函数的凹凸性与拐点的定义与求法(课堂PPT)

解
当x0时, y
1
2
x3
,
y 4x53,
3
9
x0是不,可 y,y均 导不 点 . 存在
但 (,在 0 ) 内 ,y 0 ,曲线(在 ,0]上是凹 ; 的 在 (0 ,)内 ,y 0 ,曲线[0,在 )上是凸 . 的
点 (0,0)是曲 y3线 x的拐 . 点
.
12
四、小结
曲线的弯曲方向——凹凸性; 凹凸性的判定. 改变弯曲方向的点——拐点; 拐点的wenku.baidu.com法1, 2.
.
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思考题
设f(x)在(a,b)内二阶可导，且f(x0)0， 其中x0(a,b)，则(x0, f(x0))是否一定为 曲线f(x)的拐点？举例说明.
.
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思考题解答
因 为f(x0)0只 是 (x0,f(x0)为 ) 拐 点
的 必 要 条 件 ，
故 ( x 0 , f ( x 0 ) 不 一 定 ) 是 拐 点 .
三、 利用函数图形的凹凸性，证明不等式：
ex ey
x y
e 2
(x
y).
2
四
、
求
曲线
x y
2a 2a
cot sin
2
的
拐
点
.
.
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五、试证明曲线 y x 1 有三个拐点位于同一直线 x2 1
上. 六、问 a 及 b 为何值时，点(1,3)为曲线y ax3 bx2
的拐点？ 七、试决定 y k( x2 3)2 中 k 的值,使曲线的拐点处
一、曲线凹凸的定义 y
C
B
问题:如何研究曲线的弯曲方向? A
o
x
y
yf(x)
y yf(x)
o x1
x2 x
图形上任意弧段位
于所张弦的下方
.
o x1
x2 x
图形上任意弧段位
于所张弦的上方
2
定义 设f(x)在(a,b)内连,如 续果(a对 ,b)内任意
两点 x1, x2,
恒有f(x1x2) 2
f(x1)f(x2), 2
y cx o ssi x .n
令y0, 得 x134, x274.
f(3) 2 0,
4
f(7) 2 0,
4
.
10
在[0,2]内曲线有拐(点 3,为 0), (7,0).
4
4
注意: 若 f(x0)不存 ,点 (x0在 ,f(x0)也 ) 可能 是连y续 f(x曲 )的线 拐 . 点
.
11
例4 求曲y 线 3 x的拐 . 点
凹、凸.的区间
解 D :(, )
y1x 2 31x 2 2, y36x(x2).
令y0,
得x1
0,
x2
2. 3
3
x (,0)
0
(0, 2 3)
2 3
(23,)
f(x) 0
0
f (x) 凹的
拐点 (0,1)
凸的
拐点 (23,1127)
凹的
.
8
凹凸 (,0 区 ] ,[0 ,2 3 间 ],[2 3 为 ,) .
定理2 如果f(x)在(x0,x0)内存在二阶导
数,则点x0, f(x0)是拐点的必要条件是f"(x0)0.
证 f(x)二阶,可 f(导 x)存在且连 , 续
.
6
又 (x 0,f(x 0))是,拐点 则 f(x)[f(x)]在 x0两边 , 变号 f(x)在 x0取得,极 由可值 导函数取得极值条的件, f(x)0.
例 f(x)x4 x(, )f(0)0
但 (0 ,0 )并 不 是 曲 线 f(x )的 拐 点 .
.
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练习题
一 、填 空题 ：
1 、 若 函 数 y f ( x ) 在（a , b ）可 导 ，则 曲 线 f ( x ) 在 (a , b )
内 取凹 的充 要条 件是____________.
方法1: 设函f数 (x)在x0的邻域内二, 阶可导 且f(x0)0,
(1 )x 0 两f近 (x )变 ,点 旁 (x 号 0 ,f(x 0 )即 ) 为 ; 拐
(2 )x 0 两f( 近 x ) 不 旁 ,点 变 (x 0 ,f(x 0 号 )不 ) 是 .
.
7
例2 求曲y 线 3x44x31的拐点及
二、拐点 (1
arctan
,e
1
2 ) , 在 (
,1]内是凹的,
.
3
二、曲线凹凸的判定
y
yf(x) B
yf(x)
y
B
A A
oa
bx
f(x)递增 y 0
oa
bx
f(x)递减 y 0
定理1 如果f(x)在[a,b]上连,续 在(a,b)内具有
二阶导,若 数在(a,b)内 (1) f(x)0,则f(x)在[a,b]上的图形是; 凹的 (2) f(x)0,则f(x)在[a,b]上的图形是. 凸的
.
9
方法2: 设函数 f(x)在x0的邻域内三,阶 且可 f(x0)0,而f(x0)0,那末 (x0, f(x0))是曲 线y f(x)的拐.点
例3 求y 曲 sx i n 线 cx o (0 ,[ s 2 ] 内 )的.拐
解 y co x s six,n y six n cx o , s
.
4
例1 判断曲 y线 x3的凹凸 . 性 解 y3x2, y6x, 当x0时，y 0,
曲线 在( ,0]为凸的； 当x0时，y 0, 曲线 在[0, )为凹的； 注意到, 点(0,0)是曲线由凸变凹的分 点.界
.
5
三、曲线的拐点及其求法
1.定义 连 续 曲 线 上 凹 凸 的 分 界 点 称 为 曲 线 的 拐 点 . 注意:拐点处的切线必在拐点处穿过曲线. 2.拐点的求法
那末f称 (x)在(a,b)内的图形是 ; 凹的
如果对 (a,b)内任意两x点 1, x2, 恒有
f (x1 x2) f (x1) f (x2),
2
2
那末称f(x)在(a,b)内的图形是凸 ; 的
如f果 (x)在 [a,b]内连 ,且续 (在 a,b)内的图形是 (或)的 凸 ,那末 f(x称 )在 [a,b]内的图 (或 形 )的 凸 是 ; 凹
2、曲 线上____________的点，称 作曲 线的 拐点 .
3 、 曲 线 y ln( 1 x 2 ) 的 拐 点 为 __________.
4 、 曲 线 y ln( 1 x ) 拐 点 为 _______.
二 、 求 曲 线 y e arctan x 的 拐 点 及 凹 凸 区 间 .
的法线通过原点 .
.
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练习题答案
一 、 1 、 f ( x )在 ( a , b ) 内 递 增 或 x ( a , b ), f ( x ) 0 ；
2、 凹 凸 部 分 的 分 界 点 ；
3、
(2,
2 e2
),
[2 ,
),
(
,2]；
4 、 ( 1, ln 2 ), (1, ln 2 ) .