平面法向量的求法
平面法向量的求法法向量怎么求
方法指导：如图2-5,若点B为平面α外一点，点A
1
ab
adcb；2、适合右手定则。
cd
二、平面法向量的应用
1、求空间角
为平面α内任一点，平面的法向量为，则点B到平面α的距离公式为d
三、高考真题新解
例1、已知如图3-1,四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形，
AB∥DC，DAB90,PA底面ABCD，且PA=AD=DC=
mn0,mn,即平面A1MC平面A1BD1.
(III).设点A到平面A1MC的距离为d,
mMCMA1(a2,
又MA(
2222
a,a)是平面A1MC的法向量, 22
2|mMA|1
a,0,0),A点到平面A1MC的距离为:da.22|m|
四、用空间向量解决立体几何的“三步曲”
(1)、建立空间直角坐标系(利用现有三条两两垂直的直线，注意已有的正、直条件,相关几何知识的综合运用，建立右手系)，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；、通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题；、把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义。
3|m||n|
22
面AMC与面BMC所成二面角的大小为arccos().
33
例2、(本题满分12分)如图3-2，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，已知AB＝AA1＝a，BC，M是AD的中点。(Ⅰ)求证：AD∥平面A1BC；
(Ⅱ)求证：平面A1MC⊥平面A1BD1；(Ⅲ)求点A到平面A1MC的距离。
线线、线面、面面间的位置关系与向量运算的关系设直线l,m的方向向量分别为,，平面,的法向量分别为,。
1.平行关系
法向量的快速求法
法向量的快速求法
法向量的快速求法可以通过以下方法实现：
1. 对于平面上的一个向量，其法向量可以通过求其逆时针旋转90度得到，即将向量(x,y)变为(-y,x)。
2. 对于三维空间中的一个向量，其法向量可以通过向量积（又称为叉积）求得。
设a和b是两个不共线的向量，则它们的向量积a×b是一个向量，其大小等于以a和b为邻边所构成的平行四边形的面积，方向垂直于这个平行四边形，满足右手定则。
向量积的计算公式为：
a ×
b = (aybz −azby,azbx −axbz,axby −aybx)
其中，aybx表示a向量y分量与b向量x分量相乘。
3. 对于曲面上的一个点P，其法向量可以通过求其切平面的法向量得到。
曲面的切平面包含该点的所有切线，其法向量指向切平面凸出的一侧。
切平面的法向量可以通过对曲面方程求偏导数得到。
空间平面法向量求法
空间平面法向量求法一、法向量定义定义：如果，那么向量叫做平面的法向量。
平面的法向量共有两大类（从方向上分），无数条。
二、平面法向量的求法1、内积法在给定的空间直角坐标系中，设平面的法向量=（x,y,1）[或=（x,1,z)或=（1，y,z）]，在平面内任找两个不共线的向量,。
由，得·=0且·=0，由此得到关于x,y的方程组，解此方程组即可得到。
2、任何一个x,y,z的一次方程的图形是平面；反之，任何一个平面的方程是x,y,z的一次方程。
Ax+By+Cz+D=0(A,B,C不同时为0)，称为平面的一般方程。
其法向量=(A,B,C);若平面与3个坐标轴的交点为P(a,0,0),P(0,b,0),P(0,0,c),则平面方程为:,称此方程为平面的截距式方程，把它化为一般式即可求出它的法向量。
3、外积法设,为空间中两个不平行的非零向量，其外积×为一长度等于||||sinθ，（θ为两者交角，且0<θ<π，而与,, 皆垂直的向量。
通常我们采取“右手定则”，也就是右手四指由的方向转为的方向时，大拇指所指的方向规定为×的方向,×=-×。
设=(x1,y1,z1),=(x2,y2,z2),则×=（注：1、二阶行列式:；2、适合右手定则。
