运筹学网络计划胡运权
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11
一、工作时间 t (i, j )
确定型
概率型 缺乏统计来确定完成每个活动所需时间，但对所需时间做 了三种估计： 1.乐观时间。指所需最少时间，用a表示。 2.最可能时间。指正常时间，用m表示。 3.悲观时间。指不顺利情况下，最多时间，用b表示。
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例9.3
活动 乐观时间 最可能时间 悲观时间
2 d[60.80] 20
b[60,105] 45 f[70,88] 18
g[80,110] i[110.135]
4 30 6 25
j[135,170]
7
8
35
e[60.100] 40
h[100,115]
5 15
29
b[60,105]
45[90,135]
f[70,88]
c[60,70] 3
18[117,135]
运筹学--线性规划
42
工序的最快完成时间：指完成时间的最高限度。 我们设完成工序j的正常所需时间为Tj;直接费用为cj;完成工 序j的最快完成时间为T`j,直接费用为c`j。这样我们可以计算出 缩短工序j的一天工期所增加的直接费用，用kj表示，称为直接 费用变动率（成本斜率）。有
kj c`j cj Tj T `j
e，ｆ，ｇ
7
解：虚工序是实际上并不存在而虚设的工序，用来表示相邻工 序的衔接关系，不需要人力、物力等资源与时间。
a
b
1
2
60
15
13 c
3
d 38
图2
5e
8
6
f
4 10
8
在网络图上添加ｇ、ｈ工序得网络图3。
a
2
1 60
b 15
5
e
13 c d
3
4
86
f 10
g
16
h 5
7
38
图3
在统筹方法的网络图中不允许两个点之间多于一条弧，因 此增加了一个点和虚工序如图4。
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运筹学--线性规划
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1. 该工程要求在150天内完工，问每个工序应比正常完工 时间提前多少天完成，才能使整个工程因缩短工期而 增加的直接费用为最少。
2. 如果工期要求在140天完工呢？
b
1a
c3
f
2 d4g
6i
7j
8
e5
h
48
解：设此网络图上第i点发生的时间为xi，工序提前完工的时间为yij。
45
例9.5 例4所提供的信息都作为本例的信息，另外还给出 了在装配过程中各道工序所需正常完工时间与最快完工时 间，以及对应正常完工时间与最快完工时间的所需的直接 费用和每缩短一天工期所需增加的直接费用，如表所示。
46
工序 Tij正常完工
a
60
b
45
c
10
d
20
e
40
f
18
g
30
h
15
i
25
j
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运筹学--线性规划
5
１a ２ b
４e
５
60
15 cd
8
13
38
３
图1
6
例9.2 把例1的工序进度表做一些扩充，如表，请画出 其统筹方法的网络图。
工序代号 所需时间（天） 紧前工序 工序代号
a
60
－
e
b
15
a
f
c
13
a
g
d
38
c
h
所需时间 （天）
8 10 16 5
紧前工序
b，ｄ d d
b
3
0.445 g
4
0.445
c
2
0.111 h
4
0.111
d
2
0.028 i
2
0.028
e
1
0.028
15
二、时间参数
1、最早时间
从网络的发点开始，按顺序计算出每个工序的最早开始时间
（ES )和最早结束时间（EF)
t t
ES ES
(1, (i,
j) j)
0
maxt k
EF
(k,
i)
tEF (i, j) tES (i, j) t(i, j)
TS
(i))
TS
(i)
tE
(i
)
2
2 0.52 1.52 0.8332 1.787
2524.833
P(T 25) 1.787 N (01)dt (0.099) 53.98%
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第三节 网络计划优化
1. 把串联工作改为平行工作或平行交叉工作
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2. 利用时差
总时差不影响最短工期，但影响后续工序的自由时间。 单时差不影响后续工序。
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3.时间-资源优化
做法： 1）优先安排关键工序所需的资源。 2）利用非关键工序的时差，错开各工序的开始时间。 3）适当延长时差大的工序时间，或切断非关键工序进程。
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10[107,117]
a[0,60]
1 2 60[0,60]
d[60.80] 20[60,80]
4 6 7 8 g[80,110] 30[80,110]
i[110.135] 25[110,135]
j[135,170] 35[135,170]
