(完整版)分类加法计数原理与分步乘法计数原理(优质课)
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第一节 分类加法计数原理与分步乘法计数原理 课件(共40张PPT)
数为A45＝120. 故符合题意的四位数一共有960＋120＝1 080(个)． 答案：1 080
角度 涂色、种植问题 [例3] (1)如图，图案共分9个区域，有6 种不同颜色的涂料可供涂色，每个区域只能 涂1种颜色的涂料，其中2和9同色，3和6同 色，4和7同色，5和8同色，且相邻区域的颜色不相同， 则不同的涂色方法有( ) A．360种 B．720种 C．780种 D．840种
1．如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红 会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动， 则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为( )
A．24 B．18
C．12
D．9
解析：从E点到F点的最短路径有6条，从F点到G点 的最短路径有3条，所以从E点到G点的最短路径有6×3＝ 18(条)，故选B.
4．从0，1，2，3，4，5这六个数字中，任取两个不 同数字相加，其和为偶数的不同取法的种数是______．
解析：从0，1，2，3，4，5六个数字中，任取两数 和为偶数可分为两类，①取出的两数都是偶数，共有3种 方法；②取出的两数都是奇数，共有3种方法，故由分类 加法计数原理得共有N＝3＋3＝6(种)．
考点1 分类加法计数原理
1.如图，某货场有两堆集装箱，一
堆2个，一堆3个，现需要全部装运，每
次只能取其中一堆最上面的一个集装箱，则在装运的过
程中不同取法的种数是( )
A．6
B．10
C．12
D．24
解析：将题图中左边的集装箱从上往下分别记为
1，2，3，右边的集装箱从上往下分别记为4，5.分两种
情况讨论：若先取1，则有12345，12453，12435，
答案：D
3．现安排一份5天的工作值班表，每天有一个人值
角度 涂色、种植问题 [例3] (1)如图，图案共分9个区域，有6 种不同颜色的涂料可供涂色，每个区域只能 涂1种颜色的涂料，其中2和9同色，3和6同 色，4和7同色，5和8同色，且相邻区域的颜色不相同， 则不同的涂色方法有( ) A．360种 B．720种 C．780种 D．840种
1．如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红 会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动， 则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为( )
A．24 B．18
C．12
D．9
解析：从E点到F点的最短路径有6条，从F点到G点 的最短路径有3条，所以从E点到G点的最短路径有6×3＝ 18(条)，故选B.
4．从0，1，2，3，4，5这六个数字中，任取两个不 同数字相加，其和为偶数的不同取法的种数是______．
解析：从0，1，2，3，4，5六个数字中，任取两数 和为偶数可分为两类，①取出的两数都是偶数，共有3种 方法；②取出的两数都是奇数，共有3种方法，故由分类 加法计数原理得共有N＝3＋3＝6(种)．
考点1 分类加法计数原理
1.如图，某货场有两堆集装箱，一
堆2个，一堆3个，现需要全部装运，每
次只能取其中一堆最上面的一个集装箱，则在装运的过
程中不同取法的种数是( )
A．6
B．10
C．12
D．24
解析：将题图中左边的集装箱从上往下分别记为
1，2，3，右边的集装箱从上往下分别记为4，5.分两种
情况讨论：若先取1，则有12345，12453，12435，
答案：D
3．现安排一份5天的工作值班表，每天有一个人值
高中数学优质课 PPT课件 图文
720 × 10 =7200 30 × 24 × 10 =7200
分步乘法计数原理
做一件事情，完成它需要分成n个步骤，做第一步 有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法,……， 做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有
N=m1×m2×…×mn
种不同的方法.
分类加法与分步乘法计数原理的相同点和不同点 分类加法计数原理 分步乘法计数原理
B大学
数学 会计学 信息技术学 法学
C大学
新闻学 金融学 人力资源学
6
分类加法计数原理
完成一件事有n类不同方案，在第1类方案中有m1 种不同的方法，在第2类方案中有m2种不同的方 法，…，在第n类方案中有mn种不同的方法,那么完成 这件事共有
N=m1+m2+…+mn
种不同的方法.
情境2：
狐狸有一共有多少种不同的方法，可以从草地逃回到自 己的房子（安全地）？
同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这
件事共有
N=mn
种不同的方法.
只有各个步骤都 完成才算做完这件 事情。
例2.设某班有男生30名，女生24名．现要从 中选出男、女各一名代表班级参加比赛，共 有多少种不同的选法?
若该班有10名任课老师，要从中选派1名老 师作领队，组成代表队，共有多少种不同选法？
分类加法计数原理 与
分步乘法计数原理
民权高中
1
创设情境： 情境1：
狐狸一共有多少种不同的方法，可以从草地逃到小岛？
2
情景1分析：
2种
草地
3种
安全地
问题剖析 狐狸要做的一件事情是什么
完成这个事情的方法有几类方案 每类方案中的任一种方法能否独立完 成这件事情 每类方案中分别有几种不同的方法
分步乘法计数原理
做一件事情，完成它需要分成n个步骤，做第一步 有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法,……， 做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有
N=m1×m2×…×mn
种不同的方法.
