林寿数学史第九讲：19世纪的几何与分析I资料共33页文档
《数学哲学与数学史》十九世纪的数学
《数学哲学与数学史》第16、17周复习资料——十九世纪的数学9－1、牛顿、莱布尼兹微积分算法的（逻辑）基础问题。
9－2、(高斯)证明了正（十七）边形可以用欧几里德工具做出。
最伟大的专著是《（算术）研究》，引入了同余的符号和性质, 定义了一个数b关于a的（指标）, 证明了被称为“数论中的（酵母）”,证明形如2^2^n+1的素数或此种形式素数的（乘积），关于素数个数（素数）定理。
3.傅立叶宣称：均可用（三角）级数来表示。
在有限区间上只有有限个（间断点）的函数。
定积分的符号是（傅立叶）发明的。
傅立叶是一首（数学）的诗，最突出的贡献是他对（热传导）问题的研究9－15、法国数学家（泊松）是给出欧拉－麦克劳林求和公式的余项的第一个人。
第一个沿着复平面上的路径实行积分的人,是提议（重力）理论也可以引用到电场和磁场的第一人。
在电场方面静电引力之总和为（0）。
9－18、波尔查诺分析的（算术）化之父。
造出了一个参数函数，在该间隔的任何点上没有（导数）。
9－20、波尔查诺－魏尔斯特拉斯定理说的是：任何（有界）无限点集,至少包括一个（聚）点。
9－22、（庞斯列）首次提出“力作功”的概念9－23、(柯西)在其著作《（分析）教程》首次成功地为(微积分)奠定基础。
给出的极限的定义:（差）,给出的无穷小量的定义为：（低于）,极限为∞的定义为：（高于）,转述为（不等式）。
首次放弃“一个变量决不会（超过）它的极限”,以（极限）为基础,建立了（级数）收敛性第一个认识到无穷级数并非（多项式）理论,而应当以（极限）为基础。
他用（部分和）有限来定义级数收敛，对于一般项级数，但其（乘积）不一定收敛。
此变量取名为（自变量），证明了隐函数的（局部）存在性。
连续的严格定义：导致函数本身的（无穷小）增量。
”, 用（差商）的极限来定义导数, 以（割线）的极限位置来定义切线的, 他认为积分是无穷小量的无穷和的（极限），坚持先证明存在性则是从依赖直觉到（严格分析）的转折点。
十九世纪数学
十九世纪数学十九世纪是数学史上创造精神和严格精神高度发扬的时代。
复变函数论的创立和数学分析的严格化，非欧几何的问世和射影几何的完善，群论和非交换代数的诞生，是这一世纪典型的数学成就。
它们所蕴含的新思想，深刻地影响着二十世纪的数学。
十九世纪数学发展的概貌十八世纪数学发展的主流是微积分学的扩展，它与力学和天文学的问题紧密相联。
微积分的运用使这些自然科学领域迅猛发展，至十八世纪末，它们达到了一种相对完美的程度。
然而，将数学和这些自然科学基本上视为一体的观念，使当时一些著名的数学家，如拉格朗日、欧拉、达朗贝尔等对数学的前途产生了悲观情绪，他们觉得数学泉源已近枯竭。
而实际上，此时的数学正处于兴旺发达的前夜：18世纪的数学家忙于获取微积分的成果与应用，较少顾及其概念与方法的严密性，到十八世纪末，为微积分奠基的工作已紧迫地摆在数学家面前；另一方面，处于数学中心课题之外的数学分支已积累了一批重要问题，如复数的意义、欧式几何中平行公设的地位，高次代数方程根式解的可能性等，它们大都是从数学内部提出的课题；再者，自十八世纪后期开始，自然科学出现众多新的研究领域，如热力学、流体力学、电学、磁学、测地学等等，从数学外部给予数学以新的推动力。
上述因素促成了十九世纪数学充满活力的创新与发展。
十九世纪欧洲的社会环境也为数学发展提供了适宜的舞台，法国资产阶级大革命所造成的民主精神和重视数学教育的风尚，鼓励大批有才干的青年步入数学教育和研究领地。
法国在十九世纪一直是最活跃的数学中心之一，涌现出一批优秀人才，如傅里叶、泊松、彭赛列、柯西、刘维尔、伽罗华、埃尔米特、若尔当、达布、庞加莱、阿达马。
他们在几乎所有的数学分支中都作出了卓越贡献。
法国革命的影响波及欧洲各国，使整个学术界思想十分活跃，突破了一切禁区。
英国新一代数学家克服近一个世纪以来以牛顿为偶像的固步自封局面，成立了向欧洲大陆数学学习的“分析学会”，使英国进入世界数学发展的潮流。
课件：数学史1
19世纪前的射影几何
• 在19世纪以前，射影 几何一直是在欧式几 何的框架下被研究的， 其早期开拓者德沙格， 帕斯卡等主要是以欧 式几何的方法处理问 题，而且由于18世纪 解析几何、微积分的 发展洪流而被人遗忘。
德沙格（1591-1661）
帕斯卡（1623-1662）
德沙格定理及其逆定理
• 德沙格定理：如果两 个三点形对应顶点的 连线交于一点，则对 应边的交点在一直线 上。
帕斯卡定理的对偶形式是布里昂雄（C.-J.Brianchon)在1806年发现的， 所以也称布里昂雄定理