e[60.100] 40[80,120]
5 h[100,115] 15[120,135
用如下公式计算出完成活动所需的：
平均时间 T
a4mb 6
方差
2
(
ba 6
)
2
例如：完成工作g所需平均时间：
Tg
a 4m b 6
3.0 4 3.5 7.0 6
4
同时求出方差为
4 9
14
同样可以求出每个活动的完成所需平均时间及方差
活动 T（平均时间） 方差 活动 T
源自文库方差
a
2
0.028 f
2
0.111
R(i, j) tLF (i, j) tEF (i, j) tLS (i, j) tES (i, j)
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2、单时差 在不影响紧后工序最早开始时间的条件下，工序最早开始（或 结束）的时间可以推迟的时间，成为该工序的单时差r
r(i, j) tES ( j, k) tEF (i, j)
例9.4 某公司装配一条新的生产线，具体过程如表1,求：完成 此工程的最少时间，关键路线及相应的关键工序，各工序的最 早开始时间和非关键工序在不影响工程完成时间的前提下，其 开始时间与结束时间可以推迟多久？
26
工序代号 a b c d e f g h i j
工序内容 生产线设计 外购零配件 下料、锻件 工装制造1 木模、铸件 机械加工1 工装制造2 机械加工2 机械加工3
i[110.135] 25[110,135]
j[135,170] 35[135,170]
e[60.100] 40[80,120]
5 h[100,115] 15[120,135
19
三、时差
1、总时差 在不影响工程最早结束时间的条件下，工序最早开始（或结束） 的时间可以推迟的时间，成为该工序的总时差R
3
第一节 网络图
统筹方法的第一步工作就是绘制计划网络图，也就是将工序 （或称为活动）进度表转换为统筹方法的网络图。
例9.1 某公司研制新产品的部分工序与所需时间以及它们之间的 相互关系都显示在其工序进度表如表所示，请画出其网络计划图。
工序代号
工序内容
a
产品设计与工艺设计
b
外购配套零件
c
外购生产原料
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四、关键工序，关键路线
➢网络中最长的路线就决定了完成整个工程所需的最少 时间，这条路线称为关键路线。 ➢总时差为0的工序为关键工序。
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运筹学--线性规划
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例9-1
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运筹学--线性规划
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运筹学--线性规划
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a b c d e f g h i
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1.5
2.0
2.5
2.0
2.5
6.0
1.0
2.0
3.0
1.5
2.0
2.5
0.5
1.0
1.5
1.0
2.0
3.0
3.0
3.5
7.0
3.0
4.0
5.0
1.5
2.0
2.5
13
显然这三种完成活动所需时间都具有一定概率，由经验，我
们可以可以假定这些时间的概率分布近似服从 分布。我们可以
运筹学
赵明霞 山西大学经济与管理学院
第九章 网络计划
• 网络计划图 • 时间参数的计算 • 网络计划优化
2
统筹方法
通过重组,打乱,优化等手段改变原本的固有办事格式,优化办事效率 的一种办事方法。 一种安排工作进程的数学方法。 它的实用范围极广泛，在企业管理和基本建设中，以及关系复杂的 科研项目的组织与管理中，都可以应用。 我国，是从20世纪60年代开始运用网络计划的，著名数学家华罗庚 教授结合我国实际，在吸收国外网络计划技术理论的基础上，将CPM、 PERT等方法统一定名为统筹法。 统筹方法包括绘制计划网络图、进度安排、网络优化等环节。
43
模型一，在既定的时间T完工的前提下，问各工序的完成时间为 多少才使因缩短工期而增加的直接费用最少。
设工序（i ,j)的提前完工时间为yij,我们用Tij,T`ij分别表示正
常完工时间与最快完工的时间，则有工序（i ,j)的实际完工时
间为：Tij- yij 。我们用Cij,C`ij表示用正常完工时间和最快完成时
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4.工期—成本优化
直接费用：为了加快工程进度，需要增加人力、设备和工作 班次，这需要增加一笔费用，成为直接费用。 间接费用：由于工程早日完工，减少了管理人员的工资办公 费等费用称为间接费用。一般说工序越短，直接费用越多， 间接费用越少。
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工序a的最早 开始时间
工序a的最早 完成时间
