A、7：20B、7：30C、7：45D、7：508、（2015•玉林）如图,反比例函数y=的图象经过二次函数y=ax2+bx 图象的顶点（﹣，m）（m＞0），则有（）A、a=b+2kB、a=b﹣2kC、k＜b＜0D、a＜k＜09、如图，在平面直角坐标系中，矩形ABOC的两边在坐标轴上，OB=1,点A在函数y=﹣（x＜0）的图象上，将此矩形向右平移3个单位长度到A1B1O1C1的位置,此时点A1在函数y= （x＞0)的图象上，C1O13与此图象交于点P，则点P的纵坐标是( ）A 、B 、C 、D 、10、（2016•济宁）如图,O为坐标原点，四边形OACB是菱形，OB 在x轴的正半轴上，sin∠AOB= ，反比例函数y= 在第一象限内的图象经过点A，与BC交于点F,则△AOF的面积等于（）A、60B、80C、30D、4011、（2016•湖北）一次函数y=ax+b和反比例函数y= 在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则二次函数y=ax2+bx+c的图象大致为( ）A 、B 、C 、D 、412、（2016•天津）若点A（﹣5，y1），B（﹣3,y2），C（2,y3）在反比例函数y= 的图象上，则y1， y2 , y3的大小关系是（）A、y1＜y3＜y2B、y1＜y2＜y3C、y3＜y2＜y1D、y2＜y1＜y3二、填空题（共5题；共6分）13、如果函数y=x2m-1为反比例函数,则m的值是________。
反比例函数知识点知识点总结
反比例函数知识点知识点总结反比例函数知识点总结一、反比例函数的定义一般地，如果两个变量 x、y 之间的关系可以表示成 y ＝ k/x（k 为常数，k≠0）的形式，那么称 y 是 x 的反比例函数。
其中，x 是自变量，y 是因变量，k 叫做比例系数。
需要注意的是，反比例函数中自变量 x 的取值范围是x≠0，因为在分母中，分母不能为 0。
二、反比例函数的表达式反比例函数常见的表达式有以下三种形式：1、 y ＝ k/x（k 为常数，k≠0），这是最基本的形式。
2、 xy ＝ k（k 为常数，k≠0），通过对 y ＝ k/x 两边同时乘以 x 得到。
3、 y ＝ kx^（－1)（k 为常数，k≠0），这是用幂的形式表示。
三、反比例函数的图像反比例函数的图像属于双曲线。
当 k＞0 时，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内 y 随 x 的增大而减小。
当 k＜0 时，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内 y 随 x 的增大而增大。
反比例函数的图像是以原点为对称中心的中心对称的两条曲线。
四、反比例函数的性质1、单调性当 k＞0 时，函数在区间（∞，0）和（0，＋∞）上分别单调递减；当 k＜0 时，函数在区间（∞，0）和（0，＋∞）上分别单调递增。
2、对称性反比例函数的图像既是轴对称图形，又是中心对称图形。
它有两条对称轴，分别是直线 y ＝ x 和 y ＝ x；对称中心是原点（0，0）。
3、渐近线当 x 趋近于正无穷或负无穷时，曲线无限接近坐标轴，但永远不会与坐标轴相交。
4、取值范围当 k＞0 时，y＞0 或 y＜0；当 k＜0 时，y＜0 或 y＞0。
五、反比例函数中 k 的几何意义1、过反比例函数 y ＝ k/x（k≠0）图像上任意一点 P 作 x 轴、y 轴的垂线 PM、PN，垂足分别为 M、N，则矩形 PMON 的面积 S ＝PM×PN ＝｜y|×｜x| ＝｜xy| ＝｜k|。
专题21反比例函数的图象与性质(3个知识点5种题型2种中考考法)(原卷版-初中数学北师大版9年级上册
专题21反比例函数的图象与性质（3个知识点5种题型2种中考考法）【目录】倍速学习四种方法【方法一】脉络梳理法知识点1.反比例函数图象的画法（重点）知识点2.反比例函数的图象与性质（重点）知识点3.反比例函数表达式中比例系数k 的几何意义（难点）【方法二】实例探索法题型1.反比例函数的图象与性质的应用题型2.反比例函数与图形面积问题题型3.利用反比例函数图象的对称性解题题型4.创新题题型5.反比例函数与几何图形的综合【方法三】仿真实战法考法1.反比例函数的比例系数k 的几何意义考法2.利用反比例函数的性质比较函数值大小【方法四】成果评定法【学习目标】1.能画出反比例函数的图象，知道反比例函数的图象是双曲线。
2.理解反比例函数的性质，并能运用其性质解决相关的问题。
3.理解反比例函数)0(≠=k xky 中的比例系数k 的几何意义，并能运用其意义求与反比例函数图象有关的图形面积问题。
【知识导图】【倍速学习四种方法】【方法一】脉络梳理法知识点1.反比例函数图象的画法（重点）（1）列表：自变量的取值应以0为中心，在0的两侧取三对（或三对以上）互为相反数的值，填写y 值时，只需计算右侧的函数值，相应左侧的函数值是与之对应的相反数；（2）描点：描出一侧的点后，另一侧可根据中心对称去描点；（3）连线：按照从左到右的顺序连接各点并延伸，连线时要用平滑的曲线按照自变量从小到大的顺序连接，切忌画成折线.注意双曲线的两个分支是断开的，延伸部分有逐渐靠近坐标轴的趋势，但永远不与坐标轴相交；（4）反比例函数图象的分布是由k 的符号决定的：当0k >时，两支曲线分别位于第一、三象限内，当0k <时，两支曲线分别位于第二、四象限内．知识点2.反比例函数的图象与性质（重点）1、反比例函数的图象特征：反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限或第二、四象限；反比例函数的图象关于原点对称，永远不会与x 轴、y 轴相交，只是无限靠近两坐标轴.注意：（1）若点(a b ，)在反比例函数ky x=的图象上，则点(a b --，)也在此图象上，所以反比例函数的图象关于原点对称；（2）在反比例函数(k 为常数，0k ≠)中，由于，所以两个分支都无限接近但永远不能达到x 轴和y 轴．2.反比例函数的性质（1）如图1，当0k >时，双曲线的两个分支分别位于第一、三象限，在每个象限内，y 值随x 值的增大而减小；（2）如图2，当0k <时，双曲线的两个分支分别位于第二、四象限，在每个象限内，y 值随x 值的增大而增大；注意：（1）反比例函数的增减性不是连续的，它的增减性都是在各自的象限内的增减情况，反比例函数的增减性都是由反比例系数k 的符号决定的；反过来，由双曲线所在的位置和函数的增减性，也可以推断出k 的符号.（2）反比例的图像关于原点的对称【例2】（2022秋•南华县期末）反比例函数与一次函数y ＝kx +1在同一坐标系的图象可能是（）A ．B ．C．D．【变式】（2022秋•大渡口区校级期末）在同一坐标系中，函数和y＝kx﹣2的图象大致是（）A．B．C．D．【例3】（2023•瑞安市开学）对于反比例函数，当﹣1＜y≤2，且y≠0时，自变量x的取值范围是（）A．x≥1或x＜﹣2B．x≥1或x≤﹣2C．0＜x≤1或x＜﹣2D．﹣2＜x＜0或x≥1【变式】（2023•西湖区校级开学）若点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），都在反比例函数（k为常数，k＞0）的图象上，其中y2＜0＜y1＜y3，则x1，x2，x3的大小关系是（）A．x1＜x2＜x3B．x2＜x3＜x1C．x1＜x3＜x2D．x2＜x1＜x3知识点3.反比例函数表达式中比例系数k的几何意义（难点）通过反比例函数上一点向一条坐标轴作垂线，这个点与垂足和原点所构成的三角形面积为12k，与两条坐标轴围成矩形面积为k，注意加绝对值时，有正负两个答案．【例4】（2023•和平区校级三模）如图，点A在双曲线上，AB ⊥x 轴于B ，且△AOB 的面积S △AOB ＝2，则k 的值为（）A ．2B ．4C ．﹣2D ．﹣4【变式】如图，矩形ABCD 的边CD 在x 轴上，顶点A 在双曲线1y x =上，顶点B 在双曲线3y x=上，求矩形ABCD 的面积．A B CDE Oxy【方法二】实例探索法题型1.反比例函数的图象与性质的应用1．（2023•株洲）下列哪个点在反比例函数的图象上？（）A ．P 1（1，﹣4）B ．P 2（4，﹣1）C ．P 3（2，4）D ．2.（2023•西湖区校级开学）若点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），C （x 3，y 3），都在反比例函数（k 为常数，k＞0）的图象上，其中y 2＜0＜y 1＜y 3，则x 1，x 2，x 3的大小关系是（）A ．x 1＜x 2＜x 3B ．x 2＜x 3＜x 1C ．x 1＜x 3＜x 2D ．x 2＜x 1＜x 33.（2023春•东阳市期末）已知反比例函数的图象的一支如图所示，它经过点（3，﹣2）．（1）求此反比例函数的表达式，并补画该函数图象的另一支．（2）求当y ≤4，且y ≠0时自变量x 的取值范围．4.（1）平面直角坐标系中，点A (725)m m --，在第二象限，且m 为整数，求过点A 的反比例函数解析式；（2）若反比例函数3k y x -=的图像位于第二、四象限内，正比例函数2(1)3y k x =-过一、三象限，求整数k 的值．5.已知反比例函数(0)k y k x =≠，当自变量x 的取值范围为84x ≤≤--时，相应的函数取值范围是12y ≤≤--1，求这个反比例函数解析式．题型2.反比例函数与图形面积问题6.（1）若P是反比例函数3kyx=图像上的一点，PQ⊥y轴，垂足为点Q，若2POQs∆=，求k的值；（2）已知反比例函数kyx=的图像上有一点A，过A点向x轴，y轴分别做垂线，垂足分别为点B C，，且四边形ABOC的面积为15，求这个反比例函数解析式．7.（2022秋•朝阳期末）如图，一次函数y＝k1x+b与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于A（1，6），B（3，n）两点．（1）求反比例函数的解析式和n的值；（2）根据图象直接写出不等式k1x+b的x的取值范围；（3）求△AOB的面积．题型3.利用反比例函数图象的对称性解题8．（2023•福建）如图，正方形四个顶点分别位于两个反比例函数y＝和y＝的图象的四个分支上，则实数n的值为（）A．﹣3B．﹣C．D．39．（2023•广西）如图，过的图象上点A，分别作x轴，y轴的平行线交的图象于B，D 两点，以AB，AD为邻边的矩形ABCD被坐标轴分割成四个小矩形，面积分别记为S1，S2，S3，S4，若，则k的值为（）A．4B．3C．2D．1(1)若点A（1，1），分别求线段(2)对于任意的点A（a，b），试探究线段14．（2022秋·安徽滁州·九年级统考期中）如图，已知1A，2A，3A，…，n A…是x轴上的点，且15．（2021秋·河北石家庄每个台阶凸出的角的顶点记作（1）若L 过点1T ，则k =（2）若曲线L 使得1T T ～16．（2022秋·全国·九年级期末）如图，已知反比例函数题型5.反比例函数与几何图形的综合17.过原点作直线交双曲线(0)ky k x=>于点A 、C ，过A 、C 两点分别作两坐标轴的平行线，围成矩形ABCD ，如图所示．（1）已知矩形ABCD 的面积等于8，求双曲线的解析式；（2）若已知矩形ABCD 的周长为8，能否由此确定双曲线的解析式?如果能，请予求出；如果不能，说明理由．y ABCDOx18.正方形OAPB 、ADFE 的顶点A 、D 、B 在坐标轴上，点E 在AP 上，点P 、F 在函数(0)ky k x=>的图像上，已知正方形OAPB 的面积是16．（1）求k 的值和直线OP 的函数解析式；（2）求正方形ADEF 的边长．yABPFOxED19.如图，已知正方形OABC 的面积是9，点O 为坐原点，A 在x 轴上，C 在y 轴上，B 在函数(00)ky k x x=>>，的图像上，点P （m ，n ）在(00)ky k x x=>>，的图像上异于B 的任意一点，过点P 分别作x 轴，y 轴的垂线，垂足分别是E 、F ．设矩形OEPF 和正方形OABC 不重合部分的面积是S ．（1）求点B 的坐标；（2）当92S =时，求点P 的坐标；（3）写出S 关于m 的函数解析式．A BC PE FyOx【方法三】仿真实战法考法1.反比例函数的比例系数k 的几何意义1．（2023•福建）如图，正方形四个顶点分别位于两个反比例函数y ＝和y ＝的图象的四个分支上，则实数n 的值为（）A ．﹣3B．﹣C．D ．32．（2023•湘西州）如图，点A 在函数y＝（x ＞0）的图象上，点B 在函数y＝（x ＞0）的图象上，且AB ∥x 轴，BC ⊥x 轴于点C ，则四边形ABCO 的面积为（）A ．1B ．2C ．3D ．4考法2.利用反比例函数的性质比较函数值大小3．（2023•镇江）点A（2，y1）、B（3，y2）在反比例函数y＝的图象上，则y1y2（用“＜”、“＞”或“＝”填空）．4．（2022•广东）点（1，y1），（2，y2），（3，y3），（4，y4）在反比例函数y＝图象上，则y1，y2，y3，y4中最小的是（）A．y1B．y2C．y3D．y45．（2021•广安）若点A（﹣3，y1），B（﹣1，y2），C（2，y3）都在反比例函数y＝（k＜0）的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（）A．y3＜y1＜y2B．y2＜y1＜y3C．y1＜y2＜y3D．y3＜y2＜y1【方法四】成果评定法一、单选题A．1 43．（2022·福建福州·校考模拟预测）如图，在x轴于B、D两点，连结A ．4B ．65．（2022秋·福建厦门·九年级校考期中）如图，过双曲线上任意一点交x 轴、y 轴于点M 、N ，所得矩形A ．4B ．4-6．（2021秋·河北石家庄·九年级校联考期中）关于反比例函数A ．函数图像分别位于第一、三象限C ．函数图像过()(23A mB n -，、，A．4 10．（2023·江苏宿迁图像上，点E在yA．1B 二、填空题11．（2022秋·湖南永州13．（2022秋·黑龙江大庆的大小关系是14．（2023·安徽滁州15．（2023秋·重庆沙坪坝比例函数()0ky k x=≠上两点，平行线，两直线交于点16．（2023秋·福建泉州·九年级校考专题练习）如图，已知直线(00)a y x a x =>>，和b y x =象于点D ，过点C 作CE ∥17．（2022秋·贵州铜仁·九年级统考期中）如图，点112232021OA A A A A A ==== 图象分别交于点123,,,B B B 18．（2023·浙江·九年级专题练习）如图，点所示，分别过点A ，C 作x 轴与构成的阴影部分面积为2，则矩形三、解答题19．（2023秋·陕西榆林·九年级校考期末）已知反比例函数(1)函数的图象在第二、四象限？(1)求k的值；(2)请用无刻度的直尺和圆规作出(3)设（2）中的角平分线与⊥．证：DE OA(1)如图，在平面直角坐标系中，观察描出的这些点的分布，作出函数图象；(2)研究函数并结合图象与表格，回答下列问题：①点()121,7552,,,,2A y B y C x ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭②当函数值2y =时，求自变量x 的值；(1)求点A 的坐标；(2)求反比例函数的解析式：(1)点D的坐标为______，点E的坐标为______；(2)动点P在第一象限内，且满足12PBO ODE S S∆∆=。
