第六章 扭转

例题 8-1
32
例题 8-1
解：轴传递功率P (kW) ，
相当于每分钟传递功
W=1000×P×60(N· m) 外力偶作功 (1)
(2) W M 2 π nM 令(1)、(2)相等，得 60 1000P M 2πn 即 M 9.55 P / n (kN m)
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例题 8-1
A
df T d x GIp
故
Tr tr Ip
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等直圆杆受扭时横截面上任 一点处切应力的计算公式：
Tr tr Ip
若求tmax，则令r =R，有 t max T 改写成 t max WP Ip 其中抗扭截面系数 WP ， 常用单位：mm3或m3 。 R 上述公式只适用于实心或空心圆截面等直杆在线 性弹性范围内受扭的情况。
因此作用在轴上的外力偶矩M为
M 9.55 7350 / 57.7 1217(kN m)
T M 1217 1000 1.22 106 N m 3 WP π d / 16
π (650 10 3 )3 / 16 0.0539m 3 t max T / WP 22.6 MPa 极惯性矩 I p π d 4 / 32 0.0175m4
第8章 扭
转
§8-1 薄壁圆筒扭转时的应力与应变 §8-2 圆杆扭转时的应力与变形 §8-3 强度条件及刚度条件
§8-4 等直圆杆在扭转时的应变能
§8-5 矩形截面杆的扭转
1
我们在第6章讲扭矩与扭矩图的时候，涉及到 这样的问题： 杆件在横向平面 内的外力偶的作用下， 要发生扭转变形，产 生相对扭转角 bO' b' (B截面相对于A截面）， 受扭杆之内力如右图。 用分离体分析扭矩T 。
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3. 静力学方面
T tr r d A
A
df t r Gg r Gr ( ) dx
df 2 T G r dA A dx 式中的积分是整个横截面面积A范围内每个微面积 dA乘以它到圆心的距离平方之总和，因此它是横截 面的几何性质，称之为横截面的极惯性矩，常用Ip 来表示，即： I p r 2 d A （单位：mm4或m4）
§8-2 圆杆扭转时的应力与变形
8.2.1 横截面上的切应力 实心圆截面杆和非薄壁空心圆截面杆受扭时， 我们没有理由认为它们横截面上的切应力如同在 受扭的薄壁圆筒中那样是均匀的分布的。 现在的关键在于： 确定切应力在横截面上的变化规律，即横截 面上距圆心为任意半径r 的一点处切应力tr与r 的关系。
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2. 物理方面 由剪切胡克定律：tr=Ggr ，在 t<tp 时，可把(1) 式代入，得： df (2) t r Gg r Gr ( ) dx 上式表明：受扭的等直杆在 线性弹性范围内工作时，横截面 上的切应力在同一半径r 的圆周 上各点处大小相同，但它们随r 作线性变化，同一横截面上的最 大切应力在圆周边缘上，方向垂 直于各自的半径。
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首先观察受扭时，表面的变 形情况，据此作出涉及杆件 内部变形情况的假设，最后 还要利用应力和应变之间的 物理关系。 (1) 几何方面 (2) 物理方面
(3) 静力学方面
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扭转变形演示
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1. 几何方面 如下图，实验表明：
(1) 等直圆杆受扭时，画在表面上的圆周线只是绕杆 的轴线转动，其大小和形状都不改变；且在变形较小 的情况时，圆周线间的相对纵向距离也不变。
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TR Ip
思考题8-2
下图所示为一由均质材料制成的空心圆轴之
横截面，该截面上的扭矩T 亦如图所示，试绘出
水平直经AB上各点处切应力的变化图。
T A .
