系统仿真课件(1-蒙特卡洛)

第一章 系统仿真基本概念
系统: “系统就是由许多部分组成的整体，所以系统的概念 就是要强调整体，强调整体是由相互关联、相互制 约的各个部分所组成的”（钱学森）。
系统确定：
1) 根据不同的研究目的，可以确定系统的规模，范围和界限。 研究目的决定了系统的界限. 2) 不同的研究目的, 系统所包含的实体也不同. 3) 系统仅由那些与研究目的相关的因素组成。 因此, 一旦研 究目的确定, 系统的组成和界限就已经确定。反之当研究目的变 化时, 系统的组成和界限就会发生变化.
– 经济学领域：期权定价、项目管理、投资风险决策等
– 其他领域：化学、医学，生物，生产管理、系统科学、公用事业 等方面。随着科学技术的发展，其应用范围将更加广泛。
• Monte Carlo方法的基本思想
做独立重复实验，当实验次数充分多时，某一事 件出现的频率近似于该事件发生的概率。
p /N
Matlab 的随机数函数• 正态分布随机数
– r=normrnd(mu,sigma) – r=normrnd(mu,sigma,m) – r=normrnd(mu,sigma,m,n)
• 特定分布随机数发生器 • r=random(‘name’,A1,A2,A3,m,n)
• 根据上式，若我们做大量的投针试验并记录针与 线相交的次数，则由大数定理可以估计出针线相 交的概率 p ，从而得到 的估计值。 • 针与线的位置关系：
例1. Buffon投针问题
• 利用关系式：
P 2l a
求出π值

2l 2l N ( ) aP a n
其中Ｎ为投计次数，n为针与平行线相交次数 。这就是古典概率论中著名的蒲丰问题。
仿真的概念
仿真就是利用物理的、数学的模型来类比、模仿现实系统 及其演变过程，以寻求过程规律的一种方法。
仿真的基本思想是建立一个试验模型，这个模型包含所研 究系统的主要特点．通过对这个实验模型的运行，获得所 要研究系统的必要信息。
仿真的方法
1、物理仿真：
对实际系统及其过程用功能相似的实物系统去模仿。例如， 军事演习、船艇实验、沙盘作业等。 物理仿真通常花费较大、周期较长，且在物理模型上改变 系统结构和系数都较困难。而且，许多系统无法进行物理 仿真，如社会经济系统、生态系统等。
1 gN N
g (r )
i 1 i
N
•
作为积分的估计值（近似值）。
步骤
• 可以把蒙特卡罗解题归结为三个主要步骤： – 构造或描述概率过程； – 实现从已知概率分布抽样； – 建立各种估计量
构造或描述概率过程
• 对于本身就具有随机性质的问题，主要是 正确描述和模拟这个概率过程，对于本来 不是随机性质的确定性问题，比如计算定 积分，就必须事先构造一个人为的概率过 程，它的某些参量正好是所要求问题的解 。即要将不具有随机性质的问题转化为随 机性质的问题。
–比一般的分析方法（数学方程）容易使用和有效 –能够被重复使用来分析和评估某个现实系统（如某 个建筑工程）的参数构成（如资源分配或调度）
–比使用直接的试验如实验室（物理模型）或现场试 验成本较小
–比操作真实的系统风险低
第二章 蒙特卡洛仿真
• 蒙特卡洛(Monte Carlo)仿真方法，或称计算机随机模拟方 法，是一种基于“随机数”和概率论的计算方法，可以解 决静态或动态问题。 • Monte Carlo名字的由来：
Buffon投针实验是数学仿真吗？
•系统仿真方法
系统仿真的基本方法是建立系统的数学模型，并将 其转换为计算机上实现的仿真模型，然后对模型进 行仿真实验。由于连续系统和离散(事件)系统的数 学模型有很大差别，所以系统仿真方法基本上分为 两大类： •连续系统仿真方法 •离散系统仿真方法 在以上两类基本方法的基础上，还有一些用于系统 (特别是社会经济和管理系统)仿真的特殊而有效的 方法：如蒙特卡洛仿真和系统动力学方法等。
实现从已知概率分布抽样