）Codepublic double[] GetTriangleFunction(ESRI.ArcGIS.Geometry.IPoint point1,ESRI.ArcGIS.Geometry.IPoint point2, ESRI.ArcGIS.Geometry.IPoint point3){try{double a = 0, b = 0,c=0; //方程参数double x1 = 0, x2 = 0, x3 = 0, y1 = 0, y2 = 0, y3 = 0, z1 = 0, z2 = 0, z3 = 0; //各点坐标值double[] returnValue = new double[3];x1 = point1.X * 1000;y1 = point1.Y * 1000;z1 = point1.Z * 1000;x2 = point2.X * 1000;y2 = point2.Y * 1000;z2 = point2.Z * 1000;x3 = point3.X * 1000;y3 = point3.Y * 1000;z3 = point3.Z * 1000;//向量I1double[] I1 = new double[3];I1[0] = x2 - x1;I1[1] = y2 - y1;I1[2] = z2 - z1;//向量I2double[] I2 = new double[3];I2[0] = x3 - x1;I2[1] = y3 - y1;I2[2] = z3 - z1;double X1 = I1[0];double Y1 = I1[1];double Z1 = I1[2];double X2 = I2[0];double Y2 = I2[1];double Z2 = I2[2];a = Y1 * Z2 - Y2 * Z1;b = X2 * Z1 - X1 * Z2;c = X1 * Y2 - X2 * Y1;returnValue[0] = a;returnValue[1] = b;returnValue[2] = c;return returnValue;}catch (Exception e){throw e;}}OPENGL里面就这样实现void getNormal(GLfloat gx[3],GLfloat gy[3], GLfloat gz[3],GLfloat *ddnv){GLfloat w0,w1,w2,v0,v1,v2,nr,nx,ny,nz;w0=gx[0]-gx[1]; w1=gy[0]-gy[1];w2=gz[0]-gz[1];v0=gx[2]-gx[1]; v1=gy[2]-gy[1];v2=gz[2]-gz[1];nx=(w1*v2-w2*v1);ny=(w2*v0-w0*v2);nz=(w0*v1-w1*v0);nr=(GLfloat)sqrt(nx*nx+ny*ny+nz*nz); //向量单位化。
快速求平面的法向量
快速求平面的法向量
用向量方法做立几题，必须会的一种功夫是求平面的法向量。
不少理科同学为经常算错平面的法向量而苦恼，下面介绍一种快速求平面的法向量方法，简直就是秒杀。
结论：向量a r ＝(x 1，y 1，z 1)，b r
＝(x 2，y 2，z 2)是平面α内的两个不共线向量，则向量 n r
＝(y 1z 2－y 2z 1，－(x 1z 2－x 2z 1)，x 1y 2－x 2y 1)是平面α的一个法向量.
如果用二阶行列式表示，则
n r ＝(1
12
2
y z y z ，－
112
2
x z x z ，
112
2
x y x y ) ，这更便
于记忆和计算.
结论证明（用矩阵与变换知识可以证明，此处
略去），但你可以验证 n r
一定满足0
m a m b ⎧•=⎪⎨•=⎪⎩u r r u
r r ⇔111222
00x x y y z z x x y y z z ++=⎧⎨++=⎩； 而且∵a r 、b r 不共线，∴n r 一定不是0r
.
怎样用该结论求平面的法向量呢？举例说明.
例、向量a r ＝(1，2，3)，b r
＝(4，5，6)是平
面α内的两个不共线向量，求平面α的法向量
解：设平面α的法向量为n r
＝(x ，y ，z )，
则00n a n b ⎧•=⎪⎨•=⎪⎩r r r r ⇒2304560x y z x y z ++=⎧⎨
++=⎩ 令z ＝1，得n r
＝(1，－2，1).
注意：
① 一定按上述格式书写，否则易被扣分.
② n r
的计算可以在草稿纸上完成，过程参照右边“草稿纸上演算过程”.。
平面法向量的求法
轴平行 轴平行 轴平行
② 单○r 就是面 谁○谁垂r 直 若 ar （0, y, z）, 则 ar 与x 轴垂直 若 ar （x, 0, z）, 则 ar 与y 轴垂直 若 a （x, y, 0）, 则 a与z 轴垂直
1.几个常见的结论：
① 双○就是轴 谁非谁平行
② 单○就是面 谁○谁垂直
③ 双○补单○
z
D1
A1
C1
B1
y
D A
x
C B
2.验证法：感觉良好验证法
已感知到某向量是所求法向量 用线面垂直判定定理验证即可
例1.如图,已知正方体ABD-A1B1C1D1的棱长为1
则平面ACD1的法向量是________ z
解：建立如图所示的坐标系……
D1
令 n （1,1,1）
A1
因
n • AD1 （1,1,1）(1,0,1） 0
(
11
,
)
24
（5 , 2 , 1 ）
三、法向量的求法：