分类加法与分步乘法计数原理的相同点和不同点 分类加法计数原理 分步乘法计数原理
B大学
数学 会计学 信息技术学 法学
C大学
新闻学 金融学 人力资源学
6
分类加法计数原理
完成一件事有n类不同方案，在第1类方案中有m1 种不同的方法，在第2类方案中有m2种不同的方 法，…，在第n类方案中有mn种不同的方法,那么完成 这件事共有
N=m1+m2+…+mn
种不同的方法.
情境2：
狐狸有一共有多少种不同的方法，可以从草地逃回到自 己的房子（安全地）？
同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这
件事共有
N=mn
种不同的方法.
只有各个步骤都 完成才算做完这件 事情。
例2.设某班有男生30名，女生24名．现要从 中选出男、女各一名代表班级参加比赛，共 有多少种不同的选法?
若该班有10名任课老师，要从中选派1名老 师作领队，组成代表队，共有多少种不同选法？
分类加法计数原理 与
分步乘法计数原理
民权高中
1
创设情境： 情境1：
狐狸一共有多少种不同的方法，可以从草地逃到小岛？
2
情景1分析：
2种
草地
3种
安全地
问题剖析 狐狸要做的一件事情是什么
完成这个事情的方法有几类方案 每类方案中的任一种方法能否独立完 成这件事情 每类方案中分别有几种不同的方法
公开课分类加法计数原理与分步乘法计数原理课件
公开课分类加法计数 原理与分步乘法计数 原理课件
• 分类加法计数原理 • 分步乘法计数原理 • 分类加法计数原理与分步乘法计
数原理的比较 • 公开课总结与展望
目录
01
分类加法计数原理
定义与理解
定义
分类加法计数原理是指将一个问题分成若干个互斥的子问题，每个子问题有一 个明确的解决策略，然后将这些子问题的解合并起来得到原问题的解。
分类加法计数原理的实例
实例1
在组合数学中，将一个复杂组合问题 分解为若干个简单的组合问题，然后 分别计算这些简单问题的解，最后将 这些解相加得到原问题的解。
实例2
在统计学中，将一个复杂统计问题分 解为若干个简单的统计问题，然后分 别计算这些简单问题的解，最后将这 些解相加得到原问题的解。
02
分步乘法计数原理
解析
根据分步乘法计数原理，学生可以选择不同的交通方式有$m_1$种方法，选择不 同的住宿方式有$m_2$种方法，因此总共有$m_1 times m_2$种不同的春游方 案。
03
分类加法计数原理与分步乘
法计数原理的比较
两者之间的联系
分类加法计数原理和分步乘法计数原 理都是基本的计数原理，用于解决组 合数学中的计数问题。
定义与理解
定义
分步乘法计数原理是指完成一件事情，需要分成$n$个步骤，做第$1$步有$m_1$种不同的方法，做第$2$步有 $m_2$种不同的方法，……，做第$n$步有$m_n$种不同的方法，则完成这件事情有$m_1 times m_2 times ldots times m_n$种不同的方法。
理解
理解
分类加法计数原理的核心思想是将复杂问题分解为简单问题，然后分别解决这 些简单问题，最后将结果合并。
• 分类加法计数原理 • 分步乘法计数原理 • 分类加法计数原理与分步乘法计
数原理的比较 • 公开课总结与展望
目录
01
分类加法计数原理
定义与理解
定义
分类加法计数原理是指将一个问题分成若干个互斥的子问题，每个子问题有一 个明确的解决策略，然后将这些子问题的解合并起来得到原问题的解。
分类加法计数原理的实例
实例1
在组合数学中，将一个复杂组合问题 分解为若干个简单的组合问题，然后 分别计算这些简单问题的解，最后将 这些解相加得到原问题的解。
实例2
在统计学中，将一个复杂统计问题分 解为若干个简单的统计问题，然后分 别计算这些简单问题的解，最后将这 些解相加得到原问题的解。
02
分步乘法计数原理
解析
根据分步乘法计数原理，学生可以选择不同的交通方式有$m_1$种方法，选择不 同的住宿方式有$m_2$种方法，因此总共有$m_1 times m_2$种不同的春游方 案。
03
分类加法计数原理与分步乘
法计数原理的比较
两者之间的联系
分类加法计数原理和分步乘法计数原 理都是基本的计数原理，用于解决组 合数学中的计数问题。
定义与理解
定义
分步乘法计数原理是指完成一件事情，需要分成$n$个步骤，做第$1$步有$m_1$种不同的方法，做第$2$步有 $m_2$种不同的方法，……，做第$n$步有$m_n$种不同的方法，则完成这件事情有$m_1 times m_2 times ldots times m_n$种不同的方法。
理解
理解
分类加法计数原理的核心思想是将复杂问题分解为简单问题，然后分别解决这 些简单问题，最后将结果合并。
6.1分类加法计数原理与分布乘法计数原理课件(人教版)
B大学 数学 会计学 经济学 法学
追问：现在他共有多少种选择？
C大学
方案1
营销管理
从A大学中选专业 5
土木工程 完成一件事 方案2
选专业 从B大学中选专业 4
方案3 从C大学中选专业 2
5 4 2 11
分类加法计数原理推广
完成一件事有n类不同方案， 在第1类方案中有m1种不同的方法， 在第2类方案中有m2种不同的方法， ..... 在第n类方案中有mn种不同的方法， 那么完成这件事共有N=m1+m2+……+mn种不同的方法.