a[0，60]
i
60
j
16
例9.4
c[60,70] 3
10
1 2 a[0,60] 60
d[60.80] 20
b[60,105] 45 f[70,88]
18
4 6 g[80,110] i[110.135]
30
25
j[135,170]
7
8
35
e[60.100] 40
i
工序a的最晚 开始时间
a [0，60]
j
工序a的最晚 完成时间
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18
b[60,105]
45[90,135]
f[70,88]
c[60,70] 3
18[117,135]
10[107,117]
a[0,60]
1 2 60[0,60]
d[60.80] 20[60,80]
4 6 7 8 g[80,110] 30[80,110]
装配调试
所需时间（天） 60 45 10 20 40 18 30 15 25 35
紧前工序 / a a a a c d
d, e g b, i, f, h
27
b
45
c3
f 18
10
1
a 60
2
d 20
4
g 30
6
i 25
7j 35
8
e
5h
40
15
28
1 a[0,60] 60
c[60,70] 3 10
d
自制主件
e
主配可靠性试验
所需时间 （天)
60 15 13 38 8
紧前工序
a a c b,d
4
解:用网络图表示上述的工序进度表
➢点表示一个事件,是一个或若干个工序的开始或结束,是相邻工 序在时间上的分界点,点用圆圈表示,圆圈里的数字表示点的编号。
➢弧表示一个工序（或活动），弧的方向是从工序开始指向工序 的结束，弧上是各工序的代号，下面标以完成此工序所需的时间 （或资源）等数据，即为对此弧所赋的权数．
30
最后将各工序的时差，以及其他信息构成工序时间表如表所示。
这样就找到了一条由关键工序a,d,g,i和j依次连接成的从发点到收 点的关键路线。
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完成工序所需时间不确定
例9-2
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运筹学--线性规划
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关键线路 1 3 6 7
P(T
Cij直接费用 T`ij最快完工 C`ij直接费用
10000
60
10000
4500
30
6300
2800
5
4300
7000
10
11000
10000
35
12500
3600
10
5440
9000
20
12500
3750
10
5750
6250
15
9150
12000
35
12000
直接费用变动 率 120 300 400 500 230 350 400 290 -
9
在绘制统筹方法的网络图时，要注意图中不能有缺口和回路。
a
2
1 60
b 15
5
e
13 c
8 f
7
h 5
8
d 3
4
10 g
38
16 6
图4
避免交叉
节点标号：j > i i
j
10
第二节 时间参数的计算
在绘制出网络图之后，我们可以由网络图求出： 1、完成此工程项目所需的最少时间。 2、每个工序的开始时间与结束时间。 3、关键路线及其应用的关键工序。 4、非关键工序在不影响工程的完成时间的前提下，其开始时 间与结束时间可以推迟多久。
间完成工序所需要的费用，kij为工序（i ,j)的直接费用变动率
（成本斜率）。
kij
c`ij cij Tij T `ij
44
方法一：线性规划法
min f kij yij i, j
S.t. xj-xi Tij-yij, 对一切弧（i, j) yij Tij-T`ij, 对一切弧（i, j) xn-x1 T, xi 0， yij 0。
h[100,115]
5 15
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2、最晚时间 从网络的收点开始计算，在不影响整个工程最早结束时间的情
况下，各个工序的最晚结束时间（LF)和最晚开始时间(LS)
t t
LF LF
(i, (i,
n) j)
tEF (i, n)
mint k
LS
(
j,
k
)
tLS (i, j) tLF (i, j) t(i, j)
一、工作时间 t (i, j )
确定型
概率型 缺乏统计来确定完成每个活动所需时间，但对所需时间做 了三种估计： 1.乐观时间。指所需最少时间，用a表示。 2.最可能时间。指正常时间，用m表示。 3.悲观时间。指不顺利情况下，最多时间，用b表示。
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例9.3
活动 乐观时间 最可能时间 悲观时间
2 d[60.80] 20
b[60,105] 45 f[70,88] 18
g[80,110] i[110.135]
4 30 6 25
j[135,170]
7
8
35
e[60.100] 40
h[100,115]
5 15
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b[60,105]
45[90,135]
f[70,88]