1.直接法：特殊易得直接写 2.验证法：感觉良好验证法 3.三步法：一设二乘三特值 4.平面方程(截距)法： 5.含○速算法： 6.行列式(叉积)法：
均要伪装成： 三步法
1.直接法：特殊易得直接写
坐标面或于其平行的面的法向量，r 可直接写出： 面xoy或于其平行的面的法向量是 nr （0, 0,1） 面yoz或于其平行的面的法向量是 nr （1, 0, 0） 面zox或于其平行的面的法向量是 n （0,1, 0）
1.单○负倒参
例5.在棱长为1的正方体AC1中，M为棱A1B1的中点
求平面BMC1的一个法向量 z
析1：
uuuur
1
MC1 uuuur
点到平面的距离公式 法向量
点到平面的距离公式法向量一、点到平面的距离公式（利用法向量）（一）平面的法向量。
1. 定义。
- 设平面α，如果向量→n与平面α内的任意一条直线都垂直，那么称向量→n 为平面α的法向量。
- 例如，对于平面Ax + By+ Cz+D = 0（A、B、C不同时为0），其法向量→n=(A,B,C)。
2. 求法。
- 给定平面内的两个不共线向量→a=(x_1,y_1,z_1)和→b=(x_2,y_2,z_2)，设平面的法向量为→n=(x,y,z)。
- 根据法向量的定义，→n·→a=0且→n·→b=0，得到方程组<=ft{begin{array}{l}x_1x + y_1y+z_1z = 0 x_2x + y_2y+z_2z = 0end{array}right.- 通过解这个方程组就可以求出平面的法向量→n（通常可以先令x、y、z中的一个为某个值，然后求解另外两个）。
（二）点到平面的距离公式。
1. 公式推导。
- 设点P(x_0,y_0,z_0)，平面α的方程为Ax + By + Cz+D = 0，其法向量→n=(A,B,C)。
- 在平面α上任取一点Q(x_1,y_1,z_1)，则向量→PQ=(x_1 - x_0,y_1 - y_0,z_1 - z_0)。
- 点P到平面α的距离d就是向量→PQ在法向量→n方向上投影的绝对值。
- 根据向量投影公式，向量→PQ在→n上的投影为frac{→PQ·→n}{|→n|}。
- 计算→PQ·→n=A(x_1 - x_0)+B(y_1 - y_0)+C(z_1 - z_0)，又因为Ax_1+By_1 + Cz_1+D = 0，即Ax_1+By_1 + Cz_1=-D。
- 所以→PQ·→n= - Ax_0 - By_0 - Cz_0 - D，而|→n|=√(A^2)+B^{2+C^2}。
- 则点P到平面α的距离d=(| Ax_0 + By_0+Cz_0+D|)/(√(A^2)+B^{2)+C^{2}}。
平面的法向量
平面的法向量
平面法向量的求法：1.在平面内找两个不共线的向量2.待求的法向量与这两个向量各做数量积为零就可以确定出法向量了.3.为方便运算，提取公因数，若其中含有未知量x,为x代值即可得到一个最简单的法向量。
普通平面法向量的具体步骤：（待定系数法）1、建立恰当的直角坐标系2、设平面法向量n=（x，y，z）3、在平面内找出两个不共线的向量，记为a=（a1，a2, a3）b=（b1，b2，b3）4、根据法向量的定义建立方程组①n·a=0 ②n·b=0。
空间直角坐标系中平面法向量的三种求法：一、方程法，利用直线与平面垂直的判定定理构造三元一次方程组，由于有三个未知数，两个方程，要设定一个变量的值才能求解，这是一种基本的方法，但运算稍繁，要使法向量简洁，设值可灵活，法向量有无数个，它们是共线向量，取一个就可以。
二、矢量积公式。
三、双0速算法：如果空间直角坐标系中的点在坐标轴上，那么就有两个坐标为0，点在坐标平面上，就会有一个坐标为0，同理，如果向量与坐标轴平行，则向量就有两个坐标为0，向量与坐标平血平行，向量就有一个坐标为0，有的学生在实践中发现，两个向量的六个坐标中，只要出现2个0,就可以快速求得法向量，有点“十字相乘法”快速分解二次三项式的味道，而且正确率高，在考试中作用明显。
扩展资料：高中法向量更快求法：叉乘，造0法。
叉乘口诀：掐头去尾，交叉相乘再相减。
造0法：构造0时，加减乘除都行。
平面求法向量公式
平面求法向量公式1. 平面法向量的定义。
- 设平面α，如果向量→n与平面α内的任意一条直线都垂直，那么称向量→n 为平面α的法向量。
2. 求平面法向量的公式推导（设平面α内有两个不共线向量→a=(x_1,y_1,z_1)，→b=(x_2,y_2,z_2)）- 设平面α的法向量为→n=(x,y,z)。
- 因为→n是平面α的法向量，所以→n⊥→a且→n⊥→b。
- 根据向量垂直的性质，若两个向量垂直，则它们的数量积为0。
- 可得<=ft{begin{array}{l}→n·→a = 0 →n·→b=0end{array}right.，即<=ft{begin{array}{l}x_1x + y_1y+z_1z = 0 x_2x + y_2y + z_2z=0end{array}right.。
