运筹学网络计划胡运权
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复习2运筹学课件胡运权第四版复习要点
动态规划的基本步骤包括：划分阶段、确定状态、状态转移方程、选择最 优解的策略。
动态规划的解法
01
02
03
04
逆推法
从问题的最后阶段开始， 逆向推导每个子问题的 最优解，直到达到初始 阶段。
递推法
从问题的初始阶段开始， 逐步计算每个子问题的 最优解，直到达到最后 阶段。
分治法
将原问题分解为若干个 子问题，先求解子问题， 再合并子问题的解得到 原问题的最优解。
非线性规划
研究非线性目标函数在一定约束条件下的 最优解问题。
02 线性规划
线性规划的基本概念
01
线性规划是运筹学的一个重要分支，主要研究在一定
约束条件下最大化或最小化线性目标函数的问题。
02
线性规划问题具有明确的目标函数、约束条件和决策
变量，且目标函数和约束条件都是线性函数。
03
线性规划问题可以通过几何意义、图解法和单纯形法
方法
概率加权和、敏感性分析等 。
不确定型决策分析
定义
在不确定型决策中，每个方案的结果是不确定的，无 法用概率来描述。
准则
最大可能准则、乐观准则、悲观准则、遗憾值准则等。
方法
后悔值分析、等概率转换等。
效用函数与决策分析
目的
反映决策者对风险的厌恶或偏好程度，帮助 决策者作出更符合其价值观的决策。
效用函数
等方法求解。
线性规划的解法
单纯形法
单纯形法是求解线性规划问题的最常用方法之一，其基 本思想是通过不断迭代寻找最优解。
迭代过程
在单纯形法中，每次迭代都包括两个步骤，即检验步骤 和修正步骤。
ABCD
初始解
在单纯形法中，需要选择一个初始解，然后通过迭代逐 步逼近最优解。
动态规划的解法
01
02
03
04
逆推法
从问题的最后阶段开始， 逆向推导每个子问题的 最优解，直到达到初始 阶段。
递推法
从问题的初始阶段开始， 逐步计算每个子问题的 最优解，直到达到最后 阶段。
分治法
将原问题分解为若干个 子问题，先求解子问题， 再合并子问题的解得到 原问题的最优解。
非线性规划
研究非线性目标函数在一定约束条件下的 最优解问题。
02 线性规划
线性规划的基本概念
01
线性规划是运筹学的一个重要分支，主要研究在一定
约束条件下最大化或最小化线性目标函数的问题。
02
线性规划问题具有明确的目标函数、约束条件和决策
变量，且目标函数和约束条件都是线性函数。
03
线性规划问题可以通过几何意义、图解法和单纯形法
方法
概率加权和、敏感性分析等 。
不确定型决策分析
定义
在不确定型决策中，每个方案的结果是不确定的，无 法用概率来描述。
准则
最大可能准则、乐观准则、悲观准则、遗憾值准则等。
方法
后悔值分析、等概率转换等。
效用函数与决策分析
目的
反映决策者对风险的厌恶或偏好程度，帮助 决策者作出更符合其价值观的决策。
效用函数
等方法求解。
线性规划的解法
单纯形法
单纯形法是求解线性规划问题的最常用方法之一，其基 本思想是通过不断迭代寻找最优解。
迭代过程
在单纯形法中，每次迭代都包括两个步骤，即检验步骤 和修正步骤。
ABCD
初始解
在单纯形法中，需要选择一个初始解，然后通过迭代逐 步逼近最优解。
运筹学胡运权第六章图与网络
即n=k时结论也成立。 综上，n阶树有n-1条边。
（3）任何有n个点、n-1条边的连通图是树。
证明（反证法）： 假设n个点，n-1条边的连通图中有圈，则在该圈中去掉一
条边得到的子图仍连通，若子图仍有圈，则继续在相应圈中去 掉一条边，…，直到得到无圈的连通图，即为树。但是该树有 n个点，边数少于n-1,矛盾！
（2）原理 最短路上任何片段是最短路。
v5
v1
v2
v3
v4
（3）思想 按离出发点s的距离由近至远逐步标出最短距离
Lsi以及最佳行进路线。
பைடு நூலகம்
例 求图中S到T的最短路及最短距离。
A 5 S
5 5
B
5
D
T
C
E
4
（4）步骤 在网络图中求s到t的最短路。
第一步 从s出发，将Lss=0标记在s旁边的方框内 （表示点s已标记）； 第二步 找出与s相邻且距离最小的点，设为r，计算 Lsr=Lss+dsr，并将结果标记在r旁边的方框内（表示点 r已标记），同时标记边sr； 第三步 从已标记的点出发，找出这些点的所有未 标记邻点，分别计算已标记点的方框数与其邻点的距 离之和，利用“叠加最小”的原则确定下一个被标记 点，设为p，并将最小的和标记在p旁边的方框内（表 示点p已标记）,同时标记相应边； 第四步 重复第三步，直到t得到标记为止。
依次下去，vn必然与前面的某个点相邻，图中有圈，矛盾！
注意：树去掉悬挂点和悬挂边后余下的子图还是树。
（2）n阶树（具有n个顶点的树图必有n-1条边。
证明（归纳法）： 当n=2时，显然；
设n=k-1时结论成立。 当n=k时，树至少有一个悬挂点。
去掉该悬挂点和悬挂边，得到一个k-1阶的树，它有 k-2条边，则原k阶树有k-1条边。
（3）任何有n个点、n-1条边的连通图是树。
证明（反证法）： 假设n个点，n-1条边的连通图中有圈，则在该圈中去掉一
条边得到的子图仍连通，若子图仍有圈，则继续在相应圈中去 掉一条边，…，直到得到无圈的连通图，即为树。但是该树有 n个点，边数少于n-1,矛盾！
（2）原理 最短路上任何片段是最短路。
v5
v1
v2
v3
v4
（3）思想 按离出发点s的距离由近至远逐步标出最短距离
Lsi以及最佳行进路线。
பைடு நூலகம்
例 求图中S到T的最短路及最短距离。
A 5 S
5 5
B
5
D
T
C
E
4
（4）步骤 在网络图中求s到t的最短路。
第一步 从s出发，将Lss=0标记在s旁边的方框内 （表示点s已标记）； 第二步 找出与s相邻且距离最小的点，设为r，计算 Lsr=Lss+dsr，并将结果标记在r旁边的方框内（表示点 r已标记），同时标记边sr； 第三步 从已标记的点出发，找出这些点的所有未 标记邻点，分别计算已标记点的方框数与其邻点的距 离之和，利用“叠加最小”的原则确定下一个被标记 点，设为p，并将最小的和标记在p旁边的方框内（表 示点p已标记）,同时标记相应边； 第四步 重复第三步，直到t得到标记为止。
依次下去，vn必然与前面的某个点相邻，图中有圈，矛盾！
注意：树去掉悬挂点和悬挂边后余下的子图还是树。
（2）n阶树（具有n个顶点的树图必有n-1条边。
证明（归纳法）： 当n=2时，显然；
设n=k-1时结论成立。 当n=k时，树至少有一个悬挂点。
去掉该悬挂点和悬挂边，得到一个k-1阶的树，它有 k-2条边，则原k阶树有k-1条边。
运筹学(胡运权第四版及答案)
管理运筹学
主讲：谢先达
2014.09
联系方式 办公室：QL643 87313663 手机： 13600512360 邮箱： xxdhz@
绪
论
绪论
什么是运筹学？
运筹学发展历史 运筹学主要内容 运筹学的基本特征与基本方法
绪论
什么是运筹学？
定义：为决策机构在对其控制下业务活动进行决策 时，提供以数量化为基础的科学方法。
概念：可行解、最优解、最优值
第一章：线性规划及单纯形法
练习：靠近某河流有两个化工厂，流经第一化工厂的河流流量为每天 500万m3，在两个工厂之间有一条流量为每天200万m3支流，第一化工厂每 天排放含有某种有害物质的工业污水2万m3 ，第二化工厂每天排放这种 工业污水1.4万m3 。从第一化工厂排出的工业污水流到第二化工厂以前， 有20%可自净化。根据环保要求，河流中工业污水的含量应不大于0.2%， 这两个工厂都需各自处理一部分工业污水，第一化工厂处理工业污水的 成本是1000元/万m3 。第二化工厂处理污水的的成本是800元/万m3 。现 问在满足环保要求的条件下，每厂各应处理多少工业污水，使这两个工 厂总的处理工业污水费用最小。
-x1+x2+x3 = 4
-2x1+x2-x3 ≤ 6 x1 ≤ 0,x2 ≥ 0, x3取值无约束
第一章：线性规划及单纯形法
线性规划问题及其数学模型 线性规划图解法
