武大数学物理方法期末考试试题-2006

2006年数学物理方法期末试卷

一、 单项选择题（每小题2分）

1．齐次边界条件0),(),0(==t u t u x x π的本征函数是_______。

A) 3,2,1 sin =n nx B) ,2,1,0 cos =n nx C) 2,1,0 )21sin(=+n x n D) 2,1,0 )2

1cos(=+n x n 2．描述无源空间静电势满足的方程是________。

A) 波动方程 B)热传导方程

C) Poisson 方程 D)Laplace 方程

3．半径为R 的圆形膜，边缘固定，其定解问题是⎪⎪⎪⎩

⎪⎪⎪⎨⎧====∇-∂∂===)

(| ),(|0|0),(),(0t 02222ρψρϕρρρt t R u u u t u a t t u

其解的形式为∑∞

==100)()(),(m m m k J t T t u ρρ，下列哪一个结论是错误的______。 A) )()()()(20222

t T k a t T dt

d t T m m m m -=满足方程 B ）圆形膜固有振动模式是)sin(0t ak m

和)cos(0t ak m C ）0m k 是零阶Bessel 函数的第m 个零点。

D ）)()(00ρρm

m k J R =满足方程0)(2202=+'+''R k R R m ρρρ 4．)(5x P 是下列哪一个方程的解_________。

A ）0202)1(2=+'-''-y y x y x

B ）0252)1(2=+'-''-y y x y x

C ）0302)1(2=+'-''-y y x y x

D ）052)1(2=+'-''-y y x y x

5．根据整数阶Bessel 函数的递推公式，下列结论哪一个是正确的________。

A ）)(2)()(1

20x J x J x J '=- B ）)()()(111x J x x J x xJ '=+ C ）)(2)()(210x J x x J x J =

- D ）)(2)()(120x J x x J x J '=+

二、 填空题（每题3分）

1． 定解问题⎪⎪⎪⎩

⎪⎪⎪⎨⎧====><<=-====0 ,00 ,0)0,0( sin cos 0002t t t l x x x x xx tt u u u u t l x t l x A u a u ωπ用本征函数发展开求解

时，关于T(t)满足的方程是：

2． Legendre 多项式)(x P l 的x 的值域是______________________。

Bessel 函数)(x J n 的x 的值域是______________________。

3． 一圆柱体内的定解问题为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===<=∆===)

( ),(0 ,0210ρρρρf u f u u a u h z z a

1）则定解问题关于ρ满足的方程是：_____________________________; 相应方程的解为___________________________;

2）关于z 满足的方程是_______________________________________;

4． 计算积分

⎰-11)(dx x xP l 5． 计算积分⎰a dx x xJ 0

0)( 三、 （10分）长为l 的弦，两端固定，初始位移为21x +，初始速度为4x ，写

出此物理问题的定解问题。

四、 （10分）定解问题⎪⎩⎪

⎨⎧===><<=-===0

0 ,)0 ,0( ,000t l x x xx t u u t u t l x Du u ，若要使边界条件齐次化，，求其辅助函数，并写出相应的定解问题

五、 （10分）利用达朗贝尔公式求解一维无界波动问题

⎪⎩⎪⎨⎧==>+∞<<-∞=-==x u x u t x u u t t t xx tt sin ||)0,(040

0 六、 （15分）用分离变量法求解定解问题

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧====><<=-====0,4sin 0 ,0)0,0( 00002t t t l x x xx tt u x l u u u t l x u a u π 计算积分⎰-+=1

11)()(dx x P x xP I l l

七、 （15分）有一半径为R 的薄圆盘，若圆盘的上下面绝热，圆盘边缘的温度分布为ϕϕρρ2cos 2|),(==R u ，试求圆盘上稳定的温度分布),(ϕρu 。

八、 （15分）设有一半径为R 的球壳，其球壳的电位分布θ2cos |==R r u ，写出球外的电位满足的定解问题，并求球外的电位分布

参考公式

（1） 柱坐标中Laplace 算符的表达式

（2） Legendre 多项式

（3） Legendre 多项式的递推公式

（4） Legendre 多项式的正交关系

（5） 整数阶Bessel 函数

（6） Bessel 函数的递推关系