- 为了求解x,y,z，我们可以采用赋值法。
例如，先令z = 1（当z_1和z_2不全为0时），然后解关于x和y的二元一次方程组<=ft{begin{array}{l}x_1x + y_1y=-z_1 x_2x + y_2y=-z_2end{array}right.。
- 由二元一次方程组的求解方法，先计算x的值：- 对于方程组<=ft{begin{array}{l}x_1x + y_1y=-z_1 x_2x + y_2y=-z_2end{array}right.，x=(<=ftbegin{array)/(ll)-z_1y_1 -z_2y_2end{array}}{<=ftbegin{array}{ll}x_1y_1 x_2y_2end{array}}=(-z_1y_2 +z_2y_1)/(x_1y_2 - x_2y_1)（当x_1y_2 - x_2y_1≠0时）。
- 再计算y的值：- y=(<=ftbegin{array)/(ll)x_1-z_1 x_2-z_2end{array}}{<=ftbegin{array}{ll}x_1y_1 x_2y_2end{array}}=(-x_1z_2 +x_2z_1)/(x_1y_2 - x_2y_1)（当x_1y_2 - x_2y_1≠0时）。
平面法向量的求法
平面法向量的求法教学目的：掌握快速计算法向量的方法，为空间角的求解、距离的计算服务； 教学重点：熟练应用速算方法求出法向量教学难点：平面内不共线两向量的坐标中不含0，求此面的法向量 教学过程：1、定义：如果α⊥→a ，那么向量→a 叫做平面α的法向量。
2、法向量坐标的求法（1）方程法例1：（2010浙江理数）如图， 在矩形ABCD 中，点,E F 分别在线段,AB AD 上，243AE EB AF FD ====.沿直线EF 将AEF ∆翻折成EF A '∆，使平面'A EF BEF ⊥平面.（Ⅰ）求二面角'A FD C --的余弦值；【评析】（2）含0速算法如果空间直角坐标系中的点在坐标轴上，那么就有两个坐标为0，点在坐标平面上，就会有一个坐标为0，同理，如果向量与坐标轴平行，则向量就有两个坐标为0，向量与坐标平面平行，向量就有一个坐标为0，有的学生在实践中发现，两个向量的六个坐标中，只要出现0，就可以快速求得法向量，有点“十字相乘法”快速分解二次三项式的味道，而且正确率高，在考试中作用明显。
例2、（08陕西卷理科第19题）三棱锥被平行于底面ABC 的平面所截得的几何体如图所示，截面为111A B C ，90BAC ∠= ，1A A ⊥平面ABC，1A A =AB =，2AC =，111AC =．（Ⅱ）求二面角1A CC B --的大小．【评析】【探究】已知的一个法向量为则面ABC c C b B a A ),,0,0(),0,,0(),0,0,((3)公式法：已知平面α的两个非零不共线向量),,,(),,,(222111z y x b z y x a == =的一个法向量则面α 练习：已知平面α的两个非零不共线向量),3,6,2(),4,3,1(== =n 的一个法向量则面α【评析】3、应用练习：如图，已知正三棱柱111ABC A B C -的各棱长都是4，E 是BC 的中点，动点F 在侧棱1CC 上，且不与点C 重合．设二面角C AF E --的大小为θ，求tan θ的最小值．。
求平面法向量的简便方式
求平面法向量的简便方式一、引言在几何学和向量代数中，平面法向量是一个重要的概念。
平面法向量垂直于给定平面的每一点，并且可以用于解决许多几何问题和物理问题。
本文将介绍一种简便的方式来求解平面的法向量，帮助读者更好地理解和应用这一概念。
二、求解思路要求一个平面的法向量，需要知道平面上的两个线性无关的向量。
以下是一种简便的方式来求解平面的法向量：步骤1：确定两个平面上的点首先，在给定的平面上选择任意两个不共线的点，记作点A和点B。
步骤2：求得平面上的向量计算向量AB，并将其记作向量a。
步骤3：求得平面法向量根据向量a，可以求得平面的法向量n。
法向量n垂直于平面上的任意向量，它的方向可以通过向量a叉乘自身得到。
n=a×a三、示例为了更好地理解上述求解思路，下面给出一个具体的示例。
假设我们有一个平面，它经过点P(1,2,3)、点Q(4,5,6)和点R(7,8,9)。
我们想要求解这个平面的法向量。
步骤1：确定两个平面上的点选择点P和点Q作为平面上的两个点。
步骤2：求得平面上的向量计算向量PQ，并将其记作向量a。
a=Q-P=(4,5,6)-(1,2,3)=(3,3,3)步骤3：求得平面法向量根据向量a，可以求得平面的法向量n。
