圆锥曲线的一个性质及应用

2554R2 6886Rr + 3556r 2 + 150(R 2r)d
≥0 (R 2r)(2554R 1778r + 150d) ≥0 .
由 R ≥2r 与 2554R 1778r + 150d > 0 ,知
上式成立,即式(7)成立,由(6)、(7)式,知不等式 (2)右边的不等号成立.
综合上述,不等式(2)得证.
≤4 3 + * ∑(a b)2 .
(6 )
注意到,当 a = b = c 时式(6)等号成立,故只需
证 14/9 是 *的最小值,即
2(4R 3r) 14
1+
≥.
(7)
4R + r + 3B1 9
此式等价于
52R 59r ≥5 3B1 (52R 59r)2
≥75[2R2 + 10Rr r 2 2(R 2r )d]
点 共 线 , 所 以 , mc / a 2 + n 0 / b2 = 1 , 即 得 m = a2 / c ,从而证得点 P 在直线 l 上.
根据上述推理证明,不难推出如下结论:
推 论 1 若 点 P( x0 , y0 ) 为 椭 圆
x2 / a 2 + y2 / b2 = 1外部点,过点 P 作椭圆的两
性质 3 设 F 为双曲线的焦点, l 为焦点 FLeabharlann Baidu所对应的准线.
(1)若点 P 为 l 上动点,且点 P 不在渐近线 上,过 P 作双曲线的两切线 PA、PB(A、B 为切 点),则 A、F 、B 三点共线;
(2)若点 P 为 l 与一条渐近线的交点,过 P 作双曲线的切线 PA(A 为切点),则直线 AF 平 行于这条渐近线;
点 F 在直线 AB 上,即证得 A、F、B 三点共线. (2)设 P (m, n) , A(x1 , y1 ), B(x2 , y2 ) ,则
b2 x1 /(a2 y1 ) = kAP = ( y1 n) /(x1 m) , 又 b2 x12 +a 2 y12 = a2 b2 ,化 简得 mx1 / a2 + ny1 / b2 = 1 , 同 理可得 mx2 / a 2 + ny2 / b2 =1 ,由此可知,点 A、B 在直线 mx / a 2 + ny/ b2 = 1上.由于 A、F、B 三
参考文献
[1] 匡继昌.常用不 等式(第 三版),山东科学 技术出版 社, 20 04 .
圆锥曲线的一个性 质及应用
福建福州三中 潘德党
在 研究圆锥曲线时 ,许多问题经 常涉及 圆锥 曲线的焦点和准线.如圆 锥曲线的统一 定义,是通过引入圆锥曲线的离心率,建立曲 线上点到焦点距离与到对应准线距离的数量 关系.这种数量关系已被广泛应用.而本文试 图以圆锥曲线的焦点、准线为载体,通过引入 圆锥曲线的切线,建立圆锥曲线的焦点、准线 与切线三者之间的位置关系.通过揭示其内 在的 共同属性和定性问题,促 使我们认识这 类数学问题和相应的解决方法.
性质 2 设 F 为抛物线的焦点, l 为抛物线 的准线.
(1)若点 P 为 l 上动点,过 P 作抛物线的两 切线 PA、P B(A、B 为切点),则 A、F、B 三点 共线;
(2)过焦点 F 作直线交抛物线于点 A、B, 抛物线在点 A、B 处的切线 PA、PB 交于点 P,则点 P 在准线 l 上.
切线 PA、PB(A、B 为切点),则直线 AB 方程为 x0 x / a 2 + y0 y/ b2 = 1.
性质 2 证明 设 F、 l 分别为抛物线 y2 = 2 px焦点和准线.
(1)若点 P 为 l 上动点,过 P 作抛物线的两
切线 PA、PB,A、B 为切点,设 P ( p / 2,t ) ,
(3)过焦点 F 作直线交双曲线于点 A、B, 双曲线在点 A、B 处的切线 PA、PB 交于点 P,则点 P 在准线 l 上.
(4)过焦点 F 作平行于一渐近线的直线 FA 交双曲线于点 A,双曲线在点 A 处的切线 PA 交准线 l 于点 P,则点 P 为准线 l 与这条渐 近线的交点.
从上述性质中 不难发现,与 上述性质相 关的切线问题,也就是 圆锥曲线切线的存在 性问题有待进一步说明. 为了顺利探讨上述 性质,下面先给出几个预备定理.
性质 1 设 F 为椭圆的焦点, l 为焦点 F 所 对应的准线.
(1)若点 P 为 l 上动点,过 P 作椭圆的两切 线 PA、P B(A、B 为切点),则 A、F、B 三点共 线;
(2)过焦点 F 作直线交椭圆于点 A、B,椭
圆在点 A、B 处的切线 PA、PB 交于点 P,则点 P 在准线 l 上.
b2 x1 /(a 2 y1 ) = kAP = ( y1 t) /(x1 a 2 / c) ,又 b2 x12 +a 2 y12 = a 2b2 ,化简得 b2 x1 + tcy1 = b2c ,同理可 得 b2 x2 + tcy2 = b 2c .由此可知,点 A、B 在直线
b2 x + tcy = b2 c 上,当 y = 0 时,解得 x = c .所以,
预备定理 4 若点 P 为双曲线外部点(不 含焦点的区域),则过点 P 的双曲线的切线有 三种情况:(1)2 条(点 P 不在渐近线上);(2)1 条 (点 P 仅在一条渐近线上);(3)0 条(点 P 为双曲 线的中心).
为了说明上述性质的合理性,现将给出
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简要证明. 性质 1 证明 不妨设 F 、 l 分别为椭圆
预备定理 1:若点 P 为圆锥曲线内部点(含 焦点的区域),则过点 P 的圆锥曲线的切线不 存在;
预备定理 2 若点 P 为圆锥曲线上点,则 过点 P 的圆锥曲线的切线有且仅有 1 条;
预备定理 3 若点 P 为圆锥曲线(椭圆、抛 物线)外部点(不含焦点的区域),则过点 P 的圆 锥曲线的切线有且仅有 2 条;
x2 / a 2 + y2 / b2 = 1的右焦点和右准线.
(1)若点 P 为 l 上动点,过 P 作椭圆的两切
线 PA、PB,A、B 为切点,设 P (a 2 / c,t ) , A(x , 1
y ), B(x , y ) ,将方程 x2 / a 2 + y2 / b2 = 1 两边分
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别 对 x 求 导, 由此求 得 y' = b2x/ a2 y ,于 是