高中数学的对称问题.ppt
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③曲线 f (x,y)=0关于直线 y=x+b对称的曲线方程为f_(_y_-_b_,x_+_b__)=_0__; 关于直线 y=-x+b对称的曲线方程为_f_(_-y_+_b__,-_x_+_b_)_=_0_.
一、对称问题的类型
对称问题是中学数学常见的一类数学问题。可分为两类：
Ⅰ抽象函数的对称问题 相关的结论有：
② 线与线关于点对称： f (x,y)=0 f (2m-x,2n-y)=0
曲线 f (x,y)=0关于点 P(m,n)对称的 P(m,n) M(x,y) 曲线方程为：f (2m-x,2n-y)=0.
M′ (2m-x,2n-y)
二．对称问题的处理方法
1.点关于点的对称
例1.(1) 点 A(a ,b )关 于 原 点 的 对 称 点 坐 标 为 ＿( ?＿a ,＿? b )
O
x P(2,–1)
? 所 求 直 线 方 程 是 3 x ? y ? 10 ? 0. y=3x–4
还可以有什么方法？
（2）轴对称
①点与点关于直线对称：
求点M关于直线l对称的点 M′的方法：
由线段MM′的中点坐标满足l 的方程 (中点在l上)
及kMM′·k l= -1 ( MM′⊥ l )建立方程组求得。
即：设l :Ax+By+C=0， M(x1,y1)， M′(x,y)，则有：
? ??
y1 ? y ? Ｂ x1 ? x Ａ
，
?
?Ａ ? x1 ? x ? Ｂ y1 ? y ? Ｃ ＝ ０
??
2
2
由此解得 x,y。
M(x1,y1) l M′(x,y)
② 线与线关于直线对称： 求曲线 C1: f (x,y)=0关于直线 l 对称的曲线 C2 的方法： 设C1: f (x,y)=0， l :Ax+By+C=0,
步骤： ? 在C2上任取一点M(x,y),则点M关于的对称点M′(x1,y1)
必在C1上;
? 由???
?
y1 ? y ? Ｂ x1 ? x Ａ
解出x1,y1 (均是用x,y表示的 )；
?Ａ ? x1 ?
x ?
y1 ?
y ?Ｃ＝０
??
2
2
C1 M＇(x1,y1)
? 将上面求得的x1,y1代入C1方程， 整理即得的 C2方程。
②曲线 f (x,y)=0关于下列点或直线对称的曲线方程分别为： 关于原点 :____f__(-_x_,-_y_)_=_0____; 关于x轴:___f_(_x_,-_y_)=_0___; 关于y轴: _____f _(-_x_,_y_)=_0_____; 关于直线y=x:__f__(y_,_x_)=_0____; 关于直线y=-x:__f_(_-_y,_-_x_)=_0___; 关于直线x=a:___f _(2_a_-_x_,_y_)=_0_.
(1)函 数 y ? f ( x)与 y ? f ( ? x)的 图 象 关 于 ＿ ＿y＿轴＿ ＿ ＿ 对 称 ；
(2) 函 数 y ? f ( x)与 y ? ? f ( x)的 图 象 关 于 ＿ ＿x＿轴＿ ＿ ＿ 对 称 ；
(3) 函 数 y ? f ( x)与 y ? ? f ( ? x)的 图 象 关 于 ＿原＿点＿ ＿ ＿ 对 称 ；
(4) 函 数 f ( x)在 定 义 域 内 若 对 任 意 x都 有 f ( a ? x) ? f (a ? x)
( a 为 常 数 ), 则 f ( x)的 图 象 关 于 ＿ ＿直＿线＿x＿? ＿a ＿ 对 称 ；
(5) 函 数 y ?
f ( x)与 y ?
f
(m
?
x)的
源自文库
图
象
关
于
直线 ＿＿
m ＿x ?＿2＿
两对称点被中心平分这一性质；
2.直线关于点的对称
例2、 求直线y=3x–4关于点 P(2,–1)的对称直线方程 .
分析一: 将直线的对称转化为直线上的点的对称 .
解 ：N设(M2 ?( xx, ,y?)对2 ?称y直)在线直上线任 一y ?点3，x ?则4其上关 于 P的 对 称 点
y
? ? 2 ? y ? 3(2 ? x) ? 4 化 简 得 3 x ? y ? 10 ? 0
(2) 点 A(a ,b )关 于 点 B (m , n )的 对 称 点 C的 坐 标
为 __(_2__m___?__a_,_2n ? b)
解析： 设 C（ x，y），则由中点公式得
?
a? x
?? m ? 2
?