列举法：56种 完成一件事
座位编号
分两个步骤完成：
第1步.确定英文字母 有6种方法
A
第2步.确定阿拉伯数字 有9种方法
69 54
1 A1
2
A4
9种
5
A5
6
A6
7
A7
8
A8
9
A9
2.分步乘法计数原理
完成一件事需要两个步骤， 做第1步有m种不同的方法， 做第2步有n种不同的方法， 那么完成这件事共有N=m×n种不同的方法.
练习
1．某校高二有三个班，分别有学生50人、50人、52人．从中选一人担负
学生会主席，共有多少种不同选法( )
A．100
B．102
C．152
D．50
2.设集合A＝{1，2，3，4}，m，n∈A，则方程
x2 m2
y2 n2
1表示焦点位于x
轴上的椭圆有( )
A．6个
B．8个
C．12个
D．16个
3.现有4件不同款式的上衣和3条不同颜色的长裤，如果一条长裤与一件
尝试一下：孙行者三个字交换位置可以得到多少个名字？
分类加法计数原理与分步乘法计数原理课件
3．两个计数原理的区别和联系
分类加法计数原理
分步乘法计数原理
联系
回答的都是关于完成一件事情的不同方法的 种数 的问题
区别一
针对的是“ 分类 ”问题
针对的是“ 分步 ”问题
区别二
各种方法相互_独__立__
各个步骤中的方法互相_依__存__
区别三 任何一种方法都可以做完这件事 只有各个步骤都完成才算做完这件事
求解较复杂的计数问题： (1)对于较复杂的问题，可以在分类方法中分步进行，或者在每步中进行分类． (2)对于一些比较复杂的既要运用分类计数原理又要运用分步计数原理的问题，我们 可以恰当地画出示意图或列出表格，使问题更加直观、清晰． (3)涉及“多面手”的题型，关键是分清“多面手”可以“干什么活”．
解法二 按千位是 2,3,4,5 分四类： 第一类，千位是 2 的有 2×4×3＝24 个， 其中 2 014 不合题意，应去除； 第二类，千位是 3 的有 3×4×3＝36 个； 第三类，千位是 4 的有 2×4×3＝24 个； 第四类，千位是 5 的有 3×4×3＝36 个． 由分类加法计数原理，得 N＝24＋36＋24＋36－1＝119 个．
A．24
BF 有 6 种走法，F→G 有 3 种走法，由分布乘法计数原理知，共有 6×3 ＝18 种走法，故选 B. 答案：B
利用分步乘法计数原理解决问题的注意事项： (1)仔细审题，抓住关键点确立分步标准，有特殊要求的先行安排． (2)分步要保证各步之间的连续性和相对独立性．
探究一 分类加法计数原理
[典例 1] 某校高二(1)、(2)、(3)班，各班人数如下表：
男生人数 女生人数 总人数
高二(1)班 30
20
50
高二(2)班 30
分类加法计数原理与分步乘法计数原理 课件
分类加法计数原理与分步乘法计数原理
1．分类加法计数原理 完成一件事有两类不同方案，在第 1 类方案中有 m 种不同的方法， 在第 2 类方案中有 n 种不同的方法．那么完成这件事共有 N＝ _m_＋__n__种不同的方法．
■名师点拨 对分类加法计数原理的理解
分类加法计数原理中的“完成一件事有两类不同方案”，是指完 成这件事的所有方法可以分为两类，即任何一类中的任何一种方 法都可以完成任务，两类中没有相同的方法，且完成这件事的任 何一种方法都在某一类中．
利用两个计数原理的解题策略 用两个计数原理解决具体问题时，首先，要分清是“分类”还是 “分步”，区分“分类”还是“分步”的关键是看这种方法能否 完成这件事情；其次，要清楚“分类”或“分步”的具体标准， 在“分类”时要遵循“不重不漏”的原则，在“分步”时要正确 设计“分步”的程序，注意步与步之间的连续性；有些题目中“分 类”与“分步”同时进行，即“先分类后分步”或“先分步后分 类”．
分类加法计数原理
在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数共有 多少个？
【解】 法一：按十位上的数字分别是 1，2，3，4，5，6，7，8 分成 8 类，在每一类中满足条件的两位数分别有 8 个、7 个、6 个、5 个、4 个、3 个、2 个、1 个．由分类加法计数原理知，满 足条件的两位数共有 8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝36(个)． 法二：按个位上的数字分别是 2，3，4，5，6，7，8，9 分成 8 类，在每一类中满足条件的两位数分别有 1 个、2 个、3 个、4 个、 5 个、6 个、7 个、8 个．由分类加法计数原理知，满足条件的两 位数共有 1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＝36(个)．
