第三章 高斯光束的传输与变换

2.9.4 高阶高斯光束 （1）厄米特—高斯光束 高阶高斯光束横截面内的场分布可由高斯函数与厄米多项式的 乘积来描述。 沿z方向传输的厄米卢高斯光束
mn(x ,y ,z ) C mn
C mn 1
1

H m(
2
2

x )H n(
2

y) e
r2 2
e
r2 z i k(z )( m n 1)arctg 2R f
激光物理
第三章
高斯光束的传输与变换
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方形镜共焦腔的行波场
（厄米-高斯光束） 当镜面上的场分布能够用厄米-高斯函数来描述时，共焦 腔中的行波场可以表示为：
2 2 0 Emn( x, y, z ) AmnE 0 Hm x Hn y e ( z) ( z) ( z)
1 1 令q0=q(0)，则： Nhomakorabeai 2 q 0 R(0) (0)
20 R(0) , (0) 0 q 0 i if
通过这些公式，我们可以用高斯光束的q参数来描述高斯光束。
以上三组参数都可以用来确定高斯光束的具体结构，需要根据 实际问题来灵活选择使用哪种参数。
2 2 2 2
可见,光斑半径随坐标z按双曲线的规律而扩展,在z=0处,以 ω(z)=ω0,达到极小值（束腰）。
（2)基模高斯光束的相移特性由相位因子决定
r2 z 00(x ,y ,z ) k(z ) arctg 2R f
表明高斯光束的等相位面是以R为半径的球面
2 2 0 R(z ) z 1 z
式中ω0和ω(z)分别为基模光腰半径和z处光斑半径。在z方向和y 方向的远场发散角 2 ( z ) 2 m lim m 2m 1 2m 1 0 z z 0 2n ( z ) 2 n lim 2n 1 2n 1 0 z z 0
高斯光束在其传输轴线附近可近似看作是一种非均匀 球面波。其曲率中心随着传输过程而不断改变,但其振 幅和强度在横截面内始终保持高斯分布特性,且其等相 位面始终保持为球面。
(3) 基模高斯光束强度的1/e2点的远场发散角为
0 lim
2 ( z ) 2 0.6367 2 1.128 z z 0 0 f f
3.1.3 基模高斯光束的特征参数
（1）用参数ω0(或f)及束腰位置表征高斯光束
2 z ( z ) 0 1 f 2 f z f f 2 R R( z ) z 1 f ( ) z f z z z 02 f f , 0 r 2 x2 y2 2 k
x o
R1( z ) z1
z2
R2 ( z )
L
z
2. 通过焦距为F的薄透镜
1 1 1 R 2( z ) R1( z ) F
F
R1 R 2( z ) R1 / F 1
) R 1(z
R2 ( z)
球面波波前曲率半径变化规律
R1( z ) z R 2( z ) R1( z ) ( z 2 z1) R1( z ) L
z f 随阶数m和n的增大而增大。可以推论,其z方向和y方向的光腰尺寸
mn (m n 1) arctg
2 2 m (2m 1)0 2 2 n (2n 1)0
在z处的光斑尺寸为
2 2 m ( z ) (2m 1)0 ( z ) 2 2 n ( z ) (2n 1)0 ( z )
3.1.2 基模高斯光束在自由空间的传输规律 高斯光束具有下述基本性质： (1)基模高斯光束在横截面内的场振幅分布按高斯函数所 描述的规律从中心(即传输轴线)向外平滑地降落。由振幅降 落到中心值的1/e的点所定义的光斑半径为
z z z z ( ( z z) ) 00 1 1 1 1 0 0 f 2 2 00 f
r2 2( z )
e
i ( x , y , z )
只要考虑输出镜的输出对光束没有变换作用， 行波场的表达式还可推广到腔外整个空间。
1. 高斯光束的基本性质及特征参数 2. 高斯光束的传输变换规律 3. 高斯光束的聚焦和准直 4. 高斯光束的匹配与自再现
3.1 高斯光束的基本性质及特征参数
3.1.1 基模高斯光束 沿z轴方向传播的基模高斯光束,不管它是由何种结构的稳定 腔所产生的,均可表示为如下的一般形式:
c 00(x ,y ,z ) e (z )
r2 z r2 i k(z ) arctg 2 2R f (z )
e
c为常数因子
2 z ( z ) 0 1 f f 2 z f f 2 R R( z ) z 1 f ( ) z f z z z 02 f f , 0 r 2 x2 y2 2 k
2 2 f z 0 R(z ) f z 1 z f z
3.2 高斯光束的传输变换规律
3.2.1 普通球面波的传播规律 1. 通过长度为L的自由空间
R1( z ) z R 2( z ) R1( z ) ( z 2 z1) R1( z ) L
光线传输矩阵
自由空间
1 L 0 1 1 1/ F 0 1
薄透镜
R1 R 2( z ) R1 / F 1
将两式与光线矩阵相比较可以得到球面波的传播规律：
AR1( z ) B R 2( z ) CR1( z ) D
3.2.2 高斯光束q参数的变换规律 高斯光束在近轴部分可以看作一系列非均匀、曲率中心 不断改变的球面波，也具有类似于普通球面波的曲率半 径R的参数，即q参数： 20 2 R( z ) z 1 1 1 z i 2 其中 q( z ) R( z ) ( z ) 2 2( z ) 2 1 z 0 2 (1) 0 (2) 1. 自由空间传播
（2）拉盖尔·高斯光束 在柱对称稳定腔阪(包括圆形孔径共焦腔)冲中,高阶横模由缔 合拉盖尔多项式与高斯分布函数的乘积来描述,沿z方向传输的拉盖 尔-高斯光束可表为如下的一般形式:
mn (r , , z )
Cmn