• 如果将一圆锥曲线的6条切线看成一个六边 形的边，那么相对的顶点的连线共点。
F
A
O E
D
B C
射影几何的发展
• 莫比乌斯和普吕克开创了射影几何研究的 解析（或代数）途径。
• 在莫比乌斯的《重心计算》一书中第一次 引进齐次坐标，后被普吕克一般化。
庞斯列的部分信息（续）
• 他利用取暖的木炭在墙上作图，探索几何 学问题．由于手头没有参考资料，他便从 最基本的理论开始研究，充分利用了这段 时间，为他以后的成功打下基础．直到 1814年6月他才被释放．同年9月回到法国， 在梅斯工兵部队任上尉，并在兵工厂工作， 直到1824年5月．由于他是军事工程师，有 足够的业余时间从事在萨拉托夫战俘营开 始的射影几何学的研究．1824年5月1日， 庞斯列任梅斯炮兵工程兵学院的机械应用 力学教授．1830年成为梅斯市议会的议员， 而且是莫泽尔总议会的秘书．1834年成为 法国科学院院士，并搬到巴黎居住． 1851 年成为彼得堡通讯院士．
9.4 射影几何的繁荣Fra bibliotek欧式几何与射影几何
• 非欧几何揭示了空间的弯曲性质，将平直空间的 欧几里得几何变成了某种特例。实际上，如果将 欧几里得几何限制于其原先的涵义——三维、平 直、刚性空间的几何学，那么，19世纪的几何学 就可以理解为一场广义的“非欧化”运动：从三 维到高维，从平直到弯曲，而射影几何的发展又 从另一个方向使“神圣”的欧几里得几何再度 “降格”为其他几何的特例。
林寿数学史第九讲：19世纪的几何与分析I
默比乌斯(德, 1790-1868)
普吕克(德, 1801-1868)
射影几何
l 1847年施陶特(德, 1798-1867)的《位置几何学》 l 凯莱(英, 1821-1895)在射影几何基础上建立欧氏几 何和非欧几何
施陶特(德, 1798-1867)
凯莱(英, 1821-1895)
统一的几何学
导数 n 1854年黎曼(德, 1826-1866)定义了有界函数的积分 n 19世纪60年代魏尔斯特拉斯(德, 1815-1897)提出ε-δ语 言 n 1875年达布(法, 1842-1917)提出了大和、小和
实数理确界原理” v 1817年波尔查诺和19世纪60年代魏尔斯特拉斯(德,
希尔伯特(德, 1862-1943)
n 选择和组织公理系统的原则
相容性
独立性
完备性
关联公理
顺序公理 合同公理
平行公理
连续公理
分析的严格化
l 分析的算术化 l 实数理论 l 集合论
分析的算术化
u 分析：关于函数的无穷小分析
u 问题：第二次数学危机
u 希核尔心伯：特函（数德、，无1穷86小2－1942年）：“魏尔斯特拉
函数l初等函数狄里克雷函数处处不可微的连续函数l解析函数l1837年狄里克雷德18051859v1817年波尔查诺捷17811848定义了导数连续v1821年柯西法17891857分析教程定义了极限连续导数算术化n1854年黎曼德18261866定义了有界函数的积分n19世纪60年代魏尔斯特拉斯德18151897提出语言n1875年达布法18421917提出了大和小和v1817年波尔查诺捷17811848提出确界原理v1817年波尔查诺和19世纪60年代魏尔斯特拉斯德18151897提出聚点定理v1821年柯西法17891857提出收敛准则v19世纪60年代魏尔斯特拉斯提出单调有界原理v1872年海涅德18211881和1895年波莱尔法18711956提出有限覆盖定理实数理论n1872年戴德金德18311916提出分割理论n1892年巴赫曼德18371920提出区间套原理波尔查诺捷克斯洛伐克1981实数理论?1834年进入波恩大学学习法律与商业放弃法学博士候选人?18391940年成为古德曼德17981852的学生?18411856年在中学任教开展椭圆函数论与阿贝尔函数论的研究1854年哥尼斯堡大学名誉博士?1856年起在柏林工业大学柏林大学任教1873年出任柏林大学校长?分析算术化的完成者解析函数论的奠基人卓越的大学数学教师18641885培养了41位博士学生中有近100位成为大学正教授?龙格德18561927
林寿数学史教案-第十讲：19世纪的分析
林寿数学史教案-第十讲：19世纪的分析第一篇：林寿数学史教案-第十讲：19世纪的分析第十讲：19世纪的分析1、分析的严格化经过近一个世纪的尝试与酝酿，数学家们在严格化基础上重建微积分的努力到19世纪初开始获得成效。
1.1 分析的算术化所谓分析是指关于函数的无穷小分析，主要贡献归功于柯西（法，1789－1857年）和魏尔斯特拉斯（德，1815－1897），前者著有《分析教程》（1821）、《无穷小分析教程概论》（1823）和《微分学教程》（1829），后者创造了ε－δ语言，是“现代分析之父”。