n=a×a=(3,3,3)×(3,3,3)=(0,0,0)根据计算结果，我们可以得出结论：这个平面的法向量是(0,0,0)。
四、总结通过以上的步骤，我们可以使用一种简便的方式来求解平面的法向量。
首先确定平面上的两个点，然后计算得到两点之间的向量。
最后，通过向量的叉乘得到平面的法向量。
这种方法适用于求解二维和三维平面的法向量，并且简单易用。
希望本文所介绍的求解方式能够帮助读者更好地理解和应用平面法向量的概念。
通过掌握这种简便的方式，读者可以更加轻松地解决与平面法向量相关的问题。
快速求平面的法向量
快速求平面的法向量用向量方法做立几题，必须会的一种功夫是求平面的法向量。
不少理科同学为经常算错平面的法向量而苦恼，下面介绍一种快速求平面的法向量方法，简直就是秒杀。
结论：向量a ＝(x 1，y 1，z 1)，b ＝(x 2，y 2，z 2)是平面α内的两个不共线向量，则向量n ＝(y 1z 2－y 2z 1，－(x 1z 2－x 2z 1)，x 1y 2－x 2y 1)是平面α的一个法向量.如果用二阶行列式表示，则n ＝(1122y z y z ，－1122x z x z ，1122x y x y ) ，这更便于记忆和计算.结论证明（用矩阵与变换知识可以证明，此处略去），但你可以验证 n 一定满足m a m b ⎧∙=⎪⎨∙=⎪⎩⇔1112220x x y y z z x x y y z z ++=⎧⎨++=⎩； 而且∵a 、b 不共线，∴n 一定不是0.怎样用该结论求平面的法向量呢？举例说明. 例、向量a ＝(1，2，3)，b ＝(4，5，6)是平面α内的两个不共线向量，求平面α的法向量解：设平面α的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则0n a n b ⎧∙=⎪⎨∙=⎪⎩⇒2304560x y z x y z ++=⎧⎨++=⎩ 令z ＝1，得n ＝(1，－2，1). 注意：① 一定按上述格式书写，否则易被扣分.② n 的计算可以在草稿纸上完成，过程参照右边“草稿纸上演算过程”.草稿纸上演算过程时，a 、b 的横坐标就不参与运算，a ＝(1，2，3)，b ＝(4，5， 交叉相乘的差就是x ＝2×时，a 、b 的纵坐标就不参与运算，a ＝(1，2，3)， b ＝(4，5，交叉相乘的差的时，a 、b 的竖坐标就不参与运算，a ＝(1，2，3)， b ＝(4，5， 交叉相乘的差就是∴n ＝(－3，6。
已知平面方程求平面的法向量
已知平面方程求平面的法向量
平面是三维空间中的一个二维平面，它可以由一个点和一个法向量来确定。
因此，如果我们已知平面的方程，就可以通过方程中的系数来求出平面的法向量。
平面的一般方程形式为Ax + By + Cz + D = 0，其中A、B、C为平面的法向量的三个分量，D为平面的截距。
因此，我们可以通过方程中的系数来求出平面的法向量。
以一个简单的例子来说明如何求解平面的法向量。
假设我们已知平面的方程为2x + 3y - z + 4 = 0，我们可以将方程转化为标准形式，即Ax + By + Cz + D = 0，其中A、B、C为平面的法向量的三个分量，D 为平面的截距。
将方程转化为标准形式后，我们可以得到平面的法向量为(2, 3, -1)。
这个例子说明了如何通过已知平面的方程来求解平面的法向量。
但是，在实际应用中，我们可能会遇到一些更加复杂的情况。
例如，平面的方程可能不是一般形式，而是点法式或者两点式。
在这种情况下，我们需要将方程转化为一般形式，然后再求解平面的法向量。
通过已知平面的方程来求解平面的法向量是一个非常重要的问题。
在实际应用中，我们经常需要求解平面的法向量，以便进行一些相关的计算和分析。
因此，掌握这个问题的求解方法是非常有必要的。
平面向量的法向量和单位向量
平面向量的法向量和单位向量平面向量是二维空间中的箭头，可以用来表示位置、方向和大小。
在平面向量中，除了有定义明确的概念如零向量、负向量和共线向量等，法向量和单位向量也是非常重要的概念。
本文将对平面向量的法向量和单位向量进行详细阐述。
一、平面向量的法向量1. 定义平面向量的法向量，简称法向量，是与给定向量垂直的向量。
对于平面上的向量 A = (a₁, a₂)，其法向量 N = (b₁, b₂)应满足以下条件：a₁ * b₁ + a₂ * b₂ = 0这就是法向量的定义。
2. 求解方法根据定义，可以通过解线性方程组的方法求解平面向量的法向量。
以向量 A = (3, 4)为例，设法向量为 N = (x, y)，代入定义的等式可以得到：3 * x +4 * y = 0根据上述方程，我们可以得到一个关系式 x = -4/3 * y。
取 y = 3，代入公式可以得到一个解 N = (-4, 3)。
同理，可以得到无数个解。
二、平面向量的单位向量1. 定义在平面向量中，单位向量是长度为1的向量，通常用^A 表示。