单纯形法原理
单纯形法计算步骤
单纯形法的进一步讨论
第一章：线性规划及单纯形法
x2
目标函数： 约束条件： maxz=50x1+100x2 x1+x2≤300 2x1+x2≤400 x2≤250 x1≥0 ，x2≥0
主讲：谢先达
2014.09
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绪
论
绪论
什么是运筹学？
运筹学发展历史 运筹学主要内容 运筹学的基本特征与基本方法
绪论
什么是运筹学？
定义：为决策机构在对其控制下业务活动进行决策 时，提供以数量化为基础的科学方法。
概念：可行解、最优解、最优值
第一章：线性规划及单纯形法
练习：靠近某河流有两个化工厂，流经第一化工厂的河流流量为每天 500万m3，在两个工厂之间有一条流量为每天200万m3支流，第一化工厂每 天排放含有某种有害物质的工业污水2万m3 ，第二化工厂每天排放这种 工业污水1.4万m3 。从第一化工厂排出的工业污水流到第二化工厂以前， 有20%可自净化。根据环保要求，河流中工业污水的含量应不大于0.2%， 这两个工厂都需各自处理一部分工业污水，第一化工厂处理工业污水的 成本是1000元/万m3 。第二化工厂处理污水的的成本是800元/万m3 。现 问在满足环保要求的条件下，每厂各应处理多少工业污水，使这两个工 厂总的处理工业污水费用最小。
-x1+x2+x3 = 4
-2x1+x2-x3 ≤ 6 x1 ≤ 0,x2 ≥ 0, x3取值无约束
第一章：线性规划及单纯形法
线性规划问题及其数学模型 线性规划图解法
单纯形法原理
单纯形法计算步骤
单纯形法的进一步讨论
第一章：线性规划及单纯形法
x2
目标函数： 约束条件： maxz=50x1+100x2 x1+x2≤300 2x1+x2≤400 x2≤250 x1≥0 ，x2≥0
《运筹学》胡运权清华版-8-04最大流
交通规划
在城市交通规划中，最大流问题可以用于解决道路流量分配问题， 优化交通流以减少拥堵和提高通行效率。
电力网络
在电力网络中，最大流问题可以用于确定电力的最优传输方案，以 满足不同地区的需求并降低传输损耗。
05
总与展望
最大流问题的重要性和意义
实际应用
最大流问题在现实世界中具有广 泛的应用，如物流网络、交通调 度和电力传输等领域，解决最大 流问题有助于提高这些系统的效 率和可靠性。
03
最大流问题的求解算法分 析
Ford-Fulkerson算法的时间复杂度分析
算法时间复杂度
Ford-Fulkerson算法的时间复杂度为O(VE^2)，其中V是顶点的数量，E是边 的数量。
原因分析
该算法通过不断寻找增广路径并更新残量值来求解最大流，每次找到增广路径 都需要遍历所有边，而增广路径的数量最多为E，因此总的时间复杂度为 O(VE^2)。
THANKS
感谢观看
流量
在有向图中，每条边都有一个非 负数表示其流量，表示该边实际 传递的流量。
增广路径与Ford-Fulkerson算法
增广路径
在有向图中，从源点出发，经过若干条边和顶点，最后回到源点的路径。
Ford-Fulkerson算法
通过不断寻找增广路径并更新流量值，最终找到最大流的算法。
预流推进算法（Push-Relabel）
理论价值
最大流问题作为运筹学中的经典 问题，具有重要的理论价值，其 研究有助于推动运筹学和组合优 化理论的深入发展。
挑战性
最大流问题是一个NP难问题，具 有很高的计算复杂度，解决该问 题需要设计高效的算法和优化技 术，具有很大的挑战性。
未来研究方向和展望
在城市交通规划中，最大流问题可以用于解决道路流量分配问题， 优化交通流以减少拥堵和提高通行效率。
电力网络
在电力网络中，最大流问题可以用于确定电力的最优传输方案，以 满足不同地区的需求并降低传输损耗。
05
总与展望
最大流问题的重要性和意义
实际应用
最大流问题在现实世界中具有广 泛的应用，如物流网络、交通调 度和电力传输等领域，解决最大 流问题有助于提高这些系统的效 率和可靠性。
03
最大流问题的求解算法分 析
Ford-Fulkerson算法的时间复杂度分析
算法时间复杂度
Ford-Fulkerson算法的时间复杂度为O(VE^2)，其中V是顶点的数量，E是边 的数量。
原因分析
该算法通过不断寻找增广路径并更新残量值来求解最大流，每次找到增广路径 都需要遍历所有边，而增广路径的数量最多为E，因此总的时间复杂度为 O(VE^2)。
THANKS
感谢观看
流量
在有向图中，每条边都有一个非 负数表示其流量，表示该边实际 传递的流量。
增广路径与Ford-Fulkerson算法
增广路径
在有向图中，从源点出发，经过若干条边和顶点，最后回到源点的路径。
Ford-Fulkerson算法
通过不断寻找增广路径并更新流量值，最终找到最大流的算法。
预流推进算法（Push-Relabel）
理论价值
最大流问题作为运筹学中的经典 问题，具有重要的理论价值，其 研究有助于推动运筹学和组合优 化理论的深入发展。
挑战性
最大流问题是一个NP难问题，具 有很高的计算复杂度，解决该问 题需要设计高效的算法和优化技 术，具有很大的挑战性。
未来研究方向和展望
运筹学第八章--图与网络分析-胡运权
运筹学
赵明霞山西大学经济与管理学院
2
第八章 图与网络分析
图与网络的基本概念 树 最短路问题 最大流问题 最小费用最大流问题
3
柯尼斯堡七桥问题
欧拉回路：经过每边且仅一次 厄尼斯堡七桥问题、邮路问题哈密尔顿回路：经过每点且仅一次 货郎担问题、快递送货问题
例8-9
28
基本步骤标号T(j)→P(j)
29
2017/10/26
30
最长路问题例8-10（7-9）设某台新设备的年效益及年均维修费、更新净费用如表。试确定今后5年内的更新策略，使总收益最大。
役龄项目
0
1
2
3
4
5
效益vk(t)
5
4.5
4
3.75
3
2.5
14
15
柯尼斯堡七桥问题
欧拉回路：经过每边且仅一次 厄尼斯堡七桥问题、邮路问题 充要条件：无向图中无奇点，有向图每个顶点出次等于入次
16
第二节 树
树是图论中的重要概念，所谓树就是一个无圈的连通图。
图8-4中，(a)就是一个树，而(b)因为图中有圈所以就不是树， (c)因为不连通所以也不是树。
7
G=(V,E)关联边(m)：ei端（顶）点(n)：vi, vj点相邻(同一条边)： v1, v3边相邻(同一个端点)：e2, e3环：e1多重边： e4, e5
8
简单图：无环无多重边
多重图：多重边
9
完全图：每一对顶点间都有边（弧）相连的简单图
10
次（d）：结点的关联边数目d(v3)=4，偶点d(v2)=3，奇点d(v1)=4d(v4)=1，悬挂点e6, 悬挂边d(v5)=0，孤立点
（一）线性(整数)规划法
赵明霞山西大学经济与管理学院
2
第八章 图与网络分析
图与网络的基本概念 树 最短路问题 最大流问题 最小费用最大流问题
3
柯尼斯堡七桥问题
欧拉回路：经过每边且仅一次 厄尼斯堡七桥问题、邮路问题哈密尔顿回路：经过每点且仅一次 货郎担问题、快递送货问题
例8-9
28
基本步骤标号T(j)→P(j)
29
2017/10/26
30
最长路问题例8-10（7-9）设某台新设备的年效益及年均维修费、更新净费用如表。试确定今后5年内的更新策略，使总收益最大。
役龄项目
0
1
2
3
4
5
效益vk(t)
5
4.5
4
3.75
3
2.5
14
15
柯尼斯堡七桥问题
欧拉回路：经过每边且仅一次 厄尼斯堡七桥问题、邮路问题 充要条件：无向图中无奇点，有向图每个顶点出次等于入次
16
第二节 树
树是图论中的重要概念，所谓树就是一个无圈的连通图。
图8-4中，(a)就是一个树，而(b)因为图中有圈所以就不是树， (c)因为不连通所以也不是树。
7
G=(V,E)关联边(m)：ei端（顶）点(n)：vi, vj点相邻(同一条边)： v1, v3边相邻(同一个端点)：e2, e3环：e1多重边： e4, e5
8
简单图：无环无多重边
多重图：多重边