O
B
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思考题8-2参考答案:
T
A
O
B
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思考题8-3 一受扭圆轴,由实心杆1和空心杆2紧配合而成。
整个杆受扭时两部分无相对滑动,试绘出切应力沿
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上述内容主要说明： (1) 薄壁圆筒圆周上各点处的切应变相同； (2) 薄壁圆筒圆周上各点处的切应力相等； (3) 薄壁圆筒圆周上各点处切应力的方向沿外周线的 切线。
7
对于薄壁圆筒（d 很小），横截面上其它各点 处的切应力可以认为与外圆周处相同，即不沿径向 变化。于是可以认为薄壁圆筒受扭时，横截面上的 切应力大小处处相等，方向则垂直于相应的半径。 即如图中所示。
8
这样，知道了切应力t 的分布规律后 ，便可以利 用静力学关系 T t d A r
r —— 切向力相对圆心的力臂,可用平均半径R0代替
则 从而有
T t R0 d A t R0 A
A
t T /( R0 A)
A
T /( R0 2 π R0 d ) T /(2 π R0 d ) 上述薄壁圆筒横截面上扭转切应力的这一计算 公式是在假设它们的大小沿径向（壁厚）不变的情 况下导出的。当d /R0=10％ ，其误差为4.5％。
2
9
Me
Me
g
A D BC l
f
由上图得 则
g l f R g f R/l
式中 R 为圆筒的外半径。
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通过对薄壁圆筒所作的扭转实验可以发现，当外 加力偶矩在某一范围内时，扭转角f 与外力偶矩M(此 时 T=M )之间成正比。
T
t T /(2 π R0 d ) g f R/l
f Tl / GIp 0.00523rad
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图示传动轴系钢制实心圆截面轴。 已知： M1=1592N· m，M2=955N· m，M3=637N· m 截面A与截面B 、C之间的距离分别为lAB=300mm 和lAC=500mm。轴的直径d =70mm, 钢的剪切弹性 模量G=8×104 MPa 。试求截面C对B的扭转角
2
f
O
t
t tp
剪切比例 极限
O
g
11
图中的线性关系为
t tp
剪切比例 极限
O
t
t = Gg
g
上式称之为材料的剪切胡克定律。 式中 G—切变模量，单位为MPa。各种钢的切变模量 约为8.0×104 MPa，至于剪切比例极限，则随钢种而 异；Q235钢，tp ≈120 MPa。 理论分析和实验都表明，对于各向同性材料，切变 模量与其它两个弹性参数E和n 之间存在下列关系： E G 12 2(1 n ) 泊松比
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(2) 平截面假设
等直圆杆受扭时，它的横截面如同刚性的圆盘
那样绕杆的轴线转动。同样，等直圆杆受扭时，其
横截面上任一根半径其直线形状仍然保持为直线， 只是绕圆心旋转了一个角度。
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取微段dx分析：得半径为r的任意圆杆面上的切 应变。 r df df (1) g r tan g r r( ) dx dx 式中：d f/dx 是长度方向的变化率，按平面假设是常 量。这样，等直圆杆受扭时， gr 与r 成线性关系。
M1 M2
B A C
l AC
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例题 8-2
d
M3
l AB
例题 8-2
M2
B
M1
d
M3
A
C
l AC
l AB
解：由截面法得Ⅰ，Ⅱ两段内扭矩分别为T Ⅰ= 955 N· m, T Ⅱ= 637 N· m 。先分别计算B ，C截面 对A之扭转角fAB， fAC , 则可以假想此时A不动。
f AB
T l AB T l AC ， f AC GIp GIp
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例题 8-2
4 I π d / 32 上两式中的Ip可以利用 p 955 0.3 f AB 80 109 (π / 32) 74 10 8
1.52 10 3 rad 3 M1 M3 同理：f AC 1.69 10 rad d 由于假想截面A固定不动，故 M2 截面B、C相对于截面A的相对 C 转动应分别与扭转力偶矩M2、 B A l AC l AB M3的转向相同，从而fAB和fAC 的转向相同。由此可见，截面 C对B的扭转角fBC应是： fBC f AC f AB 1.7 104 rad
4
§8-1 薄壁圆筒扭转时的应力与应变
Me
Me
g
A D BC
f