解：据条件知 m>0，n>0，且 m≠n，故需分两步完成，第一步确 定 m，有 3 种方法，第二步确定 n，有 2 种方法，故组成椭圆的 个数为 3×2＝6(个)．
1．分类加法计数原理 完成一件事有两类不同方案，在第 1 类方案中有 m 种不同的方法， 在第 2 类方案中有 n 种不同的方法．那么完成这件事共有 N＝ _m_＋__n__种不同的方法．
■名师点拨 对分类加法计数原理的理解
分类加法计数原理中的“完成一件事有两类不同方案”，是指完 成这件事的所有方法可以分为两类，即任何一类中的任何一种方 法都可以完成任务，两类中没有相同的方法，且完成这件事的任 何一种方法都在某一类中．
利用两个计数原理的解题策略 用两个计数原理解决具体问题时，首先，要分清是“分类”还是 “分步”，区分“分类”还是“分步”的关键是看这种方法能否 完成这件事情；其次，要清楚“分类”或“分步”的具体标准， 在“分类”时要遵循“不重不漏”的原则，在“分步”时要正确 设计“分步”的程序，注意步与步之间的连续性；有些题目中“分 类”与“分步”同时进行，即“先分类后分步”或“先分步后分 类”．
分类加法计数原理
在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数共有 多少个？
【解】 法一：按十位上的数字分别是 1，2，3，4，5，6，7，8 分成 8 类，在每一类中满足条件的两位数分别有 8 个、7 个、6 个、5 个、4 个、3 个、2 个、1 个．由分类加法计数原理知，满 足条件的两位数共有 8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝36(个)． 法二：按个位上的数字分别是 2，3，4，5，6，7，8，9 分成 8 类，在每一类中满足条件的两位数分别有 1 个、2 个、3 个、4 个、 5 个、6 个、7 个、8 个．由分类加法计数原理知，满足条件的两 位数共有 1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＝36(个)．
解：据条件知 m>0，n>0，且 m≠n，故需分两步完成，第一步确 定 m，有 3 种方法，第二步确定 n，有 2 种方法，故组成椭圆的 个数为 3×2＝6(个)．
第十章 第一节 分类加法计数原理与分步乘法计数原理 课件(共30张PPT)
主，难度将会变小．
学科素养： 数学建模、数学抽象．
知识·分步落实
⊲学生用书 P165
两个计数原理
分类加法计数原理
分步乘法计数原理
条 完成一件事有两__类__不__同__方__案__，在第 1 完成一件事需要两__个__步__骤__，做
件 类方案中有 m 种不同的方法，在第 2 第 1 步有 m 种不同的方法，做
法，所以由分步乘法计数原理得直线有 5×4＝20(条).]
4．书架的第 1 层放有 4 本不同的语文书，第 2 层放有 5 本不同的数学书， 第 3 层放有 6 本不同的体育书．从第 1，2，3 层分别各取 1 本书，则不同的 取法种数为________．
解析： 由分步乘法计数原理知，从第 1，2，3 层分别各取 1 本书，不 同的取法共有 4×5×6＝120(种).
(2)区域 3 有 4 种选法，区域 1 有 3 种选法，区域 2 有 2 种选法，区域 4 从区域 1，2 所选颜色中选有 2 种选法，区域 5 可选剩下的一种和区域 1，2 所选被区域 4 选剩下的一种，有 2 种选法，共有 4×3×2×2×2＝96 种．
答案： 144；96
用分步乘法计数原理解决问题的三个步骤
类方案中有 n 种不种的方法
第 2 步有 n 种不同的方法
结 完成这件事共有 N＝m__＋__n_种不同的 完成这件事共有 N＝_m_·_n_种不
论 方法
同的方法
[注意] 分类的关键在于要做到“不重不漏”；分步的关键在于要正确 设计分步的程序，即合理分类，准确分步．在分类与分步之前要确定题目中 是否有特殊条件限制．
1．分类加法计数原理中，完成一件事的方法属于其中一类，并且只属于 其中一类．
2．分步乘法计数原理中，各个步骤相互依存，步与步之间“相互独立， 分步完成”．
学科素养： 数学建模、数学抽象．
知识·分步落实
⊲学生用书 P165
两个计数原理
分类加法计数原理
分步乘法计数原理
条 完成一件事有两__类__不__同__方__案__，在第 1 完成一件事需要两__个__步__骤__，做
件 类方案中有 m 种不同的方法，在第 2 第 1 步有 m 种不同的方法，做
法，所以由分步乘法计数原理得直线有 5×4＝20(条).]