9
完全图：每一对顶点间都有边（弧）相连的简单图
10
次（d）：结点的关联边数目d(v3)=4，偶点d(v2)=3，奇点d(v1)=4d(v4)=1，悬挂点e6, 悬挂边d(v5)=0，孤立点
（一）线性(整数)规划法
运筹学胡运权第五版课件
运筹学胡运权第五 版课件大纲
单击此处添加副标题
汇报人：
目录
添加目录项标题 运筹学基础知识 整数规划 图论与网络优化
课件概览 线性规划 动态规划
01
添加章节标题
02
课件概览
课件简介
课程名称：运筹学胡运权第五版课件 课程内容：包括线性规划、非线性规划、整数规划、动态规划、图与网络优化等 课程目标：帮助学生掌握运筹学的基本理论和方法提高分析和解决问题的能力 课程特点：理论与实践相结合注重案例分析和实际问题的解决
最小生成树问题：在无向图中寻找最小生 成树
最大流问题：在流网络中寻找最大流
最小费用流问题：在流网络中寻找最小费 用流
网络可靠性问题：评估网络可靠性提高网 络稳定性
网络优化算法：如Dijkstr算法、Floyd算 法、Kruskl算法等
网络优化算法
最短路径算 法：Dijkstr
算法、 Floyd算法
等
图论与网络优化应用案例
物流网络优化：通过图论方 法优化物流网络降低物流成 本
社交网络优化：通过图论方 法优化社交网络提高社交网
络的稳定性和可靠性
交通网络优化：通过图论方 法优化交通网络提高交通效 率
电力网络优化：通过图论方 法优化电力网络提高电力系
统的稳定性和可靠性
感谢观看
汇报人：
课件结构
• 运筹学概述 • 线性规划 • 非线性规划 • 动态规划 • 随机规划 • 决策分析 • 网络规划 • 排队论 • 库存论 • 博弈论 • 运筹学应用案例 • 运筹学发展前景 • 运筹学与其他学科的关系 • 运筹学学习方法与技巧
课件特点
内容全面：涵盖了运筹学的基本概念、理论和方法 结构清晰：按照章节进行划分便于理解和掌握 实例丰富：提供了大量的实例和案例便于理解和应用 习题丰富：提供了大量的习题和练习便于巩固和提高
单击此处添加副标题
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目录
添加目录项标题 运筹学基础知识 整数规划 图论与网络优化
课件概览 线性规划 动态规划
01
添加章节标题
02
课件概览
课件简介
课程名称：运筹学胡运权第五版课件 课程内容：包括线性规划、非线性规划、整数规划、动态规划、图与网络优化等 课程目标：帮助学生掌握运筹学的基本理论和方法提高分析和解决问题的能力 课程特点：理论与实践相结合注重案例分析和实际问题的解决
最小生成树问题：在无向图中寻找最小生 成树
最大流问题：在流网络中寻找最大流
最小费用流问题：在流网络中寻找最小费 用流
网络可靠性问题：评估网络可靠性提高网 络稳定性
网络优化算法：如Dijkstr算法、Floyd算 法、Kruskl算法等
网络优化算法
最短路径算 法：Dijkstr
算法、 Floyd算法
等
图论与网络优化应用案例
物流网络优化：通过图论方 法优化物流网络降低物流成 本
社交网络优化：通过图论方 法优化社交网络提高社交网
络的稳定性和可靠性
交通网络优化：通过图论方 法优化交通网络提高交通效 率
电力网络优化：通过图论方 法优化电力网络提高电力系
统的稳定性和可靠性
感谢观看
汇报人：
课件结构
• 运筹学概述 • 线性规划 • 非线性规划 • 动态规划 • 随机规划 • 决策分析 • 网络规划 • 排队论 • 库存论 • 博弈论 • 运筹学应用案例 • 运筹学发展前景 • 运筹学与其他学科的关系 • 运筹学学习方法与技巧
课件特点
内容全面：涵盖了运筹学的基本概念、理论和方法 结构清晰：按照章节进行划分便于理解和掌握 实例丰富：提供了大量的实例和案例便于理解和应用 习题丰富：提供了大量的习题和练习便于巩固和提高
《运筹学》胡运权清华版-9-03网络计划的优化
44
20
18 19 2
15
0
10
9 5
5
1
0
(人数)
按时差将工作排序
(天数)
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
9
6
7
5
1
1
2
3
5
6
3
44
20
18
15
10
5 0
(人数)
19 工作2 (1,2) , 总时差0，编为1#
工作0 (1,49) , 总时差1，编为2# 工作(1,6) , 总时5 差7，编为1 3#
24
18 6 T=64(天)
18
③ 总直接费用 478＋10×1=488(百元)
间接费用 180 -33=147(百元)
总费用
488 ＋147=635(百元)
第二次调整
①，
1246 1346
同时缩短
(1,3), (1,2) 同时缩小 2.5+1=3.5 可选方案： (1,3), (2,4) 同时缩小 1+2=3
按时差将工作排序
(天数)
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 119 Nhomakorabea6
7
5
1
1
2
3假设：已进行5中非关键工作 6
3
4 不4允许中断
工作(1,4) , 总时差1，编为1#
20
19 20
18
工作(2,3) , 总时差0，编为2#
15
10
9
工作(1,6) ,5总时差5，编为3#
5
1
0
第二次调整结果
总费用
634.4(百元)
图与网络分析 胡运权 第四版 运筹学PPT课件
4
3.关联与相邻
❖关联（边与点的关系）：若e是v1、v2两点间
的边，记e=[v1，v2 ]，称v1、v2 与e关联。
v1
e
v2
❖相邻（有公共边，称点v1与v2相邻；
边e1与e2 有公共点，称边e1与e2相邻。
e1
V2
V1
e2
V3
5
4. 链、圈与连通图
■链:由图G中的某些点与边相间构成的序列 {V1,e1,V2,e2, ……,Vk,ek},若满足 ei=[Vi, Vi ],则称此
（4）A={v1,v2,v4}
[0,v1]
[2,v1]
2
6
v1
v2
v3
1 [1,v1]10
5
9
3
v4
7
v5
6
5
2
3
4
v6
v7
4
[3,v1]
v8 8
考虑边（v1,v6),(v2,v3),(v2,v5),(v4,v7)
计算min { 0+3, 2+6, 2+5, 1+2}=min {3,8,7,3}=3
70
费用、容量等），则称这样 1
4
的图为网络图。
20
45
3
4.2 最小支撑树问题
C1 根
C2
C3
C4
叶
❖树：无圈的连通图，记为T。
8
❖树的性质
■ 树中任意两个节点间有 且只有一条链。
2
3
1
5
4
■ 在树中任意去掉一条边， 1
则不连通。
2
3
5
4
■如果树T有m个结点，则 边的个数为m-1。
3.关联与相邻
❖关联（边与点的关系）：若e是v1、v2两点间
的边，记e=[v1，v2 ]，称v1、v2 与e关联。
v1
e
v2
❖相邻（有公共边，称点v1与v2相邻；
边e1与e2 有公共点，称边e1与e2相邻。
e1
V2
V1
e2
V3
5
4. 链、圈与连通图
■链:由图G中的某些点与边相间构成的序列 {V1,e1,V2,e2, ……,Vk,ek},若满足 ei=[Vi, Vi ],则称此
（4）A={v1,v2,v4}
[0,v1]
[2,v1]
2
6
v1
v2
v3
1 [1,v1]10
5
9
3
v4
7
v5
6
5
2
3
4
v6
v7
4
[3,v1]
v8 8
考虑边（v1,v6),(v2,v3),(v2,v5),(v4,v7)
计算min { 0+3, 2+6, 2+5, 1+2}=min {3,8,7,3}=3
70
费用、容量等），则称这样 1
4
的图为网络图。
20
45
3
4.2 最小支撑树问题
C1 根
C2
C3
C4
叶
❖树：无圈的连通图，记为T。
8
❖树的性质
■ 树中任意两个节点间有 且只有一条链。
2
3
1
5
4
■ 在树中任意去掉一条边， 1
则不连通。
2
3
5
4