c[60,70] 3
18[117,135]
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工序的最快完成时间：指完成时间的最高限度。 我们设完成工序j的正常所需时间为Tj;直接费用为cj;完成工 序j的最快完成时间为T`j,直接费用为c`j。这样我们可以计算出 缩短工序j的一天工期所增加的直接费用，用kj表示，称为直接 费用变动率（成本斜率）。有
kj c`j cj Tj T `j
e，ｆ，ｇ
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解：虚工序是实际上并不存在而虚设的工序，用来表示相邻工 序的衔接关系，不需要人力、物力等资源与时间。
a
b
1
2
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15
13 c
3
d 38
图2
5e
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6
f
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在网络图上添加ｇ、ｈ工序得网络图3。
a
2
1 60
b 15
5
e
13 c d
3
4
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f 10
g
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h 5
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图3
在统筹方法的网络图中不允许两个点之间多于一条弧，因 此增加了一个点和虚工序如图4。
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1. 该工程要求在150天内完工，问每个工序应比正常完工 时间提前多少天完成，才能使整个工程因缩短工期而 增加的直接费用为最少。
2. 如果工期要求在140天完工呢？
b
1a
c3
f
2 d4g
6i
7j
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e5
h
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解：设此网络图上第i点发生的时间为xi，工序提前完工的时间为yij。
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例9.5 例4所提供的信息都作为本例的信息，另外还给出 了在装配过程中各道工序所需正常完工时间与最快完工时 间，以及对应正常完工时间与最快完工时间的所需的直接 费用和每缩短一天工期所需增加的直接费用，如表所示。
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工序 Tij正常完工
a
60
b
45
c
10
d
20
e
40
f
18
g
30
h
15
i
25
j
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运筹学--线性规划
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１a ２ b
４e
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60
15 cd
8
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３
图1
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例9.2 把例1的工序进度表做一些扩充，如表，请画出 其统筹方法的网络图。
工序代号 所需时间（天） 紧前工序 工序代号
a
60
－
e
b
15
a
f
c
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a
g
d
38
c
h
所需时间 （天）
8 10 16 5
紧前工序
b，ｄ d d
b
3
0.445 g
4
0.445
c
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0.111 h
4
0.111
d
2
0.028 i
2
0.028
e
1
0.028
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二、时间参数
1、最早时间
从网络的发点开始，按顺序计算出每个工序的最早开始时间
（ES )和最早结束时间（EF)
t t
ES ES
(1, (i,
j) j)
0
maxt k
EF
(k,
i)
tEF (i, j) tES (i, j) t(i, j)
TS
(i))
TS
(i)
tE
(i
)
2
2 0.52 1.52 0.8332 1.787
2524.833
P(T 25) 1.787 N (01)dt (0.099) 53.98%
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第三节 网络计划优化