对于非零向量 A = (a₁, a₂)，其单位向量 ^A = (c₁, c₂)应满足以下条件：c₁² + c₂² = 1这就是单位向量的定义。
2. 求解方法根据定义，可以通过向量的模与法向量来求解平面向量的单位向量。
以向量 A = (3, 4)为例，首先计算向量 A 的模长：|A| = √(3² + 4²) = 5然后根据单位向量的定义，计算单位向量 ^A：^A = (3/5, 4/5)可以看出，单位向量 ^A 的模长为1，符合定义。
三、法向量和单位向量的应用1. 法向量的应用法向量在几何学、物理学等方面有着广泛的应用。
在几何学中，法向量可以用来表示平面的垂直方向；在物理学中，法向量可以用来描述力的作用方向、地形的陡峭程度等。
2. 单位向量的应用单位向量在计算中有着重要的应用。
空间平面的法向量公式
空间平面的法向量公式空间平面是由三个非共线的点确定的，也可以通过一条直线和一个确定的向量来表示。
在我们讨论的情况中，我们将假设空间平面由一条经过原点的向量和一个确定的法向量来表示。
如果空间平面由一条直线和一个法向量来表示，我们可以用向量的点积来判断给定的向量是否是平面的法向量。
具体来说，如果一个向量a与平面的法向量n的点积为零，则向量a在平面上。
这可以通过下面的公式来计算：a·n=0这个公式告诉我们，如果一个向量与平面的法向量的点积为零，那么这个向量一定在平面上。
另一种常见的方法是使用三个点来确定平面。
假设我们有三个非共线的点A、B和C，并且这些点都在同一个平面上。
我们可以通过求两个向量的叉积来找到平面的法向量。
具体来说，我们可以使用向量AB和向量AC来计算平面的法向量。
叉积的计算公式如下：n=AB×AC这个公式告诉我们，平面的法向量是由向量AB和向量AC的叉积得到的。
为了更好地理解空间平面的法向量公式，让我们来看一个具体的例子。
假设我们有三个点A(1,2,3)、B(4,5,6)和C(7,8,9)，我们想要找到通过这三个点的平面的法向量。
首先，我们需要计算向量AB和向量AC。
向量AB可以通过从点A到点B的坐标差来计算，即：AB=(4-1,5-2,6-3)=(3,3,3)类似地，我们可以计算向量AC：AC=(7-1,8-2,9-3)=(6,6,6)接下来，我们可以使用向量AB和向量AC来计算平面的法向量。
通过计算叉积，我们可以得到：n=AB×AC=(3,3,3)×(6,6,6)=(0,0,0)在这个例子中，我们得到的法向量为(0,0,0)。
由于法向量为零向量，这意味着这三点不共线，因此它们无法确定一个平面。
这就是空间平面的法向量公式。
通过这个公式，我们可以用几何和代数方法来计算平面的法向量。
这对我们在空间几何中解决问题非常有帮助，例如计算平面的方程、判断两个平面是否平行或垂直，以及解决平面与直线的交点等。
平面法向量的求法及其应用
平面法向量的 求法及其应用四川省华蓥中学 叶超本专题是我编写的一套书中的一篇，更多精彩，请参见我编写的那套书。
1、平面法向量的求法： 先来看看比较笨的方法。
(1)利用待定系数（参数）法，根据“平面的法向量⇔与平面内不共线的两向量均垂直的非零向量”及“两向量垂直⇔两向量的内积为0”确定待定参数。
例：已知四棱锥P —ABCD 的底面为直角梯形，AB//DC ，∠DAB ＝90°，PA ⊥底面ABCD ，且PA ＝AD ＝DC ＝21AB ＝1，M 是PB 的中点。
求面AMC 的一个法向量。
析：建系：以A 为原点，如图建立空间直角坐标系，则： 标点：A （0，0，0），C （1，1，0），P （0，0，1） B （0，2，0），M （0，1，1/2）列向量：AC ＝（1，1，0）， AM ＝（0，1，1/2）待定参数法：设面AMC 的法向量为n ＝（x ，y ，z ）于是n ＝（x ，－x ，2x ）＝x （1，－1，2） 其中，x 决定长度（和方向），可取n ＝（1，－1，2），它是图中的1n 还是2n 呢？ 可用观察法确定：n ＝（1，－1，2）是以原点为起点、（1，－1，2）为终点的向量，是图中的1n 。
说明：这种方法虽能求解，但是：①要根据“两向量垂直⇔两向量的内积为0”列方程组并求解，计算量较大； ②利用观察法确定法向量的具体方向也不太方便。
综上，在高考的宝贵时间里，时间和精力都是很重要的，如果有一种方法可以很简便地求出平面的法向量，不仅可以节约时间，还可以节省精力，甚至提高准确度，那该多好啊！还真的有这种方法！这种方法不是我总结的，但如何用它来简便地求法向量却是我在半年前总结的，请看——A BPM D y ＝－x z ＝2x ⇒021=+=•z y AM n 0=+=•y x AC n(2)利用向量的矢量积求平面的法向量：（请重点看下面第②点中的第2个例题）①向量的矢量积的定义：向量a ＝（x 1，y 1，z 1）和b ＝（x 2，y 2，z 2）的矢量积=⨯b a （2211z y z y ，2211x z x z ，2211y x y x ）=（y 1z 2-z 1y 2，z 1x 2-x 1z 2，x 1y 2-y 1x 2） 说明：2211z y z y 是二阶行列式，其值等于交叉相乘再相减（即：y 1z 2-z 1y 2），其余同理。