■如果树T有m个结点，则 边的个数为m-1。
运筹学(胡运权第三版)第四章目标规划
出
目
例4-2 假设计划人员被要求考虑如下意见：
标
(1) 由于产品Ⅱ销售疲软，故希望产品Ⅱ的产量 不超过产品Ⅰ的一半；
规
(2) 原材料严重短缺，生产中应避免过量消耗； (3) 最好能节约4h设备工时；
划
(4) 计划利润不少于48元。
计划人员需要会同有关各方作进一步的协调，
问
最后达成了一致意见： 原材料使用限额不得
三种基本表达式：
的
①要求恰好达到目标值，即正、负偏差变量都要尽 可能地小
数
min{f(d++d-)} 或者 minz = f(d++d-)
学
②要求不超过目标值，即允许达不到目标值，就是 正偏差变量要尽可能地小
模
min{f(d+)} 或者 minz = f(d+) ③要求不低于目标值，但允许超过目标值，即超过
目 标 规 划 的 图 解 法
目 标 规 划 的 图 解 法
△OAB区域是满足绝对约束和非负条件的解空 间。对于所有目标约束，去掉偏差变量，画出相 应直线，然后标出偏差变量变化时直线平移方向， 见图所示。
规
会使成本大幅度增加； (3) 应尽可能充分利用设备台时，但不希望加班；
划
(4) 应尽可能达到并超过计划利润指标56元。
的
在单目标规划问题的基础上，决策者在原材
案
料受严格限制的条件下考虑：首先是产品Ⅱ 的产量不低于产品Ⅰ的产量；其次是充分利
例
用设备有效台时，不加班；再次是利润额不 小于56元。求决策方案。
目标规划数学模型的一般形式：
目
标
规
划
的
数
学
模 型
运筹学学习题(胡运权版)
某工厂生产I、II、III三种产品，分别经过A、B、C三种设备 加工。已知生产单位各种产品所需的设备台时、设备的现 有加工能力及每件产品的预期利润见下表：
A B C 单位利润（元） I 1 10 2 10 II 1 4 2 6 III 1 5 6 4 设备能力（台时） 100 600 300
(1)求获利最大的产品生产计划； (2)产品III每件的利润增加到多大时才值得安排生产； (3)如有一种新产品，加工一件需设备A、B、C的台时各为1， 4，3小时，预期每件的利润为8元，是否值得安排生产。 14
ci b
i
xB
x1 x m x m 1 x n
1 0 0 1 a1, m 1 a m , m 1 a1n amn
n
i
1
Hale Waihona Puke c1 cmx1 xm
m
检验数
z cib cB B b
练习2：
已知下列线性规划问题，求： （1）用单纯形法求解，并指出问题属于哪一类解； （2）写出该问题的对偶问题，并求出对偶问题的最优解；
m a xz 6 x1 3 x 2 3 x 3 3 x1 x 2 x 3 6 0 2 x1 2 x 2 4 x 3 2 0 s .t . 3 x1 3 x 2 3 x 3 6 0 x , x , x 0 1 2 3
x4
1 0 0 0 1 0 0 0 5/3 -2/3 -2
x5
0 1 0 0 -0.1 0.1 -0.2 -1 -1/6 1/6 0
x6
0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0
100 60 150 200/3 150 150
A B C 单位利润（元） I 1 10 2 10 II 1 4 2 6 III 1 5 6 4 设备能力（台时） 100 600 300
(1)求获利最大的产品生产计划； (2)产品III每件的利润增加到多大时才值得安排生产； (3)如有一种新产品，加工一件需设备A、B、C的台时各为1， 4，3小时，预期每件的利润为8元，是否值得安排生产。 14
ci b
i
xB
x1 x m x m 1 x n
1 0 0 1 a1, m 1 a m , m 1 a1n amn
n
i
1
Hale Waihona Puke c1 cmx1 xm
m
检验数
z cib cB B b
练习2：
已知下列线性规划问题，求： （1）用单纯形法求解，并指出问题属于哪一类解； （2）写出该问题的对偶问题，并求出对偶问题的最优解；
m a xz 6 x1 3 x 2 3 x 3 3 x1 x 2 x 3 6 0 2 x1 2 x 2 4 x 3 2 0 s .t . 3 x1 3 x 2 3 x 3 6 0 x , x , x 0 1 2 3
x4
1 0 0 0 1 0 0 0 5/3 -2/3 -2
x5
0 1 0 0 -0.1 0.1 -0.2 -1 -1/6 1/6 0
x6
0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0
100 60 150 200/3 150 150
运筹学第九章网络计划胡运权
b
3
0.445 g
4
0.445
c
2
0.111 h
4
0.111
d
2
0.028 i
2
0.028
e
1
0.028
15
二、时间参数
1、最早时间
从网络的发点开始，按顺序计算出每个工序的最早开始时间
（ES )和最早结束时间（EF)
ttEESS
(1, (i,
j) j)
0
maxt k
EF
(k , i)
tEF (i, j) tES (i, j) t(i, j)
运筹学--线性规划
25
例9.4 某公司装配一条新的生产线，具体过程如表1,求：完成 此工程的最少时间，关键路线及相应的关键工序，各工序的最 早开始时间和非关键工序在不影响工程完成时间的前提下，其 开始时间与结束时间可以推迟多久？
26
工序代号 a b c d e f g h i j
工序内容 生产线设计 外购零配件 下料、锻件 工装制造1 木模、铸件 机械加工1 工装制造2 机械加工2 机械加工3
9
在绘制统筹方法的网络图时，要注意图中不能有缺口和回路。
a
2
1 60
b 15
5
e
13 c
8 f
7
h 5
8
d 3
4
10 g
38
16 6
图4
避免交叉
节点标号：j > i i
j
10
第二节 时间参数的计算
在绘制出网络图之后，我们可以由网络图求出： 1、完成此工程项目所需的最少时间。 2、每个工序的开始时间与结束时间。 3、关键路线及其应用的关键工序。 4、非关键工序在不影响工程的完成时间的前提下，其开始时 间与结束时间可以推迟多久。
《运筹学》胡运权清华版-3-02表上作业法
最大元素法
总结词
与最小元素法相反，最大元素法选择运价表中的最大元素作为初始方案。
详细描述
最大元素法的基本思想是从运价表中寻找最大的元素，并将其确定为初始方案。在运价表中，最大的 元素可能是运输量最大的货物或运输距离最长的路线。这种方法可能会优先考虑大货物或长距离运输 ，但同样可能不是最优解，因为它没有考虑到整个运输网络的整体优化。
100%
稳定性
最优解应该是相对稳定的，即在 微小扰动下不会发生大的变化。
80%
可行性
最优解必须满足实际操作的可行 性，如运输量不能超过供应量和 需求量。
迭代终止条件
达到最大迭代次数
可以设定一个最大迭代次数， 当达到该次数时终止迭代。
运输成本收敛
如果连续几次迭代的运输成本 变化很小，可以认为已经收敛 ，终止迭代。
03
方案的调整
闭回路法
要点一
总结词
通过检查闭回路来调整方案，以使运输费用最小化。
要点二
详细描述
闭回路法是一种常用的运输方案调整方法。在运输问题中 ，如果发现某个产地的供应量大于需求量，或者某个销地 的需求量大于供应量，就可以通过构建闭回路来调整运输 方案。具体来说，就是在供需不平衡的地点之间构建一个 闭回路，将多余的供应量或不足的需求量通过闭回路进行 调整，以使运输费用最小化。
适用于解决产销平衡和产销不平衡的运输问题，特别是当运输问 题规模较大时，使用表上作业法可以快速找到最优解。
表上作业法的应用场景
物流规划
在物流规划中，表上作业法可以用于解决货物运输 的最优路径、运输成本等问题。
资源配置
在资源分配问题中，表上作业法可以用于确定资源 的最优调配方案，以最小成本满足需求。
网络最大流问题__运筹学__胡运权__清华大学出版社
.