巧用双曲线的对称性
巧用双曲线的对称性作者：秦云来源：《初中生世界(初二年级)》2008年第05期反比例函数y=（k≠0）的图象是双曲线，既是轴对称图形又是中心对称图形．它有两条对称轴，分别是直线y=x和y=-x.坐标原点是它的对称中心.利用双曲线的对称性，可使很多问题迅速解决．一、双曲线的轴对称性例1如图1，正方形OABC的两条边OA、OC分别在平面直角坐标系的x轴和y轴上，OA=4．已知双曲线y=恰好经过正方形OABC的对角线OB的中点D，分别与AB、BC交于点M、N．试说明AM=CN．分析：由题意知点D坐标为(2，2)，所以双曲线的关系式为y=.由于直线OB的关系式为y=x，所以y=关于OB成轴对称，所以BN=BM，所以CN=AM．例2如图2，在平面直角坐标系中，以点O为圆心的圆分别与直线y=-x和双曲线y=相交，已知该圆的半径为4，试求圆中阴影部分的面积和．分析：由轴对称性可得，图中阴影部分的面积和等于半圆面积，即等于π×４２＝８π.（此题由中心对称性也可解)二、双曲线的中心对称性例3直线y=2x与双曲线y=的图象的一个交点坐标为(2，4)，则它们的另一个交点坐标是.分析：依题意知，两交点关于原点成中心对称．故另一个交点的坐标为(-2，-4)．例4如图3，直线y=kx（k>0）与双曲线y=交于A(x1，y1)、B（x2，y2）两点，则2x1y ２-7x２y1=.分析：由题意可知，点A、B关于原点O成中心对称，所以x2=-x1，y2=-y1，所以2x1y2-7x２y１=-2x1y１+7x1y１=5x1y１.因为点A(x1，y１)在双曲线y＝上，所以x1y１=4．所以，原式=5×4=20.例5如图4，正比例函数y=x与反比例函数y=的图象相交于A、C两点, AB⊥x轴于B,CD⊥x轴于D.判断四边形ABCD的形状，并求其面积.分析：由双曲线的中心对称性，知点A与点C、点B与点D分别关于原点中心对称．所以OA=OC、OB=OD．所以四边形ABCD是平行四边形．因为S△AOB=OB·AB=x·y＝xy＝，所以SAＢＣＤ＝４S△AOB＝２.注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。
利用反比例函数图像对称性巧解
实际应用举例
在经济学中，反比例函数常被用来描述成本、收益等经济量之间的关系。利用反比例函数的对称性， 可以分析不同经济量之间的变化关系，为经济决策提供依据。
在物理学中，反比例函数可以用来描述一些物理量之间的关系，如万有引力定律。利用反比例函数的对 称性，可以分析物体之间的相互作用力，解释一些物理现象。
无界性
虽然反比例函数没有周期性，但 它在每个象限内都是无界的，即 随着x的增大或减小，y的值可以 无限接近但永远不会等于0。
03 巧解题方法一： 利用对称性求值
已知函数值求自变量
观察反比例函数图像，确定函数值的对称中心。
利用对称性，找到与已知函数值关于对称中心对 称的点。 根据反比例函数的性质，求出对应自变量的值。
观察图像
通过反比例函数的图像，我们可 以直观地观察到函数在不同区间 上的单调性。
对称性分析
利用反比例函数的对称性，我们 可以判断函数在关于原点对称的 区间上具有相同的单调性。
导数法
通过对反比例函数求导，我们可 以得到其导函数，进而判断函数 的单调性。
最值问题求解
闭区间上最值
如果反比例函数定义在闭区间上，我们可以通过比较端点 值和极值点来确定最值。
通过观察图像，可以直观判断方程的根是否存在，以及根的大致范围。
不等式求解问题
利用反比例函数图像的对称性，可以简化不等式的求解过程。
对于形如 $f(x) > 0$ 或 $f(x) < 0$ 的不等式，可以根据反比例函数的单 调性和对称性，快速确定不等式的解集。
特别是在解决一些复杂的不等式问题时，利用对称性可以避免繁琐的计算 过程，提高解题效率。
利用反比例函数图像对称性 巧解
汇报人：XXX 2024-01-29
专题 反比例函数(10个考点)-九年级数学上学期期中期末考点大串讲(人教版)(原卷版)
专题06反比例函数（10个考点）【知识梳理+解题方法】一．反比例函数的定义（1）反比例函数的概念形如y＝（k为常数，k≠0）的函数称为反比例函数．其中x是自变量，y是函数，自变量x的取值范围是不等于0的一切实数．（2）反比例函数的判断判断一个函数是否是反比例函数，首先看看两个变量是否具有反比例关系，然后根据反比例函数的意义去判断，其形式为y＝（k为常数，k≠0）或y＝kx﹣1（k为常数，k≠0）．二．反比例函数的图象用描点法画反比例函数的图象，步骤：列表﹣﹣﹣描点﹣﹣﹣连线．（1）列表取值时，x≠0，因为x＝0函数无意义，为了使描出的点具有代表性，可以以“0”为中心，向两边对称式取值，即正、负数各一半，且互为相反数，这样也便于求y值．（2）由于函数图象的特征还不清楚，所以要尽量多取一些数值，多描一些点，这样便于连线，使画出的图象更精确．（3）连线时要用平滑的曲线按照自变量从小到大的顺序连接，切忌画成折线．（4）由于x≠0，k≠0，所以y≠0，函数图象永远不会与x轴、y轴相交，只是无限靠近两坐标轴．三．反比例函数图象的对称性反比例函数图象的对称性：反比例函数图象既是轴对称图形又是中心对称图形，对称轴分别是：①二、四象限的角平分线Y＝﹣X；②一、三象限的角平分线Y＝X；对称中心是：坐标原点．四．反比例函数的性质反比例函数的性质（1）反比例函数y＝（k≠0）的图象是双曲线；（2）当k＞0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小；（3）当k＜0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大．注意：反比例函数的图象与坐标轴没有交点．五．反比例函数系数k的几何意义比例系数k的几何意义在反比例函数y＝图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是|k|，且保持不变．六．反比例函数图象上点的坐标特征反比例函数y＝k/x（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，①图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy＝k；②双曲线是关于原点对称的，两个分支上的点也是关于原点对称；③在y＝k/x图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．七．待定系数法求反比例函数解析式用待定系数法求反比例函数的解析式要注意：（1）设出含有待定系数的反比例函数解析式y＝（k为常数，k≠0）；（2）把已知条件（自变量与函数的对应值）带入解析式，得到待定系数的方程；（3）解方程，求出待定系数；（4）写出解析式．八．反比例函数与一次函数的交点问题反比例函数与一次函数的交点问题（1）求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．（2）判断正比例函数y＝k1x和反比例函数y＝在同一直角坐标系中的交点个数可总结为：①当k1与k2同号时，正比例函数y＝k1x和反比例函数y＝在同一直角坐标系中有2个交点；②当k1与k2异号时，正比例函数y＝k1x和反比例函数y＝在同一直角坐标系中有0个交点．九．根据实际问题列反比例函数关系式根据实际问题列反比例函数关系式，注意分析问题中变量之间的联系，建立反比例函数的数学模型，在实际问题中，往往要结合题目的实际意义去分析．首先弄清题意，找出等量关系，再进行等式变形即可得到反比例函数关系式．根据图象去求反比例函数的解析式或是知道一组自变量与函数值去求解析式，都是利用待定系数法去完成的．注意：要根据实际意义确定自变量的取值范围．十．反比例函数的应用（1）利用反比例函数解决实际问题①能把实际的问题转化为数学问题，建立反比例函数的数学模型．②注意在自变量和函数值的取值上的实际意义．③问题中出现的不等关系转化成相等的关系来解，然后在作答中说明．（2）跨学科的反比例函数应用题要熟练掌握物理或化学学科中的一些具有反比例函数关系的公式．同时体会数学中的转化思想．（3）反比例函数中的图表信息题正确的认识图象，找到关键的点，运用好数形结合的思想．【专题过关】一．反比例函数的定义（共3小题）1．（2021秋•遵化市期末）下列函数关系式中属于反比例函数的是（）A．y＝4x B．2x+y＝4C．y＝x2+3D．2．（2022•东营模拟）函数y＝（m﹣2）是反比例函数，则m＝．3．（2022•西宁一模）函数的自变量x的取值范围是．二．反比例函数的图象（共4小题）4．（2021秋•大城县期末）反比例函数的图象如图所示，则k的值可以是（）A．﹣2B．C．1D．35．（2021秋•大城县期末）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，反比例函数与正比例函数在同一平面直角坐标系内的大致图象是（）A．B．C．D．6．（2021秋•襄州区期末）问题呈现：我们知道反比例函数的图象是双曲线，那么函数（k、m、n为常数且k≠0）的图象还是双曲线吗？它与反比例函数的图象有怎样的关系呢？让我们一起开启探索之旅……探索思考：我我们可以借鉴以前研究函数的方法，首先探索函数的图象．（1）画出函数图象．①列表：x…﹣6﹣5﹣4﹣3﹣201234…y…﹣1﹣2﹣4421…②描点并连线．（2）观察图象，写出该函数图象的两条不同类型的特征：①，②；（3）理解运用：函数的图象是由函数的图象向平移个单位，其对称中心的坐标为．（4）灵活应用：根据上述画函数图象的经验，想一想函数的图象大致位置，并根据图象指出，当x满足时，y≥3．7．（2022•市南区校级二模）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，其对称轴是直线x＝，点A的坐标为（1，0），AB垂直于x轴，连接CB，则下列说法一定正确的是（）A．如图①，四边形ABCO是矩形B．在同一平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx，一次函数y＝ax+b和反比例函数y＝的图象大致如图②所示C．在同一平面直角坐标系中，二次函数y＝﹣x（ax+b）+c与反比例函数y＝的图象大致如图③所示D．在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝bx﹣ac与反比例函数y＝在的图象大致如图④所示三．反比例函数图象的对称性（共3小题）8．（2022•高要区一模）若正比例函数y＝﹣2x与反比例函数y＝图象的一个交点坐标为（﹣1，2），则另一个交点的坐标为（）A．（2，﹣1）B．（1，﹣2）C．（﹣2，﹣1）D．（﹣2，1）9．（2022春•洪泽区月考）如图，已知直线y＝mx与双曲线y＝的一个交点坐标为（3，4），则它们的另一个交点坐标是．10．（2022•自贡模拟）如图，半径为2的两圆⊙O1和⊙O2均与x轴相切于点O，反比例函数（k＞0）的图象与两圆分别交于点A，B，C，D，则图中阴影部分的面积是．（结果保留π）四．反比例函数的性质（共6小题）11．（2021秋•政和县期末）反比例函数中，反比例常数k的值为．12．（2022秋•青浦区期中）已知正比例函数y＝中，y的值随x的值的增大而增大，那么它和反比例函数y＝在同一平面直角坐标系内的大致图象可能是（）A．B．C．D．13．（2021秋•丰宁县期末）已知反比例函数，则下列描述不正确的是（）A．图象位于第一、第三象限B．图象必经过点C．图象不可能与坐标轴相交D．y随x的增大而减小14．（2022•威县校级模拟）如图，矩形ABCO在平面直角坐标系中，点A（﹣5，0），点C（0，6），双曲线L1：y＝﹣（x＜0）和双曲线L2：y＝（x＜0）．[把矩形ABCO内部（不含边界）横、纵坐标均为整数的点称为“优点”]（1）若k＝﹣12，则L2和L1之间（不含边界）有个“优点”；（2）如果L2和L1之间（不含边界）有4个“优点”，那么k的取值范围为．15．（2022•杞县模拟）若一个函数当自变量在不同范围内取值时，函数表达式不同，我们称这样的函数为分段函数，下面我们参照学习函数的过程与方法，探究分段函数y＝的图象与性质，探究过程如下，请补充完整．（1）列表：x…﹣3﹣2﹣10123…y…m12101n…其中，m＝，n＝．（2）描点：在平面直角坐标系中，以自变量x的取值为横坐标，以相应的函数值y为纵坐标，描出相应的点，如图所示，请画出函数的图象．（3）研究函数并结合图象与表格，回答下列问题：①点，在函数图象上，则y1y2，x1x2；（填“＞”，“＝”或“＜”）②当函数值时y＝1，求自变量x的值．16．（2022•沙市区模拟）探究分段函数y＝的图象与性质．列表：x…﹣1﹣012…y…210121…描点：描出相应的点，并连线，如图所示结合图象研究函数性质，回答下列问题：（1）点A（3，y1），B（5，y2），C（x1，），D（x2，6）在函数图象上，则y1y2，x1 x2；（填“＞”、“＝”或“＜”）（2）当函数值y＝2时，自变量x的值为；（3）在直角坐标系中作出y＝x的图象；（4）当方程x+b＝有三个不同的解时，则b的取值范围为．五．反比例函数系数k的几何意义（共5小题）17．（2022•茂南区二模）如图，两个反比例函数和在第一象限内的图象分别是l1和l2，设点P 在l1上，PC⊥x轴于点C，交l2于点A，PD⊥y轴于点D，交l2于点B，则四边形P AOB的面积为（）A．k1+k2B．k1﹣k2C．k1k2D．k2﹣k118．（2022•河池）如图，点P（x，y）在双曲线y＝的图象上，P A⊥x轴，垂足为A，若S△AOP＝2，则该反比例函数的解析式为．19．（2022•开远市二模）若图中反比例函数的表达式均为，则阴影面积为2的是（）A．B．C．D．20．（2022•靖江市二模）反比例函数，（n＜0）的图象如图所示，点P为x轴上不与原点重合的一动点，过点P作AB∥y轴，分别与y1、y2交于A、B两点．（1）当n＝﹣10时，求S△OAB；（2）延长BA到点D，使得DA＝AB，求在点P整个运动过程中，点D所形成的函数图象的表达式．（用含有n的代数式表示）．21．（2022•德城区模拟）如图，A、B两点在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，其中k＞0，AC⊥y轴于点C，BD⊥x轴于点D，且AC＝1（1）若k＝2，则AO的长为，△BOD的面积为；（2）若点B的横坐标为k，且k＞1，当AO＝AB时，求k的值．六．反比例函数图象上点的坐标特征（共9小题）22．（2022秋•合浦县期中）如图，点A是反比例函数图象上一点，则下列各点在该函数图象上的是（）A．