4．书架的第 1 层放有 4 本不同的语文书，第 2 层放有 5 本不同的数学书， 第 3 层放有 6 本不同的体育书．从第 1，2，3 层分别各取 1 本书，则不同的 取法种数为________．
解析： 由分步乘法计数原理知，从第 1，2，3 层分别各取 1 本书，不 同的取法共有 4×5×6＝120(种).
(2)区域 3 有 4 种选法，区域 1 有 3 种选法，区域 2 有 2 种选法，区域 4 从区域 1，2 所选颜色中选有 2 种选法，区域 5 可选剩下的一种和区域 1，2 所选被区域 4 选剩下的一种，有 2 种选法，共有 4×3×2×2×2＝96 种．
答案： 144；96
用分步乘法计数原理解决问题的三个步骤
类方案中有 n 种不种的方法
第 2 步有 n 种不同的方法
结 完成这件事共有 N＝m__＋__n_种不同的 完成这件事共有 N＝_m_·_n_种不
论 方法
同的方法
[注意] 分类的关键在于要做到“不重不漏”；分步的关键在于要正确 设计分步的程序，即合理分类，准确分步．在分类与分步之前要确定题目中 是否有特殊条件限制．
1．分类加法计数原理中，完成一件事的方法属于其中一类，并且只属于 其中一类．
2．分步乘法计数原理中，各个步骤相互依存，步与步之间“相互独立， 分步完成”．
分类加法计数原理与分步乘法计数原理 课件
5．两个原理的联系与区别 分类加法计数原理和分步乘法计数原理，回答的都是 有关做一件事的 不同方法的种数 问题．区别在于： 分类加法计数原理针对的是 分类 问 题 ， 其 中 各 种 方 法 相互独立 ，其中任何一种方法都可以完成这件 事；分步乘法计数原理针对的是 分步 问 题， 各 个步骤 中的方法 互相依存 ，只有各个步骤都完成才算完 成这件事．
[例1] 在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的 两位数共有多少个？
[分析] 该问题与计数有关，可考虑选用两个基本原 理来计算，完成这件事，只要两位数的个位、十位确定了， 这件事就算完成了，因此可考虑按十位上的数字情况或按 个位上的数字情况进行分类．
[解析] 解法一：按十位数上的数字分别是 1,2,3,4,5,6,7,8的情况分为8类，在每一类中满足题目条件的 两位数分别是8个，7个，6个，5个，4个，3个，2个，1 个．
m1＋m2＋…＋mn 种不同的方法．
3．分步乘计数原理 完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法， 做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝ m×种n 不同的方法． 4．分类计数乘法原理的推广 完成一件事需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同的 方法，做第2步有m2种不同的方法，…，做第n步有mn种不 同的方法，那么完成这件事共有N＝ m1×m2×…×mn 种 不同的方法．
(2)分为三步：国画、油画、水彩画各有5种、2种、7 种不同的选法，根据分步乘法计数原理，共有5×2×7＝70 种不同的选法．
(3)分为三类：第一类是一幅选自国画，一幅选自油画， 由分步乘法计数原理知，有5×2＝10种不同的选法．
第二类是一幅选自国画，一幅选自水彩画，有5×7＝ 35种不同的选法．
所以从书架上任取三本书，其中数学书、语文书、英 语书各一本，共有30种不同的取法．
分类加法计数原理和分步乘法计数原理(优质课)
B大学
生物学
数学
化学
会计学
医学
信息技术学
物理学
法学
工程学
如果这名同学只能选一个专业,那么他共有多少种
选择呢? 2021/3/10
讲解：XX
6
变式：在填写高考志愿表时,一名高中毕业生了解
到,A,B,C三所大学各有一些自己感兴趣的强项专
业,具体情况如下:
A大学
B大学
C大学
生物学
数学
机械制造
化学
会计学
建筑学
N=m1+m2+m3 种不同的方法
2021/3/10
讲解：XX
8
如果完成一件事情有n类不同方案，在每一类 中都有若干种不同方法，那么应当如何计数呢？
完成一件事有 n 类不同的方案， 在第1类方案中有 m1 种不同的方法， 在第2类方案中有 m2 种不同的方法， …… 在第n类方案中有mn种不同的方法， 那么完成这件事共有
FABCDE7777
FABCDE8888
FABCDE9999