v1
vs
vt
v2 （2，2） v3
（1）所有的截集： ①VA={vs}，截集为{(vs,v1), (vs,v2)}，截量为：6
②VA={vs ,v1}，截集为{(vs,v2), (v1,vt)}，截量为：7
③VA={vs ,v2}，截集为{……}，截量为：7
④VA={vs ,v3}，截集为{……}，截量为：12 ⑤VA={vs ,v1,v2}，截集为{……}，截量为：5
52
v4
3 2
1 5
3 3
6 3 v5
.
11 6
v6
2 17
2. 增广链
f为一可行流，u为vs至vt的链，令 u+={正向弧}， u-={反向弧}。若u+中弧
皆非饱，且u-中弧皆非零，则称u为关于f的
一条增广链。
10 5 v2
v1
4
1 8
3
v3
52
v4
3 2
1 5
3 3
6 3 v5 .
11 6
v6
vt已标号，得到一条增广链u(反向追踪)，转（5）； vt未标号,且无法再标号,此时的流为最大流,此时的截集为最小截。
[-v1, 1]v2 （4,3）
v4[v2 , 1]
Vs
[0 , +∞]
（2,2）
[vs, 4]v1
v3
Vt
V3
(4) 重复（2）,（3），依次进行的结局可能为
vt已标号，得到一条增广链u(反向追踪)，转（5）； vt未标号,且无法再标号,此时的流为最大流,此时的截集为最小截。
网络最大流问题—标号法
1.标号过程
2.调整过程 利用反向追踪法找出增广链。调整量为
v1
vs
vt
v2 （2，2） v3
（1）所有的截集： ①VA={vs}，截集为{(vs,v1), (vs,v2)}，截量为：6
②VA={vs ,v1}，截集为{(vs,v2), (v1,vt)}，截量为：7
③VA={vs ,v2}，截集为{……}，截量为：7
④VA={vs ,v3}，截集为{……}，截量为：12 ⑤VA={vs ,v1,v2}，截集为{……}，截量为：5
52
v4
3 2
1 5
3 3
6 3 v5
.
11 6
v6
2 17
2. 增广链
f为一可行流，u为vs至vt的链，令 u+={正向弧}， u-={反向弧}。若u+中弧
皆非饱，且u-中弧皆非零，则称u为关于f的
一条增广链。
10 5 v2
v1
4
1 8
3
v3
52
v4
3 2
1 5
3 3
6 3 v5 .
11 6
v6
vt已标号，得到一条增广链u(反向追踪)，转（5）； vt未标号,且无法再标号,此时的流为最大流,此时的截集为最小截。
[-v1, 1]v2 （4,3）
v4[v2 , 1]
Vs
[0 , +∞]
（2,2）
[vs, 4]v1
v3
Vt
V3
(4) 重复（2）,（3），依次进行的结局可能为
vt已标号，得到一条增广链u(反向追踪)，转（5）； vt未标号,且无法再标号,此时的流为最大流,此时的截集为最小截。
网络最大流问题—标号法
1.标号过程
2.调整过程 利用反向追踪法找出增广链。调整量为
运筹学之目标计划(胡运权版)
第七章 目标规划 §1 目标规划的提出线性规划问题是讨论一个给定的线性目标函数在一组线性约束条件下的最大值或最小值问题。
对于一个实际问题，管理科学者根据管理层决策目标的要求，首先确定一个目标函数以衡量不同决策的优劣，且根据实际问题中的资源、资金和环境等因素对决策的限制提出相应的约束条件以建立线性规划模型；然后用计算机软件求出最优方案并作灵敏度分析以供管理层决策之用。
而在一些问题中，决策目标往往不只一个，且模型中有可能存在一些互相矛盾的约束条件的情况，用已有的线性规划的理论和方法无法解决这些问题。
因此，1961年美国学者查恩斯（A.Charnes ）和库柏（W.W.Coopor ）提出了目标规划的概念与数学模型，以解决经济管理中的多目标决策问题。
我们将通过几个例子来说明在实际应用中线性规划存在一系列的局限性。
例1 某厂生产A 、B 两种产品每件所需的劳动力分别为4个人工和6个人工，所需设备的单位台时均为1。
已知该厂有10个单位机器台时提供制造这两种产品，并且至少能提供70个人工。
又，A 、B 产品的利润，每件分别为300元和500元。
试问：该厂各应生产多少件A 、B 产品，才能使其利润值最大？解 设该厂能生产A 、B 产品的数量分别为12,x x 件，则有121212max 30050010..46700, 1,2.jz x x x x s t x x x j =+⎧+≤⎪+≥⎨⎪≥=⎩ 图解法求解如下：由上图可得，满足约束条件的可行解集为∅，即机时约束和人工约束之间产生矛盾，因而该问题无解。
但在实际中，该厂要增加利润，不可能不生产A 、B 两种产品，而由线性规划模型无法为其找到一个合适的方案。
例2 某厂为进行生产需采购A 、B 两种原材料，单价分别为70元/公斤和50元/公斤。
现要求购买资金不超过5000元，总购买量不少于80公斤，而A 原材料不少于20公斤。
问如何确定最好的采购方案（即花掉的资金最少，购买的总量最大）？解 这是一个含有两个目标的数学规划问题。
《运筹学》胡运权清华版时间参数计算
(8,9) 5
(9,10) 1
工作 (1,2)
t(i,j) tES tEF tLS tLF R 404
r CP
(1,7) 10
(2,3) 6
(2,4) 3
表
(3,4) 8
算
(4,5) 2
法
(5,6) 3
(6,7) 0
(6,9) 2
(7,8) 2
(7,9) 8
(8,9) 5
(9,10) 1
工作 (1,2)
(1,7) 10 0 10
(2,3) 6 4 10
(2,4) 3 4 7
表
(3,4) 8 10 18
算
(4,5) 2 18 20
法
(5,6) 3 20 23
(6,7) 0 23 23
(6,9) 2 23 25
(7,8) 2 23 25
26
(7,9) 8 23 31 23 31
(8,9) 5 25 30 26 31
1 、工作的最早可能开始时间（用tES表示） 与工作的最早可能完成时间（用tEF表示）
t t
ES ES
(1, (i,
j) j)
0
maxt k
ES
(k,
i)
t(k,
i)
tEF (i, j) tES (i, j) t(i, j)
2、 工作的最迟必须开始时间（用tLS表示） 与工作的最迟必须完成时间（用tLF表示）
(7,9) 8 23 31
(8,9) 5 25 30 26 31
(9,10) 1 31 32 31 32
工作 (1,2)
t(i,j) tES tEF tLS tLF R 404
《运筹学》胡运权清华版-1-07其他应用例子
实例
某汽车制造企业需要根据市场需求预测制定年度生产计划，考虑不同车 型、不同零部件的供应和生产成本，制定出最优的生产计划，以最大化 利润。
生产-库存问题
总结词
生产-库存问题研究如何确定最佳的库存策略，以平衡生产和库存成本，避免缺货或过度 库存。
详细描述
生产-库存问题需要考虑生产能力、市场需求、产品生命周期、库存持有成本等因素，通 过建立数学模型和优化算法，确定最佳的库存水平、补货时机和补货量。
03
分配问题
指派问题
总结词
指派问题是一种常见的分配问题，它涉及到如何将一组任务分配给一组人员， 使得总成本最小化。
详细描述
指派问题通常涉及到一组任务和一组人员，每个任务需要由一个特定的人员来 完成，而每个人员完成特定任务的成本是已知的。目标是最小化总成本。
背包问题
总结词Байду номын сангаас
背包问题是一种常见的优化问题，它 涉及到如何在满足某些约束条件下， 将一组物品装入一个容量有限的背包， 使得背包中物品的总价值最大。
旅行商问题（TSP）
旅行商问题是指一个旅行商需要 访问一系列城市并返回出发城市， 如何规划最短或最优的旅行路线
的问题。
TSP是NP难问题，具有广泛的应 用背景，如物流配送、路线规划、
市场营销等。
解决TSP需要考虑的因素包括： 城市之间的距离、道路状况、交 通限制等，并需要采用启发式算
法或近似算法进行求解。
详细描述
最大/最小化问题通常涉及到一组约束 条件和一个目标函数。目标是在满足 约束条件下，找到一个变量的值，使 得目标函数达到最大或最小值。
04
投资决策问题
设备更新问题
总结词
设备更新问题是指企业在运营过程中，需要定期或不定期地更新设备，以保持生产效率和产品质量。
某汽车制造企业需要根据市场需求预测制定年度生产计划，考虑不同车 型、不同零部件的供应和生产成本，制定出最优的生产计划，以最大化 利润。
生产-库存问题
总结词
生产-库存问题研究如何确定最佳的库存策略，以平衡生产和库存成本，避免缺货或过度 库存。
详细描述
生产-库存问题需要考虑生产能力、市场需求、产品生命周期、库存持有成本等因素，通 过建立数学模型和优化算法，确定最佳的库存水平、补货时机和补货量。
03
分配问题
指派问题
总结词
指派问题是一种常见的分配问题，它涉及到如何将一组任务分配给一组人员， 使得总成本最小化。
详细描述
指派问题通常涉及到一组任务和一组人员，每个任务需要由一个特定的人员来 完成，而每个人员完成特定任务的成本是已知的。目标是最小化总成本。
