插值法的事后误差估计
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插值法的事后误差估计
已知,试用线性插值求的近似值,并估计插值误差。
解要用线性插值求在点的值,可取为插值节点,记线性插值式
为。经计算易得
但是,由于不知道的解析式,故不能直接利用拉格朗日余项式做误差估计。为此,
下面用另外一种方法来估计误差。设以为节点的线性插值式为,则有
其中均属于由和所决定的区间。假设在该区间内变化不大,则
将上面两个式子相除,消去近似相等的和,结果有
整理得(1)
这表明,的插值误差大致等于,按此估计式,只要
再计算出。由此可得的误差估计
进一步还可以考虑用事后误差估计式(1)对进行修正。因为式(1)给出了的
大致误差值,如果用这个误差值作为的一种补偿,得到
(2)
可以期望,是的更好的插值结果。
在本题中,利用上述可以算得
事实上,被插值函数为,按上述方法得到的插值结果与抛物插值的结果相同,精度的确提高了。
值得说明的是,这并不只是简单的巧合。将式(2)展开即可证明,上述就是抛物插值多项式。根据这种思想,人们还建立了逐步线性插值的埃特金插值法。