（﹣1，﹣1）B．（1，﹣1）C．D．（﹣2，1）23．（2021秋•碧江区期末）如图，△OAB、△BA1B1、△B1A2B2、…、△B n﹣1A n B n都是等边三角形，顶点A、A1、A2、…、A n在反比例函数（x＞0）的图象上，则B2020的坐标是．24．（2022秋•杜集区校级月考）我们不妨约定：在平面直角坐标系中，若某函数图象上至少存在不同的两点关于直线x＝n（n为常数）对称，则把该函数称之为“X（n）函数“．（1）在下列关于x的函数中，是“X（n）函数”的是（填序号）；①；②y＝|4x|；③y＝x2﹣2x﹣5．（2）若关于x的函数y＝|x﹣h|（h为常数）是“X（3）函数”，与（m为常数，m＞0）相交于A （x A，y A）、B（x B，y B）两点，A在B的左边，x B﹣x A＝5，则m＝．25．（2022•思明区校级二模）阅读理解：若三个非零实数x，y，z满足：只要其中一个数的倒数等于另外两个数的倒数的和，则称这三个实数x，y，z构成“和谐三数组”．（1）若A（m，y1），B（m+1，y2），C（m+3，y3）三点均在反比例函数的图象上，且三点的纵坐标恰好构成“和谐三数组”，求实数m的值；（2）若实数a，b，c是“和谐三数组”，且满足a＞b＞c＞0，求点与原点O的距离OP的取值范围．26．（2022•牧野区校级三模）如图，矩形ABCD的边BC在x轴上，E为对角线AC，BD的交点，点A，C 的坐标分别为A（﹣3，3），C（﹣1，0）．（1）反比例函数y1＝在第三象限的图象经过D点，求这个函数的解析式；（2）点E是否在函数y1＝的图象上？说明理由；（3）一次函数y2＝k2+b的图象经过点B，点D，根据图象直接写出不等式k2x+b＜的解集．27．（2022•荷塘区校级二模）如图，点A（a，a），B（b，b）是直线y＝x上在第一象限的两点，过A，B两点分别作y轴的平行线交双曲线y＝（x＞0）于C，D两点．（1）当b＝2，BD＝1时，求k的值；（2）当k＝1时：①若AC＝BD，求a与b的数量关系；②若AC＝2BD，求4OD2﹣OC2的值．28．（2021秋•梧州期末）在函数y＝（其中a≠0，a为常数）经过点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），且x3＜0＜x1＜x2，则把y1、y2、y3按从小到大排列为．29．（2022•营口）如图，在平面直角坐标系中，△OAC的边OC在y轴上，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点A和点B（2，6），且点B为AC的中点．（1）求k的值和点C的坐标；（2）求△OAC的周长．30．（2022秋•东湖区期中）如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点O在坐标原点，顶点A在y 轴上，顶点C在x轴上，反比例函数y＝k的图象过AB边上一点E，与BC边交于点D，BE＝2，OE＝10．（1）求k的值；（2）直线y＝ax+b过点D及线段AB的中点F，点P是直线OF上一动点，当PD+PC的值最小时，直接写出这个最小值．七．待定系数法求反比例函数解析式（共4小题）31．（2021秋•平泉市期末）如图，矩形ABCD的两边AD，AB的长分别为3，8，E是DC的中点，反比例函数的图象经过点E，与AB交于点F．（1）若点B的坐标为（﹣6，0），求m的值．（2）若AF﹣AE＝2，求反比例函数的解析式．32．（2022•蓬江区一模）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，反比例函数的图象经过点C，OA＝2，OB＝4．（1）求反比例函数的解析式；（2）若将正方形ABCD沿x轴向右平移得到正方形A'B'C'D'，当点D'在反比例函数的图象上时，请求出点B'的坐标，并判断点B'是否在该反比例函数的图象上，说明理由．33．（2022•睢阳区二模）如图，平行四边形ABCD的面积为12，AB∥y轴，AB，CD与x轴分别交于点M，N，对角线AC，BD的交点为坐标原点，点A的坐标为（﹣2，1），反比例函数的图象经过点B，D．（1）求反比例函数的解析式；（2）点P为y轴上的点，连接AP，若△AOP为等腰三角形，求满足条件的点P的坐标．34．（2021秋•孟村县期末）已知y与x成反比例，当x＝﹣1时，y＝﹣6．（1）y与x的函数解析式为；（2）若点A（a，﹣4），B（b，﹣8）都在该反比例函数的图象上，则a，b的大小关系是．八．反比例函数与一次函数的交点问题（共5小题）35．（2022•市南区校级一模）如图，直线y＝kx+3与x轴、y轴分别交于点B、C，与反比例函数y＝交于点A、D，过D作DE⊥x轴于E，连接OA，OD，若A（﹣2，n），S△OAB：S△ODE＝1：2．（1）求反比例函数的表达式；（2）求点C的坐标；（3）直接写出关于x不等式：＞kx﹣3的解为．36．（2022•宝安区校级模拟）如图，一次函数y1＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y2＝（m为常数且m ≠0）的图象都经过A（﹣1，2），B（2，﹣1），结合图象，则不等式kx＞﹣b的解集是（）A．x＜﹣1B．﹣1＜x＜0C．x＜﹣1或0＜x＜2D．﹣1＜x＜0或x＞237．（2022•仁怀市模拟）如图，直线y＝x﹣4分别与x轴，y轴交于点A，B，与反比例函数y＝的图象交于点D，过点A作AC⊥x轴与反比例函数的图象相交于点C，若AC＝AD，则k的值为（）A．3B．4C．D．38．（2022•市南区校级二模）如图，在平面直角坐标系中，点A（﹣3，1），以点O为顶点作等腰直角三角形AOB，双曲线y1＝在第一象限内的图象经过点B．设直线AB的表达式为y2＝k2x+b，回答下列问题：（1）求双曲线y1＝和直线AB的y2＝k2x+b表达式；（2）当y1＞y2时，求x的取值范围；（3）求△AOB的面积．39．（2022•吉阳区模拟）如图，函数y＝与函数y＝kx（k＞0）的图象相交于A、B两点，AC∥y轴，BC∥x轴，则△ABC的面积等于（）A．24B．18C．12D．6九．根据实际问题列反比例函数关系式（共3小题）40．（2022秋•滁州期中）某电子产品的售价为8000元，购买该产品时可分期付款：前期付款3000元，后期每个月分别付相同的数额，则每个月付款额y（元）与付款月数x（x为正整数）之间的函数关系式是（）A．B．C．D．41．（2021•东胜区一模）A、B两地相距400千米，某人开车从A地匀速到B地，设小汽车的行驶时间为t 小时，行驶速度为v千米/小时，且全程限速，速度不超过100千米/小时．（1）写出v关于t的函数表达式；（2）若某人开车的速度不超过每小时80千米，那么他从A地匀速行驶到B地至少要多长时间？（3）若某人上午7点开车从A地出发，他能否在10点40分之前到达B地？请说明理由．42．（2021•杭州二模）某气球内充满了一定量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压p（kPa）是气体体积V（m3）的反比例函数，其图象如图所示．（1）求这个函数的解析式；（2）当气体体积为1m3时，气压是多少？（3）当气球内的气压大于140kPa时，气球将爆炸，为了安全起见，气体的体积应不小于多少？（精确到0.01m3）一十．反比例函数的应用（共4小题）43．（2022秋•涟源市期中）如图1是一个亮度可调节的台灯，其灯光亮度的改变，可以通过调节总电阻控制电流的变化来实现．如图2是该台灯的电流I（A）与电阻R（Ω）成反比例函数的图象，该图象经过点P（880，0.25）．根据图象可知，下列说法正确的是（）A．当I＜0.25时，R＜880B．I与R的函数关系式是I＝（R＞0）C．当R＞1000时，I＞0.22D．当880＜R＜1000时，I的取值范围是0.22＜I＜0.2544．（2022•南阳二模）在对物体做功一定的情况下，力F（N）与此物体在力的方向上移动的距离s（m）成反比例函数关系，其图象如图所示，点P（4，3）在其图象上，则当力达到10N时，物体在力的方向上移动的距离是（）A．2.4m B．1.2m C．1m D．0.5m45．（2022•邓州市二模）给定一个函数：y＝x++1（x＞0），为了研究它的图象与性质，并运用它的图象与性质解决实际问题，进行如下探索：（1）图象初探①列表如下x…1234…y…m3n…请直接写出m，n的值；②请在如下的平面直角坐标系中描出剩余两点，并用平滑的曲线画出该函数的图象．（2）性质再探请结合函数的图象，写出当x＝，y有最小值为；（3）学以致用某农户要建造一个如图①所示的长方体无盖水池，其底面积为1平方米，深为1米．已知底面造价为3千元/平方米，侧面造价为0.5千元/平方米．设水池底面一边长为x米，水池总造价为y千元，可得到y与x的函数关系式为：y＝x++3．根据以上信息，请回答以下问题：①水池总造价的最低费用为千元；②若该农户预算不超过5.5千元，请直接写出x的值应控制在什么范围？．46．（2021秋•丰南区期末）在工程实施过程中，某工程队接受一项开挖水渠的工程，所需天数y（天）与每天完成工程量x米的函数关系图象如图所示，是双曲线的一部分．（1）请根据题意，求y与x之间的函数表达式；（2）若该工程队有2台挖掘机，每台挖掘机每天能够开挖水渠30米，问该工程队需要用多少天才能完成此项任务？（3）工程队在（2）的条件下工作5天后接到防汛紧急通知，最多再给5天时间完成全部任务，则最少还需调配几台挖掘机？。
方法技巧篇17 第十七章 反比例函数
方法技巧篇17 第十七章 反比例函数A ．考点精析、重点突破、学法点拨双曲线的性质 1．双曲线的对称性双曲线x k y =（k ≠0）关于原点对称，也关于直线y =x （正比例函数y =x 的图象）（或直线y =-x ）对称，两个函数图象的交点也关于原点对称；双曲线x k y =（k ≠0）与x k y -=（k ≠0）关于两坐标轴都对称；它们的四支组成优美的图形，共有____条对称轴．例1 （2012深圳市）如图，双曲线()k y k x=>0与⊙O 在第一象限内交于P 、Q 两点，分别过P 、Q 两点向x 轴和y 轴作垂线．已知点P的坐标为（1，3）则图中阴影部分的面积为 ．2．双曲线的渐近线双曲线每一支的两端分别无限地趋近两坐标轴，我们把两坐标轴叫做双曲线的渐近线． 3．双曲线上到原点的最近点双曲线与直线y =x 或y =-x 的交点是双曲线上到原点最近的点．||k 越大，这个“最近点”就离原点越远，双曲线也就离原点越远．例2 （2012福州）如图，过点C （1,2）分别作x 轴、y 轴的平行线，交直线y =-x +6于A 、B 两点，若反比例函数xk y =（x ＞0）的图像与△ABC 有公共点，则k 的取值范围是（ ）A ．2≤k ≤9 B. 2≤k ≤8 C. 2≤k ≤5 D. 5≤k ≤8B ．中考常考题型与解题方法技巧一、巧用比例系数k 的几何意义如图，若点),(00y x P 是反比例函数xk y =上的任意一点，则有=⋅00y x ，即0x 与0y 的积必是一个定值．过点P 分别作x 轴和y 轴的垂线，垂足分别为点A 、点B ，则PA=OB=||0y ，PB=OA=||0x ．故有||||210y x s s OPB OPA ⋅==∆∆P=||21k ，此时矩形OAPB 的面积为||||||00k y x s =⋅=．这就是说，过双曲线上任意一点作x 轴和y 轴的垂线，所得的矩形的面积为|k |，这是比例系数k 的几何意义． 1．确定解析式例3 如图，P 是反比例函数x k y =的图象上一点，过点P 分别向x 轴、y轴作垂线，所得的图形中阴影部分的面积为6，则这个反比例函数的解析式为( )A ．x y 6-=B ．x y 6=C ．x y 3-=D ．xy 3=2．求图形的面积例4 （2005·宁波市）如图，正比例函数x y =与反比例函数x y 1=的图象相交于A 、C 两点，AB⊥x 轴于点B ，CD⊥x 轴于点D ，则四边形ABCD 的面积为( )A ．1B ．23C ．2D ．25例5（2012·湖南株洲市）如图，直线(0)x t t =>与反比例函数21,y y x x-==的图象分别交于B 、C 两点，A 为y 轴上的任意一点，则∆ABC 的面积为( )A ．3B ．32t C ．32 D ．不能确定3．比较面积的大小例6 (2006·兰州市)如图，P l 、P 2、P 3分别是双曲线上的三点，过这三点分别作y 轴的垂线，得到三个三角形△P 1A 10、△P 2A 20、△P 3A 30，设它们的面积分别是S l 、S 2、S 3，则( )A ．321s s s <<B ．312s s s <<C ．231s s s <<D ．321s s s == 4．确定点是否在图像上例7 (2007·贵阳)在平面直角坐标系中有六个点A(1，5)，)35,3(--B ，C(-5，-1)，)25,2(-D ，)35,3(F ，)2,25(F ，其中有五个点在同一反比例函数的图象上，不在这个反比例函数图象上的点是( )A ．点CB ．点DC ．点ED ．点F 二、一次函数“牵手”反比例函数1．同一坐标系中的两个图象共存问题例8 反比例函数xk y 2-=与正比例函数kx y 2=在同一坐标系中的图象不可能是( )2．求函数关系式或图象交点坐标问题例9 已知反比例函数)0(≠=k xk y 和一次函数6--=x y ．(1)若一次函数和反比例函数的图象交于点(-3，m )，求m 和k 的值．(2)当k 满足什么条件时，这两个函数的图象有两个不同的交点?(3)当k =-2时，设(2)中的两个函数的图象的交点分别为A 和B ，试判断此时A 、B 两点分别在第几象限？∠AOB 是锐角还是钝角（只要求直接写出结论）?例10 （山东课改实验区）如图，直线22--=x y 与双曲线x k y =交于点A ，与x 轴、y 轴分别交于点B 、C ，AD⊥x 轴于点D ，如果C DB ADB s s ∆∆=，那么k =______．例11 （2012·湖北襄阳）如图，直线y ＝k 1x ＋b 与双曲线y ＝2kx相交于A （1，2），B （m ，－1）两点．（1）求直线和双曲线的解析式；（2）若A 1（x 1，y 1），A 2（x 2，y 2），A 3（x 3，y 3）为双曲线上的三点，且x 1＜x 2＜0＜x 3，请直接写出y 1，y 2，y 3的大小关系式；（3）观察图象，请直接写出不等式k 1x ＋b ＞2k x的解集．四、反比例函数的应用例12 （2012·安徽）甲、乙两家商场进行促销活动，甲商场采用“满200减100”的促销方式，即购买商品的总金额满200元但不足400元，少付100元；满400元但不足600元，少付200元，……；乙商场按顾客购买商品的总金额打6折促销． ⑴若顾客在甲商场购买了510元的商品，付款时应付多少钱？ 解：⑵若顾客在甲商场购买商品的总金额为x （400≤x ＜600）元，优惠后得到商家的优惠率为p （p=购买商品的总金额优惠金额），写出p 与x 之间的函数关系式，并说明p 随x 的变化情况； 解：⑶品牌、质量、规格等都相同的某种商品，在甲乙两商场的标价都是x （200≤x ＜400）元，你认为选择哪家商场购买商品花钱较少？请说明理由．C ．数学思想方法与中考能力要求一、数形结合思想例13 如图是三个反比例函数x k y 1=，x k y 2=，x k y 3=在x 轴上方的图象，由此观察，得到k 1，k 2，k 3 的大小关系为( ) A ．321k k k >> B ．123k k k >> C ．132k k k >> D ．213k k k >>二、函数思想例14 在某一电路中，电源电压U 保持不变，电流I(A)与电阻R(Ω)之间的函数图象如图所示．(1)I 与R 的函数关系式为______；(2)结合图象回答：当电路中的电流不得超过12 A 时，电路中电阻R 的取值范围是______．。