背包问题
总结词Байду номын сангаас
背包问题是一种常见的优化问题，它 涉及到如何在满足某些约束条件下， 将一组物品装入一个容量有限的背包， 使得背包中物品的总价值最大。
旅行商问题（TSP）
旅行商问题是指一个旅行商需要 访问一系列城市并返回出发城市， 如何规划最短或最优的旅行路线
的问题。
TSP是NP难问题，具有广泛的应 用背景，如物流配送、路线规划、
市场营销等。
解决TSP需要考虑的因素包括： 城市之间的距离、道路状况、交 通限制等，并需要采用启发式算
法或近似算法进行求解。
详细描述
最大/最小化问题通常涉及到一组约束 条件和一个目标函数。目标是在满足 约束条件下，找到一个变量的值，使 得目标函数达到最大或最小值。
04
投资决策问题
设备更新问题
总结词
设备更新问题是指企业在运营过程中，需要定期或不定期地更新设备，以保持生产效率和产品质量。
运筹学课程07-动态规划(胡运权 清华大学)
u k , ,u n
Vk ,n (sk , uk , sk 1 , uk 1 , , sn1 )
可递推
k [ sk , uk , Vk 1, n ( sk 1 , uk 1 , , sn 1 )]
指标函数形式: 和、 积
NEUQ
原过程的一个后部子过程： 对于任意给定的k（1 ≤ k≤n），从第k段到第n段的过 程称为原过程的一个后部子过程
阶段4
本阶段始点 （状态） D1 D2 本阶段各终点（决策） E 10 6 10 6 到E的最短距离 本阶段最优终点 （最优决策) E E
NEUQ
分析得知：从D1 和 D2 到E的最短路径唯一。
NEUQ
第三阶段：有三个始点C1，C2，C3，终点有D1，D2，对始点 和终点进行分析和讨论分别求C1，C2，C3到D1，D2 的最短路 径问题：
NEUQ
动态规划 Dynamic Programming
不要过河拆桥 追求全局最优
本章内容
多阶段决策过程的最优化 动态规划的基本概念和基本原 理 动态规划方法的基本步骤 动态规划方法应用举例
NEUQ
NEUQ
一、多阶段决策过程的最优化
示例1（工厂生产安排）：
某种机器可以在高、低两种负荷下生产。高负荷生产
NEUQ
示例3 （连续生产过程的控制问题）：
一般化工生产过程中，常包含一系列完成
生产过程的设备，前一工序设备的输出则是后
一工序设备的输入，因此，应该如何根据各工
序的运行工况，控制生产过程中各设备的输入 和输出，以使总产量最大。
示例4、最短路径问题
NEUQ
给定一个交通网络图如下，其中两点之间的数字表示距离 （或花费），试求从A点到G点的最短距离（总费用最小）。
Vk ,n (sk , uk , sk 1 , uk 1 , , sn1 )
可递推
k [ sk , uk , Vk 1, n ( sk 1 , uk 1 , , sn 1 )]
指标函数形式: 和、 积
NEUQ
原过程的一个后部子过程： 对于任意给定的k（1 ≤ k≤n），从第k段到第n段的过 程称为原过程的一个后部子过程
阶段4
本阶段始点 （状态） D1 D2 本阶段各终点（决策） E 10 6 10 6 到E的最短距离 本阶段最优终点 （最优决策) E E
NEUQ
分析得知：从D1 和 D2 到E的最短路径唯一。
NEUQ
第三阶段：有三个始点C1，C2，C3，终点有D1，D2，对始点 和终点进行分析和讨论分别求C1，C2，C3到D1，D2 的最短路 径问题：
NEUQ
动态规划 Dynamic Programming
不要过河拆桥 追求全局最优
本章内容
多阶段决策过程的最优化 动态规划的基本概念和基本原 理 动态规划方法的基本步骤 动态规划方法应用举例
NEUQ
NEUQ
一、多阶段决策过程的最优化
示例1（工厂生产安排）：
某种机器可以在高、低两种负荷下生产。高负荷生产
NEUQ
示例3 （连续生产过程的控制问题）：
一般化工生产过程中，常包含一系列完成
生产过程的设备，前一工序设备的输出则是后
一工序设备的输入，因此，应该如何根据各工
序的运行工况，控制生产过程中各设备的输入 和输出，以使总产量最大。
示例4、最短路径问题
NEUQ
给定一个交通网络图如下，其中两点之间的数字表示距离 （或花费），试求从A点到G点的最短距离（总费用最小）。
运筹学教案课程胡运权版
《绪论》（2课时）【教学流程图】举例引入，绪论运筹学运筹学与数学模型的基本概念管理学课堂练习课堂小结布置作业【教学方法】本课主要采用任务驱动和程序式思维相结合的教学方法，过程当中辅以案例讲解、启发提问、自主学习和协作学习等方式。
任务驱动是实现本课教学目标和完成教学内容的主要方法，任务是师生活动内容的核心，在教学过程中，任务驱动被多次利用。
自主学习能提高学生的自主探究能力，竞赛和协作学习调动学生的积极性，激发学生参与的热情。
学生之间互帮互助，共同分享劳动果实，从而激发了学生的团队意识，达到理想的教学效果。
【教学内容】一、教学过程：（一）举例引入：（5分钟）（1）齐王赛马的故事（2）两个囚犯的故事导入提问：什么叫运筹学？（二）新课：绪论一、运筹学的基本概念（用实例引入）例1-1战国初期，齐国的国王要求田忌和他赛马，规定各人从自己的上马、中马、下马中各选一匹马来比赛，并且说好每输一匹马就得支付一千两银子给予获胜者。
当时齐王的马比田忌的马强，结果每年田忌都要输掉三千两银子。
但孙膑给田忌出主意，可使田忌反输为赢。
试问：如果双方都不对自己的策略保密，当齐王先行动时，哪一方会赢？赢多少？反之呢？例1-2有甲乙两个囚犯正被隔离审讯，若两人都坦白，则每人判入狱8年；若两个人都抵赖，则每人判入狱1年；若只有一人坦白，则他初释放，但另一罪犯被判刑10年。
求双方的最优策略。
乙囚犯抵赖坦白甲囚犯抵赖 -1，-1 -10，0坦白 0，-10 -8，-8定义：运筹学（Operation Research）是运用系统化的方法，通过建成立数学模型及其测试，协助达成最佳决策的一门科学。
它主要研究经济活动和军事活动中能用数学的分析和运算来有效地配置人力、物力、财力等筹划和管理方面的问题。
二、学习运筹学的方法1、读懂教材上的文字；2、多练习做题，多动脑筋思考；3、作业8次；4、考试；5、EXCEL操作与手动操作结合。
二、学生练习（20分钟）三、课堂小结（5分钟）《线性规划及单纯形法》（2课时）【教学流程图】运筹学运筹学与线性规划的基本概念线性规划（结合例题讲解）线性规划的标准型目标函数结合例题讲解线性规划标准型的转化方法约束条件的右端常数约束条件为不等式课堂练习课堂小结布置作业【教学方法】本课主要采用任务驱动和程序式思维相结合的教学方法，过程当中辅以案例讲解、启发提问、自主学习和协作学习等方式。
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3
第一节 网络图
统筹方法的第一步工作就是绘制计划网络图，也就是将工序 （或称为活动）进度表转换为统筹方法的网络图。
例9.1 某公司研制新产品的部分工序与所需时间以及它们之间的 相互关系都显示在其工序进度表如表所示，请画出其网络计划图。
工序代号
工序内容
a
产品设计与工艺设计
b
外购配套零件
c
外购生产原料
36
2. 利用时差
总时差不影响最短工期，但影响后续工序的自由时间。 单时差不影响后续工序。
2020/8/8
37
3.时间-资源优化
做法： 1）优先安排关键工序所需的资源。 2）利用非关键工序的时差，错开各工序的开始时间。 3）适当延长时差大的工序时间，或切断非关键工序进程。
2020/8/8
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2020/8/8
间完成工序所需要的费用，kij为工序（i ,j)的直接费用变动率
（成本斜率）。
kij
c`ij cij Tij T `ij
44
方法一：线性规划法
min f kij yij i, j
S.t. xj-xi Tij-yij, 对一切弧（i, j) yij Tij-T`ij, 对一切弧（i, j) xn-x1 T, xi 0， yij 0。
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运筹学--线性规划
47
1. 该工程要求在150天内完工，问每个工序应比正常完工 时间提前多少天完成，才能使整个工程因缩短工期而 增加的直接费用为最少。
2. 如果工期要求在140天完工呢？
b
1a
c3
f
2 d4g
6i
7j
8
e5
h
48
解：设此网络图上第i点发生的时间为xi，工序提前完工的时间为yij。
工序a的最早 开始时间
工序a的最早 完成时间
a[0，60]
i
60
j
16
例9.4
c[60,70] 3
10
1 2 a[0,60] 60
d[60.80] 20
b[60,105] 45 f[70,88]
18
4 6 g[80,110] i[110.135]