( 2
r

) L (
m
n m
2r
2

2
)e

r2
2
e
r2 z i k ( z ) ( m n 1) arctg 2R f

H m(
2

x )H n(

y) e
r2 z i k(z )( m n 1)arctg 2q f
式中ω=ω (z)、R=R(z)的意义与以前一样, 分别表示m阶和n阶厄米多项式。
H m(
2

x ) Hn (
2

y)
厄米-高斯光束沿z方向有m条节线,沿y方向有n条节线;沿传输轴线相对 于几何相移的附加相位超前
标准球面波 相移
x2 y 2 kz k ;z R 2R
当z =0时,R(z)→∞,表明束腰所在处的等相位面为平面; 当z =±∞时,|R(z)|≈|z|→∞,表明离束腰无限远处的等相位面亦为 平面, 且曲率中心就在束腰处; 当z =士f时,|R(z)|=2f,且|R(z)|达到极小值; 当0<z<f时,R(z)>2f,表明等相位面的曲率中心在〔-f~∞〕区间上; 当z >f时,z<R(z)<z+f,表明等相位面的曲率中心在〔-f,0〕区间上。
（4）瑞利长度
z (z ) 0 1 f
2
z 0 1 2 0
2
2 0 f
当光束从束腰传播到 z z 0处时，光束半径 ( z) 2 0 ， 即光斑面积增大为最小值的两倍，这个范围称为瑞利范 围，从束腰到该处的长度称为高斯光束的瑞利长度（共 焦参数），通常记作 f 。 在实际应用中，一般认为基模高斯光束在瑞利长度范围 内是近似平行的，因此也把瑞利距离长度称为准直距离。 从瑞利长度表达式 f = ������������������ ������ /������可以得出结论，高斯光束 的束腰半径越大，其准直距离越长，准直性越好。
cos m sin m
与基模高斯光束比较,柱对称系统中的高阶高斯光束的横向场分布 由函数 r 2 cos m 2 r n Lm ( 2 )e sin m
2 2
描述,它沿半径r方向有n个节线圆,沿辐角伊方向有m根节线;而拉 盖尔-高斯光束的附加相移为
mn (m 2n 1)arctg z f
只要确定了束腰的位置和半径ω0，就可以确定任何 位置的光束半径和等相位面半径等参数。
（2） 用参数 ω（z）和R（z）表征高斯光束
1 2
( z ) 0 ( z ) 1 R ( z ) R( z ) 2 1 z R( z ) 1 2( z )
2 z (z ) 0 1 f 2 f z f f2 R R(z ) z 1 z f(f z ) z z 2 0 f f ,0
可见Δφmn 随n的增加比随m更快。