三维平面的法向量
三维平面的法向量对于一个三维平面，法向量是垂直于该平面的向量。
法向量可以用来描述平面的方向和倾斜程度。
为了计算一个平面的法向量，可以使用平面上的三个非共线点或者使用平面的法向量方程。
方法一：使用平面上的三个非共线点假设平面上有三个非共线点A(x₁, y₁, z₁)，B(x₂, y₂, z₂)，C(x₃, y₃, z₃)。
可以使用向量叉乘来计算法向量。
首先，计算向量AB和向量AC：向量AB = B - A = (x₂ - x₁, y₂ - y₁, z₂ - z₁)向量AC = C - A = (x₃ - x₁, y₃ - y₁, z₃ - z₁)然后，求出向量AB和向量AC的叉乘，得到法向量N：法向量 N = AB × AC = (y₂ - y₁)(z₃ - z₁) - (z₂ - z₁)(y ₃ - y₁), (z₂ - z₁)(x₃ - x₁) - (x₂ - x₁)(z₃ - z₁), (x₂ - x₁)(y ₃ - y₁) - (y₂ - y₁)(x₃ - x₁)方法二：使用法向量方程假设平面的法向量为N = (a, b, c)。
若平面上有一点P(x, y, z)，则平面上的所有点满足以下方程：ax + by + cz + d = 0其中d是平面的常数项。
可以根据平面上的三个点的坐标，构成一个线性方程组来解法向量N的分量a、b、c。
具体而言，将平面上的三个点的坐标代入方程，得到三个方程：a×x₁ + b×y₁ + c×z₁ + d = 0a×x₂ + b×y₂ + c×z₂ + d = 0a×x₃ + b×y₃ + c×z₃ + d = 0然后，解这个线性方程组，得到法向量的分量a、b、c。
无论使用哪种方法，最终得到的法向量N都是垂直于平面的向量，并且其大小并不重要，因为可以将其标准化（即将其长度归一化为1）以获得单位法向量。
法向量求法及应用方法
法向量求法及应用方法平面法向量的求法及其应用一、平面的法向量1、定义：如果al：，那么向量a叫做平面：的法向量。
平面:-的法向量共有两大类（从方向上分），无数条。
2、平面法向量的求法方法一（内积法）：在给定的空间直角坐标系中，设平面:的法向量；=（X, y,1）［或*=（x,1,z），或： = （1,y,z）］，在平面:内任找两个不共线的向量a,b。
由二，，得n a=o 且nb=o，由此得到关于x,y的方程组，解此方程组即可得到n。
方法二：任何一个X,y,z的一次次方程的图形是平面；反之，任何一个平面的方程是x,y,z的一次方程。
Ax By Cz 0 （A,B,C不同时为0），称为平面的一般方程。
其法向量n> = （AB,C）；若平面与3个坐标轴的交点为R（a,0,0）,P2（0,b,0）,P3（0,0,c）,如图所示，则平面方程为:{ b 亍1,称此方程为平面的截距式方程，把它化为一般式即可求出它的法向量。
方法三（外积法）：设必&为空间中两个不平行的非零向量，其外积a b为一长度等于|a||b|si n =，（9为.,两者交角，且0":::二），而与, 皆垂直的向量。
通常我们采取「右手定则」，也就是右手四指由…的方向转为■的方向时，大拇指所指的方向规定为a b的方向，a b a。
、J -1 |tT TJX 1 乙 X 1 y 1设a ugyszjb 二凶卩乙),则 a 汉 b = |y 2 Z2J —X 2 Z 2 JX 2 y 2(注：1、二阶行列式：M=a: =ad_cb ； 2、适合右c d‘手定则。
)例 1、 已知，a'(21,0),bl( — 1,2,1), 试求(i ): ( 2): b 爲.Key:⑴ a 汉 b=(1,—2,5) ； (2)b3=(-1,2,5)例2、如图1-1,在棱长为2的正方体ABCD —ABCP 中， 求平面 AEF 的一y 个法量向二AF AE =(1,2,2) 量n 。
平面法向量的求法及其应用
平面法向量的求法及其应用一、 平面的法向量1、定义：如果α⊥→a ，那么向量→a 叫做平面α的法向量。
平面α的法向量共有两大类（从方向上分），无数条。
2、平面法向量的求法方法一(内积法):在给定的空间直角坐标系中，设平面α的法向量(,,1)n x y =[或(,1,)n x z =，或(1,,)n y z =]，在平面α内任找两个不共线的向量,a b 。
由n α⊥，得0n a ⋅=且0n b ⋅=，由此得到关于,x y 的方程组，解此方程组即可得到n 。
