函数的零点(课堂PPT)

根分别在区间(0，1)，(1，2)内，则（ ）
（A）k
3 2
（B）k<3或k>4
（C）－1<k<1或3<k<4
（D）－2<k<－1或3<k<4
解：函数f(x)=7x2－(k+13)x+k2－k－2的图象 是开口向上的抛物线，两个零点分别在(0，1)，
(1，2)内，所以由图象可知，函数y=f(x)满足
y
bbb bb b 0 a bb bbbb x
反之不成立！
(5)定理的作用：判定零点的存在， 并找出零点所在的区间。
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解方程
定理法
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例1. 求函数y=x3－2x2－x+2的零点，并画出
它的图象。
解：因为x3－2x2－x+2=x2(x－2)－(x－2) =(x－2)(x+1)(x－1).
所以函数的零点为－1，1，2. 3个零点把x轴分成4个区间：(－∞，－1)、 (－1，1)、(1，2)、(2，+∞)。 在这四个区间内，取x的一些值，以及零点， 列出这个函数的对应值表：
只有一个吗？ 至少有一个， 可以有多个。
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（3）再加上什么条件就“有且仅有一个零点”呢？
如果函数 yf(x)在区 a,b间 上的连图 续不断象
的一条曲线，并且 f(a)·f(b)<0，并且是单调函数，那么 y f (x)在区（间a,b）内有且只有一个零点。
y
0a
bx
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(4) 若函数y= f( x ) 在区间(a, b)内有零点，一 定能得出f( a )·f( b )<0的结论吗？
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x … －1.5 － － 0 0.5 1 1.5 2 1 0. 5
y … － 0 1.88 2 1.13 0 －0.63 0 4.3 8
在直角坐标系内描
点连线，这个函数
的图象如图所示。
2.5 … 2.63 …
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例题2：在下列哪个区间内,函数f (x)= x3＋3x－5
一定有零点（ ）C
A、(－1,0） B、(0,1）
(2)在区 b,c上 间 _有_（ _/_ 有 无）零点；
f(b)f(c) _0 _ (或 )
(3)在区 c,d上 间 有 _（ _/无 有）零点； f(c)f(d)_ _ 0( _ 或 ) y
a0 b
cd
x
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若函数y f (x)在区间[a,b]上有定
义，而且满f足a f b0,则函数
y f x在区间a,b内一定存在零点吗
A（3，0）,（2，0）； B x=2 ；
C x=3 ；
D 2和3．
2、若函数f x x2 2xa没有零点，
则实数a的取值范围是 B
A、a 1
B、a 1
C、a 1
D、a 1
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什么条件下才能确 定零点的存在呢？
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二次函数 f (x) x2 2x 3 的图象， 可以发现
① 在区间[-2,1]上有零点___-1___。
函数的零点
1
2
函数的零点
在坐标系中表示图象与x轴的公共点是 (－2，0)、(3，0)。
3
零点的定义：
一般地，如果函数y=f(x)在实数α处的 值等于0，即f(α)=0，则α叫做这个函 数的零点。在坐标系中表示图象与x 轴的公共点是(α，0)。
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一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与二次函数 y= ax2+bx+c(a≠0)的零点，以 a 0为例画图 .
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f (0) 0
k2 k 2 0
f (1 )
0
，即
k
2
2k
8
0
，
f ( 2 ) 0
k 2 3k 0
k 2或 k 1
解得，
2 k 4
k
3或
k
0
所以－2<k<－1或3<k<4，选D。
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例4．已知m∈R，函数f(x)=m(x2－1)+x－a恒有 零点，求实数a的取值范围。
C、(1,2）
D、(2,3）
变式：已知函数f(x)的图象是连续不断的，
且有如下的x ,f(x)对应值表：
x 1 2 3 4 56 7
f(x) 23 9 –7 11 –5 –12 –26
那么该函数在区间[1，6]上有（ B）零点.
A、只有3个 B、至少有3个
C、至多有3个 D、无法确定
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例3．若方程7x2－(k+13)x+k2－k－2=0的两实
解：（1）当m=0时，f(x)=x－a=0解得x=a恒 有解，此时a∈R；
（2）当m≠0时，∵ f(x)=0，即mx2+x－m－a=0 恒有解，
∴ △1=1+4m2+4am≥0恒成立， 令g(m)=4m2+4am+1，
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∵g(m)≥0恒成立， ∴ △2=16a2－16≤0，解得－1≤a≤1。
综上所述知，当m=0时，a∈R； m≠0时，－1≤a≤1。
y
y
0a
bx
0a
y
bx
0a
bx
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零点存在性定理：
如果函数 yf(x)在区 a,b间 上的连图 续不断象
的一条曲线，并且 f(a)·f(b)<0，那么 y f (x)在区间
（a,b）内有零点，即存在 c (a,b)使 , f得 (c)0,这个 c也就是方程 f (x) 0的根。
（1）两个前提条件缺一不可 （2）“有零点”是指有几个零点呢？
所以：
方程f (x)=0有实数根 ? 函数y f(x)的图象与x轴有交点 ? 函数y f(x)的有零点
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二次函数零点的类型：
（1）函数图象通过零点且穿过x轴， 函数的值变号，这类零点叫变号零点
（2）函数图象通过零点未穿过x轴， 函数的值变号，这类零点叫不变号零点
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即兴练习
1、函数y=x2-5x+6的零点是（ D ）
判别式
y=ax2+bx+c 的图象
ax2+bx+c=0 的根
函数的零点
>0
y
x1 0
x2 x
两个不相等的 实数根x1 、x2
两个零点 x1 , x2
0
y
0 x1 x
有两个相等的 实数根x1 = x2
一个零点x=- b 2a
<0
y
0
x
无实数根
无零点
5
方 程 f(x)=0的 实 数 根 ? 函 数 y f(x)的 图 象 与 x轴 交 点 的 横 坐 标 ? 函 数 y f(x)的 零 点
计算 f (2) _5______， f (1) _-4______, 发现 f (2Βιβλιοθήκη Baidu ·f (1)<_____0（＜或＞）．
② 在区间[2,4]上是否也具有这种 特点呢？
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观察下面 y函 f(x)数 的图象
(1)在区 [a,b 间 ]上 _有_有 _/(无 )零点；
f(a)f(b)_ 0_ (或 )
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例5．方程x2+(m－2)x+5－m=0的两根都大于
2，求实数a的取值范围。