30
25
j[135,170]
7
8
35
e[60.100] 40
i[110.135] 25[110,135]
j[135,170] 35[135,170]
e[60.100] 40[80,120]
5 h[100,115] 15[120,135
19
三、时差
1、总时差 在不影响工程最早结束时间的条件下，工序最早开始（或结束） 的时间可以推迟的时间，成为该工序的总时差R
运筹学--线性规划
42
工序的最快完成时间：指完成时间的最高限度。 我们设完成工序j的正常所需时间为Tj;直接费用为cj;完成工 序j的最快完成时间为T`j,直接费用为c`j。这样我们可以计算出 缩短工序j的一天工期所增加的直接费用，用kj表示，称为直接 费用变动率（成本斜率）。有
kj c`j cj Tj T `j
h[100,115]
5 15
2020/8/8
17
2、最晚时间 从网络的收点开始计算，在不影响整个工程最早结束时间的情
况下，各个工序的最晚结束时间（LF)和最晚开始时间(LS)
t t
LF LF
(i, (i,
n) j)
tEF (i, n)
mint k
LS
(
j,
k
)
tLS (i, j) tLF (i, j) t(i, j)
例9.4 某公司装配一条新的生产线，具体过程如表1,求：完成 此工程的最少时间，关键路线及相应的关键工序，各工序的最 早开始时间和非关键工序在不影响工程完成时间的前提下，其 开始时间与结束时间可以推迟多久？
26
工序代号 a b c d e f g h i j
工序内容 生产线设计 外购零配件 下料、锻件 工装制造1 木模、铸件 机械加工1 工装制造2 机械加工2 机械加工3
2020/8/8
运筹学--线性规划
5
１a ２ b
４e
５
60
15 cd
8
13
38
３
图1
6
例9.2 把例1的工序进度表做一些扩充，如表，请画出 其统筹方法的网络图。
工序代号 所需时间（天） 紧前工序 工序代号
a
60
－
e
b
15
a
f
c
13
a
g
d
38
c
h
所需时间 （天）
8 10 16 5
紧前工序
b，ｄ d d
39
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40
2020/8/8
41
4.工期—成本优化
直接费用：为了加快工程进度，需要增加人力、设备和工作 班次，这需要增加一笔费用，成为直接费用。 间接费用：由于工程早日完工，减少了管理人员的工资办公 费等费用称为间接费用。一般说工序越短，直接费用越多， 间接费用越少。
2020/8/8
装配调试
所需时间（天） 60 45 10 20 40 18 30 15 25 35
紧前工序 / a a a a c d
d, e g b, i, f, h
27
b
45
c3
f 18
10
1
a 60
2
d 20
4
g 30
6
i 25
7j 35
8
e
5h
40
15
28
1 a[0,60] 60
c[60,70] 3 10
a b c d e f g h i
2020/8/8
1.5
2.0
2.5
2.0
2.5
6.0
1.0
2.0
3.0
1.5
2.0
2.5
0.5
1.0
1.5
1.0
2.0
3.0
3.0
3.5
7.0
3.0
4.0
5.0
1.5
2.0
2.5
13
显然这三种完成活动所需时间都具有一定概率，由经验，我
们可以可以假定这些时间的概率分布近似服从 分布。我们可以
用如下公式计算出完成活动所需的：
平均时间 T
a4mb 6
方差
2
(
ba 6
)
2
例如：完成工作g所需平均时间：
Tg
a 4m b 6
3.0 4 3.5 7.0 6
4
同时求出方差为
4 9
14
同样可以求出每个活动的完成所需平均时间及方差
活动 T（平均时间） 方差 活动 T
方差
a
2
0.028 f
2
0.111
2 d[60.80] 20
b[60,105] 45 f[70,88] 18
g[80,110] i[110.135]
4 30 6 25
j[135,170]
7
8
35
e[60.100] 40
h[100,115]
5 15
29
b[60,105]
45[90,135]
f[70,88]
c[60,70] 3
[117,135]
43
模型一，在既定的时间T完工的前提下，问各工序的完成时间为 多少才使因缩短工期而增加的直接费用最少。
设工序（i ,j)的提前完工时间为yij,我们用Tij,T`ij分别表示正
常完工时间与最快完工的时间，则有工序（i ,j)的实际完工时
间为：Tij- yij 。我们用Cij,C`ij表示用正常完工时间和最快完成时
30
最后将各工序的时差，以及其他信息构成工序时间表如表所示。
这样就找到了一条由关键工序a,d,g,i和j依次连接成的从发点到收 点的关键路线。
31
完成工序所需时间不确定
例9-2
2020/8/8
32
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运筹学--线性规划
34
关键线路 1 3 6 7
P(T
11
一、工作时间 t (i, j )
确定型
概率型 缺乏统计来确定完成每个活动所需时间，但对所需时间做 了三种估计： 1.乐观时间。指所需最少时间，用a表示。 2.最可能时间。指正常时间，用m表示。 3.悲观时间。指不顺利情况下，最多时间，用b表示。
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例9.3
活动 乐观时间 最可能时间 悲观时间
10[107,117]
a[0,60]
1 2 60[0,60]
d[60.80] 20[60,80]
4 6 7 8 g[80,110] 30[80,110]
i[110.135] 25[110,135]
j[135,170] 35[135,170]
e[60.100] 40[80,120]
5 h[100,115] 15[120,135
9
在绘制统筹方法的网络图时，要注意图中不能有缺口和回路。
a
2
1 60
b 15
5
e
13 c
8 f
7
h 5
8
d 3
4
10 g
38
16 6
图4
避免交叉
节点标号：j > i i
j
10
第二节 时间参数的计算
在绘制出网络图之后，我们可以由网络图求出： 1、完成此工程项目所需的最少时间。 2、每个工序的开始时间与结束时间。 3、关键路线及其应用的关键工序。 4、非关键工序在不影响工程的完成时间的前提下，其开始时 间与结束时间可以推迟多久。
第一节 网络图
统筹方法的第一步工作就是绘制计划网络图，也就是将工序 （或称为活动）进度表转换为统筹方法的网络图。
例9.1 某公司研制新产品的部分工序与所需时间以及它们之间的 相互关系都显示在其工序进度表如表所示，请画出其网络计划图。
工序代号
工序内容
a
产品设计与工艺设计
b
外购配套零件
c
外购生产原料
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2. 利用时差
总时差不影响最短工期，但影响后续工序的自由时间。 单时差不影响后续工序。
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3.时间-资源优化
做法： 1）优先安排关键工序所需的资源。 2）利用非关键工序的时差，错开各工序的开始时间。 3）适当延长时差大的工序时间，或切断非关键工序进程。
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间完成工序所需要的费用，kij为工序（i ,j)的直接费用变动率
（成本斜率）。
kij
c`ij cij Tij T `ij
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方法一：线性规划法
min f kij yij i, j
S.t. xj-xi Tij-yij, 对一切弧（i, j) yij Tij-T`ij, 对一切弧（i, j) xn-x1 T, xi 0， yij 0。
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1. 该工程要求在150天内完工，问每个工序应比正常完工 时间提前多少天完成，才能使整个工程因缩短工期而 增加的直接费用为最少。
2. 如果工期要求在140天完工呢？
b
1a
c3
f
2 d4g
6i
7j
8
e5
h
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解：设此网络图上第i点发生的时间为xi，工序提前完工的时间为yij。
工序a的最早 开始时间
工序a的最早 完成时间
a[0，60]
i
60
j
16
例9.4
c[60,70] 3
10
1 2 a[0,60] 60
d[60.80] 20