• 构造了概率模型以后， 按照这个概率分布 抽取随机变量 （或随机向量），这一般可 以直接由软件包调用，或抽取均匀分布的 随机数构造。这样，就成为实现蒙特卡罗 方法模拟实验的基本手段，这也是蒙特卡 罗方法被称为随机抽样的原因。
建立各种估计量
• 一般说来，构造了概率模型并能从中抽样 后，即实现模拟实验后，我们就要确定一 个随机变量，作为所要求的问题的解，我 们称它为无偏估计。建立各种估计量，相 当于对模拟实验的结果进行考察和登记， 从中得到问题的解。
Buffon投针实验是物理仿真吗？
2、数学仿真
数学仿真就是用数学模型使现象再现。表示现象的部分 或总体的基本方程和表示自然规律的数学模型全是数学仿 真。狭义地讲主要指的是数字仿真。它是将复杂现象作出 可以用数字计算机表达的数学模型，从数值上进行各种实 验。各种方法随着计算机的进步已广泛地应用起来。因此， 所说的仿真主要是指数学仿真。 •数学仿真-基于模型的实验。
基本思想和原理
• 基本思想：当所求问题的解是某个事件的概率，或 者是某个随机变量的数学期望，或者是与概率、数 学期望有关的量时，通过某种试验的方法，得出该 事件发生的频率，或者该随机变量若干个具体观察 值的算术平均值，通过它得到问题的解。 • 原理：抓住事物运动的几何数量和几何特征，利用 数学方法来加以模拟，即进行一种数字模拟实验。 • 它是以一个概率模型为基础，按照这个模型所描绘 的过程，通过模拟实验的结果，作为问题的近似解 。
一些人进行了实验，其结果列于下表 实验者 年份 投计次数 π的实验值 ：
沃尔弗(Wolf) 斯密思(Smith) 福克斯(Fox) 拉查里尼 (Lazzarini) 1850 1855 1894 1901 5000 3204 1120 3408 3.1596 3.1553 3.1419 3.1415929
比喻
• 可用民意测验来作一个不严格的比喻。民 意测验的人不是征询每一个登记选民的意 见，而是通过对选民进行小规模的抽样调 查来确定可能的民意。其基本思想是一样 的。
Monte Carlo 方法处理的问题
• Monte Carlo 方法处理的问题可以分两类
– 确定性的数学问题：多重积分、求逆矩阵、解 线性代数方程组、解积分方程、解某些偏微分 方程边值问题和计算代数方程组、计算微分算 子的特征值等等 – 随机性问题
方法
• 在解决实际问题的时候应用Monte Carlo方 法主要有两部分工作： 1、用此方法模拟某一过程时，需要产生各 种概率分布的随机变量。 2、用统计方法把模型的数字特征估计出来 ，从而得到实际问题的数值解。
随机数的产生
• 随机数是实现蒙特卡罗模拟的基本工具，而蒙特卡罗模拟 的关键是产生优良的随机数。 • 随机数的产生就是抽样问题。可以用物理方法产生随机数 ，但价格昂贵，不能重复，使用不便。另一种方法是用数 学递推公式产生。这样产生的序列，与真正的随机数序列 不同，所以称为伪随机数，或伪随机数序列。不过，经过 多种统计检验表明，它与真正的随机数，或随机数序列具 有相近的性质，因此可把它作为真正的随机数来使用。
系统仿真的模型结构（系统仿真的模型
包含的系统信息）
– 组成要素 – 变量 – 参数 – 函数关系 – 约束条件 – 目标
• 系统仿真本质上是由三要素构成的，即系 统、系统模型与实验。如将实验置于计算 机上进行就是计算机仿真。
建立系 统模型 系统
仿真 实验
建立仿真模型
模型
计算机
图1 系统仿真原理图
Buffon投针实验
1768年，法国数学家Comte de Buffon利用投针实验估计的值
L
d
针与平行线中任一条相交的概率为
p
d
2L
投针实验
Buffon投针试验
• 从而针线相交的概率为
l sin 2 l 2l 2 p dxd ˆ P X sin 2 0 0
通俗地说，蒙特卡罗方法是用随机试验的方法计 算积分，即将所要计算的积分看作服从某种分布密 度函数f(r)的随机变量ｇ(r)的数学期望
g g (r ) f (r )dr
0
