高中数学瞬时变化率--导数

瞬时变化率--导数

教学目标：

(1)理解并掌握曲线在某一点处的切线的概念

(2)会运用瞬时速度的定义求物体在某一时刻的瞬时速度和瞬时加速度

(3)理解导数概念 实际背景，培养学生解决实际问题的能力，进一步掌握在一点处 的导数的定义及其几何意义，培养学生转化问题的能力及数形结合思想

一、复习引入

1、什么叫做平均变化率；

2、曲线上两点的连线（割线）的斜率与函数f(x)在区间[x A ，x B ]上的平均变化率

3、如何精确地刻画曲线上某一点处的变化趋势呢？

下面我们来看一个动画。从这个动画可以看出，随着点P 沿曲线向点Q 运动，随着点P 无限逼近点Q 时，则割线的斜率就会无限逼近曲线在点Q 处的切线的斜率。

所以我们可以用Q 点处的切线的斜率来刻画曲线在点Q 处的变化趋势

二、新课讲解

1、曲线上一点处的切线斜率

不妨设P(x 1，f(x 1))，Q(x 0，f(x 0))，则割线PQ 的斜率为0

101)()(x x x f x f k PQ --=， 设x 1－x 0=△x ，则x 1 =△x ＋x 0， ∴x

x f x x f k PQ ∆-∆+=)()(00 当点P 沿着曲线向点Q 无限靠近时，割线PQ 的斜率就会无限逼近点Q 处切线斜率，即当

△x 无限趋近于0时，x

x f x x f k PQ ∆-∆+=)()(00无限趋近点Q 处切线斜率。 2、曲线上任一点(x 0，f(x 0))切线斜率的求法：

x

x f x x f k ∆-∆+=)()(00，当△x 无限趋近于0时，k 值即为(x 0，f(x 0))处切线的斜率。 3、瞬时速度与瞬时加速度

(1)平均速度： 物理学中，运动物体的位移与所用时间的比称为平均速度

(2) 位移的平均变化率：t

t s t t s ∆-∆+)()(00 (3)瞬时速度：当无限趋近于0 时，t

t s t t s ∆-∆+)()(00无限趋近于一个常数，这个常数称为t=t 0时的瞬时速度

求瞬时速度的步骤：

1.先求时间改变量t ∆和位置改变量)()(00t s t t s s -∆+=∆

2.再求平均速度t

s v ∆∆= 3.后求瞬时速度：当t ∆无限趋近于0，

t s ∆∆无限趋近于常数v 为瞬时速度

(4)速度的平均变化率：t

t v t t v ∆-∆+)()(00 (5)瞬时加速度：当t ∆无限趋近于0 时，

t t v t t v ∆-∆+)()(00无限趋近于一个常数，这个常数称为t=t 0时的瞬时加速度

注：瞬时加速度是速度对于时间的瞬时变化率

三、数学应用

例1、已知f(x)=x 2，求曲线在x=2处的切线的斜率。

变式:1.求21()f x x

=过点(1,1)的切线方程 2.曲线y=x 3在点P 处切线斜率为k,当k=3时,P 点的坐标为_________

3.已知曲线()f x =P(0,0)的切线斜率是否存在?

例2.一直线运动的物体，从时间t 到t t +∆时，物体的位移为s ∆，那么s t

∆∆为（ ） Ａ．从时间t 到t t +∆时，物体的平均速度； Ｂ．在t 时刻时该物体的瞬时速度； Ｃ．当时间为t ∆时物体的速度； Ｄ．从时间t 到t t +∆时物体的平均速度

例3.自由落体运动的位移s(m)与时间t(s)的关系为s=22

1gt (1)求t=t 0s 时的瞬时速度

(2)求t=3s 时的瞬时速度

(3)求t=3s 时的瞬时加速度

点评：求瞬时速度，也就转化为求极限，瞬时速度我们是通过在一段时间内的平均速度的极限来定义的，只要知道了物体的运动方程，代入公式就可以求出瞬时速度了.运用数学工具来解决物理方面的问题，是不是方便多了.所以数学是用来解决其他一些学科，比如物理、化学等方面问题的一种工具，我们这一节课学的内容以及上一节课学的是我们学习导数的一些实际背景