b[60,105] 45 f[70,88]
18
4 6 g[80,110] i[110.135]
30
25
j[135,170]
7
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35
e[60.100] 40
i[110.135] 25[110,135]
j[135,170] 35[135,170]
e[60.100] 40[80,120]
5 h[100,115] 15[120,135
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三、时差
1、总时差 在不影响工程最早结束时间的条件下，工序最早开始（或结束） 的时间可以推迟的时间，成为该工序的总时差R
运筹学--线性规划
42
工序的最快完成时间：指完成时间的最高限度。 我们设完成工序j的正常所需时间为Tj;直接费用为cj;完成工 序j的最快完成时间为T`j,直接费用为c`j。这样我们可以计算出 缩短工序j的一天工期所增加的直接费用，用kj表示，称为直接 费用变动率（成本斜率）。有
kj c`j cj Tj T `j
h[100,115]
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2、最晚时间 从网络的收点开始计算，在不影响整个工程最早结束时间的情
况下，各个工序的最晚结束时间（LF)和最晚开始时间(LS)
t t
LF LF
(i, (i,
n) j)
tEF (i, n)
mint k
LS
(
j,
k
)
tLS (i, j) tLF (i, j) t(i, j)
例9.4 某公司装配一条新的生产线，具体过程如表1,求：完成 此工程的最少时间，关键路线及相应的关键工序，各工序的最 早开始时间和非关键工序在不影响工程完成时间的前提下，其 开始时间与结束时间可以推迟多久？
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工序代号 a b c d e f g h i j
工序内容 生产线设计 外购零配件 下料、锻件 工装制造1 木模、铸件 机械加工1 工装制造2 机械加工2 机械加工3
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１a ２ b
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例9.2 把例1的工序进度表做一些扩充，如表，请画出 其统筹方法的网络图。
工序代号 所需时间（天） 紧前工序 工序代号
a
60
－
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c
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a
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所需时间 （天）
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紧前工序
b，ｄ d d
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4.工期—成本优化
直接费用：为了加快工程进度，需要增加人力、设备和工作 班次，这需要增加一笔费用，成为直接费用。 间接费用：由于工程早日完工，减少了管理人员的工资办公 费等费用称为间接费用。一般说工序越短，直接费用越多， 间接费用越少。
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装配调试
所需时间（天） 60 45 10 20 40 18 30 15 25 35
紧前工序 / a a a a c d
d, e g b, i, f, h
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b
45
c3
f 18
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a 60
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c[60,70] 3 10
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2.0
2.5
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1.0
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2.0
3.0
3.0
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4.0
5.0
1.5
2.0
2.5
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显然这三种完成活动所需时间都具有一定概率，由经验，我
们可以可以假定这些时间的概率分布近似服从 分布。我们可以
用如下公式计算出完成活动所需的：
平均时间 T
a4mb 6
方差
2
(
ba 6
)
2
例如：完成工作g所需平均时间：
Tg
a 4m b 6
3.0 4 3.5 7.0 6
4
同时求出方差为
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同样可以求出每个活动的完成所需平均时间及方差
活动 T（平均时间） 方差 活动 T
方差
a
2
0.028 f
2
0.111
2 d[60.80] 20
b[60,105] 45 f[70,88] 18
g[80,110] i[110.135]
4 30 6 25
j[135,170]
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h[100,115]
5 15
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b[60,105]
45[90,135]
f[70,88]
c[60,70] 3
[117,135]
43
模型一，在既定的时间T完工的前提下，问各工序的完成时间为 多少才使因缩短工期而增加的直接费用最少。
设工序（i ,j)的提前完工时间为yij,我们用Tij,T`ij分别表示正
常完工时间与最快完工的时间，则有工序（i ,j)的实际完工时
间为：Tij- yij 。我们用Cij,C`ij表示用正常完工时间和最快完成时
30
最后将各工序的时差，以及其他信息构成工序时间表如表所示。
这样就找到了一条由关键工序a,d,g,i和j依次连接成的从发点到收 点的关键路线。
31
完成工序所需时间不确定
例9-2
2020/8/8
32
2020/8/8
33
2020/8/8
运筹学--线性规划
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关键线路 1 3 6 7
P(T
11
一、工作时间 t (i, j )
确定型
概率型 缺乏统计来确定完成每个活动所需时间，但对所需时间做 了三种估计： 1.乐观时间。指所需最少时间，用a表示。 2.最可能时间。指正常时间，用m表示。 3.悲观时间。指不顺利情况下，最多时间，用b表示。
2020/8/8
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例9.3
活动 乐观时间 最可能时间 悲观时间
10[107,117]
a[0,60]
1 2 60[0,60]
d[60.80] 20[60,80]
4 6 7 8 g[80,110] 30[80,110]
i[110.135] 25[110,135]
j[135,170] 35[135,170]
e[60.100] 40[80,120]
5 h[100,115] 15[120,135
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在绘制统筹方法的网络图时，要注意图中不能有缺口和回路。
a
2
1 60
b 15
5
e
13 c
8 f
7
h 5
8
d 3
4
10 g
38
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图4
避免交叉
节点标号：j > i i
j
10
第二节 时间参数的计算
在绘制出网络图之后，我们可以由网络图求出： 1、完成此工程项目所需的最少时间。 2、每个工序的开始时间与结束时间。 3、关键路线及其应用的关键工序。 4、非关键工序在不影响工程的完成时间的前提下，其开始时 间与结束时间可以推迟多久。