《光纤光学教学课件》第三讲

2020/4/22
纵模
• 相长干涉 条件：2 nL＝Kλ • 纵模是与激光腔长度相关的，所以叫做“纵
模”，纵模是指频率而言的。
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模式的场分量
• 模式场分布由六个场分量唯一决定：
直角坐标系：Ex Ey Ez Hx Hy Hz 圆柱坐标系：Er E Ez Hr H Hz • Ez 和 Hz 总是独立满足波导场方程
说明：光纤为圆柱型波导，通常 在圆柱坐标系下研究更为方便。 此时其两个横向分量相互交叠， 没有如此简单的分量方程，只有 纵向分量满足独立的波导场方程。
• 场的横向分量可由纵向分量来表示——6个场
分量可简化为2个纵向场分量的求解。
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直角坐标系纵横关系式
优点：具有理论上的严谨性，未做任何前提近似，因此适用于各种折射率分布的单 模和多模光纤。 缺点：分析过程较为复杂。
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光纤光学的研究方法比较
适用条件 研究对象 基本方程 研究方法 研究内容
几何光学方法 d 光线 射线方程 折射/反射定理 光线轨迹
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• 由此得到电场E和磁场H的场分布满足的 波导场方程：
数学物理意义：
是波动光学方法的最基本方程。它是一个典型的
本征方程,其本征值为χ或β。当给定波导的边界条 件时,求解波导场方程可得本征解及相应的本征值。 通常将本征解定义为“模式”.
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0 —材料在真空中的磁导率；e 0 —材料在真空中的介电常数；
n—材料折射率
边界条件：在两种介质交界面上电磁场矢量的E(x,y)和H(x,y)切 向分量要连续,D与B的法向分量连续：
nv•
vv D2 D1
0
nv•
vv B2 B1
0
nv
vv E2 E1
0
nv
vv H2 H1
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光纤中的模式-横模
• 横模
• 光波在传输过程中，在光束横截面上将形 成具有各种不同形式的稳定分布，这种具 有稳定光强分布的电磁波，称为横模。横 模（表现在光斑形状）的分布是和光波传 输区域的横向（xy面）结构相关的；
• 光纤中的模式：
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优点：简单直观，适合于分析芯径较粗的多模光纤。 缺点：不能解释诸如模式分布、包层模、模式耦合以及光场分 布等现象，分析单模光纤时结果存在很大的误差。
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波动光学方法：
是一种严格的分析方法，从光波的 本质特性电磁波出发，通过求解电磁波所遵 从的麦克斯韦方程，导出电磁波的场分布。
由 Q2 n2
v n
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单位矢量相等：
uv v n drv Q
n ds
又有：
d dxi drv •
ds i ds xi ds
对式 Q2 n2 ，求导数得：
2Q Q 2nn
n
drv ds
Q
nn
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n d Q nn
波动理论：对于给定的边界条件求本征方程的解
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——本征解及对应本征值
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空间坐标纵横分离：波导场方程
光纤波导光波传输特征： 在纵向（轴向）以“行波”形式存在，横向以
“驻波”形式存在。场分布沿轴向只有相位变化， 没有幅度变化。
进行空间坐标纵、横分离，令 代入亥姆霍兹方程得到
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分离变量: 时空坐标分离
前提：光纤传播单色光波，时间函数为简谐函数 令场分量为：
(x, y, z,t) (x, y, z)eit
得到关于E(x,y,z)和H(x,y,z)的方程式，即 亥姆霍兹方程：
2(x, y, z) k 2(x, y, z) 0
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典型光线传播轨迹
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反射型 折射型
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2.3 波导场方程
电、磁分离
麦克斯韦方程
场的波动方程
直角坐标系 or 圆 柱坐标系下研究
任意场分量都满足. 选哪个场分量 研究呢？ 能方便求出其他场分量！
k02 (k2 / 0
由几何光学近似（ 0 0 或k0 ∞）可得：
(Q)2 n2 —— 光程函数方程
当已知折射率分布时，由程函方程可以求出光程函数 Q ，并进而由
Q(x, y, z) const,可确定等相位面。
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2、模式命名
• 根据场的纵向分量Ez和Hz的存在与否,可 将模式命名为:
(1)横电磁模(TEM): Ez＝Hz＝0; (2)横电模(TE): Ez＝0, Hz≠0; (3)横磁模(TM): Ez≠0, Hz＝0; (4)混杂模(HE或EH):Ez≠0, Hz≠0。 • 光纤中存在的模式多数为HE(EH)模,有 时也出现TE(TM)模。
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二、光线方程 由光程函数方程可推得光线方程：
d dS
n
drr dS
n
rr
ds dr
r dr r
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S x, y, z
设光线函数为S(x,y,z)，取线段元dS
dSdrvr的v的为方单d向位S导的矢数切量为线：：，vuvddrsQv
uv//v
M g V2 2(g 2)
V 2 a 0
n12 n22 k0an1
2 k0a NA
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4、横向传播常数（U、W）
横向分量：
1
n k2 2 10
b2
（对应于纤芯）
2
n k2 2 20
b2
（对应于包层）
定义横向传播常数：
U a1
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时、空分离
亥姆霍兹方程
纵、横分离
波导场方程
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波动理论
• 亥姆霍兹方程：
E1t E2t H1t H2t
B1n B2n
D1n D2n
• 特征：拉普拉斯算符作用在场分量函数上的结果
等于该函数与一常数-k2的乘积。
——这类方程在数学上称为本征方程，常数k称为 本征值，该函数称为本征函数。
ds
d ds
n
drv ds
n
光线方程
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光线方程的物理意义：
当光线与z 轴夹角很小时，有： 物理意义：
d dz
n
drv dz
n
rv
• 将光线轨迹(由r描述)和空间折射率分布(n)联系起来;
• 由光线方程可以直接求出光线轨迹表达式;
• dr/dS是光线切向斜率, 对于均匀波导，n为常数,光线以直
直角坐标系下：
柱坐标系下：
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直角坐标系各分量方程
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2.4 模式及其基本性质
1、模场分布
• 即波导场方程满足边界条件的本征解 直角坐标系：(Ex、Ey、Ez) (Hx、Hy、Hz) 圆柱坐标系：(Er、Eφ、Ez) (Hr、Hφ、Hz)
线形式传播;对于渐变波导,n是r的函数,则dr/dS为一变量,
这表明光线将发生弯曲。而且可以证明,光线总是向折射率
高的区域弯曲。
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光线总是向折射率高的区域弯曲
由光线方程可以证明下列关系式成立：
1 1 N.n R n(r)
课后作业题：证明上式。
k e /Vp 2 / nk0
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2.2 程函方程与射线方程
一、程函方程：光程函数方程
设上述的标量场方程的解有如下形式： 0 ( x, y, z)eik0Q( x, y,z)
Q(x,y,z) 是光程函数，代入亥姆赫兹方程得：
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补充数学知识
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补充数学知识
为梯度算符，在直角坐标系与圆柱坐标系中分别为：
ex
x
ey
y
ez
z
er
r
e
1.
r
ez
z
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2
(r)
n2n(22rk)02k02
b2 b2
0r a ra
n2 k0 b n1k0
z
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k n(r)k0
芯区： 为实数 包层： 为 纯虚数