反比例函数经典例题(有答案)
一、反比例函数的对称性1、直线y=ax (a>0)与双曲线y= 3/x 交于A (x i, y〔)、B (X2, y2)两点，贝U 4x i y2-3x2y i=2、如图1,直线y=kx (k>0)与双曲线y= 2/x交于A, B两点，若A B两点的坐标分别为A (x i, y i),B (x2, y2)，贝U x i y2+x2y i 的值为( )A 、-8B 、4C 、-4D 、0解析：直线Y=KX和双曲线Y=2/X图象都关于原点对称因此两交点A、B也关于原点对称X2=-Xi, Y2=-Yi双曲线形式可变化为XY=2即双曲线上点的横纵坐标乘积为 2因此XiYi=2XiY2+X2Yi=Xi(-Yi) + (-Xi) Yi=-XiYi-XiYi=-4图i 图2 图3 图4二、反比例函数中“ K”的求法1、如图2,直线l是经过点(i, 0)且与y轴平行的直线.Rt△ ABC中直角边AC=4, BC=3将BC边在直线l上滑动，使A, B在函数y=k/x的图象上.那么k的值是( )A、3 B 、6 C 、i2 D 、i5/4解析：BC 在直线X=i 上，设B(i , M),贝U C(i, M-3), .••A(5, M-3), 又A B都在双曲线上，二i*M=5*(M-3) , M=i5/4 即K=i5/4 2、如图3,已知点A、B在双曲线y= k/x (x>0)上，Adx轴于点C, Bdy轴于点D, AC与BD交于点P, P是AC的中点，若△ ABP的面积为3,则k=解析：A(xi,k/xi),B(x2,k/x2)AC:x=xi BD:y=k/x2P(xi,k/x2)k/x2=k/2xi 2xi=x2BP=x2-xi=xiAP=k/xi-k/x2=k/2xiS=xi*k/(2xi)*i/2)=k/4=3 k=i23、如图4,双曲线y= k/x (k > 0)经过矩形OABC的边BC的中点E,交AB于点D.若梯形ODBC的面积为3,则双曲线的解析式为( )A、y=i/xB、y=2/xC、y=3/xD、=6/解析：设E(x0,k/x0)E 是BC中点，二B(x0,2k/x0)B、D两点纵坐标相同，二D(x0/2,2k/x0)BD=x0/2,OC=x0,BC=2k/x0梯形面积=(BD+OC/ BC/2=3k/2=3•,- k=2 .•.双曲线的解析式为：y=2/x三、反比例函数“ K”与面积的关系1、如图5,已知双曲线y i=1/x(x >0) , y2=4/x(x >0),点P为双曲线y2=4/x上的一点，且PAlx 轴于点A, PBLy轴于点B, PA PB分别次双曲线y=/x于D C两点，则^ PCD的面积为( ) 图5 图6 图7解析：假设P的坐标为(a,b )，则C (a/4,b), D(a,b/4),PC=3/4*a PD=3/4*bS=1/2*3/4*a*3/4*b因为点P为双曲线y2=4/x上的一点所以a*b=4所以S=9/82、如图6,直线l和双曲线y=k/x(k >0)交于A B两点，P是线段AB上的点(不与A、B重合)，过点A、B、P分别向x轴作垂线，垂足分别为G D、E,连接OA OB 0P,设AAOC勺面积为S、△ BOD的面积为&、APOE的面积为S3,则( )A S I<S3B 、S I>S2>S3C 、S I=S2>&D 、S=S< S3解析：结合题意可得：AB者S在双曲线y=kx上，则有S1=S2而AB之间，直线在双曲线上方；故S1=SK S3.3、如图7,已知直线y=-x+3与坐标轴交于A、B两点，与双曲线y=k/x交于G D两点，且S3O C=&CO D=S\BOD 贝1J k=。
利用反比例函数的对称性解题
1 3（ m + 槡 3） 3） × 槡 又 S △ADC = S △ABC ， （ m + 2 槡 2 2 = 1 1 ×4槡 3 × （ － m2 + 6 ） ， 2 2
即线段 BD 被直线 AC 平分 ．
50
b2 + 4 k b － 槡 b2 + 4 k ． B －b－ 槡 ， 2 2 ∴ A 点的横坐标与 B 点的纵坐标互为相反数， A点 的纵坐标与 B 点的横坐标互为相反数， ∴ 若 A（ a， b） ， － a） ． 则 B（ － b， 同理， 当y= k （ k ＜ 0 ） 与 y = － x + b 交于二 、 四象限 x
3 3 9 ∴ 直线 AC 解析式为 y = 槡 x + ． 10 5 3 再求出直线 BD 的解析式 y = － 槡 x + 3 ， 解方程组得 2 3 9 直线 AC 与直线 BD 的交点坐标为 M （ 槡 ， ） ， 如图 2 ， 作 2 4 MF ⊥AB， DE⊥ AB ， F， 垂足分别为点 E ， 则 MF ∥ DE ， 得 △BMF∽△ BDE， ∴ BM MF 1 = = ， ∴ BM = DM ， MD DE 2
B 两点， B 的坐标是（ 2 ， － 4） ， 交于 A， 2） ， 所以 A（ － 4 ， 0） ， 一次函数的解析式为 y = － x － 2 ， 所以 C （ － 2 ， ∴ S △AOB = S △AOC + S △BOC = 类型 3 1 1 ×2 ×2 + × 2 × 4 = 6． 2 2
槡
k1 ， B 两点的横坐标互为相反数 ． 即 A， k2
A， B， b） ， － a） ． 若 A 点的坐标是（ a， 则 B 的坐标一定是（ － b， 证明 将 y = x + b 代入 y = b2 + 4 k －b± 槡 ， 2 k k 中， 得x+b= ， x x
中考数学复习----《反比例函数之综合应用》知识点总结与练习题(含答案解析)
中考数学复习----《反比例函数之综合应用》知识点总结与练习题（含答案解析）知识点总结1. 反比例函数k 的集合意义：①过反比例函数图像上任意一点作坐标轴的垂线，两垂线与坐标轴构成一个矩形，矩形的面积等于k 。
②过反比例函数图像上任意一点作其中一条坐标轴的垂线，并连接这个点与原点，则构成一个三角形。
这个三角形的面积等于2k 。
2. 待定系数法求反比例函数解析式：在反比例函数中只有一个系数k ，所以只需要在图像上找一个对应的点即可求出k 的值，从而求出反比例函数解析式。
3. 反比例函数与一次函数的不等式问题： 若反比例函数()0≠=k x ky 与一次函数()0≠+=k b kx y 有交点，则不等式b kx xk +＞的解集取反比例函数图像在一次函数图像上方的部分所对应的自变量取值范围；等式b kx xk+＜的解集取反比例函数图像在一次函数图像下方的部分所对应的自变量取值范围。
反比例函数与一次函数的交点把自变量分成三部分。
练习题1、（2022•日照）如图，矩形OABC 与反比例函数y 1＝xk1（k 1是非零常数，x ＞0）的图像交于点M ，N ，与反比例函数y 2＝xk2（k 2是非零常数，x ＞0）的图像交于点B ，连接OM ，ON ．若四边形OMBN 的面积为3，则k 1﹣k 2＝（ ）A ．3B ．﹣3C ．23 D ．﹣23【分析】根据矩形的性质以及反比例函数系数k 的几何意义即可得出结论． 【解答】解：∵y 1、y 2的图像均在第一象限， ∴k 1＞0，k 2＞0，∵点M 、N 均在反比例函数y 1＝（k 1是非零常数，x ＞0）的图像上，∴S △OAM ＝S △OCN ＝k 1，∵矩形OABC 的顶点B 在反比例函数y 2＝（k 2是非零常数，x ＞0）的图像上，∴S 矩形OABC ＝k 2，∴S 四边形OMBN ＝S 矩形OABC ﹣S △OAM ﹣S △OCN ＝3， ∴k 2﹣k 1＝3， ∴k 1﹣k 2＝﹣3， 故选：B ．2、（2022•牡丹江）如图，等边三角形OAB ，点B 在x 轴正半轴上，S △OAB ＝43，若反比例函数y ＝xk（k ≠0）图像的一支经过点A ，则k 的值是（ ）A ．233 B ．23C ．433 D ．43【分析】根据正三角形的性质以及反比例函数系数k 的几何意义，得出S △AOC ＝S △AOB ＝2＝|k |，即可求出k 的值．【解答】解：如图，过点A 作AC ⊥OB 于点C ， ∵△OAB 是正三角形， ∴OC ＝BC ，∴S △AOC ＝S △AOB ＝2＝|k |，又∵k ＞0， ∴k ＝4，故选：D ．3、（2022•郴州）如图，在函数y ＝x2（x ＞0）的图像上任取一点A ，过点A 作y 轴的垂线交函数y ＝﹣x8（x ＜0）的图像于点B ，连接OA ，OB ，则△AOB 的面积是（ ）A ．3B ．5C ．6D ．10【分析】根据反比例函数系数k 的几何意义进行计算即可． 【解答】解：∵点A 在函数y ＝（x ＞0）的图像上， ∴S △AOC ＝×2＝1，又∵点B 在反比例函数y ＝﹣（x ＜0）的图像上， ∴S △BOC ＝×8＝4， ∴S △AOB ＝S △AOC +S △BOC ＝1+4 ＝5， 故选：B ．4、（2022•黑龙江）如图，在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，平行四边形OBAD 的顶点B 在反比例函数y ＝x 3的图像上，顶点A 在反比例函数y ＝xk的图像上，顶点D 在x 轴的负半轴上．若平行四边形OBAD 的面积是5，则k 的值是（ ）A ．2B ．1C ．﹣1D ．﹣2【分析】设B （a ，），根据四边形OBAD 是平行四边形，推出AB ∥DO ，表示出A 点的坐标，求出AB ＝a ﹣，再根据平行四边形面积公式列方程，解出即可．【解答】解：设B （a ，）， ∵四边形OBAD 是平行四边形， ∴AB ∥DO ， ∴A （，），∴AB ＝a ﹣，∵平行四边形OBAD 的面积是5， ∴（a ﹣）＝5，解得k ＝﹣2， 故选：D ．5、（2022•十堰）如图，正方形ABCD 的顶点分别在反比例函数y ＝xk 1（k 1＞0）和y ＝xk 2（k 2＞0）的图像上．若BD ∥y 轴，点D 的横坐标为3，则k 1+k 2＝（ ）A ．36B ．18C ．12D ．9【分析】连接AC交BD于E，延长BD交x轴于F，连接OD、OB，设AE＝BE＝CE＝DE ＝m，D（3，a），根据BD∥y轴，可得B（3，a+2m），A（3+m，a+m），即知k1＝3（a+2m）＝（3+m）（a+m），从而m＝3﹣a，B（3，6﹣a），由B（3，6﹣a）在反比例函数y＝（k1＞0）的图像上，D（3，a）在y＝（k2＞0）的图像上，得k1＝3（6﹣a）＝18﹣3a，k2＝3a，即得k1+k2＝18﹣3a+3a＝18．【解答】解：连接AC交BD于E，延长BD交x轴于F，连接OD、OB，如图：∵四边形ABCD是正方形，∴AE＝BE＝CE＝DE，设AE＝BE＝CE＝DE＝m，D（3，a），∵BD∥y轴，∴B（3，a+2m），A（3+m，a+m），∵A，B都在反比例函数y＝（k1＞0）的图像上，∴k1＝3（a+2m）＝（3+m）（a+m），∵m≠0，∴m＝3﹣a，∴B（3，6﹣a），∵B（3，6﹣a）在反比例函数y＝（k1＞0）的图像上，D（3，a）在y＝（k2＞0）的图像上，∴k1＝3（6﹣a）＝18﹣3a，k2＝3a，∴k1+k2＝18﹣3a+3a＝18；故选：B ．6、（2022•邵阳）如图是反比例函数y ＝x1的图像，点A （x ，y ）是反比例函数图像上任意一点，过点A 作AB ⊥x 轴于点B ，连接OA ，则△AOB 的面积是（ ）A ．1B ．C ．2D ．【分析】由反比例函数的几何意义可知，k ＝1，也就是△AOB 的面积的2倍是1，求出△AOB 的面积是．【解答】解：∵A （x ，y ）， ∴OB ＝x ，AB ＝y ，∵A 为反比例函数y ＝图像上一点， ∴xy ＝1，∴S △ABO ＝AB •OB ＝xy ＝1＝，故选：B ．7、（2022•内江）如图，在平面直角坐标系中，点M 为x 轴正半轴上一点，过点M 的直线l ∥y 轴，且直线l 分别与反比例函数y ＝x 8和y ＝xk的图像交于P 、Q 两点．若S △POQ ＝15，则k 的值为（ ）A ．38B ．22C ．﹣7D ．﹣22【分析】利用k 的几何意义解题即可． 【解答】解：∵直线l ∥y 轴， ∴∠OMP ＝∠OMQ ＝90°，∴S △OMP ＝×8＝4，S △OMQ ＝﹣k ． 又S △POQ ＝15， ∴4﹣k ＝15， 即k ＝11，∴k ＝﹣22． 故选：D ．8、（2022•东营）如图，△OAB 是等腰直角三角形，直角顶点与坐标原点重合，若点B 在反比例函数y ＝x1（x ＞0）的图像上，则经过点A 的函数图像表达式为 ．【分析】作AD ⊥x 轴于D ，BC ⊥x 轴于C ，根据△OAB 是等腰直角三角形，可证明△BOC ≌△OAD ，利用反比例函数k 的几何意义得到S △OBC ＝，则S △OAD ＝，所以|k |＝，然后求出k 得到经过点A 的反比例函数解析式． 【解答】解：如图，作AD ⊥x 轴于D ，BC ⊥x 轴于C ， ∴∠ADO ＝∠BCO ＝90°，∵∠AOB ＝90°， ∴∠AOD +∠BOC ＝90°， ∴∠AOD +∠DAO ＝90°， ∴∠BOC ＝∠DAO ， ∵OB ＝OA ，∴△BOC ≌△OAD （AAS ），∵点B 在反比例函数y ＝（x ＞0）的图像上， ∴S △OBC ＝， ∴S △OAD ＝， ∴k ＝﹣1，∴经过点A 的反比例函数解析式为y ＝﹣． 故答案为：y ＝﹣．9、（2022•盐城）已知反比例函数的图像经过点（2，3），则该函数表达式为 ． 【分析】利用反比例函数的定义列函数的解析式，运用待定系数法求出函数的解析式即可． 【解答】解：令反比例函数为y ＝（k ≠0）， ∵反比例函数的图像经过点（2，3）， ∴3＝， k ＝6，∴反比例函数的解析式为y ＝． 故答案为：y ＝．10、（2022•湖北）在反比例函数y ＝xk 1−的图像的每一支上，y 都随x 的增大而减小，且整式x 2﹣kx +4是一个完全平方式，则该反比例函数的解析式为 ． 【分析】由整式x 2﹣kx +4是一个完全平方式，可得k ＝±4，由反比例函y ＝的图像的每一支上，y 都随x 的增大而减小，可得k ﹣1＞0，解得k ＞1，则k ＝4，即可得反比例函数的解析式．【解答】解：∵整式x 2﹣kx +4是一个完全平方式，∴k ＝±4， ∵反比例函数y ＝的图像的每一支上，y 都随x 的增大而减小，∴k ﹣1＞0， 解得k ＞1， ∴k ＝4，∴反比例函数的解析式为y ＝． 