11
变换：用前6个大写英文字母和1～9九个阿拉
伯数字，以A1，A2，···，B1，B2，···的 方式给教室里的座位编号，总共能编出多少种不 同的号码？ 分析：完成给教室里的座位编号这件事需要 两个步骤， 第1步，确定一个英文字母，有6种不同方法； 第2步，确定一个阿拉伯数字，有9种不同方法；
的 骨 头 忽 而 精神抖 数，每 一步都 踏出不 一样的 旋律， 时而低 沉，时 而高旷 。 每 一 个 音 符 都像个 淘气的 娃娃， 在校园 里满处 跑，一 会儿跑 进宿舍 ，冲入 饭堂； 一 会 儿 又 与 小草嬉 戏，为 花儿伴 舞；这 会儿， 一个音 符划过 天空， 吸引了 躲在屋 里 的 太 阳 .太 阳听了 ，满意 地点点 头笑了 ，整个 大地披 上了一 层金黄 色的衣 裳，花 儿 微 微 探 出 头，小 草抖一 抖身子 ，挺了 挺腰骨 ，洗把 脸又干 活去了 ，鸟儿 看到笑 脸 ， 唱 着 轻 快的歌 儿以表 达自己 的喜悦 之情， 花儿红 了，小 草绿了 ，校园 里的莘 莘 学 子 笑 了 。 “ 铃 ……铃 ……铃 ……”， 上 课 铃声 唤醒了 陶醉在校园美景的同 学 们 ， 不 得 不加快 脚步， 鸟语花 香伴随 着，整 齐有力 的脚步 声，使 整个校 园焕然 一 新 。 庄 然 而古老 的教学 楼看到 年轻活 泼的我 们，忍 不住伸 出大手 环抱我 们，让
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伯数字，以A1，A2，···，B1，B2，···的方式给教 室里的座位编号，总共能编出多少种不同的号码？
分析：完成给教室里的座位编号这件事需要 两个步骤， 第1步，确定一个英文字母，有6种不同方法； 第2步，确定一个阿拉伯数字，有9种不同方法；
所以，编号共有6×9=54种方法.
例2、设某班有男生30名，女生24名。现要从中选出 男、女生各一名代表班级参加比赛，共有多少种不同 的选法？
B大学
生物学
数学
化学
会计学
医学
信息技术学
物理学
法学
工程学
如果这名同学只能选一个专业,那么他共有多少种 选择呢?
变式：在填写高考志愿表时,一名高中毕业生了解 到,A,B,C三所大学各有一些自己感兴趣的强项专 业,具体情况如下:
A大学
B大学
C大学
生物学
数学
机械制造
化学
会计学
建筑学
医学
信息技术学 广告学
物理学
法学
汉语言文学
工程学
韩语
如果这名同学只能选一个专业,那么他共有多少种 选择呢? N=5+4+5=14(种)
探究1
如果完成一件事情有3类不同方案，在第1类方 案中有m1种不同的方法，在第2类方案中有m2 种不同的方法，在第3类方案中有m3种不同的 方法，那么完成这件事情有
N=m1+m2+m3 种不同的方法
例3、长征的部分电话号码是094数,问可以产生多少个不同的电话
号码?
分析:
0943665
10×10× 10× 10=104 分析: 10× 9 × 8 × 7=5040
变式: 若要求最后4个数字不重复,则又有多少种不同 的电话号码?
分类加法计数原理：
做第1步有m1 种不同的方法， 做第2步有m2种不同的方法， ……
做第n步有mn种不同的方法， 那么完成这件事共有
N m1 m2 mn
种不同的方法。
两个计数原理
分类加法计数原理 分步乘法计数原理
相同点 用来计算“完成一件事”的方法种数 分类完成 类类相加 分步完成 步步相乘
不同点 每类方案中的每一 种方法都能_独__立___
字母 FBCDEA
树形图
数字
1 2 3 4 5 6 7 8 9
得到的号码
FABCDE1111 FABCDE2222 FABCDE3333 FABCDE4444 FABCDE5555 FABCDE6666 FABCDE7777 FABCDE8888 FABCDE9999
变换：用前6个大写英文字母和1～9九个阿拉
如果完成一件事情有n类不同方案，在每一类 中都有若干种不同方法，那么应当如何计数呢？
完成一件事有 n 类不同的方案， 在第1类方案中有 m1 种不同的方法， 在第2类方案中有 m2 种不同的方法， …… 在第n类方案中有mn种不同的方法， 那么完成这件事共有
N m1 m2 mn 种不同的方法。
第1步：从第1层取1本计算机书，有4种方法；
第2步：从第2层取1本文艺书，有3种方法； 第3步：从第3层取1本体育书，有2种方法。 根据分步计数原理，不同取法的种数是： N=4×3×2=24.