1837年狄里克雷（德，1805－1859年）的函数定义。
魏尔斯特拉斯简介。
1.2 实数理论19世纪60年代魏尔斯特拉斯提出“单调有界原理”，康托、戴德金各自独立地给出了无理数定义，建立了严格的实数论。
实数的定义及其完备性的确立，标志着由魏尔斯特拉斯倡导的分析算术化运动大致宣告完成。
1.3 集合论康托（德，1845－1918年），1874年发表了“关于一切代数实数的一个性质”，引入了无穷的概念。
康托简介。
2、分析的拓展 2.1 复变函数论在18世纪后半叶到19世纪初，开始了复函数的偏导数与积分性质的探索。
复分析真正作为现代分析的一个研究领域是在19世纪建立起来的，主要奠基人：柯西（法，1789－1857年）、黎曼（德，1826－1866年）和魏尔斯特拉斯（德，1815－1897年）。
柯西建立了复变函数的微分和积分理论。
1814年、1825年的论文《关于积分限为虚数的定积分的报告》建立了柯西积分定理，1826年提出留数概念，1831年获得柯西积分公式，1846年发现积分与路径无关定理。
柯西简介。
背景：波旁王朝、捷克简史、哈布斯堡王朝、拿破仑三世、欧洲1848年革命。
黎曼的几何观点，引入“黎曼面”的概念。
1851年博士论文《单复变函数一般理论基础》，建立了柯西－黎曼条件、黎曼映射定理。
魏尔斯特拉斯于19世纪40年代，以追求绝对的严格性为特征，建立了幂级数基础上的解析函数理论，解析开拓。
林寿数学史中世纪的东西方数学Ippt课件
刘徽对π的估算值（密克罗尼西亚，1999）
资金是运动的价值，资金的价值是随 时间变 化而变 化的， 是时间 的函数 ，随时 间的推 移而增 值，其 增值的 这部分 资金就 是原有 资金的 时间价 值
《缀术》
祖冲之(南朝宋、 齐, 429-500年)
资金是运动的价值，资金的价值是随 时间变 化而变 化的， 是时间 的函数 ，随时 间的推 移而增 值，其 增值的 这部分 资金就 是原有 资金的 时间价 值
《九章算术注》
刘徽的割圆术
资金是运动的价值，资金的价值是随 时间变 化而变 化的， 是时间 的函数 ，随时 间的推 移而增 值，其 增值的 这部分 资金就 是原有 资金的 时间价 值
《九章算术注》
割圆术(6边形)
资金是运动的价值，资金的价值是随 时间变 化而变 化的， 是时间 的函数 ，随时 间的推 移而增 值，其 增值的 这部分 资金就 是原有 资金的 时间价 值
资金是运动的价值，资金的价值是随 时间变 化而变 化的， 是时间 的函数 ，随时 间的推 移而增 值，其 增值的 这部分 资金就 是原有 资金的 时间价 值
天元术
李冶的天元术
资金是运动的价值，资金的价值是随 时间变 化而变 化的， 是时间 的函数 ，随时 间的推 移而增 值，其 增值的 这部分 资金就 是原有 资金的 时间价 值
资金是运动的价值，资金的价值是随 时间变 化而变 化的， 是时间 的函数 ，随时 间的推 移而增 值，其 增值的 这部分 资金就 是原有 资金的 时间价 值
❖ (1)大衍类，一次同余组的解法，大衍求一术； ❖ (2)天时类，历法推算，雨雪量的计算； ❖ (3)田域类，土地面积； ❖ (4)测望类，勾股、重差等测量问题； ❖ (5)赋役类，田赋、户税； ❖ (6)钱谷类，征购米粮及仓储容积； ❖ (7)营建类，建筑工程； ❖ (8)军旅类，兵营布置和军需供应； ❖ (9)市易类，商品交易和利息计算．
《数学史概论》教案
《数学史概论》教案主讲人：林寿导言主讲人简介：林寿，宁德师专教授，漳州师院特聘教授，四川大学博士生导师，德国《数学文摘》和美国《数学评论》评论员。
1978.4~1980.2宁德师专数学科学习；1984.9~1987.7苏州大学数学系硕士研究生；1998.9~2000.5 浙江大学理学院攻读博士学位。
拓扑学方向的科研项目先后20次获得国家自然科学基金、国家优秀专著出版基金等的资助，研究课题涉及拓扑空间论、集合论拓扑、函数空间拓扑等，在国内外重要数学刊物上发表拓扑学论文90多篇，科学出版社出版著作3部。
1992年获国务院政府特殊津贴，1995年被授予福建省优秀专家，1997年获第五届中国青年科技奖、曾宪梓高等师范院校教师奖一等奖。
个人主页：/ls.asp一、数学史要学习什么？为什么要开设数学史的选修课？数学史研究数学概念、数学方法和数学思想的起源与发展，及其与社会、经济和一般文化的联系。
对于深刻认识作为科学的数学本身，及全面了解整个人类文明的发展都具有重要的意义。
