插值法的事后误差估计

插值法的事后误差估计

已知，试用线性插值求的近似值，并估计插值误差。

解要用线性插值求在点的值，可取为插值节点，记线性插值式

为。经计算易得

但是，由于不知道的解析式，故不能直接利用拉格朗日余项式做误差估计。为此，

下面用另外一种方法来估计误差。设以为节点的线性插值式为，则有

其中均属于由和所决定的区间。假设在该区间内变化不大，则

将上面两个式子相除，消去近似相等的和，结果有

整理得（1）

这表明，的插值误差大致等于，按此估计式，只要

再计算出。由此可得的误差估计

进一步还可以考虑用事后误差估计式（1）对进行修正。因为式（1）给出了的

大致误差值，如果用这个误差值作为的一种补偿，得到

（2）

可以期望，是的更好的插值结果。

在本题中，利用上述可以算得

事实上，被插值函数为，按上述方法得到的插值结果与抛物插值的结果相同，精度的确提高了。

值得说明的是，这并不只是简单的巧合。将式（2）展开即可证明，上述就是抛物插值多项式。根据这种思想，人们还建立了逐步线性插值的埃特金插值法。