大学物理 10.6 波叠加 干涉 驻波

y
t=0 t = T/8 t = T/4 t = 3T/8 0 0 0 0 x x x
x x
x
t = T/2
振动范围 波腹
0
0
/4 /4 /2
波节
设两列波沿 x 轴的正、反方向传播。为简单， 设它们的波函数为
y1 A cos ( t k x) y2 A cos ( t k x)
10.6 波的叠加 干涉 驻波 10.6.1 波的叠加原理 10.6.2 波的干涉 10.6.3 驻波 10.6.4 半波损失 10.6.5 简正模式
10.6.1 波的叠加原理 实验表明，波传播具有独立性： 几列波同时通过介质时彼此互不影响，各自 保持自己的频率、波长、振幅和振动方向等特 点不变。
Ek Ep Ep
动能→势能 能量由波腹向波节流动
参考材料：“驻波能量流动特性”
10.6.4 半波损失 波密介质： u较大 波疏介质： u较小 在波垂直界面 入射情况下
（1）波疏介质波密介质 界面处反射波有半波损失（相位突变 ）， 反射点是驻波的波节 （2）波密介质波疏介质
无半波损失，反射点是波腹。 证明见附录
驻波的波函数 （质元的合位移）：
y y1 y2 2 A cos
2 x

cos t
振动
绝对值为振幅
驻波不传播，各点做简谐振动，振幅随位置 不同而不同。 从波函数上看，为什么不传播？
波腹的位置： 由 |cos2x/|＝1，得
x

2
k , k 0,1,2,
波节的位置：由 |cos2x/|＝0，得
1 x k , k 0,1,2, 2 2
相邻两波腹之间，或相邻两波节之间的距离 都是/2，相邻波节和波腹之间的距离为/4。

驻波的能量在整体上不传播， 只能在相邻的 波节和波腹之间的/4区域内流动。
Ep
Ek
Ep
势能→动能 能量由波节向波腹流动 瞬时位移为0， 势能为0， 动能最大。
附录：为什么会发生位相突变 ？
入射波 y1 透射波 y2 0
反射波 y1
z1
z2
x
适当选择时间零点，各波波函数为
入射波 反射波 透射波
y1 A1 cos( t k1 x)
A y1 t k1 x ) 1 cos(
y2 A2 cos( t k2 x )
机械波垂直界面入射，有界面关系：
（1）界面两侧质元位移相同（接触） [ y1+ y1]x =0 = [ y2]x =0 （2）界面两侧应力相等（牛顿第三定律）
F1 F1 S S x 0 y1 y1 E1 x x 0 x F2 S x 0
y2 （纵波） E2 x x 0
将y和E= u2代入界面关系，得：
位相关系：
z1 z2 A1 A1 z1 z2
若 z1 z2 (波密波疏介质)： 和 A1 同号，反射波和入射 A1 波引起界面质点的振动同相。
若 z1 z2 (波疏波密介质)： 和 A1 反号，反 射 波和 入 射 A1 波引起界面质点的振动反相， 位相突变。
基频
L
1 2 L
2L 2 L 2 2L 3 3
n =2
二次 谐频 n =3 三次 谐频
边界情况不同，简正模式也不同：
L n=1 基频 n=1 基频 n=3 三次 谐频 L
n=3 三次 谐频
4L n , n 1,3,5, n
2L n , n 1,3,5, n
发生干涉的条件：振动方向相同、频率相同、 相位差恒定。 相干波 相干波源 相干叠加 非相干叠加
10.6.3 驻波
驻波是由振动方向、频率、振幅都相同，而 传播方向相反的两列简谐行波相干叠加形成。 驻波是分段的振动 ：按相邻两波节分段，同 一分段上的各点，或者同时向上运动，或者同 时向下运动，具有相同的振动相位。
A2 2z1 A1 z1 z2
A2 和 A1 总是同号， 透射波和 入射波引起界面质点的振动总 是同相。
强度关系：
1 z 2 A 2 2 2 1 2 1 z1 z2 A1 I1 反射系数：R I1 1 z 2 A2 A1 z1 z2 1 1 2 1 z 2 A2 2 2 I2 2 2 z2 A2 4 z1 z2 透射系数： T 2 z z z 1 2 2 A I1 ( 1 2) 1 1 z1 A1 2
波的叠加原理：在介质中几列波相遇的区域 内，任一质元的位移等于各列波单独传播所引 起的该质元的位移的矢量和。
波的叠加原理是干涉、衍射的基本依据。
10.6.2 波的干涉 设有两列振动方向相同、频率相同的波在介 质中传播，在某一相遇点，引起质元的振动为
y1 A1 cos ( t 1 ), y2 A2 cos ( t 2 )
初相1、2与相遇点的位置有关。
相遇点合振动的振幅：
A
A A 2 A1 A2 cos ( 2 1 )
2 1 2 2
如果相位差恒定（不随时间变化），则合振 幅不随时间变化，振动强度就不随时间变化。
A
A12 A22 2 A1 A2 cos ( 2 1 )
干涉项
不同相遇点Δ 不同，合振幅不同 Δ = 的整数倍：振动相长，合振幅极大； Δ = 的奇数倍：振动相消，合振幅极小。 波的干涉：两列波在介质中相遇合成后，在 某些地方振动始终加强，某些地方振动始终减 弱的现象。
10.6.5 简正模式 波在一定边界内传播时就会形成各种驻波。 如两端固定的弦， 形成驻波必须满足以下条件：
L
2L n ，n 1,2,3… n
—系统的固有频率
u n n 2L n
u
u ：波在弦中传播的速度
每种可能的稳定振动方式称作系统的一个简 正模式。两端固定的弦：
Βιβλιοθήκη Baidun =1
圆环简正模式
平面驻波简正模式 小提琴的简正模式
“鱼洗”之谜
【演示实验】鱼洗（六教A区500号演示大厅）
任何一个实际的振动都可以看成由各种简 正模式的线性叠加，其中各个简正模式的相位 和振幅的大小，则由初始扰动的性质决定。
当周期性驱动力的频率与驻波体系的某一简 正频率相同时，就会使该频率驻波的振幅变得 最大，这种现象也叫共振。利用共振方法可以 测量空气中的声速（例10.4）。