?
?n? b? y
? x ? 2m ? a ? ? y ? 2n ? b
?
2
关于点对称的问题即中心对称问题，关键在于抓住
知识回顾：
点与点关于点对称
? 点 对 称
?对 称
线与线关于点对称 点与点关于直线对称
? 轴 对 称
线与线关于直线对称
（1） 点对称 （中心对称）：
A(x1,y1)
①点与点关于点对称：
P(m,n)
点A(x1,y1)关于 P(m,n)对称的点 A＇的坐标为(2：m-x1,2n-y1).
A＇(2m-x1,2n-y1)
对称问题
引入思考： 1. 已知点A(-2,3)，如何求点A关于点P（1，2）
的对称点 B？
2. 已知直线a:x+y-1=0，如何求直线a关于P(1,2) 的对称直线 b？
3. 已知点A(-2,3)，如何求点A关于直线x+y-1=0的 对称点E？
4. 已知直线a:x-y+1=0，如何求直线a关于直线 x+2y-1=0的对称直线l？
对
称
；
Ⅱ解析几何中的对称问题 相关结论有：
设 方 程 f ( x, y) ? 0
(1) f ( ? x, y) ? 0与 f ( x, y) ? 0关 于 ＿ ＿y＿轴＿ 对 称 ；
(2) f ( x, ? y ) ? 0与 f ( x, y ) ? 0关 于 ＿ ＿x轴＿ ＿ ＿ 对 称 ； (3) f ( ? x, ? y ) ? 0 与 f ( x, y) ? 0关 于 ＿ ＿原＿点＿ ＿ 对 称 ；
l C2
M(x,y)
（3）几种特殊的对称：
①点P(x,y)关于下列点或线的对称点分别为：
关于原点:_____(_-x_,_-y_)_____; 关于x轴:______(x_,_-y_)_____; 关于y轴: _____(_-x_,_y_)_____; 关于直线y=x:__(_y_,x_)_____; 关于直线y=-x:__(_-_y_,-_x_)___; 关于直线x=a:_(_2_a_-_x_,y_)___.
一、对称问题的类型
对称问题是中学数学常见的一类数学问题。可分为两类：
Ⅰ抽象函数的对称问题 相关的结论有：
② 线与线关于点对称： f (x,y)=0 f (2m-x,2n-y)=0
曲线 f (x,y)=0关于点 P(m,n)对称的 P(m,n) M(x,y) 曲线方程为：f (2m-x,2n-y)=0.
M′ (2m-x,2n-y)
二．对称问题的处理方法
1.点关于点的对称
例1.(1) 点 A(a ,b )关 于 原 点 的 对 称 点 坐 标 为 ＿( ?＿a ,＿? b )
O
x P(2,–1)
? 所 求 直 线 方 程 是 3 x ? y ? 10 ? 0. y=3x–4
还可以有什么方法？
（2）轴对称
①点与点关于直线对称：
求点M关于直线l对称的点 M′的方法：
由线段MM′的中点坐标满足l 的方程 (中点在l上)
及kMM′·k l= -1 ( MM′⊥ l )建立方程组求得。
即：设l :Ax+By+C=0， M(x1,y1)， M′(x,y)，则有：
? ??
y1 ? y ? Ｂ x1 ? x Ａ
，
?
?Ａ ? x1 ? x ? Ｂ y1 ? y ? Ｃ ＝ ０
??
2
2
由此解得 x,y。
M(x1,y1) l M′(x,y)
② 线与线关于直线对称： 求曲线 C1: f (x,y)=0关于直线 l 对称的曲线 C2 的方法： 设C1: f (x,y)=0， l :Ax+By+C=0,
步骤： ? 在C2上任取一点M(x,y),则点M关于的对称点M′(x1,y1)
必在C1上;
? 由???
?
y1 ? y ? Ｂ x1 ? x Ａ
解出x1,y1 (均是用x,y表示的 )；
?Ａ ? x1 ?
x ?
y1 ?
y ?Ｃ＝０
??