故答案为：y ＝．35．（2022•陕西）已知点A （﹣2，m ）在一个反比例函数的图像上，点A '与点A 关于y 轴对称．若点A '在正比例函数y ＝21x 的图像上，则这个反比例函数的表达式为 ．【分析】根据轴对称的性质得出点A '（2，m ），代入y ＝x 求得m ＝1，由点A （﹣2，1）在一个反比例函数的图像上，从而求得反比例函数的解析式． 【解答】解：∵点A '与点A 关于y 轴对称，点A （﹣2，m ）， ∴点A '（2，m ），∵点A '在正比例函数y ＝x 的图像上， ∴m ＝＝1，∴A （﹣2，1），∵点A （﹣2，1）在一个反比例函数的图像上， ∴反比例函数的表达式为y ＝﹣， 故答案为：y ＝﹣．11、（2022•攀枝花）如图，正比例函数y ＝k 1x 与反比例函数y ＝xk 2的图像交于A （1，m ）、B 两点，当k 1x ≤xk2时，x 的取值范围是（ ）A ．﹣1≤x ＜0或x ≥1B ．x ≤﹣1或0＜x ≤1C ．x ≤﹣1或x ≥1D ．﹣1≤x ＜0或0＜x ≤1【分析】根据反比例函数的对称性求得B 点的坐标，然后根据图像即可求得． 【解答】解：∵正比例函数y ＝k 1x 与反比例函数y ＝的图像交于A （1，m ）、B 两点，∴B （﹣1，﹣m ）， 由图像可知，当k 1x ≤时，x 的取值范围是﹣1≤x ＜0或x ≥1，故选：A ．37．（2022•东营）如图，一次函数y 1＝k 1x +b 与反比例函数y 2＝xk 2的图像相交于A ，B 两点，点A 的横坐标为2，点B 的横坐标为﹣1，则不等式k 1x +b ＜xk2的解集是（ ）A ．﹣1＜x ＜0或x ＞2B ．x ＜﹣1或0＜x ＜2C ．x ＜﹣1或x ＞2D ．﹣1＜x ＜2【分析】根据两函数图像的上下位置关系结合交点横坐标，即可得出不等式k 1x +b ＜的解集，此题得解．【解答】解：观察函数图像可知，当﹣1＜x ＜0或x ＞2时，一次函数y 1＝k 1x +b 的图像在反比例函数y 2＝的图像的下方，∴不等式k 1x +b ＜的解集为：﹣1＜x ＜0或x ＞2，故选：A ．12、（2022•朝阳）如图，正比例函数y ＝ax （a 为常数，且a ≠0）和反比例函数y ＝xk（k 为常数，且k ≠0）的图像相交于A （﹣2，m ）和B 两点，则不等式ax ＞xk的解集为（ ）A ．x ＜﹣2或x ＞2B ．﹣2＜x ＜2C ．﹣2＜x ＜0或x ＞2D ．x ＜﹣2或0＜x ＜2【分析】根据关于原点对称的点的坐标特征求得B （2，﹣m ），然后根据函数的图像的交点坐标即可得到结论．【解答】解：∵正比例函数y ＝ax （a 为常数，且a ≠0）和反比例函数y ＝（k 为常数，且k ≠0）的图像相交于A （﹣2，m ）和B 两点， ∴B （2，﹣m ），∴不等式ax ＞的解集为x ＜﹣2或0＜x ＜2， 故选：D ．13、（2022•无锡）一次函数y ＝mx +n 的图像与反比例函数y ＝xm的图像交于点A 、B ，其中点A 、B 的坐标为A （﹣m1，﹣2m ）、B （m ，1），则△OAB 的面积是（ ） A ．3B ．413C ．27D ．415【分析】根据反比例函数图像上点的坐标特征求出m ，进而求出点A 、B 的坐标，根据三角形的面积公式计算即可．【解答】解：∵点A （﹣，﹣2m ）在反比例函数y ＝上， ∴﹣2m ＝，解得：m ＝2，∴点A 的坐标为：（﹣，﹣4），点B 的坐标为（2，1）， ∴S △OAB ＝××5﹣××4﹣×2×1﹣×1＝，故选：D ．14、（2022•荆州）如图是同一直角坐标系中函数y 1＝2x 和y 2＝x2的图像．观察图像可得不等式2x ＞x2的解集为（ ）A ．﹣1＜x ＜1B ．x ＜﹣1或x ＞1C ．x ＜﹣1或0＜x ＜1D ．﹣1＜x ＜0或x ＞1【分析】结合图像，数形结合分析判断．【解答】解：由图像，函数y 1＝2x 和y 2＝的交点横坐标为﹣1，1， ∴当﹣1＜x ＜0或x ＞1时，y 1＞y 2，即2x ＞， 故选：D ．15、（2022•怀化）如图，直线AB 交x 轴于点C ，交反比例函数y ＝xa 1−（a ＞1）的图像于A 、B 两点，过点B 作BD ⊥y 轴，垂足为点D ，若S △BCD ＝5，则a 的值为（ ）A．8B．9C．10D．11【分析】设点B的坐标为（m，），然后根据三角形面积公式列方程求解．【解答】解：设点B的坐标为（m，），∵S△BCD＝5，且a＞1，∴×m×＝5，解得：a＝11，故选：D．16、（2022•宁夏）在显示汽车油箱内油量的装置模拟示意图中，电压U一定时，油箱中浮子随油面下降而落下，带动滑杆使滑动变阻器滑片向上移动，从而改变电路中的电流，电流表的示数对应油量体积，把电流表刻度改为相应油量体积数，由此知道油箱里剩余油量．在不考虑其他因素的条件下，油箱中油的体积V与电路中总电阻R总（R总＝R+R0）是反比例关系，电流I与R总也是反比例关系，则I与V的函数关系是（）A．反比例函数B．正比例函数C．二次函数D．以上答案都不对【分析】由油箱中油的体积V与电路中总电阻R总是反比例关系，电流I与R总是反比例关系，可得V＝I（为常数），即可得到答案．【解答】解：由油箱中油的体积V与电路中总电阻R总是反比例关系，设V•R总＝k（k为常数），由电流I与R总是反比例关系，设I•R总＝k'（k为常数），∴＝，∴V＝I（为常数），∴I与V的函数关系是正比例函数，故选：B．17、（2022•宜昌）已知经过闭合电路的电流I（单位：A）与电路的电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系．根据下表判断a和b的大小关系为（）A．a＞b B．a≥b C．a＜b D．a≤b【分析】根据等量关系“电流＝”，即可求解．【解答】解：∵闭合电路的电流I（单位：A）与电路的电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，∴40a＝80b，∴a＝2b，∴a＞b，故选：A．18、（2022•丽水）已知电灯电路两端的电压U为220V，通过灯泡的电流强度I（A）的最大限度不得超过0.11A．设选用灯泡的电阻为R（Ω），下列说法正确的是（）A．R至少2000ΩB．R至多2000ΩC．R至少24.2ΩD．R至多24.2Ω【分析】利用已知条件列出不等式，解不等式即可得出结论．【解答】解：∵电压U一定时，电流强度I（A）与灯泡的电阻为R（Ω）成反比例，∴I＝．∵已知电灯电路两端的电压U为220V，∴I＝．∵通过灯泡的电流强度I（A）的最大限度不得超过0.11A，∴≤0.11，∴R≥2000．故选：A．19、（2022•郴州）科技小组为了验证某电路的电压U（V）、电流I（A）、电阻R（Ω）三者之间的关系：I＝U，测得数据如下：那么，当电阻R＝55Ω时，电流I＝A．【分析】由表格数据求出反比例函数的解析式，再将R＝55Ω代入即可求出答案．【解答】解：把R＝220，I＝1代入I＝得：1＝，解得U＝220，∴I＝，把R＝55代入I＝得：I＝＝4，故答案为：4．20、（2022•山西）根据物理学知识，在压力不变的情况下，某物体承受的压强p（Pa）是它的受力面积S（m2）的反比例函数，其函数图像如图所示．当S＝0.25m2时，该物体承受的压强p的值为Pa．【分析】设p＝，把（0.1，1000）代入得到反比例函数的解析式，再把S＝0.25代入解析式即可解决问题．【解答】解：设p＝，∵函数图像经过（0.1，1000），∴k＝100，∴p＝，当S＝0.25m2时，物体所受的压强p＝＝400（Pa），故答案为：400．。
浅谈反比例函数在高中数学中的应用
案 例 剖 析
ＡＮＬＩ ＰＯＵＸＩ
１１９
浅
谈反比例函数在高中数学中的应用
浅谈反比例函数在高中数学中的应用
◎王兴涛 ( 甘肃省庆阳市宁县第四中学ꎬ甘肃 庆阳 ７４５２００)
【 摘要】 高中数学具有很强的抽象性和复杂性ꎬ学生不
容易学懂ꎬ教师应该结合数学知识的本质ꎬ在数学教学中引
ｋ ＋２
则
＝
＝
＋
ｋ ＋ ｘｙ ＋ １
ｔ
ｔ
ｋ － ２ꎬ
ｋ ＋２
此时可以构造反比例函数 ｆ( ｔ) ＝
ꎬ则根据反比例
ｔ
( ｋ ＋ ２) ２
函数的性质ꎬ 可以得到 ｆ ( ｔ) 在 ｋ ＋ １ꎬ
上递减ꎬ 因
４
( ｋ ＋ ２) ２
４
此ꎬ得到 ｆ
≤ ｆ ( ｔ) < ｆ ( ｋ ＋ １ ) ꎬ 则
≤ ｆ ( ｔ) <
“ 反比例函 数” 为 例 [ Ｊ] . 中 学 数 学 教 学 参 考ꎬ２０１５ ( ３６ ) :
２０ － ２１.
４
ｋ ＋２
２
２
ｋ ＋２
ｘ
ｙ
ꎬ这 样
＋
的 取 值 范 围 就 可 以 求 出ꎬ
ｋ ＋１
ｘ ＋１
ｙ ＋１
２
２
ｋ
ｋ
ꎬ
即
.
ｋ ＋２ ｋ ＋１
总而言之ꎬ在高中数学教学中应用反比例函数ꎬ可以增
强学生的解题效率ꎬ提高学生的思维能力ꎬ培养学生的数学
思想. 高中数学教师要善于从试题中发现资源ꎬ引导学生进
行分析ꎬ让学生能够在学习中感受到数学思想ꎬ体会反比例
＋
＝
＝
ꎬ将
ｘ ＋１ ｙ ＋１
利用反比例函数图像对称性巧解题
利用反比例函数图像对称性巧解题林艺彬(福建省漳州市第三中学㊀３６３０００)摘㊀要:反比例函数图像应用的最突出性质就是对称性ꎬ运用函数图像的对称性能够解决大量的数学问题.本文基于反比例函数对称性的描述ꎬ谈利用反比例函数图像对称性进行解题的具体方法.关键词:函数ꎻ图像ꎻ对称性ꎻ解题中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２２)３５－００２３－０３收稿日期:２０２２－０９－１５作者简介:林艺彬(１９８２.１０－)ꎬ女ꎬ福建省漳州人ꎬ本科ꎬ中学一级教师ꎬ从事中学数学教学研究.㊀㊀反比例函数是初中数学课程中的重要组成部分ꎬ同时对学生而言也是一个学习难点ꎬ其知识内容呈现出较为复杂抽象的特征.学习反比例函数的前提便是画好函数图像ꎬ在此基础上对函数图像的对称性进行研究ꎬ引导学生就函数图像对称性做到综合运用ꎬ对培养学生的数学思维与解题能力有着十分重要的作用.如今ꎬ伴随新课改的持续推行ꎬ针对反比例函数对称性解题的教学方法层出不穷ꎬ总体上都是向细致化与科学化发展ꎬ对教学实践起到了显著的促进作用.在此ꎬ笔者基于个人教学经验ꎬ同时借鉴一些成熟的教学案例ꎬ提出利用反比例函数图像对称性进行解题的具体方法ꎬ仅供参考.１反比例函数图像的对称性要想让学生学好反比例函数ꎬ前提便是能够让学生正确作图.函数作图主要包括三个步骤ꎬ分别是列表㊁描点及连线.反比例函数图像是一个中心对称图形ꎬ其坐标原点即是图形的对称中心ꎬ同时反比例函数也是一个轴对称图形ꎬ对称轴是直线ｙ＝ｘ或ｙ＝－ｘ.在实际解题过程中ꎬ反比例函数的对称性性质有着十分广泛的应用ꎬ如对于 图形面积的求解 或是 存在性 等相关问题ꎬ便可采用该性质来进行解决.对于反比例函数ｙ＝５ｘꎬ其中说法正确的是?①此函数图像属于轴对称图形ꎻ②此函数图像属于中心对称图形ꎻ③点(５ꎬ－１)是图像上一点ꎻ④在ｘ的正半轴ꎬｙ随ｘ减小而增大.通过反比例图像可以得出ꎬ反比例既是中心对称ꎬ也是轴对称图形ꎬ在每个象限内ꎬｙ随ｘ减小而增大.由此可见ꎬ利用反比例函数图像的对称性解决相关类型的题目ꎬ能够实现复杂问题的简单化处理ꎬ有利于提升学生的解题效率.２利用反比例函数图像对称性进行解题的具体方法㊀㊀反比例函数的表达式为ｙ＝ｋｘ(ｋʂ０)ꎬ图像是双曲线ꎬ其不仅为轴对称图形ꎬ同时也属于中心对称图形.在平面直角坐标系当中利用反比例函数图像的对称性ꎬ可以帮助学生巧妙地解决相关题目.而关于反比例函数图像的对称性问题ꎬ可主要分成下面的这三种情形.２.１图象为中心对称图形ꎬ对称中心是坐标原点例１㊀如图１ꎬ双曲线ｙ＝ｋｘ与直线ｙ＝ｍｘ相交３２于Ａ㊁Ｂ两点ꎬＢ点坐标为(－２ꎬ－３)ꎬＡ点坐标为(㊀㊀).Ａ.(－２ꎬ－３)㊀㊀㊀㊀Ｂ.(２ꎬ３)Ｃ(－２ꎬ３)Ｄ.(２.－３)图１解析㊀由于已知条件双曲线ｙ＝ｋｘ与直线ｙ＝ｍｘ相交于Ａ㊁Ｂ两点ꎬ可以画出关于原点(０ꎬ０)对称的中心对称图形ꎬ当得知Ｂ点坐标为(－２ꎬ－３)ꎬ通过利用中心对称图形的横纵坐标互为相反数的定理ꎬ得到Ａ点坐标为(２ꎬ３).结论１㊀双曲线ｙ＝ｋｘ与直线ｙ＝ｍｘ相交于Ａ㊁Ｂ两点ꎬ则Ａ㊁Ｂ两点关于原点成中心对称ꎬ基于中心对称图形的横纵坐标互为相反数ꎬＡ点坐标为(ａꎬｂ)ꎬＢ点坐标则为(－ａꎬ－ｂ).２.２图象为轴对称图形ꎬ对称轴为直线ｙ＝ｘ或ｙ＝－ｘ例２㊀如图３ꎬ点Ａ㊁Ｂ在反比例函数ｙ＝ｋｘ(ｘ>０)的图象上ꎬ点Ａ与点Ｂ关于直线ｙ＝ｘ对称ꎬ若点Ａ(１ꎬ２)ꎬ则Ｂ的坐标为.图３解析㊀基于点Ａ与点Ｂ关于直线ｙ＝ｘ对称的已知条件ꎬ可互换横纵坐标ꎬ即(ａꎬｂ)变换为(ｂꎬａ).已知点Ａ的坐标为(１ꎬ２)ꎬ那么点Ｂ的坐标为(２ꎬ１).结论２㊀反比例函数图象关于直线ｙ＝ｘ对称ꎬ其对称点为Ａ(ａꎬｂ)㊁Ｂ(ｂꎬａ)ꎬ呈现出横纵坐标互换的点坐标特征.例３㊀如图４ꎬ圆Ａ和圆Ｂ的圆心在反比例函数ｙ＝１ｘ上ꎬ且圆Ａ和圆Ｂ都与ｘ轴和ｙ轴相切ꎬ求阴影部分的面积?图４解析㊀由圆Ａ和圆Ｂ的圆心在反比例函数ｙ＝１ｘ上ꎬ且都与ｘ轴和ｙ轴相切可以得出两个圆的半径为１ꎬ由反比例函数对称性得出ꎬ阴影部分面积可以转化为圆Ａ或圆Ｂ的面积ꎬ问题就有效解决.结论３㊀反比例函数图象关于直线ｙ＝－ｘ对称ꎬ其对称点为Ａ(ａꎬｂ)㊁Ｂ(－ｂꎬ－ａ)ꎬ呈现出横纵坐标互换且互为相反数的点坐标特征.３反比例函数与几何综合题的方法分析反比例函数与几何综合有着密不可分的关系ꎬ针对于这种类型的题目ꎬ教师可引导学生从以下几种思路来进行处理:一是就关键点处入手ꎬ基于关键点坐标及线段长度的相互转化ꎬ将函数特征和几何特征相结合而展开研究ꎻ二是围绕函数特征与几何特征进行组合㊁转化及列方程求解ꎬ如果能够有效利用反比例函数的模型ꎬ便可快速实现将函数特征向几何特征转化的目的.例４㊀已知矩形ＡＢＣＤ的四个顶点均在反比例函数ｙ＝１ｘ的图象上ꎬ且点Ａ的横坐标是２ꎬ则矩形ＡＢＣＤ的面积为.解析㊀关于这道题的解答ꎬ首先需要进行图象的绘制(见图５)ꎬ通过分析可知矩形既是轴对称图形同时也是中心对称图形ꎬ那么关于直线ｙ＝ｘ轴对称ꎬ需要实现横纵坐标的互换ꎬ而基于原点对称ꎬ便是横纵坐标互为相反数ꎬ已知的Ａ的横坐标２ꎬ便可得到Ａ㊁Ｂ㊁Ｃ㊁Ｄ的坐标ꎬ之后用到两点间的距离公式４２Ａ(ｘ１ｙ１)Ｂ(ｘ２ｙ２)ꎬＡＢ＝(ｘ１－ｘ２)２＋(ｙ１－ｙ２)２ꎬＡＤ＝(ｘ１＋ｘ２)２＋(ｙ１＋ｙ２)２ꎬ再结合Ｓ矩形＝ＡＢ ＡＤ的面积公式ꎬ便可求出具体的图形面积.方法一㊀以上为一种最基本的算法ꎬ具体计算过程为ＡＢ＝(２－１２)２＋(１２－２)２＝３２２ꎬＡＤ＝(２＋１２)２＋(１２＋２)２＝５２２ꎬＳ矩形＝ＡＢ ＡＤ＝３２２ ５２２＝１５２.图５㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀图６方法二㊀如图６ꎬ得到ＳΔＡＯＢ＝Ｓ梯形ＡＢＥＦ＝１５８ꎬＳ矩形＝４ˑ１５８＝１５２.４反比例函数图像对称性解题的教学方法４.１加入实例ꎬ增强学生反比例函数概念认知在实际教学中ꎬ我们发现许多学生的记忆力都是很好的ꎬ可将教师在课堂上讲解的概念内容及时地记忆下来ꎬ但之后由于未能掌握相关学习方法且不愿意动脑ꎬ对数学学习便逐渐丧失了兴趣.