两类
能
26种 10种
26+10=36种
假如你从平川到兰州， 可以坐直达客车或直达火车，
客车每天有3个班次，火车每天有2个班次， 请问你共有多少种不同的走法客？车1
平川
客车2
客车3
兰州
火车1 火车2 分析：完成从平川到兰州这件事有2类方案， 所以，从平川到兰州共有3+ 2= 5种方法.
问题1:你能否发现这两个问题有什么共同特征？ 1、都是要完成一件事 2、用任何一类方法都能直接完成这件事 3、都是采用加法运算
1.1分类计数原理
与分步计数原理
请思考: 问题1：用一个大写的英文字母
或一个阿拉伯数字给教室里的座位编号，总共 能够编出多少种不同的号码？
问题剖析
要完成什么事情
完成这个事情有几 类方案 每类方案能否独立 完成这件事情 每类方案中分别有 几种不同的方法 完成这件事情共有 多少种不同的方法
问题1
用一个大写的英文字母或一个阿拉伯 数字给教室里的座位编号
第1类方法是从第1层取1本计算机书，有4种方法； 第2类方法是从第2层取1本文艺书，有3种方法； 第3类方法是从第3层取1本体育书，有2种方法。 根据分类加法计数原理，不同取法的种数是： N=4+3+2=9.
例3 书架上的第1层放着4本不同的计算机书，第2层放 着3本不同的文艺书，第3层放着2本不同的体育书。 （1）从书架上任取1本书，有几种不同的取法？ （2）从书架上的第1、2、3层各取1本书，有几种不同 的取法？ 解：从书架的第1，2，3层各取1本书， 可以分成三个步骤完成：
你能总结出这类问题的一般解决规律吗？
完成一件事有两类不同的方案， 在第1类方案中有m种不同的方法， 在第2类方案中有n种不同的方法， 那么完成这件事共有
N= m+ n 种不同的方法。
例1.在填写高考志愿表时,一名高中毕业生了解到 A,B两所大学各有一些自己感兴趣的强项专业,具 体情况如下:
A大学
完成一件事有 两类不同方案,在第 1类方案中有m种不 同的方法,在第2类 方案中有n种不同的 方法.那么完成这件 事共有
N=m+n 种不同的方法.
分步乘法计数原理：
完成一件事需 要两个步骤,做第1 步有m种不同的方法, 做第2步有n种不同 的方法.那么完成这 件事共有
N=m×n
种不同的方法.
完成一件事需要n个步骤，
引例1：用一个大写的英文字母或一个阿拉伯
数字给教室里的座位编号，总共能够编出多少 种不同的号码？
变换：用前6个大写英文字母和1～9九个阿拉伯
数字，以A1，A2，···，B1，B2，···的方式给教室里 的座位编号，总共能编出多少种不同的号码？
分析：完成给教室里的座位编号编号这件事 分两 步完成：第1步：先确定一个英文字母 第2步，后确定一个阿拉伯数字
完成这件事
每步_依__次__完__成__才 算完成这件事情 （每步中的每一种 方法不能独立完成
这件事）
注意点 类类独立 不重不漏 步步相依 步骤完整
例3 书架上的第1层放着4本不同的计算机书，第2层放 着3本不同的文艺书，第3层放着2本不同的体育书。 （1）从书架上任取1本书，有几种不同的取法？
解：从书架上任取1本书， 有三类方法：
分析：完成给教室里的座位编号这件事需要 两个步骤， 第1步，确定一个英文字母，有6种不同方法； 第2步，确定一个阿拉伯数字，有9种不同方法；
所以，编号共有6×9=54种方法.
例2、设某班有男生30名，女生24名。现要从中选出 男、女生各一名代表班级参加比赛，共有多少种不同 的选法？
B大学
生物学
数学
化学
会计学
医学
信息技术学
物理学
法学
工程学
如果这名同学只能选一个专业,那么他共有多少种 选择呢?
变式：在填写高考志愿表时,一名高中毕业生了解 到,A,B,C三所大学各有一些自己感兴趣的强项专 业,具体情况如下:
A大学
B大学
C大学
生物学
数学
机械制造
化学
会计学
建筑学
医学
信息技术学 广告学
物理学
法学
汉语言文学
工程学
韩语
如果这名同学只能选一个专业,那么他共有多少种 选择呢? N=5+4+5=14(种)
探究1
如果完成一件事情有3类不同方案，在第1类方 案中有m1种不同的方法，在第2类方案中有m2 种不同的方法，在第3类方案中有m3种不同的 方法，那么完成这件事情有
N=m1+m2+m3 种不同的方法
例3、长征的部分电话号码是094数,问可以产生多少个不同的电话
号码?
分析:
0943665
10×10× 10× 10=104 分析: 10× 9 × 8 × 7=5040
变式: 若要求最后4个数字不重复,则又有多少种不同 的电话号码?
