矩阵的相似与相合

证明 A 与 B 相似, 存在可逆阵 P, 使得 P 1 AP B,
I B P1( I )P P1AP P1( I A)P P1 I A P I A . 证毕
注: 这里A,B的特征向量未必相同.
若Ax x,则 AP(P 1x) x, 即(P 1 AP )(P 1 x) (P 1 x), 或B(P 1 x) (P 1 x).
则有
(1) 1 2 L n a11 a22 L ann;
(2) 12L n A .
A的主对角元的 和称为A的迹， 记tr(A)
推论 设 n 阶方阵 A可逆的充要条件是 0不是A的特征值.
12
性质3. 若 是A 的特征值, 则 (1) 当 A 可逆时, 1 是 A1 的特征值； (2) m 是 Am 的特征值 (m 是任意正整数)；
(3) 结论(2)对m为任意负整数也成立.
证 (1) 当 A 可逆时, 0, 由 Axr xr 可得
A1( Axr) A1( xr) A1 xr, A1 xr 1 xr,
(2)A(
r Ax)
A(
r x)
( Axr)
( xr),
A2 xr 2 xr, Am xr m xr, （m是正整数）
由
5
~ 3 1 0
2
I
A
4 1
1 0
0 0
1 0 0
0 0
1 0
0 0
0
得基础解系
r p1
0 1
,
所以
r kp1 ( k
0)
是对应于
1
2
的全部特征向量.
当 2 3 1 时,
解方程
(I
A) xr
r 0.
由
~ 2 1 0
I
A
4
2
0
1 0 1
0
1
2
,
1 0 1 0 0 0
定义1 设 A, B 都是 n 阶矩阵, 若有可逆矩阵 P, 使
P -1 AP B, 则称 B 是 A 的相似矩阵, 或说矩阵 A 与 B 相似. 对 A 进行运算 P-1 AP 称为对 A 进行相似变换, 可 逆矩阵 P 称为把 A 变成 B 的相似变换矩阵.
20
定理1 若 n 阶矩阵 A 与 B 相似, 则 A 与 B 的特 征多项式相同, 从而 A 与 B 的特征值亦相同.反之不真.
1k ( x1 p1 ) 2k ( x2 p2 ) mk ( xm pm ) O (k 1,2, , m 1)
把上列各式合写成矩阵的形式：
1 1
( x1
p1 ,
x2
p2 ,
,
xm
pm
)
1
2
1 m
1m1
2m1
(O , O ,
,O)
m m1
由范德蒙行列式
因为i (i 1,2, , m)各不相同
解方程
(I
A) xr
r 0.
由
8
当 1 1 时,
解方程
(
I
r A) x
r 0.
由
~ 1 1 1
I
A
0
3
0
1 1 1
0
1
0
,
4 1 4 0 0 0
1
得基础解系
r p1
0 1
,
故对应于 1 1 的全体特征向量为 kpr1 (k 0).
9
当 2 3 2 时,
解方程
(2I
性质1. 设 A 是 n 阶方阵, 则A与AT 的特征值相同.
fAT ( ) I AT ( I A)T I A fA( ).
由此例可得: n 阶方阵 A 与其转置阵 AT 有相同的特征多项式和特征值.
线性代数
11
性质2. 设 n 阶方阵 A (aij ) 的特征值为 1, 2,L , n ,
(3)当m是负整数时,Am =(A1 )m , 因此( 1 )m = m是Am的特征值.
13
注. 一般地，若 是 A 的特征值, 且 (x)为 一个多项式, 则 ( )为 (A)的特征值.
其中( x) a0 a1x a2 x2 L am xm , ( A) a0I a1A a2 A2 L am Am .
为方阵 A 的特征多项式.
4
1 1 0
例1.
求
A
4 1
3 0
0 2
的特征值和所有的特征向量.
解: A 的特征多项式为
1 1 0
I A 4 3 0 ( 2)( 1)2 ,
1
0 2
所以 A 的特征值为 1 2, 2 3 1.
当 1 2 时,
解方程
(2I
r A) x
r 0.
因为相似矩阵有相同的特征值,
则
tr( A) tr(B), | A | | B | .