1. 把串联工作改为平行工作或平行交叉工作
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2. 利用时差
总时差不影响最短工期，但影响后续工序的自由时间。 单时差不影响后续工序。
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3.时间-资源优化
做法： 1）优先安排关键工序所需的资源。 2）利用非关键工序的时差，错开各工序的开始时间。 3）适当延长时差大的工序时间，或切断非关键工序进程。
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a[0,60]
1 2 60[0,60]
d[60.80] 20[60,80]
4 6 7 8 g[80,110] 30[80,110]
i[110.135] 25[110,135]
j[135,170] 35[135,170]
e[60.100] 40[80,120]
5 h[100,115] 15[120,135
用如下公式计算出完成活动所需的：
平均时间 T
a4mb 6
方差
2
(
ba 6
)
2
例如：完成工作g所需平均时间：
Tg
a 4m b 6
3.0 4 3.5 7.0 6
4
同时求出方差为
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同样可以求出每个活动的完成所需平均时间及方差
活动 T（平均时间） 方差 活动 T
源自文库方差
a
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0.028 f
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R(i, j) tLF (i, j) tEF (i, j) tLS (i, j) tES (i, j)
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2、单时差 在不影响紧后工序最早开始时间的条件下，工序最早开始（或 结束）的时间可以推迟的时间，成为该工序的单时差r
r(i, j) tES ( j, k) tEF (i, j)
例9.4 某公司装配一条新的生产线，具体过程如表1,求：完成 此工程的最少时间，关键路线及相应的关键工序，各工序的最 早开始时间和非关键工序在不影响工程完成时间的前提下，其 开始时间与结束时间可以推迟多久？
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工序代号 a b c d e f g h i j
工序内容 生产线设计 外购零配件 下料、锻件 工装制造1 木模、铸件 机械加工1 工装制造2 机械加工2 机械加工3
i[110.135] 25[110,135]
j[135,170] 35[135,170]
e[60.100] 40[80,120]
5 h[100,115] 15[120,135
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三、时差
1、总时差 在不影响工程最早结束时间的条件下，工序最早开始（或结束） 的时间可以推迟的时间，成为该工序的总时差R
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第一节 网络图
统筹方法的第一步工作就是绘制计划网络图，也就是将工序 （或称为活动）进度表转换为统筹方法的网络图。
例9.1 某公司研制新产品的部分工序与所需时间以及它们之间的 相互关系都显示在其工序进度表如表所示，请画出其网络计划图。
工序代号
工序内容
a
产品设计与工艺设计
b
外购配套零件
c
外购生产原料
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四、关键工序，关键路线
➢网络中最长的路线就决定了完成整个工程所需的最少 时间，这条路线称为关键路线。 ➢总时差为0的工序为关键工序。
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2.0
3.0
1.5
2.0
2.5
0.5
1.0
1.5
1.0
2.0
3.0
3.0
3.5
7.0
3.0
4.0
5.0
1.5
2.0
2.5
13
显然这三种完成活动所需时间都具有一定概率，由经验，我
们可以可以假定这些时间的概率分布近似服从 分布。我们可以
运筹学
赵明霞 山西大学经济与管理学院
第九章 网络计划
• 网络计划图 • 时间参数的计算 • 网络计划优化
2
统筹方法
通过重组,打乱,优化等手段改变原本的固有办事格式,优化办事效率 的一种办事方法。 一种安排工作进程的数学方法。 它的实用范围极广泛，在企业管理和基本建设中，以及关系复杂的 科研项目的组织与管理中，都可以应用。 我国，是从20世纪60年代开始运用网络计划的，著名数学家华罗庚 教授结合我国实际，在吸收国外网络计划技术理论的基础上，将CPM、 PERT等方法统一定名为统筹法。 统筹方法包括绘制计划网络图、进度安排、网络优化等环节。
43