分类加法计数原理：
做第1步有m1 种不同的方法， 做第2步有m2种不同的方法， ……
做第n步有mn种不同的方法， 那么完成这件事共有
N m1 m2 mn
种不同的方法。
两个计数原理
分类加法计数原理 分步乘法计数原理
相同点 用来计算“完成一件事”的方法种数 分类完成 类类相加 分步完成 步步相乘
不同点 每类方案中的每一 种方法都能_独__立___
字母 FBCDEA
树形图
数字
1 2 3 4 5 6 7 8 9
得到的号码
FABCDE1111 FABCDE2222 FABCDE3333 FABCDE4444 FABCDE5555 FABCDE6666 FABCDE7777 FABCDE8888 FABCDE9999
变换：用前6个大写英文字母和1～9九个阿拉
如果完成一件事情有n类不同方案，在每一类 中都有若干种不同方法，那么应当如何计数呢？
完成一件事有 n 类不同的方案， 在第1类方案中有 m1 种不同的方法， 在第2类方案中有 m2 种不同的方法， …… 在第n类方案中有mn种不同的方法， 那么完成这件事共有
N m1 m2 mn 种不同的方法。
第1步：从第1层取1本计算机书，有4种方法；
第2步：从第2层取1本文艺书，有3种方法； 第3步：从第3层取1本体育书，有2种方法。 根据分步计数原理，不同取法的种数是： N=4×3×2=24.
两类
能
26种 10种
26+10=36种
假如你从平川到兰州， 可以坐直达客车或直达火车，
客车每天有3个班次，火车每天有2个班次， 请问你共有多少种不同的走法客？车1
平川
客车2
客车3
兰州
火车1 火车2 分析：完成从平川到兰州这件事有2类方案， 所以，从平川到兰州共有3+ 2= 5种方法.
问题1:你能否发现这两个问题有什么共同特征？ 1、都是要完成一件事 2、用任何一类方法都能直接完成这件事 3、都是采用加法运算
1.1分类计数原理
与分步计数原理
请思考: 问题1：用一个大写的英文字母
或一个阿拉伯数字给教室里的座位编号，总共 能够编出多少种不同的号码？
问题剖析
要完成什么事情
完成这个事情有几 类方案 每类方案能否独立 完成这件事情 每类方案中分别有 几种不同的方法 完成这件事情共有 多少种不同的方法
问题1
用一个大写的英文字母或一个阿拉伯 数字给教室里的座位编号
第1类方法是从第1层取1本计算机书，有4种方法； 第2类方法是从第2层取1本文艺书，有3种方法； 第3类方法是从第3层取1本体育书，有2种方法。 根据分类加法计数原理，不同取法的种数是： N=4+3+2=9.
例3 书架上的第1层放着4本不同的计算机书，第2层放 着3本不同的文艺书，第3层放着2本不同的体育书。 （1）从书架上任取1本书，有几种不同的取法？ （2）从书架上的第1、2、3层各取1本书，有几种不同 的取法？ 解：从书架的第1，2，3层各取1本书， 可以分成三个步骤完成：
你能总结出这类问题的一般解决规律吗？
完成一件事有两类不同的方案， 在第1类方案中有m种不同的方法， 在第2类方案中有n种不同的方法， 那么完成这件事共有
N= m+ n 种不同的方法。
例1.在填写高考志愿表时,一名高中毕业生了解到 A,B两所大学各有一些自己感兴趣的强项专业,具 体情况如下:
A大学
完成一件事有 两类不同方案,在第 1类方案中有m种不 同的方法,在第2类 方案中有n种不同的 方法.那么完成这件 事共有
N=m+n 种不同的方法.
分步乘法计数原理：
完成一件事需 要两个步骤,做第1 步有m种不同的方法, 做第2步有n种不同 的方法.那么完成这 件事共有
N=m×n
种不同的方法.
完成一件事需要n个步骤，
引例1：用一个大写的英文字母或一个阿拉伯
数字给教室里的座位编号，总共能够编出多少 种不同的号码？
变换：用前6个大写英文字母和1～9九个阿拉伯
数字，以A1，A2，···，B1，B2，···的方式给教室里 的座位编号，总共能编出多少种不同的号码？
分析：完成给教室里的座位编号编号这件事 分两 步完成：第1步：先确定一个英文字母 第2步，后确定一个阿拉伯数字
完成这件事
每步_依__次__完__成__才 算完成这件事情 （每步中的每一种 方法不能独立完成
这件事）
注意点 类类独立 不重不漏 步步相依 步骤完整
例3 书架上的第1层放着4本不同的计算机书，第2层放 着3本不同的文艺书，第3层放着2本不同的体育书。 （1）从书架上任取1本书，有几种不同的取法？
解：从书架上任取1本书， 有三类方法：