数学教育并非是以单纯引导学生记忆数学概念与公式为主要目的ꎬ教师要通过教学让学生感到数学学习是一种乐趣㊁一种享受.如此ꎬ教师便要致力于激活学生的思维能力ꎬ调动学生学习兴趣ꎬ将难懂的反比例函数概念与实例相结合ꎬ帮助学生更好地理解与分析ꎬ减轻知识学习难度.以实际事例展开教学可丰富课堂内容与增强课堂教学的趣味性ꎬ而学生在不断地数学学习中也会实现数学思想的有效掌握ꎬ有利于其综合素养的培养.４.２引导积累ꎬ提升学生学习主观能动性反比例函数对称性的相关理论知识的抽象性与复杂性极强ꎬ并不是仅凭几节课或是一段时间就能让学生完全领悟的ꎬ甚至于到了知识综合应用的解题环节ꎬ更是需要学生拥有较高的知识储备与应用能力.如此ꎬ教师便要引导学生去不断积累知识ꎬ同时做到长时间的坚持不懈ꎬ依照实际教学情境将反比例函数对称性的相关知识很好地融合起来ꎬ不断提升其个人认知ꎬ获知反比例函数对称性的实际价值与意义ꎬ这样一来ꎬ便能很好地提升学生学习的主观能动性.具体教学中ꎬ教师需要为学生提供一个自由㊁独立的学习空间ꎬ鼓励学生进行自主学习ꎬ而方法㊁教师都是其学习中的引导者ꎬ要为其发展提供关键力量.如可采用课题研究的教学模式ꎬ要求学生就反比例函数对称性的问题进行思考与探讨ꎬ将自身的想法与经验表达出来ꎬ同时吸收他人的宝贵意见ꎬ营造出一种团队合作与竞争的氛围.最后ꎬ还要把各个小组的劳动成果进行展示ꎬ先让学生进行自我点评ꎬ然后老师进行引导ꎬ这样不但突出了学生的主体地位ꎬ还实现了教师的引导作用.总之ꎬ反比例函数图象的对称性是学生解题中一个重要的性质ꎬ若灵活运用此性质ꎬ必然能够及时㊁正确地解决题目ꎬ进而为反比例函数相关知识的学习提供很大的方便.对此ꎬ教师应在充分把握反比例函数图象对称性这一性质的基础上ꎬ通过结合实际例题与运用合适的教学方法ꎬ帮助学生更好地理解㊁掌握反比例函数图像的对称性性质ꎬ培养其解题思维ꎬ切实促进初中生数学核心素养的发展.参考文献:[１]刘国强.用反比例函数图象的对称性解题[Ｊ].数理天地(初中版)ꎬ２０２１(４):２.[２]陈天宇.利用对称性求解反比例函数图象问题[Ｊ].初中数学教与学ꎬ２０１８(１０Ｘ):３.[３]刘国强.反比例函数图象的对称性在解题中的运用[Ｊ].初中数学教与学ꎬ２０２１(１):３.[４]李志英.例说函数对称性在高考数学解题中的运用[Ｊ].高中数理化ꎬ２０１８(２０):２.[责任编辑:李㊀璟]５２。
反比例函数解题思路十大技巧
反比例函数解题思路十大技巧一、理解反比例函数的概念反比例函数是指形如 y = k/x (其中 k 是常数，k ≠ 0) 的函数。
在解题前，首先要理解反比例函数的概念，了解其分式形式和含义，以及反比例函数的定义域、值域、零点、极限等基本性质。
二、确定反比例函数的比例系数 k比例系数 k 是反比例函数的一个重要参数，直接影响函数的图像和性质。
在解题过程中，需要根据题目给出的条件，通过代入、化简等方式求出比例系数 k 的值。
三、分析反比例函数的图像和性质反比例函数的图像是双曲线，具有对称性和极限性质。
在解题过程中，需要根据反比例函数的图像和性质，分析函数在不同区间的单调性、极值、最值等问题。
四、求反比例函数的零点反比例函数的零点是指函数图像与 x 轴相交的点，也是函数的重要特征之一。
在解题过程中，需要通过解方程、求极限等方式求出反比例函数的零点。
五、判断反比例函数的单调性反比例函数在定义域内是单调递减函数，这也是其重要特征之一。
在解题过程中，需要根据反比例函数的单调性，分析函数在不同区间的取值范围和性质。
六、描绘反比例函数的图像描绘反比例函数的图像是解题过程中重要的一步。
在解题过程中，需要通过绘制函数图像、标出特征点等方式，了解反比例函数的图像特征和性质。
七、解具体问题在解题过程中，需要根据题目给出的具体条件，运用反比例函数的解题技巧和方法，解决具体问题，如求函数值、求极值、求最值等。
八、掌握反比例函数的应用反比例函数在数学中有着广泛的应用，如求解几何问题、经济问题、物理问题等。
在解题过程中，需要掌握反比例函数的应用技巧和方法，能够将其应用于实际问题中。
九、熟悉反比例函数的变形反比例函数可以通过变形转化为其他形式的函数，如 y =kx^(-1) 或 y = k/x^2 等。
在解题过程中，需要熟悉反比例函数的变形技巧和方法，能够将其转化为其他形式的函数，方便后续分析和求解。
十、总结反比例函数的解题思路和技巧在解题过程中，需要根据题目的要求和条件，运用反比例函数的解题思路和技巧，分析问题、解决问题。
反比例函数图象的对称性及其应用
x0 | , B F = | - y0 |. 所以 B C = 2OD, AC = 2AD.
因为点 A 在 y = 2 上 ,且在第一象限 , x
所以 x0 y0 = 2.
故 S&AB C
=
1 2
B
C
·A C
= 1 ×2OD ×2AD 2
= 2OD ·AD = 2 | x0 y0 | = 2 ×2 = 4.
一 、生活实例中的平移问题 根据题意 , 建立数学模型 , 是解决实际问 题的关键. 例 1 ( 2008年辽宁省 ) 如图 1,在气象站 台 A的正西方向 240km的 B 处有一台风中心 ,
( - a, - b) .
例 3 如图 3,反比例函数 y = 2 与正比 x
例函数 y = kx ( k > 0) 交于 A、B 两点 , 且 AC ∥ y轴 , B C ∥ x轴 , 求 & AB C的面积.
初中数学教与学 2009年 ○中考之窗 ○
“平移 ”的运用
赵阳云
(广东省佛山市顺德一中实验学校 , 528308)
平移是平面图形的基本运动方式之一 , 平移在现实生活中的应用非常广泛. 近年各 地中考试卷中 , 利用平移作背景的数学问题 是一道亮丽的风景线. 本文举例谈谈平移的 运用.
·20·
解 因为点 A、B 在双曲线 y = 4 上 ,所 x
以 x1 y1 = 4, x2 y2 = 4, 且点 A 与点 B 关于原点 对称 , 故有 x1 = - x2 , y1 = - y2.
∴x1 y2 = x1 ( - y1 ) = - x1 y1 ,
x2 y1 = x2 ( - y2 ) = - x2 y2.
一 、反比例函数是轴对称图形 , 对称轴是 y = x和 y = - x
专题13 反比例函数的图象和性质压轴题八种模型全攻略(解析版)
专题13反比例函数的图象和性质压轴题八种模型全攻略【考点导航】目录【典型例题】 (1)【考点一根据反比例函数的定义求参数】 (1)【考点二已知反比例函数的定义求函数的解析式】 (3)【考点三判断(画)反比例函数图象】 (5)【考点四由反比例函数图象的对称性求点的坐标】 (7)【考点五已知反比例函数分布的象限求参数范围】 (9)【考点六已知反比例函数的增减性求参数】 (10)【考点七比较反比例函数值或自变量的大小】 (11)【考点八已知反比例函数的解析式求图象和性质】 (13)【过关检测】 (15)【典型例题】【考点一根据反比例函数的定义求参数】∴10m +≠，251m -=-，∴2m =±，故答案为：2±【点睛】本题主要考查反比例函数的定义，熟练掌握反比例函数的定义是解题的关键．【考点二已知反比例函数的定义求函数的解析式】【考点三判断(画)反比例函数图象】．B．C．D．．．．．【答案】C【分析】根据反比例函数的图象和性质进行判断即可．．B．C．D．【答案】C【分析】根据反比例函数的性质，0k>时，图象在一、三象限，进行判断即可．【详解】解：∵反比例函数6yx=，60k=>，∴图象分布在第一、三象限，即：故选C．【点睛】本题考查反比例函数的图象．熟练掌握反比例函数的性质，是解题的关键．3．（2023·宁夏银川的大致图像可能是（A．B．C．D．【详解】A .由图象可知：0,0a b >>，故A 错误；B .由图象可知：0,0a b <>，故B 正确；C .由图象可知：0,0a b ><，但正比例函数图象未过原点，故C 错误；D .由图象可知：0,0a b <<，故D 错误；故选：B ．【点睛】本题考查了根据已知参数的取值范围确定函数的大致图象的问题，熟知参数对于函数图象的影响是解题的关键．【考点四由反比例函数图象的对称性求点的坐标】A ．(2,3)--B ．【答案】B【分析】反比例函数的图象是中心对称图形，则经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称．【详解】解： 点A 与B A ∴点的坐标为(2,3)．故选：B ．【点睛】本题主要考查了反比例函数图象的中心对称性，解题的关键是熟练掌握横纵坐标分别互为相反数．【变式训练】1.（2023春·江苏·八年级专题练习）已知正比例函数的一个交点坐标为()1,m ，则另一个交点的坐标为【考点五已知反比例函数分布的象限求参数范围】【考点六已知反比例函数的增减性求参数】【考点七比较反比例函数值或自变量的大小】【考点八已知反比例函数的解析式求图象和性质】【变式训练】【过关检测】一、单选题．．．．【答案】A【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数图像的性质，根据题意分以下两种情况讨论，a<0时，利用一次函数与反比例函数图象的性质进行分析判断即可解题．【详解】解：当0a >时，y =过一、三象限，且y ax a =-过一、三、四象限，故二、填空题三、解答题x<-时，对于x∵当1n≥．∴216．（2024上·福建·九年级统考期末）已知点(3)若点(,)A a b 与点(1,)B a c +是该函数图象上的两点，试比较【答案】(1)6y x=(2)2，画图见解析(3)b c>【分析】本题主要考查反比例函数的解析式，图象的画法以及性质，解决本题的关键是熟练掌握这些知识（3）由图象可知，在第一象限内y随着x的增大而减小， ，+>a a1b c∴>．。
专题. 反比例函数(对称性问题)(基础篇)(专项练习)八年级数学下册基础知识专项讲练(苏科版)
专题11.23反比例函数（对称性问题）（基础篇）（专项练习）反比例函数图象是中心对称图形，同时也是轴对称图形，其对称中心是坐标原点，其对称轴是y=x 和y=-x ，近些年，此知识点成了中考中的热点，更是压轴题的常考点，这些题型不仅利用双曲线的对称性，还综合了关于某直线对称和特殊四边形的对称性问题，为此，本专题精选部分有代表性的题型供师生选择使用。
一、单选题1．已知点()13A -，关于y 轴的对称点A '在反比例函数ky x=的图象上，则实数k 的值为（）A ．3B ．13C ．﹣3D ．﹣132．如图，A ，B 是函数y =mx（m ＞0）的图象上关于原点对称的任意两点，BC ∥x 轴，AC ∥y 轴，△ABC 的面积记为S ，则（）A ．S m =B ．2S m =C ．2m S m <<D ．2S m>3．若点()32A --，关于x 轴的对称点A '恰好在反比例函数()0ky k x=≠的图象上，则k 的值为（）A ．6B ．1-C ．5-D ．6-4．如图，1l 是反比例函数ky x=在第一象限内的图象，且经过点A （1，2）．1l 关于x 轴对称的图象为2l ，那么2l 的函数解析式为（）A ．()40y x x =<B ．()20y x x =<C ．4(0)y x x =->D ．2(0)y x x=->5．设A ，B 是反比例函数32y x=-的图象上关于原点对称的两点，AD 平行于y 轴交x 轴于D ，BC 平行于x 轴交y 轴于C ，设四边形ABCD 的面积S ，则（）A ．32s =B ．34s =C ．94s =D ．6s =6．已知点()1,P a 在反比例函数3y x=的图象上，则点P 关于原点对称的点的坐标是（）A ．()1,3B ．()1,3-C ．()3,1-D ．()1,3--7．如图，在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，点A （﹣3，0）和点B （0，2）都在坐标轴上，若反比例函数y ＝kx的图象经过矩形AOBC 的对称中心，则k 的值为（）A ．3B ．﹣3C ．1.5D ．﹣1.58．如图，边长为8的正方形ABCD 的对称中心是坐标原点O ，AB //x 轴，BC //y 轴，反比例函数8y x =与8y x=-的图象均与正方形ABCD 的边相交，则图中阴影部分的面积之和是（）A ．8B ．16C ．32D ．649．如图，在平面直角坐标系中，O 为ABCD Y 的对称中心，5AD =，//AD x 轴交y 轴于点E ，点A 的坐标点为()2,2-，反比例函数ky x=的图像经过点D ．将ABCD Y 沿y 轴向上平移，使点C 的对应点C '落在反比例函数的图像上，则平移过程中线段AC 扫过的面积为（）A ．6B ．8C ．24D ．2010．已知一个函数中，两个变量x 与y 的部分对应值如下表：x …﹣2﹣3…﹣2+3…2﹣1…2+1…y…﹣2+3…﹣2﹣3…2+1…2﹣1…A ．x 轴B ．y 轴C ．直线x =1D ．直线y =x二、填空题11．在平面直角坐标系中，若点()1,2P a +与点()1,1Q b -关于原点对称，则经过(),a b 的反比例函数解析式是______．12．如图，点D 是矩形AOBC 的对称中心，()0,6A ，()8,0B ，若反比例函数ky x=的图象经过点D ，交AC 于点M ，则点M 的坐标为______．13．已知点()112,P y 、点()22,3P x 是同一个反比例函数()22220my m x-=-≠图象上的两点．若点1P 与2P关于原点对称，则m 的值为______．14．如图，点A 、C 是反比例函数图象上的点，且关于原点对称．过点A 作AB x ⊥轴于点B ，若ABC 的面积为7，则反比例函数的表达式为__________．15．如图，点D 是矩形ABCO 的对称中心，点()6,0A ，()0,4C ，经过点D 的反比例函数的图象交AB 于点P ，则点P 的坐标为______．16．已知点A (−2，m )在一个反比例函数的图象上，点A ′与点A 关于y 轴对称．若点A ′在正比例函数12y x =的图象上，则这个反比例函数的表达式为_______．17．已知A 、B 两点分别在反比例函数2(0)m y m x=≠和611(6m y m x -=≠的图像上，若点A 与点B 关于x 轴对称，则m 的值为______．18．如图，在平面直角坐标系中，点B 在第一象限，BA ⊥x 轴于点A ，反比例函数()0ky x x=>的图象与线段AB 相交于点C ，且C 是线段AB 的中点，点C 关于直线y ＝x 的对称点C '的坐标为（1，n ）（n ≠1），若△OAB 的面积为3，则k 的值为_______三、解答题19．如图，在平面直角坐标系中，一次函数()0y kx b k =+≠的图像与反比例函数4y x=-的图像相交于(),1A m ，()1,B n -两点．(1)求一次函数的解析式，并在网格中画出一次函数的图像；(2)结合图像，请直接写出不等式4kx b x-≤+的解集；(3)点C 与点B 关于原点对称，求ABC 的面积．20．如图，反比例函数()1110,0k y k x x=>>与正比例函数22y k x =交于点A ，点A 是点B 关于y 轴的对称点，点B 的坐标为()1,2-．