平面法向量的求法

.
(1)方程法 第一步(设):设出平面法向量的坐标为n=(x,y,z). 第二步(列):根据n· a = 0且n· b = 0可列出方程组
x1 x y1 y z1 z 0 x2 x y2 y z2 z 0 第三步(解):把z看作常数,用z表示x、y. 第四步(取):取z为任意一个正数(当然取得越特殊越好), 便得到平面法向量n的坐标.
1 1 1 n( , , . ) 则面 ABC 的一个法向量为 a b c
[应用训练]
1:（2010浙江理数）如图,在矩形ABCD中,点
2 E,F分别在线段AB,AD上， AE EB AF FD 4 3 ' '
（Ⅰ）求二面角A’-FD-C的余弦值；
沿直线EF将 AEF 翻成 A EF ,使平面 A EF 平面BEF .
解 :以A为坐标原点，以 AD, AB所在直线分别为 x, y轴，建系如图： 2 AE EB AF FD 4 A(0,0,0), F (4,0,0), D(10,0,0), C (10,8,0) 3 取EF 中 点H， 连 接 A' H， AE AF A' H EF ,
mn mn
m (0,0,1)为面FDC的法向量，
则 cos m, n

3 3 ,设 二 面 角 的 大 小 为 , 则 cos . 3 3
如 图 ， 已 知 正 三 棱ABC 柱 A1B1C1 的 棱 长 均 为 4， E是BC 的 中 点 ， 动 点 F在 侧 棱 CC1上 ， 且 不 与 点C重 合 。 设 二 面 角 C AF E的 大 小 为 ， 求 tan 的 最 小 值.。
数学专题二
平面法向量的求法
Leabharlann Baidu
您 迎 欢 中 一 丰 南
练习：已知平面的两个向量为 a=(1,3,4),b=(2,5,9),
求此平面的一个法向量. 解：设m=(x,y,z)为平面的法向量，则有
a m 0 x 3 y 4 z 0 x 7 z , 即 , 解得： b m 0 2 x 5 y 9 z 0 y z . 令z 1, m (7,1,1)
(3)矢量积公式法：
已知平面 的两个非零不共向 a 量 ( x1, y1, z1 ), b ( x2 , y2 , z2 ),
则面 的一个法向量n n ( y1z2 y2 z1 , z1 x2 z2 x1 , x1 y2 x2 y1 ),
(2)含0速算法
例 2、 (1)已知平面的两个向量 a (1,3,0), b (0,2,7),
则平面的一个法向量为 .
(2)已知平面的两个向量 a (1,3,0), b (3,2,7), 则平面的一个法向量为 .
【探究】
已知A(a,0,0), B(0, b,0), C (0,0, c),
又 面A' EF 面AEF 于EF , A' H 面ABCD , A' (2,2,2 2 ), FA' (2,2,2 2 ), FD (6,0,0), DC (0,8,0)
设n ( x , y , z )为面A' FD的法向量，则
n (0, 1 1) ) n A' F n 0 (0, 2 , 令z 1， n FD 0