24
2 0 0
1 0 0
例2.
如果矩阵
A
2 3
a 1
b2
与
B
0 0
2 0
0 c
相似, 求 a,b 的值.
由
tr( | A
A) |
tr(B), |B|.
得
2 a b 1 2 c,
2
0
0
1 0 0
左式第二个矩阵可逆 ( x1 p1, x2 p2 , , xm pm ) (O,O, ,O) 所以有：xi pi O (i 1,2, , m),但特征向量 pi O
xi 0 (i 1,2, , m) p1, p2 , , pm 线性无关。
§2. 矩阵的对角化
19
一、相似矩阵与相似变换的概念
P, 使 AP P.
又由于 P 可逆,
所以
r p1 ,
r p2 ,L
,
r pn
线性无关.
得证
28
推论 如果 n 阶矩阵 A 的 n 个特征值互不相等, 则 A 与对角阵相似.
说明 如果 A 的特征方程有重根, 此时不一定有 n 个线性无关的特征向量, 从而 A 不一定能对角 化; 但如果能找到 n 个线性无关的特征向量, A 还是能对角化.
因为当矩阵P满足P1AP B时， Bm (P 1 AP )m P 1 Am P.
22
推论 若 n 阶方阵 A 与对角阵
1
2
O
n
相似, 则 1, 2 ,L , n 即是 A 的 n 个特征值.
注 (1)对 n 阶方阵 A, 若可找到可逆矩阵 P, 使得 P1AP 为对角阵, 这就称为把方阵 A 对角化.
第五章 矩阵的相似与相合
§1. 矩阵的特征值与特征向量
2
一、特征值与特征向量的概念
定义1 设 A 是 n 阶矩阵, 如果数 和 n 维非零列
向量 xr 使关系式
Axr xr
成立, 那末, 这样的数 称为方阵 A 的特征值, 非零向量 xr 称为 A 的对应于特征值 的特征向量.
说明
1.
定理 若n阶方阵 A 有m个不同的特征值，且特
征值i的重数为si， 则A可对角化的充要条件为 r(i I A) n si .
29
4 6 0
例1.
设
A
3 3
5 6
0 1
,
问: A 能否对角化?
(1) 若能对角化, 求出可逆阵 P, 使 P 1AP 为对
角阵;(2) 求A10 .
4 6
把
P
用其列向量表示为
P
r ( p1,
r p2 ,L
,
r pn ).
26
由 P1AP , 得 AP P,
1
即
A(
pr1 ,
pr2 ,L
,
prn )
(
pr1 ,
pr2 ,L
,
prn
)
2
O
n
(1
r p1
,
2
r p2 ,L
,
n
r pn
).
A( pr1, pr2 ,L , prn ) ( Apr1, Apr2,L , Aprn )
A) xr
r 0.
由
~ 4 1 1
2I
A
0
0
0
4 1 1
0
0
0
,
4 1 1 0 0 0
得基础解系为：
0
r p2
1 1
,
1
r p3
0 4
,
所以对应于 2 3 2 的全部特征向量为 :
r
r
k2 p2 k3 p3
(k2 , k3不同时为 0).
10
二、特征值与特征向量的性质
(2) 并非所有方阵都可以对角化.
23
2 0 0
1 0 0
例1.
如果矩阵
A
2 3
a 1
2 b
与B
0 0
2 0
0 c
相似, 求 a,b 的值.
解 因为 A是分块的下三角阵, 所以 2 是 A 一个的特征值,
而相似矩阵有相同的特征值,
所以 2 也是 B 一个的特征值,
B 是对角阵有特征值 1,2,c, 所以 c 2,
特征向量
xr
r 0,
特征值问题是对方阵而言的.
2. 若向量 xr 是 A 的对应于特征值 的特征向量,
则 kxr (k 0) 也是 A 的对应于特征值 的特征向量.
且对应特征向量的非零线性组合也是 的特征向量.
3
3. n 阶方阵 A 的特征值, 就是使齐次线性方程组
( I
A) xr
r 0
有非零解的
性质4 分块上(下)三角阵
A11
A=
A12 L A22 L
OBaidu Nhomakorabea
A1 p
A2 p M
,
Aii为ni阶方阵,
App
则Aii(i 1, 2,L , p)所有特征值恰为A的全部特征值.