(1)求1k 的值；(2)若将正比例函数22y k x =的图象向下平移2个单位长度得到函数33y k x b =+，求此函数的表达式．21．如图，在平面直角坐标系中，已知点(0,4)A ，(3,0)B -，(2,0)C ，点D 为点B 关于AC 所在直线的对称点，反比例函数(k 0,x 0)ky x=≠>的图像经过点D ．(1)求证：四边形ABCD 为菱形；(2)求反比例函数的表达式．22．在平面直角坐标系中，设函数：11k y x=（1k 是常数，10k >，0x >）与函数，22y k x =（2k 是常数，20k ≠）的图象交于点A ，点A 关于y 轴的对称点为点B ．若点B 的坐标为()1,2-．(1)求1k ，2k 的值；(2)当12y y ≤时，直接写出x 的取值范围．23．如图，反比例函数4y x=与一次函数()0y ax b a =+≠交于()()4,,,2A m B n -两点．(1)求一次函数的解析式，并在网格中画出一次函数的图象；(2)根据函数图象，直接写出关于x 的不等式4xax b ≤+的解集；(3)若点A 关于x 轴的对称点为点D ，求ABD △的面积．24．探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画出函数图像，观察分析图像特征，概括函数性质的过程．结合已有的学习经验，请画出函数262y x =-+的图像并探究该函数的性质．x (4)-3-2-1-01234…y…13-a 1-2-b2-1-611-13-…(1)列表，写出表中a ，b 的值：=a __________，b =_________；描点、连线，在所给的平面直角坐标系中画出该函数的图像；(2)观察函数图像，判断下列关于函数性质的结论是否正确，请把正确结论的序号填在横线上．正确的结论是__________．①函数262y x =-+的图像关于y 轴对称；②当0x =时，函数262y x =-+有最小值，最小值是3-；③在自变量x 的取值范围内，函数y 的值随自变量x 的增大而增大；④函数262y x =-+与x 轴必有两个交点；(3)已知函数1533y x =--的图像如图所示，结合所画的函数图像，直接写出不等式2615233x x -<--+的解集．参考答案1．A【分析】根据对称的性质得到点()13A '--，，代入解析式即可求出k ．解：∵点A '与点()13A -，关于y 轴的对称，∴点()13A '--，，∵点()13A '--，在反比例函数()0ky k x=≠的图象上，∴()()133k =-⨯-=，故选：A ．【点拨】此题考查了关于y 轴对称的点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标相等，利用待定系数法求反比例函数的解析式．2．B【分析】根据A 、B 两点在曲线上可设A 、B 两点的坐标，再根据三角形面积公式列出方程，即可得到答案．解：设点A （x ，y ），则点B （-x ，-y ），∴xy =m ，∴AC =2y ，BC =2x ，∴11222222ABC S AC BC y x xy m ==== ，故选：B ．【点拨】本题考查反比例函数系数k 的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，解决本题的关键是根据反比例函数关系式得到所求三角形的两直角边的积．3．D【分析】根据对称性求出点A '的坐标，把点A '的坐标代入反比例函数()0ky k x=≠可求出k 的值．解：∵点A '与点()32A --，关于x 轴对称，∴点()32A '-，，又∵点()32A '-，在反比例函数()0ky k x=≠的图象上，∴()326k =-⨯=-，故选：D ．【点拨】本题考查轴对称的坐标变化，反比例函数图象上点的坐标特征，求出点的坐标是解决问题的关键．4．D【分析】写出点A (1,2)关于x 轴对称的点的坐标(1,-2)，求出经过这点的反比例函数的解析式．解：点A (1,2)关于x 轴对称的点的坐标为(1,-2)，设2l 的解析式为'k y x=，则'21k -=，'2k =-，∴2y x=-(x >0)．故选D ．【点拨】本题考查了关于x 轴对称点的坐标和反比例函数，熟练掌握关于x 轴对称的点的坐标特征，用待定系数法求反比例函数解析式，是解决此类问题的关键．5．C【分析】根据反比例函数y ＝kx中k 的几何意义，图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S 的关系S ＝12|k|即可解答．解：设点A 的坐标为（x ，y ），点A 在反比例函数解析式上，∴点B 的坐标为（-x ，-y ），k =xy =（-x ）（-y ）=-32，∵AD 平行于y 轴，BC 平行于x 轴，∴OD =|x |，AD =|y |，OC =|y |，BC =|x |，∴S =△ADO +S △DOC +S △BCO =12|xy |+12|xy |+12|xy |=12×32+12×32+12×32=94．故选：C ．【点拨】此题主要考查反比例函数的比例系数的意义；用到的知识点为：关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数；在反比例函数图象上的点的横纵坐标的积等于反比例函数的比例系数．6．D【分析】将点的坐标代入求解，根据坐标关于原点的对称规律直接求解即可．解：将()1,P a 代入3y x=，则331a ==，那么()1,3P ，则点()1,3P 关于原点对称的点的坐标()1,3--故选：D【点拨】此题考查反比例函数上的点的坐标，解题关键是明确关于原点对称的点的坐标规律．7．D【分析】先求出矩形的中心点，然后根据待定系数法即可求得．解：∵点A （-3，0）和点B （0，2）都在坐标轴上，∴矩形AOBC的中心点为（32-，1），∵反比例函数y＝kx的图象经过矩形AOBC的对称中心，∴k=33122-⨯=-，故选：D．【点拨】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式，求得矩形的中心点是解题的关键．8．C【分析】根据题意，观察图形可得图中的阴影部分的面积是图中正方形面积的一半，且AB∥x轴，BC∥y轴，而正方形面积为64，由此可以求出阴影部分的面积．解：根据题意：观察图形可得,图中以B、D为顶点的小阴影部分，绕点O旋转90度，正好和以A、C为顶点的小空白部分重合，所以阴影的面积是图中正方形面积的一半，且AB∥x轴，BC∥y轴，反比例函数8yx=与8yx=-的图象均与正方形ABCD的边相交，而边长为8的正方形面积为64，所以图中的阴影部分的面积是32．故选：C．【点拨】本题主要通过橄榄形面积的计算来考查反比例函数图象的应用，关键是要分析出其图象特点，再结合性质作答．9．D【分析】根据O为▱ABCD的对称中心，AD=5，AD∥x轴交y轴于点E，点A的坐标为（-2，2），可求点C、D的坐标，进而求出反比例函数的关系式，由平移可求出点'C的坐标，知道平移的距离，即平行四边形的底，再根据面积公式求出结果．解：∵AD=5，AD∥x轴交y轴于点E，点A的坐标为（-2，2），∴DE=5-2=3，OE=2，∴D（3，2），把(3,2)D代入反比例函数的关系式得，k=2×3=6，∵O为▱ABCD的对称中心，点A的坐标为（-2，2），∴点C的坐标为（2，-2），当x=2时，y=63 2=，∴点'C（2，3）∴C'C=CF+F'C=2+3=5，'CC上的高是是4,∴平行四边形AC 'C N 的面积为5420,⨯=∴平移过程中线段AC 扫过的面积为20.故选：D ．【点拨】考查反比例函数的图象和性质，平行四边形的性质及面积，将点的坐标转化为线段的长是常用的方法，将AC 平移后扫过的面积就是平行四边形AC 'C N 的面积是关键．10．D【分析】根据题意可得y 与x 的函数关系式，进一步即可进行判断.解：由表格中的数据可得y 与x 的函数关系式为：1y x=，其图象是双曲线，是轴对称图形，对称轴是直线：y =x 和y =－x .故选：D.【点拨】本题考查了反比例函数的图象与性质以及函数解析式的确定，解题的关键是正确求得反比例函数的解析式、熟练掌握反比例函数的图象与性质.11．2y x =【分析】根据关于原点对称的坐标特点列式求出a 、b 的值，然后利用待定系数法求反比例函数解析式即可．解：∵点()1,2P a +与点()1,1Q b -关于原点对称，∴11a +=-，12b -=-，解得2a =-，1b =-，∴(),a b 即()2,1--，设()0k y k x=≠，∴()()212k =-⨯-=，∴反比例函数解析式是2y x=．故选：2y x =．【点拨】本题考查了关于原点对称的坐标特点和利用待定系数法求反比例函数解析式，熟练掌握关于原点对称的坐标特点和待定系数法是解题的关键．12．()2,6【分析】根据矩形的性质得到()4,3,6D OA =，OB AC ，将()4,3D 代入k y x =，求出反比例函数的解析式，再计算6y =时的x 值即可得到点M 的坐标．解：∵点D 是矩形AOBC 的对称中心，()0,6A ，()8,0B ，∴()4,3,6D OA =，OB AC ，将()4,3D 代入k y x =，得4312k =⨯=，∴12y x=，当6y =时，126x =，解得2x =，∴M 的坐标为()2,6，故答案为：()2,6．【点拨】此题考查了矩形的性质，待定系数法求反比例函数的解析式，正确理解矩形的性质得到点()4,3D 的坐标是解题的关键．13．±【分析】关于原点对称的两个点，其横坐标互为相反数，纵坐标也互为相反数，由此求解．解： 11(2,)P y 与22(,3)P x 关于原点对称，∴22x =-，13y =-，∴1(2,3)P -，2(2,3)P -，点1(2,3)P -在反比例函数22m y x-=的图象上，∴22(3)2m ⨯-=-，解得m =±故答案为：±．【点拨】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，坐标与中心对称的性质，熟练掌握相关性质是解题的关键．14．7y x=【分析】设反比例函数的表达式为k y x =，点A 的坐标为k a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，即可表示出点B 和点C 的坐标，那么ABC 的面积就可以表示为122k a a⋅⋅，即可求解．解：设反比例函数的表达式为k y x =，点A 的坐标为k a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，则点C 的坐标为k a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，，点B 的坐标为()0a ，，∴ABC 的面积可以表示为122k a a⋅⋅，∵ABC 的面积为7，即1272k a a⋅⋅=，解得 7k =，∴反比例函数的表达式为7y x=，故答案为：7y x =．【点拨】本题考查反比例函数的图象与性质，掌握反比例函数的中心对称性，表示出点C 的坐标，是解决本题的关键．15．()6,1【分析】先求得D 点的坐标，然后根据待定系数法求得反比例函数的解析式，把6x =代入解析式即可求得点P 的坐标．解： 点D 是矩形ABCO 的对称中心，∴点D 是矩形OABC 的对角线AC 的中点，又()6,0A ，()0,4C ，∴点D 的坐标为()3,2．反比例函数k y x=的图象经过点D ，326k ∴=⨯=，6y x∴=，把6x =代入得，616y ==，∴点P 的坐标为()6,1．故答案为：()6,1．【点拨】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，矩形的性质，待定系数法求反比例函数的解析式，求得点D 的坐标是解题的关键．16．y =2x-【分析】根据点A 与点A ′关于y 轴对称，得到A ′(2，m )，由点A ′在正比例函数12y x =的图象上，求得m 的值，再利用待定系数法求解即可．解：∵点A 与点A ′关于y 轴对称，且A (−2，m )，∴A ′(2，m )，∵点A ′在正比例函数12y x =的图象上，∴m =12×2，解得：m =1，∴A (−2，1)，设这个反比例函数的表达式为y =k x，∵A (−2，1)在这个反比例函数的图象上，∴k =-2×1=-2，∴这个反比例函数的表达式为y =2x-，故答案为：y =2x-．【点拨】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征、关于x 轴、y 轴对称的点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，求出m 的值．17．18##0.125【分析】先设A 、B 的坐标，然后把A 、B 的坐标代入函数关系式，列出方程组，解方程组即可．解：根据题意设A （a ，b ），则B （a ，－b ），则有：261m b a m b a ⎧=⎪⎪⎨-⎪-=⎪⎩，所以261m m a+-＝0，即8m －1＝0，解得18m =．故答案为18．【点拨】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，关于x 轴，y 轴对称的点的坐标．根据题意得261m m a+-＝0，即8m －1＝0是解题的关键．18．3【分析】连接OC ，由C 是线段AB 的中点，可得1322AOC OAB S S == ，然后根据比例系数k 的几何意义即可求得答案.解：如图，连接OC，∵C 是线段AB 的中点，∴1322AOC OAB S S == ，∵1322AOC k S ==△，0k ＞，∴3k =.故答案为：3.【点拨】本题主要反比例函数的比例系数k 的几何意义、与中线有关的三角形的面积关系，熟记反比例函数的比例系数k 的几何意义是解题的关键.19．(1)5y x =+，一次函数的图像见分析；(2)41x --≤≤或0x >；(3)15【分析】（1）将点(),1A m ，点()1,B n -代入4y x =-中得4141m n ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪-⎩解得，44m n =-⎧⎨=⎩，则点A 的坐标为：(4,1)-，点B 的坐标为(1,4)-，将点(4,1)A -和(1,4)B -代入()0y kx b k =+≠中得414k b k b -+=⎧⎨-+=⎩，解得，15k b =⎧⎨=⎩，即可得一次函数解析式为：5y x =+；（2）观察函数图像，即可得不等式4kx b x-≤+的解集是41x --≤≤或0x >；（3）根据点C 与点B 关于原点对称得点C 的坐标为(1,4)-，根据网格和勾股定理得AB ==，AC ==BC ==222AB AC BC +=，即ABC 是直角三角形，即可得．