庞加莱（法，1854－1912年）语录：如果我们想要预见数学的将来，适当的途径是研究这门科学的历史和现状。
萨顿（美，(1884-1956年)：学习数学史倒不一定产生更出色的数学家，但它产生更温雅的数学家，学习数学史能丰富他们的思想，抚慰他们的心灵，并且培植他们高雅的质量。
数学史的分期：1、数学的起源与早期发展（公元前6世纪）；2、初等数学时期（公元前6世纪－16世纪）；3、近代数学时期（17世纪－18世纪）；4、现代数学时期（1820年至今）。
二、教学工作安排授课形式：讲解与自学相结合，分13讲。
第一讲：数学的起源与早期发展；第二讲：古代希腊数学；第三讲：中世纪的东西方数学I；第四讲：中世纪的东西方数学II；第五讲：文艺复兴时期的数学；第六讲：牛顿时代：解析几何与微积分的创立；第七讲：18世纪的数学：分析时代；第八讲：19世纪的代数；第九讲：19世纪的几何与分析I；第十讲：19世纪的几何与分析II；第十一讲：20世纪数学概观I；第十二讲：20世纪数学概观II；第十三讲：20世纪数学概观III；选讲：数学论文写作初步。
十九世纪几何学统一的途径
十九世纪几何学统一的途径摘要非欧几何的出现打破了长期以来只有一种几何学即欧几里得几何学的局面。
十九世纪中叶以后，通过否定欧氏几何中这样或那样的公理、公设，产生了各种新的几何学，加上与非欧几何并行发展的射影几何、微分几何以及较晚出现的拓扑学等，这个时期的几何学出现了百花齐放的局面。
由此，用统一的观点解释它们便成为数学家们的重要任务。
克莱因以变换群的思想统一几何学，但该思想却未能包括所有的几何学领域。
希尔伯特提出了另一条对现代数学影响深远的统一几何学的途径——公理化方法，这种方法已经远远超出几何学的范围而和集合论思想成为现代数学统一化趋势的两大推手。
关键词：几何学的统一；非欧几何；公理化方法The Way of Unifying Geometry in the 19th CenturyAbstractThe non-Euclid geometry appearance has broken the situation of the only kind of geometry that is Euclidean geometry for a long time. After the middle of the nineteenth century, by denying all justice and axiom of Euclidean geometry, all sorts of new geometry, projective geometry, differential geometry which is parallel with non-Euclid geometry and topology which emerged later emerged, in this period geometry possessed infinite and wide development prospects. Thus, using unified view to explain their will become an important task of mathematicians. Klein unified geometry by the thought of the transformation group, but the thought failed to include all of the geometry. Hilbert put forward another way to unify geometry which influenced modern mathematics profoundly. The method that is axiomatic method has gone far beyond the scope of the geometry. Axiomatic method and set theory thought became two big push unified trend of modern mathematics.Key word: The unity of the geometry; Non-Euclid geometry; Axiomatic met十九世纪几何学统一两种途径张俊青18世纪数学发展的主流是微积分学的扩展，它与力学和天文学等应用问题紧密交织在一起，开创了许多数学研究新领域，成为由近代数学向现代数学过渡的重要阶段。