模型一，在既定的时间T完工的前提下，问各工序的完成时间为 多少才使因缩短工期而增加的直接费用最少。
设工序（i ,j)的提前完工时间为yij,我们用Tij,T`ij分别表示正
常完工时间与最快完工的时间，则有工序（i ,j)的实际完工时
间为：Tij- yij 。我们用Cij,C`ij表示用正常完工时间和最快完成时
39
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40
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41
4.工期—成本优化
直接费用：为了加快工程进度，需要增加人力、设备和工作 班次，这需要增加一笔费用，成为直接费用。 间接费用：由于工程早日完工，减少了管理人员的工资办公 费等费用称为间接费用。一般说工序越短，直接费用越多， 间接费用越少。
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工序a的最早 开始时间
工序a的最早 完成时间
a[0，60]
i
60
j
16
例9.4
c[60,70] 3
10
1 2 a[0,60] 60
d[60.80] 20
b[60,105] 45 f[70,88]
18
4 6 g[80,110] i[110.135]
30
25
j[135,170]
7
8
35
e[60.100] 40
i
工序a的最晚 开始时间
a [0，60]
j
工序a的最晚 完成时间
2020/8/8
18
b[60,105]
45[90,135]
f[70,88]
c[60,70] 3
18[117,135]
10[107,117]
a[0,60]
1 2 60[0,60]
d[60.80] 20[60,80]
4 6 7 8 g[80,110] 30[80,110]
装配调试
所需时间（天） 60 45 10 20 40 18 30 15 25 35
紧前工序 / a a a a c d
d, e g b, i, f, h
27
b
45
c3
f 18
10
1
a 60
2
d 20
4
g 30
6
i 25
7j 35
8
e
5h
40
15
28
1 a[0,60] 60
c[60,70] 3 10
d
自制主件
e
主配可靠性试验
所需时间 （天)
60 15 13 38 8
紧前工序
a a c b,d
4
解:用网络图表示上述的工序进度表
➢点表示一个事件,是一个或若干个工序的开始或结束,是相邻工 序在时间上的分界点,点用圆圈表示,圆圈里的数字表示点的编号。
➢弧表示一个工序（或活动），弧的方向是从工序开始指向工序 的结束，弧上是各工序的代号，下面标以完成此工序所需的时间 （或资源）等数据，即为对此弧所赋的权数．
30
最后将各工序的时差，以及其他信息构成工序时间表如表所示。
这样就找到了一条由关键工序a,d,g,i和j依次连接成的从发点到收 点的关键路线。
31
完成工序所需时间不确定
例9-2
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运筹学--线性规划
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关键线路 1 3 6 7
P(T
Cij直接费用 T`ij最快完工 C`ij直接费用
10000
60
10000
4500
30
6300
2800
5
4300
7000
10
11000
10000
35
12500
3600
10
5440
9000
20
12500
3750
10
5750
6250
15
9150
12000
35
12000
直接费用变动 率 120 300 400 500 230 350 400 290 -
9
在绘制统筹方法的网络图时，要注意图中不能有缺口和回路。
a
2
1 60
b 15
5
e
13 c
8 f
7
h 5
8
d 3
4
10 g
38
16 6
图4
避免交叉
节点标号：j > i i
j
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第二节 时间参数的计算
在绘制出网络图之后，我们可以由网络图求出： 1、完成此工程项目所需的最少时间。 2、每个工序的开始时间与结束时间。 3、关键路线及其应用的关键工序。 4、非关键工序在不影响工程的完成时间的前提下，其开始时 间与结束时间可以推迟多久。
间完成工序所需要的费用，kij为工序（i ,j)的直接费用变动率
（成本斜率）。
kij
c`ij cij Tij T `ij
44
方法一：线性规划法
min f kij yij i, j
S.t. xj-xi Tij-yij, 对一切弧（i, j) yij Tij-T`ij, 对一切弧（i, j) xn-x1 T, xi 0， yij 0。
h[100,115]
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2、最晚时间 从网络的收点开始计算，在不影响整个工程最早结束时间的情
况下，各个工序的最晚结束时间（LF)和最晚开始时间(LS)
t t
LF LF
(i, (i,
n) j)
tEF (i, n)
mint k
LS
(
j,
k
)
tLS (i, j) tLF (i, j) t(i, j)