（1）解：将点(),1A m ，点()1,B n -代入4y x=-中，4141m n ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪-⎩解得，44m n =-⎧⎨=⎩，则点A 的坐标为：(4,1)-，点B 的坐标为(1,4)-，将点(4,1)A -和(1,4)B -代入()0y kx b k =+≠中，414k b k b -+=⎧⎨-+=⎩，解得，15k b =⎧⎨=⎩，即一次函数解析式为：5y x =+，函数图像如下：（2）解：观察函数图像，不等式4kx b x-≤+的解集是41x --≤≤或0x >；（3）解：∵点C 与点B 关于原点对称，∴点C 的坐标为(1,4)-，三角形ABC 如图所示，∵223318AB =+=，225550AC =+=222868BC =+=∴222AB AC BC +=，即ABC 是直角三角形，∴1111850325215222ABC S AB AC =⨯⨯==⨯=△．【点拨】本题考查了反比例函数，一次函数，函数与不等式，三角形的面积，勾股定理，关于原点对称，解题的关键是掌握反比例函数，一次函数，函数与不等式，勾股定理．20．(1)12k =；(2)322y x =-．【分析】（1）先求出()1,2A ，再将()1,2A 代入11k y x=，得1122k =⨯=；（2）求出正比例函数解析式为22y x =，再利用平移的规律解答即可．（1）解：∵点A 和点B 关于y 轴对称，()1,2B -，∴()1,2A ，把()1,2A 代入11k y x=，得1122k =⨯=．（2）解：把()1,2A 代入22y k x =，得22k =，∴直线的表达式为22y x =，∵33y k x b =+是由22y x =向下平移2个单位长度得到，∴322y x =-．【点拨】本题考查反比例函数和一次函数的综合，点关于y 轴对称的性质，一次函数的平移，解题的关键是掌握待定系数法求解析式，点关于y 轴对称的性质以及一次函数的平移．21．(1)证明见分析；(2)20y x=【分析】（1）根据(0,4)A ，(3,0)B -，(2,0)C 即可得5AB =，5BC =，根据D 点为B 点关于AC 所在直线的对称点得5AD AB ==，5CD CB ==，可得AB BC CD DA ===，即可得；（2）根据四边形ABCD 为菱形，得AD BC ∥，根据5AD =，(0,4)A 得(5,4)D ，把(5,4)D 代入k y x=得5420k =⨯=，即可得．解：（1）证明：∵(0,4)A ，(3,0)B -，(2,0)C ，∴5AB =，5BC =，∵D 点为B 点关于AC 所在直线的对称点，∴5AD AB ==，5CD CB ==，∴AB BC CD DA ===，∴四边形ABCD 为菱形；（2）解：∵四边形ABCD 为菱形，∴AD BC ∥，又∵5AD =，(0,4)A ，∴(5,4)D ，把(5,4)D 代入k y x=得5420k =⨯=，∴反比例函数的表达式为20y x=．【点拨】本题考查了勾股定理，菱形的判定与性质，反比例函数的性质，解题的关键是掌握这些知识点．22．(1)1k 的值为2，2k 的值为2；(2)1x ≥【分析】（1）求得A 的坐标，分别代入11k y x=（1k 是常数，10k >，0x >）与函数22y k x =（2k 是常数，20k ≠），即可求得1k ，2k 的值；（2）根据图象即可求得．解：（1）∵点()1,2B -，∴点()1,2A ，把()1,2A 代入11k y x=得12k =，把()1,2A 代入22y k x =得22k =，∴1k 的值为2，2k 的值为2（2）由图象可知：1x ≥【点拨】本题考查一次函数与反比例函数的关系式，解题的关键是根据图象，求出点的坐标，进而求出关系式．23．(1)112y x =-；图象见分析；(2)20x -≤<或4x ≥；(3)6【分析】（1）利用待定系数法求出一次函数解析式，再利用两点法画出函数图象，即可求解；（2）由图象可知，关于x 的不等式4xax b ≤+的解集为20x -≤<或4x ≥，即可；（3）根据点A 关于x 轴的对称点为点D ，可得2AD =，再由三角形的面积公式，即可求解．（1）解：∵点()()4,,,2A m B n -在反比例函数4y x=的图象上，∴414m ==，42n -=∴2n =-，∴()()4,1,2,2A B --．把A 、B 的坐标代入()0y ax b a =+≠得∶4122a b a b +=⎧⎨-+=-⎩，解得121a b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩，∴一次函数表达式为112y x =-，在网格中画出一次函数的图象如图：（2）解：由图象可知，关于x 的不等式4xax b ≤+的解集为20x -≤<或4x ≥；（3）解：∵()4,1A ，∴()4,1D -，∴2AD =，∴()124262ABD S ⨯=⨯+= ．【点拨】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查反比例函数图象上点的坐标特征以及待定系数法求函数解析式，三角形的面积，根据两函数图象的上下位置关系找出不等式的解集是解题的关键．24．(1)611-；3-；图见分析；(2)①②；(3)<4x -或2<<1x -【分析】（1）已知解析式，代入x 的值，即可算出对应的y 值，即可得出答案；（2）结合图像即可分析函数的对称性、增减性、最值、交点问题；（3）结合图像分析不等式与函数的关系，即可得出结论．（1）函数262y x =-+，令3x =-，可得611y =-，故611a =-；令0x =，可得=3y -，故3b =-，故答案为：611-；3-．描点、连线，在画出该函数的图像如下：（2）由函数的图像可得：①函数262y x =-+的图像关于y 轴对称，①正确；②当0x =时，函数262y x =-+有最小值，最小值是3-，②正确；③自变量0x >时，函数y 的值随自变量x 的增大而增大；自变量0x <时，函数y 的值随自变量x 的增大而减小，③错误；④由于2602y x =-+＜恒成立，故函数的图像与x 轴不可能有交点，④错误，故答案为：①②．（3）不等式2615233x y x --+＜-表现在图像上，即函数262y x =-+的图像比函数1533y x =--的图像低，因此观察图像可得到2615233x y x --+＜-的解集为：<4x -或2<<1x -．【点拨】本题考查了新函数的研究方法，在学习一次函数，反比例函数以及二次函数时的通用方法是本题解题的关键．。
弄懂反比例函数k的意义 秒杀反比例函数小题
弄懂|k|的意义秒杀反比小题《反比例函数》是整个初中阶段数学的难点，其隐含结论之多，计算复杂度之大，甚至超过了初三的二次函数，但如果掌握了一定的解题技巧，许多题还是可以秒杀的．因此，计划分两讲来谈谈必考的面积专题，本讲主要谈谈其中最重要的|k|的几何意义，并如何用其来解题．一、基本结论考虑到许多题目经常要将最初的矩形，三角形进行等积变形，因此，我将许多与|k|相关的图形面积作了一个整理．二、实战分析例1：分析：由于点A，点B都在双曲线上，且都作了x轴的垂线段，那么可以尝试向y轴作垂线段，补成矩形，由于AB∥x轴，则只需延长BA与y轴相交即可，利用面积相减．解答：变式1：分析：本题与例1类似，由矩形换成了三角形，方法不变，因为AB∥x轴，可考虑等积变形，将△ABC面积转化为△ABO面积，然后继续延长BA，利用面积相减．解答：变式2：分析：思路很简单，将平行四边形等积变形为矩形，而矩形面积又为两个小矩形面积之和．解答：例2：分析：四边形PAOB不是我们熟悉的四边形，因此求面积无非是割补，分割成2个三角形计算，或者补成矩形减去其余面积，显然这里采用后者．因为点P，A，B均在双曲线上，用矩形的面积减掉2个小三角形的面积即可．解答：变式1：分析：本题与例2类似，知道了四边形面积，反过来求k，思路是类似的．这里的点F 是关键，它是AB的中点，那么自然想到OF应该作为中线，即连接OB，△OAB 的面积是△OAF的两倍，而OB又是矩形对角线，又平分矩形面积，则矩形面积是△OAF的4倍，题目一下变得简单．解答：变式2：分析：由前面题的经验，我们应该想到，只要在双曲线上的点，都要想到考虑作坐标轴的垂线段，构造矩形或三角形．显然，这里过点M作垂直，表示出矩形的面积，而M作为对角线交点，所构造的矩形面积是整个大矩形面积的四分之一，下面方法又一致了．解答：小结由此可见，直接利用|k|的几何意义，可以秒杀很多反比例函数的求面积，求k的小题，但我们该怎么思考呢？笔者认为，关键在于，尝试过双曲线上的点，作坐标轴的垂线段，构造矩形．对于一些三角形和平行四边形的面积，则可以利用等积变形。
巧用反比例函数的对称性解题
巧用反比例函数的对称性反比例函数图象的对称性在解题时常荐会被忽略，但是事实上它的作用无处不在，而 且它让我们感受到数形结合是多么的奇妙．一、求代数式的值例1 如果一个正比例函数与一个反比例函数6y x =的图象交于A 11()x y 、，22()x y 、 两点，那么2121()()x x y y --的值为方法一 设正比例函数的解析式是y kx =，与反比例函数6y x =联立方程，消去y 得到260kx -= 由韦达定理，可知121260,x x x x k+==又1122.,y kx y kx ==∴2121()()x x y y -- 2121()()x x kx kx =--221()k x x =-21212()4k x x x x ⎡⎤=+-⎣⎦ 604k k ⎛⎫=- ⎪-⎝⎭ =24方法二 反比例函数和正比例函数都关于原点成中心对称图形，所以，12x x =-且，12y y =-∴2121()()x x y y --2222()()x x y y =++22424x y ==这两种解题方法中明显是第二种方法比较简单、快捷、明了，可见反比例函数图形的对称性不可忽视．反比例函数的对称有两种．一种是关于原点的中心对称，另一种是关于直线y x =的轴对称．其实在解题过程中恰当地运用这两种对称性会快捷得多，下面再看几个例子来体验一下．二、求比例系数k例2 如图1，已知直线2y x =-+分别与x 轴y 轴交于A ，B 两点，与双曲线k y x =交于E ，F 两点，若AB =2EF ，则k 的值是方法一 将直线2y x =-+与反比例函数k y x =联立方程，得到220x x k -+-= 由韦达定理，可知12122,x x x x k +==又EF = 12AB = 12x -1== 解得34k = 方法二 由图形的对称性可知，反比例函数和一次函数2y x =-+都关于直线y x = 对称，又AB =2EF ，故有BF =FM =ME =AE ．而A (2，0)，B (0，2)，所以F 13(,)22，易得34k =． 三、图形面积问题例3 如图2，过点O 作直线与双曲线(0)k y k x=≠交于A ，B 两点，过点B 作BC ⊥x 轴于点c ，作BD ⊥y 轴于点D ．在x 轴，y 轴上分别取点E ，F ，使点A ，E ，F 在同一条直线上，且AE =AF 设图中矩形OCBD 的面积为1s ，△EOF 。
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巧用反比例函数的对称性
反比例函数图象的对称性在解题时常荐会被忽略，但是事实上它的作用无处不在，而 且它让我们感受到数形结合是多么的奇妙．
一、求代数式的值 例1 如果一个正比例函数与一个反比例函数6y x =
的图象交于A 11()x y 、，22()x y 、 两点，那么2121()()x x y y --的值为
方法一 设正比例函数的解析式是y kx =，与反比例函数6y x =
联立方程，消去y 得到260kx -=
由韦达定理，可知121260,x x x x k
+==
又1122.,y kx y kx ==
∴2121()()x x y y -- 2121()()x x kx kx =--
221()k x x =-
21212()4k x x x x ⎡⎤=+-⎣⎦ 604k k ⎛⎫=- ⎪-⎝
⎭ =24
方法二 反比例函数和正比例函数都关于原点成中心对称图形，所以，
12x x =-且，12y y =-
∴2121()()x x y y --
2222()()x x y y =++
22424x y ==
这两种解题方法中明显是第二种方法比较简单、快捷、明了，可见反比例函数图形的
对称性不可忽视．
反比例函数的对称有两种．一种是关于原点的中心对称，另一种是关于直线y x =的轴对称．其实在解题过程中恰当地运用这两种对称性会快捷得多，下面再看几个例子来
体验一下．
二、求比例系数k
例2 如图1，已知直线2y x =-+分别与x 轴y 轴交于A ，B 两点，与双曲线k y x =
交于E ，F 两点，若AB =2EF ，则k 的值是
方法一 将直线2y x =-+与反比例函数k y x =
联立方程，得到220x x k -+-= 由韦达定理，可知12122,x x x x k +==
又EF = 12
AB 2122x - 得244411
b a
c k a --== 解得34
k = 方法二 由图形的对称性可知，反比例函数和一次函数2y x =-+都关于直线y x =
对称，又AB =2EF ，故有BF =FM =ME =AE ．
而A (2，0)，B (0，2)，
所以F 13(,)22，易得34k =
． 三、图形面积问题
例3 如图2，过点O 作直线与双曲线(0)k y k x
=≠交于A ，B 两点，过点B 作BC ⊥x 轴于点c ，作BD ⊥y 轴于点D ．在x 轴，y 轴上分别取点E ，F ，使点A ，E ，F 在同一条直线上，且AE =AF 设图中矩形OCBD 的面积为1s ，△EOF 。
的面积为2s ，则1s ，2s 的数量关系是
解析 设A (m ，一n )，过点O 的直线与双曲线k y x
=
交于A ，B 两点，则A ，B 两点关于原点对称，则B (一m ，n )．
矩形OCBD 中，易得
OD =n ，OC =m ，
则1s =mn ．
在Rt △EOF 中，AE =AF ，
故A 为EF 中点，
OF =2n ，OE =2m ，
则2s =12
×OF ×OE =2mn ， 故21s =2s ．
例4如图3，反比例函数(0)k y k x
=>的图象与以原 点(0，0)为圆心的圆交于A ，B 两点，且A (13)，
图中阴影部分的面积等于 ．(结果保留π)
解析 由于反比例函数和圆都是中心对称图形，故阴影部分面积可以看成是扇形AOB 的面积．再利用图形关于直线y x =对称，可知B 31)，所以，
∠BOX =30°，∠AOX =60°，
易得3
S ππ=2扇形AOB 302=360． 从以上例题的分析可观察到，对于反比例函数与一次函数y x b =+或y x b =-+相
结合的问题，利用轴对称比较方便；而当反比例函数与正比例函数y kx =y 或圆相结合的时 候，中心对称必然能发挥作用．总之，利用反比例函数的对称性，要先观察，再计算(数形 结合)，这样会比直接代数运算方便很多．。