方法二：任何一个z y x ,,的一次次方程的图形是平面；反之，任何一个平面的方程是z y x ,,的一次方程。
0=+++D Cz By Ax )0,,(不同时为C B A ，称为平面的一般方程。
其法向量),,(C B A n =→;若平面与3个坐标轴的交点为),0,0(),0,,0(),0,0,(321c P b P a P ,如图所示,则平面方程为:1=++czb y a x ,称此方程为平面的截距式方程，把它化为一般式即可求出它的法向量。
方法三(外积法): 设, 为空间中两个不平行的非零向量，其外积→→⨯b a 为一长度等于θsin ||||→→b a ，（θ为,两者交角，且πθ<<0），而与, 皆垂直的向量。
通常我们采取「右手定则」，也就是右手四指由的方向转为的方向时，大拇指所指的方向规定为→→⨯b a 的方向,→→→→⨯-=⨯a b b a 。
:),,,(),,,(222111则设z y x b z y x a ==→→⎝⎛=⨯→→21y y b a ,21z z 21x x - ,21z z 21x x ⎪⎪⎭⎫21y y （注：1、二阶行列式:ca M =cb ad db -=；2例1、 已知，)1,2,1(),0,1,2(-==→→b a ， 试求（1）：;→→⨯b a （2）：.→→⨯a bKey: (1) )5,2,1(-=⨯→→b a ;)5,2,1()2(-=⨯→→a b例2、如图1-1,在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，求平面AEF 的一个法向量n 。
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平面法向量的求法
您 迎 欢 中 一 丰 南
练习：已知平面的两个向量为 a=(1,3,4),b=(2,5,9),
求此平面的一个法向量. 解：设m=(x,y,z)为平面的法向量，则有
a m 0 x 3 y 4 z 0 x 7 z , 即 , 解得： b m 0 2 x 5 y 9 z 0 y z . 令z 1, m (7,1,1)
解 :以A为坐标原点，以 AD, AB所在直线分别为 x, y轴，建系如图： 2 AE EB AF FD 4 A(0,0,0), F (4,0,0), D(10,0,0), C (10,8,0) 3 取EF 中 点H， 连 接 A' H， AE AF A' H EF ,
.Байду номын сангаас
(1)方程法 第一步(设):设出平面法向量的坐标为n=(x,y,z). 第二步(列):根据n· a = 0且n· b = 0可列出方程组
x1 x y1 y z1 z 0 x2 x y2 y z2 z 0 第三步(解):把z看作常数,用z表示x、y. 第四步(取):取z为任意一个正数(当然取得越特殊越好), 便得到平面法向量n的坐标.
(3)矢量积公式法：
已知平面 的两个非零不共向 a 量 ( x1, y1, z1 ), b ( x2 , y2 , z2 ),
则面 的一个法向量n n ( y1z2 y2 z1 , z1 x2 z2 x1 , x1 y2 x2 y1 ),
(2)含0速算法
例 2、 (1)已知平面的两个向量 a (1,3,0), b (0,2,7),
则平面的一个法向量为 .
(2)已知平面的两个向量 a (1,3,0), b (3,2,7), 则平面的一个法向量为 .
【探究】
已知A(a,0,0), B(0, b,0), C (0,0, c),
1 1 1 n( , , . ) 则面 ABC 的一个法向量为 a b c
[应用训练]
1:（2010浙江理数）如图,在矩形ABCD中,点
2 E,F分别在线段AB,AD上， AE EB AF FD 4 3 ' '
（Ⅰ）求二面角A’-FD-C的余弦值；
沿直线EF将 AEF 翻成 A EF ,使平面 A EF 平面BEF .
又 面A' EF 面AEF 于EF , A' H 面ABCD , A' (2,2,2 2 ), FA' (2,2,2 2 ), FD (6,0,0), DC (0,8,0)
设n ( x , y , z )为面A' FD的法向量，则
n (0, 1 1) ) n A' F n 0 (0, 2 , 令z 1， n FD 0
mn mn
m (0,0,1)为面FDC的法向量，
则 cos m, n
3 3 ,设 二 面 角 的 大 小 为 , 则 cos . 3 3
如 图 ， 已 知 正 三 棱ABC 柱 A1B1C1 的 棱 长 均 为 4， E是BC 的 中 点 ， 动 点 F在 侧 棱 CC1上 ， 且 不 与 点C重 合 。 设 二 面 角 C AF E的 大 小 为 ， 求 tan 的 最 小 值.。