高中数学椭圆周长公式的推导

椭圆周长

椭圆是个不怎么完美的图形，因为它的面积有确切公式可以计算，但其周长却不能“精确”的计算出来，经过数学家的计算与证明，最终得出椭圆周长没有精确的初等公式，但可以用椭圆积分的级数形式表示。下面对椭圆周长进行的计算，原理很简单，但计算过程可能很复杂。

在平面坐标系内

椭圆的标准方程为 122

22=+b

y a x ，.0,0>>b a

参数方程为 ()πθθθ20,sin ,cos ≤≤==b y a x 当b a >时，椭圆图像为

微积分是个好工具，他帮人类解决了很多复杂问题。这里椭圆周长的计算需要用到定积分的知识。

若某条光滑曲线，能用参数方程表示

()t X x =，()t Y y =

当βα≤≤t 时，该段曲线的长度L 可表示为

()[]()[]

dt t Y t X L ⎰

+=β

α

2

2

''

下面借此公式来计算椭圆的周长，由于椭圆关于坐标原点对称，计算起来比较方便。设椭圆周长为L,则

()

θ

θθ

θθθθθπ

π

π

d e a d b a d b a L ⎰⎰⎰-=+-=+=2

2

2

2

22222

2222cos 14cos cos 14cos sin 4

…………………○

1 其中a c

a

b a e =-=

2

22，椭圆的离心率。 这个积分很难求出来，需要用一定的技巧：先用泰勒公式把θ22cos 1e -展开。

()()+--+-+

+=+3

2!

3)2)(1(!2111x k k k x k k kx x k

…… 当2

1=k 时，可得

()()∑∞

=---++=+2

1

!

2!!321211n n n

n n x n x x

在此式中令θ2

2cos e x -=可得

()∑∞

=---=-2

22222

2!2cos !!322cos 1cos 1n n n n n e n e e θθθ ……………○

2 其中()()12531!!12-⨯⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⨯⨯⨯=-n n

把○

2式代入○1式周长L 的计算试中后，那个复杂的定积分便能迎刃而解了，所以

()()⎪⎭

⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣

⎡---

=---=⎰∑⎰∑⎰∞

=∞

=2

22

22222

222

022cos !2!!32cos 2

24!2cos !!322cos 14π

π

π

θθθθπθθθn n

n n

n n n n d n e n d e a d n e n e a L

……………○

3 这个式子还是很复杂，需要把中括号部分进行化简变换一下。先求出

()2!

2!!122

212654321cos 2

2π

π

θθπ

⨯-=⨯-⨯⋅⋅⋅⋅⋅⋅⨯⨯⨯=⎰n n n n d n

n

………………○

4 把○

4式代入○3式，周长L 就能很快得出来了。于是

()()(

)

()

()()()()⎪⎭

⎪

⎬

⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⋅⋅⋅••-⋅⋅⋅⋅••-=⎪⎭

⎪

⎬

⎫⎪⎩

⎪⎨⎧⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⨯

---⋅⋅⋅••-⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯-=∑∑∑∞=∞=∞=122

12222

2212!!2!!12121226421253112212!21232531221224n n n n n n n

n e n n a n e n n a n n e n n e a L πππππ

这就是椭圆周长的公式，既著名的“项名达公式”，相当的复杂，这应该是最精确的了，另外还有很多的近似公式，不过误差太大，但可以满足工程上的应用。现在科技如此发达，有一些数学软件可以计算出椭圆周长，而且结果相当的准确。计算原理就是定积分的应用，但这个积分不容易求出来，需要有一定的数学能力，有一定的耐心，以及对泰勒公式的应用要求较高。对周长级数形式L 进行展开得

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎣⎡⋅⋅⋅⋅⋅-⎪⎭⎫ ⎝⎛•••-⎪⎭⎫ ⎝⎛••-⎪⎭⎫ ⎝⎛•-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=7876543215654321343211211286422e e e e a L π……………○

5 其中a 为半长轴，2

2

2a b

a e -=为椭圆的离心率。

例如,当椭圆方程为116252

2=+y x 时，5=a ，4=b ，5

3=e

则周长为

36

.28787654321565432134321211282624222≈⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛•••-⎪⎭⎫ ⎝⎛••-⎪⎭⎫ ⎝⎛•-⎪⎭⎫ ⎝⎛-≈e e e e a L π

另外有些近似公式作的也很好，例如

()⎥

⎦⎤⎢⎣⎡-+≈ab b a L 23π

其实它是根据○

5式近似计算来的，计算精度还行，推导过程有点复杂。

椭圆周长的计算方法有很多，这只是其中一种而已，但得到的结果都不“完美”，任然需要科学爱好者努力攻克这个小小的问题。

当今尚无标准的椭圆周长计算公式是基础科学中的遗憾之一，现在科学中所使用的椭圆周长都是近似值， 这也是科学的遗憾之一，所以研究椭圆周长计算公式是十分有意义的。认为一个公式的对与错，既有意义也没有意义，因为科学是发展的，科学是循序渐进的过程。科学探索的过程是寂寞而愉快的，但我们要认识到今天的正确不代表明天的正确，如果没有这样的观念，科学也就难于进步。