2
2
C1 M＇(x1,y1)
? 将上面求得的x1,y1代入C1方程， 整理即得的 C2方程。
②曲线 f (x,y)=0关于下列点或直线对称的曲线方程分别为： 关于原点 :____f__(-_x_,-_y_)_=_0____; 关于x轴:___f_(_x_,-_y_)=_0___; 关于y轴: _____f _(-_x_,_y_)=_0_____; 关于直线y=x:__f__(y_,_x_)=_0____; 关于直线y=-x:__f_(_-_y,_-_x_)=_0___; 关于直线x=a:___f _(2_a_-_x_,_y_)=_0_.
(1)函 数 y ? f ( x)与 y ? f ( ? x)的 图 象 关 于 ＿ ＿y＿轴＿ ＿ ＿ 对 称 ；
(2) 函 数 y ? f ( x)与 y ? ? f ( x)的 图 象 关 于 ＿ ＿x＿轴＿ ＿ ＿ 对 称 ；
(3) 函 数 y ? f ( x)与 y ? ? f ( ? x)的 图 象 关 于 ＿原＿点＿ ＿ ＿ 对 称 ；
(4) 函 数 f ( x)在 定 义 域 内 若 对 任 意 x都 有 f ( a ? x) ? f (a ? x)
( a 为 常 数 ), 则 f ( x)的 图 象 关 于 ＿ ＿直＿线＿x＿? ＿a ＿ 对 称 ；
(5) 函 数 y ?
f ( x)与 y ?
f
(m
?
x)的
源自文库
图
象
关
于
直线 ＿＿
m ＿x ?＿2＿
两对称点被中心平分这一性质；
2.直线关于点的对称
例2、 求直线y=3x–4关于点 P(2,–1)的对称直线方程 .
分析一: 将直线的对称转化为直线上的点的对称 .
解 ：N设(M2 ?( xx, ,y?)对2 ?称y直)在线直上线任 一y ?点3，x ?则4其上关 于 P的 对 称 点
y
? ? 2 ? y ? 3(2 ? x) ? 4 化 简 得 3 x ? y ? 10 ? 0
(2) 点 A(a ,b )关 于 点 B (m , n )的 对 称 点 C的 坐 标
为 __(_2__m___?__a_,_2n ? b)
解析： 设 C（ x，y），则由中点公式得
?
a? x
?? m ? 2
?
?
?n? b? y
? x ? 2m ? a ? ? y ? 2n ? b
?
2
关于点对称的问题即中心对称问题，关键在于抓住
知识回顾：
点与点关于点对称
? 点 对 称
?对 称
线与线关于点对称 点与点关于直线对称
? 轴 对 称
线与线关于直线对称
（1） 点对称 （中心对称）：
A(x1,y1)
①点与点关于点对称：
P(m,n)
点A(x1,y1)关于 P(m,n)对称的点 A＇的坐标为(2：m-x1,2n-y1).
A＇(2m-x1,2n-y1)
对称问题
引入思考： 1. 已知点A(-2,3)，如何求点A关于点P（1，2）
的对称点 B？
2. 已知直线a:x+y-1=0，如何求直线a关于P(1,2) 的对称直线 b？
3. 已知点A(-2,3)，如何求点A关于直线x+y-1=0的 对称点E？
4. 已知直线a:x-y+1=0，如何求直线a关于直线 x+2y-1=0的对称直线l？
对
称
；
Ⅱ解析几何中的对称问题 相关结论有：
设 方 程 f ( x, y) ? 0
(1) f ( ? x, y) ? 0与 f ( x, y) ? 0关 于 ＿ ＿y＿轴＿ 对 称 ；
(2) f ( x, ? y ) ? 0与 f ( x, y ) ? 0关 于 ＿ ＿x轴＿ ＿ ＿ 对 称 ； (3) f ( ? x, ? y ) ? 0 与 f ( x, y) ? 0关 于 ＿ ＿原＿点＿ ＿ 对 称 ；
l C2
M(x,y)
（3）几种特殊的对称：
①点P(x,y)关于下列点或线的对称点分别为：
关于原点:_____(_-x_,_-y_)_____; 关于x轴:______(x_,_-y_)_____; 关于y轴: _____(_-x_,_y_)_____; 关于直线y=x:__(_y_,x_)_____; 关于直线y=-x:__(_-_y_,-_x_)___; 关于直线x=a:_(_2_a_-_x_,y_)___.