高一数学竞赛试题及答案

高一数学竞赛试题及答案

时间： 2016/3/18

注意：本试卷均为解答题. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.总分150分,考试时间120分钟.

1.（本小题满分15分）

设集合{}()(){}

222320,2150,A x x x B x x a x a a R =-+==+++-=∈， （1）若{}2A B =求a 的值；

（2）若A B A =,求a 的取值范围；

（

3）若(),U U R A C B A ==,求a 的取值范围.

2.（本小题满分15分）设},)]([|{},)(|{x x f f x N x x f x M ====

（1）求证：;N M ⊆

（2）)(x f 为单调函数时，是否有N M =？请说明理由.

已知函数4

44)cos (sin )cos (sin 2)(x x m x x x f +++=在有最大值5，

求实数m 的值．

已知函数f(x)在R上满足f(2－x)＝f(2＋x)，f(7－x)＝f(7＋x)且在闭区间[0,7]上，只有f(1)＝f(3)＝0，(1)试判断函数y＝f(x)的奇偶性；

(2)试求方程f(x)＝0在闭区间[－2 011,2 011]上根的个数，并证明你的结论．

已知二次函数)0,,(1)(2

>∈++=a R b a bx ax x f ，设方程x x f =)(的两个实数根为1x 和2x .

（1）如果4221<<x ；

（2）如果21

如图，直三棱柱111C B A ABC -中，，D 是棱1AA 的中点，BD DC ⊥1。

（1） 证明：BC DC ⊥1； （2） 求二面角11C BD A --的大小。

7．（本小题满分15分）在平面直角坐标系xOy 中，设二次函数

f (x )＝x 2＋2x ＋b (x ∈R)的图象及两坐标轴有三个交点．经过三点的圆记为C .

A

B

C

D

1

A 1

B 1C

(1)求实数b的取值范围；

(2)求圆C的方程；

(3)问圆C是否经过定点(其坐标及b无关)？请证明你的结论．

8．（本小题满分20分）设f（x）是定义在R上的偶函数，其图象关于直线x=1对称，

对任意x 1,x 2∈[0，

2

1]都有).()()(2121x f x f x x f ⋅=+且f （1）=a ＞0． （Ⅰ）

（Ⅱ）证明)(x f 是周期函数；

（Ⅲ）记求).(ln lim n n a ∞→

9．（本小题满分20分）设)(x f 是R 上的奇函数，且当0>x 时，)10lg()(2

+-=ax x x f ，

R a ∈.

（1）若5lg )1(=f ，求)(x f 的解析式；

（2）若0=a ，不等式0)14()2(>+++⋅k f k f x

x 恒成立，求实数k 的取值范围；

（3）若)(x f 的值域为R ，求a 的取值范围.

高一数学竞赛试题参考答案

1、解：{

}2,1=A （1）∵{}2A B = ∴B ∈2

即，0)5(2)12222=-+⋅+⋅+a a （

，解得13-=-=a a 或 ① 当3-=a 时， {}

{}2044|2==+-=x x x B ② 当1-=a 时， {}

{}2,204|2-==-=x x B 综上{}3,1--∈a

（2）∵A B A =

∴A B ⊆

① 当φ=B 时，则该一元二次方程无解，即△<0，

∴()[]0)5(41222

<-⋅-+a a ，即3-

1. 当3-=a 时，{}2=B

2. 当3->a 时，该一元二次方程有两个不同实数根1和2

∴ )1(221+-=+a ，即

5212-=⋅a ，即7±=a （舍） ,∴综上(]3,-∞-∈a

（3）∵(),U U R A C B A == ∴φ=B A

① 当△<0时，即3-

② 当△=0时，即3-=a ，{}2=B ，φ≠B A ，舍

③ 当△>0时，即3->a ，所以只需B B ∉∉21且

将1代入方程中得31±-=a ;将2代入方程中得13-=-=a a 或 所以3113±-≠-≠-≠a a a 和、

综上，a 的取值范围为

()()()()()

+∞+-+---------∞-,3131,11,3131,33 ，

2、

证明：（1）若M φ=，显然有;M N ⊆

3、解：422222)cos (sin cos sin 4)cos (sin 2)(x x m x x x x x f ++-+=

42)cos (sin )cos sin 2(2x x m x x ++-= 令]2,1[)4sin(2cos sin ∈+=+=π

x x x t ，

则1cos sin 22-=t x x ，从而12)1()1(2)(24422++-=+--=t t m mt t x f

令]2,1[2∈=t u ，由题意知12)1()(2++-=u u m u g 在]2,1[∈u 有最大值5. 当01=-m 时，12)(+=u u g 在2=u 时有最大值5，故1=m 符合条件； 当01>-m 时，5122)2()(max =+⨯>≥g u g ，矛盾！

当01<-m 时，512)(≤+

综上所述，所求的实数1=m ．

4、解 (1)若y ＝f (x )为偶函数，

则f (－x )＝f (2－(x ＋2))＝f (2＋(x ＋2))＝f (4＋x )＝f (x )，

∴f (7)＝f (3)＝0，这及f (x )在闭区间[0,7]上，

只有f (1)＝f (3)＝0矛盾；因此f (x )不是偶函数．

若M φ≠，则存在0x M ∈，满足()00f x x =，

所以()()000f f x f x x ==⎡⎤⎣⎦，故0x N ∈，所以;M N ⊆ （2）.M N =用反证法证明 假设M N ≠，由于M N ⊆，必存在1,x N ∈ 但1x M ∉，因此()11f x x ≠，

① 若()11f x x >，由于()f x 为单调增函数， 所以()()11f f x f x >⎡⎤⎣⎦，即()11x f x >，矛盾； ②若()11f x x <，由于()f x 为单调增函数， 所以()()11f f x f x <⎡⎤⎣⎦，即()11x f x <，矛盾。

综合①、②可知()11f x x =，因此1,x M ∈与假设矛盾， 所以假设不能成立，即.M N =