定理1 设 1, 2 ,L , m 是方阵 A 的 m 个特征值,
pr1, pr2 ,L , prm 依次是与之对应的特征向量. 如果
0
I A 3 5 0 ( 1)2( 2)
3
6 1
所以 A 的全部特征值为 1 2 1, 3 2.
30
将
1
2
1
代入
(
I
A) xr
r 0
得方程组
3 x1 6 x2 0,
3 x1 6 x2 0,
3 x1 6 x2 0.
解之得基础解系
r
1
2
1 0
,
r
2
0 0 1
例3. 已知三阶方阵A的特征值为 1,1, 2,求 A2 2A1-4I 的特征值及 A2 2A1-4I .
解. A2 2A1-4I的特征值为
(1)2 2(1)1 4= 5， 12 2(1)1 4= 1 (2)2 2(2)1 4=1
故 A2 2A1-4I =(-5)(1) 1 5. 14
向量分别为: p1, p2 , , pm 。现设有常数x1, x2 , , xm 使 x1 p1 x2 p2 xm pm O 等式两边左乘A
A( x1 p1 x2 p2 xm pm ) AO O
x1( Ap1 ) x2( Ap2 ) xm ( Apm ) O
x1(1 p1 ) x2(2 p2 ) xm (m pm ) O 1( x1 p1 ) 2( x2 p2 ) m ( xm pm ) O 等式两边再左乘A 12 ( x1 p1 ) 22 ( x2 p2 ) m2 ( xm pm ) O 等式两边再左乘A
21
注
(1) A 与 B 相似, 则 det( A) det(B), tr( A) tr(B);
(2) 若 A 与 B 相似, 且 A 可逆, 则 B 也可逆, 且 A1 与 B1 相似;
(3) A 与 B 相似, 则 kA 与 kB 相似, k 为常数;
(4) 若 A 与 B 相似, 而 f ( x) 是一多项式, 则 f ( A) 与 f (B) 相似.
2
a 2 0
2 0.
3 1 b 0 0 c
a b 1, 2(ab 2) 4.
解得
a 0, b 1.
或
a 1, b 0.
25
二、方阵可对角化的条件
定理2 n 阶矩阵 A 与对角矩阵相似(即 A 能对角 化)的充分必要条件是 A 有 n 个线性无关的特征 向量.
证 假设存在可逆阵 P, 使 P1AP 为对角阵,
1, 2 ,L , m 各不相等,
则
r p1 ,
r p2 ,L
,
r pm
线性无关.
注意
矩阵----树；特征值----树枝；特征向量----树叶.
1. 属于不同特征值的特征向量是线性无关的.
2.属于同一特征值的特征向量的非零线性 组合仍是属于这个特征值的特征向量．
16
证：设方阵A有m个不同的特征值: 1,2 , ,m ,它们的特征
(1
r p1
,
2
r p2
,L
,
n
r pn
).
于是有
r Api
i
r pi
,
(i 1,2,L
, n).
27
可见 i 是 A 的特征值,
而P
的列向量
r pi
就
是 A 的对应于特征值 i 的特征向量.
反之, 由于 A 恰好有 n 个特征值, 并可对应地
求得 n 个特征向量, 这 n 个特征向量即可构成矩阵
值,
即满足方程
I A 0 的 都是矩阵 A 的特征值.
a11 a12 L
4. I A 0 a21 a22 L
L
LL
an1 an2 L
a1n a2n 0 L
ann
称以 为未知数的一元 n 次方程 I A 0 为
方阵 A 的特征方程.
记 f ( ) I A , 它是 的 n 次多项式, 称其
6
1
得基础解系
r p2
2 1
,
所以
r kp2 (k
0)
是对应于
2
3
1
的
全部特征向量.
7
2 1 1
例2.
A
0 4
2 1
0 3
,
求 A 的特征值与所有的特征向量.
解:
2
I A 0
4
1
2
1
1 0
3
( 1)( 2)2,
得 A 的特征值为 1 1, 2 3 2.
当 1 1 时,