平均半径为 R0、厚度为δ，且δ«R0 。 受扭后，圆周线与纵向直线之间原来的直角 改变了一数量。物体受力变形时，直角的这种改 变量（以弧度计）称之为切应变。
5
Me
Me
g
A D BC
f
根据圆筒横截面本身以及施加的力偶的极对称 性容易判明，圆筒表面同一圆周线上各处的切应变 均相同。因此，在材料为均匀连续这个假设条件下， 圆筒横截面上与此切应变相应的切应力其大小在外 圆周上各点处必相等；至于此切应力的方向，从相 应的切应变发生在圆筒的切向平面可知，是沿外圆 周的切向。
2 πr d r r 2
π ( D4 d 4 ) 32 π 4 D (1 a 4 ) 32 式中：a =d / D
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π π 4 4 4 I p ( D d ) D (1 a 4 ) 32 32
应当注意：
Ip π D3 Wp (1 a 4 ) D/2 16
2 A
如图有
d A 2 π r d r
对于实心圆截面
Ip r 2 d A
A

d /2
0
2πr d r r2
27
π d 4 / 32
Ip Wp π d 3 / 16 d /2 对于空心圆截面（外径D，内 径 d） Ip r 2 d A
A

D/2
d /2
千万不要出错！
29
8.2.3 扭转角
df t r Gr ( ) dx
T tr r d A
A
df T d x GIp T df dx GIp T f df dx l 0 GI p
l
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T f df dx l 0 GI p
l
若 l 范围内，T是常量，GIp也为常量，则上式为
其转向与扭转力偶矩M3相同。
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思考题8-4 直径50mm的钢圆轴，其横截面上的扭矩 T=1.5 kN· m，求横截面上的最大切应力。
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思考题 8-5 实心圆轴的直径d =100 mm，长l =1m，作用 在两个端面上的外力偶之矩均为Me=14 kN· m，转 向相反。材料的切变模量G=8×104 MPa。求： (1) 横截面上的切应力，以及两个端面的相对扭 转角。 (2) 图示横截面上ABC三点处切应力的大小及方向。
M A a C l b B
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思考题8-6答案：
M A B
MB
fB 0
先考虑 M作用，则 M AC fBA1 Ma / GIp GIp
只考虑MB的作用，则 M B AB M B (a b) M B l fBA 2 GIp GIp GIp
Tl f （弧度） GIp
GIp越大，扭转角越小，故称为抗扭刚度。 比较：
FN l Δl EA
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一水轮机的功率为P=7350 kW，其 竖轴是直径为d =650 mm，而长度为l =6000 mm的 等截面实心钢轴，材料的剪切弹性模量为G =0.8×105 MPa。求当水轮机以转速n = 57.7 r/min匀 速旋转时，轴内的最大切应力及轴的两个端面间的 相对扭转角f。
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思考题8-5答案： (1) tmax=71.3 MPa f = 0.01784 rad (2) tA=tB=tmax= 71.3 MPa tC=35.7 MPa
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思考题8-6
下图所示的扭转超静定问题，若假想地解除B 端的约束，而利用B截面的扭转角为零作为位移条 件求解, 试列出其求解过程。
2
本章主要研究以下内容：
(1) 薄壁圆筒扭转时的应力和应变； (2) 等直圆截面杆受扭时的应力和变形；（等直圆
杆受扭时其横截面仍为平面，求解较简单。）
(3) 简要介绍非圆截面杆受扭时的一些弹性力学 中的分析结果。（非圆截面杆受扭时，横截 面不再保持平面，要发生翘曲求解复杂。）
3
思考题 8-1 受扭杆件横截面上与扭矩对应的应力是正应力 还是切应力？为什么？ 答：切应力，因为与正应力相应的分布内力 之合力不可能是个作用在横截面上的力偶。
水平直径的变化图，若(1) 两杆材料相同，即
G1=G2=G；(2) 两材料不同，G1=2G2。
T 1 2
24
思考题8-3(1)答案：
T
2 1
G1=G2=G
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思考题8-3(2)答案：
T
2 1
G1=2G2ห้องสมุดไป่ตู้
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8.2.2 极惯性矩和抗扭截面系数Ip和Wp 主要计算实心圆截面和空心圆截面。
Ip r d A