2-3导数与变化率的意义

模块基本信息

一级模块名称 微分学

二级模块名称 基础模块

三级模块名称 导数与变化率的意义

模块编号

2-3 先行知识 导数的概念 模块编号

2-2 知识内容

教学要求 掌握程度

1、导数的定义

1、深入理解导数的定

义

理解 2、变化率的意义 2、理解变化率的意义

3、导数的几何意义

3、理解导数的几何意

义

能力目标

1、培养学生的联系的、辩证统一的思想

2、培养学生的分析问题、解决问题的能力

时间分配 25分钟 编撰 黄小枚 校对

方玲玲 审核 危子青 修订

肖莉娜

二审

危子青

一、正文编写思路及特点

思路：本文先复习导数的概念，为了让学生进一步深入理解导数的概念，引入变化率的意义、导数的几何意义。

特点：通过变化率的意义让学生发现我们生活中有许许多多的导数问题，开阔学生的视野，把所学到的知识与生活实际相结合，培养学生的应用能力。

二、授课部分

（一）预备知识 若0000

()()lim

lim

x x x f x f x y

x x x ∆→→-∆=∆-存在，称该极限值为函数在0x 处的导数，记

00000000()()()()()lim

lim =lim

x x x x f x f x f x x f x y

f x x x x x ∆→→∆→-+∆-∆'==∆-∆

若极限不存在，则称()x f y =在点0x 处不可导。 （二）新课讲解

1.导数概念的进一步理解

提问 ：若令x ∆=h ，()0x f ' 可表示为：

()()()h

x f h x f x f h 000

0lim

-+='→ 。

那么当x 从0x 变化到h x 20+时，0x 处的导数怎样表示？

答：()()()()

00000000022'()=lim lim 22h h f x h f x f x h f x f x x h x h →→+-+-=+-（）

例1 若函数f(x)在点0x 存在，试用0'()f x 表示极限：

()()

000

2lim

h f x h f x h h →+--

()()

0000

2lim

33'()

2()h f x h f x h f x h h →+--⋅=--解：

例2 已知0'()=1f x ，求()()

00x 0

-2lim

f x x f x x x

→--的值.

()()()()()()

()()()00x 00000x 0000-2lim -2-=lim -2+

-2-=-2'''1

f x x f x x x

f x x f x f x x f x x x f x f x f x →→----+=-=-解：（） 2.变化率意义 一个函数在处有增量，则也会有相应的增量

，那么我

们就称与的比

y

x

∆∆为函数在处增量为

的平均变化

率。

()00000()()lim

lim

x x f x x f x y

f x x x

∆→∆→+∆-∆'==∆∆，我们把平均变化率当0x ∆→时的极限()0f x '称为函数0x 处的变化率.

下面我们通过实例来说明变化率在实际问题中的应用. 例1 （电流模型）设在[0，t]这段时间内通过导线横截面的电荷为

，求时刻的电流.

解：如果是恒定电流, 在时间段内通过导线横截面的电荷

为

，那么它的电流为

平均电流：

瞬时电流：

例 2 （细杆的线密度模型）设一根质量非均匀分布的细杆放在x轴上，在[0，x]上的质量m是x的函数m=m(x)，求杆上

处的线密度.

解：如果细杆质量分布是均匀的,长度为的一段的质量为，那么它的线密度为

平均线密度：

某一点处的线密度：

(选讲)例3（化学反应速度模型）在化学反应中某种物质的浓度N 和时间t的关系为

N=N(t)

求在t时刻该物质的瞬时反应速度.

平均反应速度：

瞬时反应速度：

总结：在我们日常的生活中会遇到很多类似这样的问题，例如，功对时间的变化率；位移对时间的变化率；速度对时间的变化率，

它们都是导数问题。 3.导数的几何意义

设曲线y =f (x )上某一点A 的坐标是(x 0，y 0)，当自变量由x 0变到x 0+Δx 时，点A 沿曲线移动到点B (x 0+Δx ，y 0+Δy )，直线AB 是曲线y =f (x )的割线，

y

x

∆∆的几何意义是表示割线AB 的斜率.

由00()lim

tan x y

f x x

α∆→∆'==∆可知，函数y =f (x )在x 0处的导数f ′(x 0)

的几何意义就是曲线y =f (x )在对应点A (x 0，y 0)处的切线的斜率. 三、能力反馈部分

1、（考查对导数概念的深层理解）

若函数f(x)在点0x 存在，试用0'()f x 表示极限：

（1）()()h

h x f x f h -lim 000-→

（2) 001

lim [()()]n n f x f x n

→∞--

2、（考查对变化率的理解）

一底半径与高相等的直圆锥体受热膨胀,在膨胀过程中,其高和底半径的膨胀率相等,

问: (1)体积关于半径的变化率如何?

(2)半径为5cm 时,体积关于半径的变化率如何