通过某种试验，得到 Ｎ 个观察值 r1， r2， …， rN（ 用概率语言来说，从分布密度函数f(r)中抽取Ｎ个 子样 r1 ， r 2， …， r N，），将相应的 Ｎ 个随机变量 的值g(r1)，g(r2)，…，g(rN)的算术平均值
• 在模拟中，需要产生各种概率分布的随机数，而大多数概 率分布的随机变量产生均基于均匀分布U(0,1)的随机数。
随机数的取得
• 如果你对随机数有更高的要求，需要自己 编辑“随机数生成器” • 最简单、最基本、最重要的一个概率分布 是(0,1)上的均匀分布（或称矩形分布） • 例如在Matlab中，命令“rand()”将产生 一个(0,1)中均匀分布的随机数 • 你可以根据需要给随机数一个“种子”， 以求不同的数
John Von Neumann (1903-1957)
Nicholas Metropolis (1915-1999)
• Monte Carlo方法的应用：
– 物理：核物理，热力学与统计物理，粒子输运问题等
– 数学：多重积分、解微分方程、非线性方程组求解等
– 工程领域：真空技术，水力学，激光技术等
Matlab 的随机数函数
• 均匀分布
– r=unidrnd(N)，-产生1到N间的均匀分布随机数 – r=unidrnd(N,n,m),产生1到N间的均匀分布随机数 矩阵
• 连续均匀分布
– r=unifrnd(A,B) -产生(A,B)间的均匀分布随机数 – r=unifrnd(A,B,m,n)产生(A,B)间的均匀分布随机数 矩阵
– Monte Carlo是摩纳哥（Monaco)最大的城市，该城以赌博闻名。 –数学家Von Neumann用Monte Carlo来命名这种方法，为它蒙上了 一层神秘色彩。
Monte-Carlo, Monaco
Monte Carlo方法的起源：
二十世纪四十年代中期，由于科学技术的发展和电子计 算机的发明，蒙特卡罗方法作为一种独立的方法被提出 来，并首先在核武器的试验与研制中得到了应用，即“ 曼哈顿计划” 。但其基本思想并非新颖，人们在生产实 践和科学试验中就已发现，并加以利用。
•系统的其它定义：
• 系统是研究的一个具体对象，是实体的一个集合。如： 人群、机器等。 • 1970年，著名管理学家泰勒（Taylor）对“系统”作了 如下定义：实体之间是相互作用的，或是通过逻辑关系
组合在一起的。
• 系统是一个整体，由相互联系和相互依存的事物组成， 它的范围由研究者根据所要解决问题的复杂性而定。
系统的分类:
投针试验
按系统 状态是 否变化
静态系统 理发馆模 型
管理系统仿 真研究的是： 动态离散随 机排队系统
动态系统
按系统状态 的变化与时 间的关系 按有无随 机过程
连续型系统：系统的状态随时间连续变化
离散型系统：系统状态仅在某些时间点 上发生变化
确定型系统：系统的输出取决于输入
离散型系统：包含随即因素的系统
系统仿真
1. 基本概念
2. 蒙特卡洛仿真
3. Biblioteka Baidu队论
4. 离散事件系统（DES）仿真
5. 系统动力学
前言
工程管理问题—＞涉及方案或策略的优化问题 优化问题的数学模型：
min f ( x) s.t.g ( x) 0, x D.
目标函数 约束函数 有限点集, 决策变量
如何建立f(x)或g(x)？ 如何确定最佳x(x1，x2，。。。，xn)？
（N充分大）
利用这一方法不仅能估计事件发生的概率，还可以估计 系统的一些性能参数，更重要的是它提供了一种实验思 考方法，是系统仿真的重要基础。
积分问题
y y=f(x) c
a
b
x
积分问题

a
b
n f ( x)dx (b a)c N
其中， n 是落在曲线 f(x)之下的点的数量，N 所有点 的总数。
•系统仿真的建模过程
• 模型的图解结构
为什么要在建筑管理中使用仿真技术?
–传统方法的缺陷
• 难以建立数学方程确定系统指标（如工期、成本和质量
等）
• 很难考虑建筑工程中元素之间复杂和动态的相互作用 • 很难反映一些诸如随机性在内的不确定性 • 很难安全和低成本地估算在极端条件下的后果
系统仿真优点