机械振动学优秀PPT

无阻尼单自由度系统的自由振动
u1
u2
一个拍
u
A
B
t t Ct
拍：合振幅随时间做周期型变化，振动时而加强、时而减弱.
无阻尼单自由度系统的自由振动
例：升降机笼的质量为 m，由钢丝绳牵挂以等速度 向v0下运动。 钢丝绳的刚度 系数为 ，质k量可忽略不计。如果升降机运行中急刹车，钢丝绳上端突然停止
运动，求此时钢丝绳所受的最大张力。
fn 表示单位时间内重复振动的次数.
无阻尼单自由度系统的自由振动
(2) 简谐振动的位移、速度和加速度之间的关系
u(t) a sin(nt )
求导
u&(t
)
n
a
cos(nt
)
n
a
sin(nt
2
)
求导
u&&(t) n2a sin(nt ) n2a sin(nt )
速度与位移的“相位差是90度”意味着什么？
有初始速度即注入了动能。
无阻尼单自由度系统的自由振动
3 简谐振动的特征
(1) 简谐振动是一种周期振动
周期振动满足：u(t Tn ) u(t)
振动周期，单位：秒（s）
u(t) a sin(nt )
Tn
2 n
2
m k
无阻尼单自由度系统的固有周期
无阻尼单自由度系统的自由振动
固有频率
fn
n 2
1. 弹性元件 弹性元件的意义和性质
x F
F f (x)
o
x
当 x 较小
F f (x) 时
线性范围
F kx
弹簧的刚度系数，单位： N/m
振动系统的组成
弹簧的刚度系数的物理意义：使弹簧产生单位位移所需施加的力 对弹性元件需要说明几点：
通常假定弹簧是无质量的；
假定振动系统的振动幅值不会超过弹性元件的线性范围；
u3
f
ku11
C
f
f
A
ke
C
1 u1 u2 f / k1 2 u2 u3 f / k2
1 2
f
1
k1
1 k2
f 1
ke
1 11 ke k1 k2
振动系统的组成
2. 惯性元件 1 . 惯性元件的意义和性质
&x&(t)
m
Fm
Fm m&x&(t)
振动系统的组成
3 阻尼元件 1 . 阻尼元件的意义和性质
解:
n
k m
u0 0 u&0 v0
v0
k
（振幅）
a
u02
( u&0
n
)2
无阻尼单自由度系统的自由振动
2 初始扰动引起的自由振动
运动方程： mu&&(t) ku(t) 0
特征根：
s1,2 in
通解： u(t) a1 cosnt a2 sin nt
u(0) u0,u&(0) u&0
a1 u0 ,
a2
u&0
n
自由振动：
u
(t
)
u0
cos
nt
u&0
n
sin
nt
k
m
(ms2 k)u 0 ms2 k 0
图 无阻尼单自由度系统
s1,2 i
Fra Baidu bibliotek
k m
in
特征方程
n
k m
natrual 的第一个字母 固有频率
单位：rad/s
n
k m
对固有频率的正确理解：
① 固有频率仅取决于系统的刚度和质量；
固有频率
② 固有频率与初始条件和外力等外界因素无关，是系统的固有特性； 它与系统是否振动着以及如何进行振动的方式都毫无关系
第一章 单自由度系统的振动
引言
为什么要研究单自由度系统的振动？
1. 单自由度系统的振动是进一步学习多自由度系统振动的基础。
2. 在工程上有许多振动系统可以简化为单自由度系统，用单自由度 系统的振动理论就可以得到满意的结果。
3. 单自由度系统的基本概念具有普遍意义。多自由度系统和无限自 由度系统的振动，在特殊的坐标系中考察时，显示出与单自由度 系统类似的性态。
振动系统的组成
弹簧的等效刚度系数
u2
k1
u1
fA
Bf k2
u2 ke fA
u1 Bf
f1 k1(u1 u2 ) f2 k2 (u1 u2 )
f f1 f2 (k1 k2 )(u1 u2 ) f ke (u1 u2 )
ke k1 k2
振动系统的组成
u3
u2
u1
f
A
k2
B
无阻尼单自由度系统的自由振动
自由振动：
u(t) a sin(nt )
振幅 频率
初相位
简谐运动的三要素
2
振幅： a
u02
u&0
n
初相位：
arctan
nu0
u&0
• 简谐运动三要素
• 无阻尼的质量弹簧系统受到初始扰动后，其自由振动是以 n为振动
频率的简谐振动，并且永无休止； • 初始条件是外界能量注入的一种方式，有初始位移即注入了弹性势能，
k
m x
引言
m x
ke
m x x
y
振动系统的组成
基础
机床
简化 混凝土
m
k
c
弹性衬垫
图 将实际系统抽象为单自由度振动系统
振动系统的组成
弹性元件
k
振动系统 惯性元件
m
阻尼元件
c
m
k
c
弹性元件是提供振动的回复力，惯性元件是承载 运动的实体，阻尼在振动过程中消耗系统的能量 和吸收外界的能量。
振动系统的组成
x&(t)
Fd Fd c x&
c
阻尼系数：使阻尼器产生单位速度所需施加的力，单位： N s/m
单自由度系统的振动方程
c
k
m
s k
c
o
u
m
u
f (t)
mu(t) k[u(t) s ] cu(t) mg f (t)
k (u s ) cu&
m
mg
f (t)
mg k s
mu(t) cu(t) k u(t) f (t)（单自由度系统振动方程的一般形式）
u1(t) a1 sin(1t 1) u2 (t) a2 sin(2t 2 )
设频率比为有理数
1 2
m n
T2 m T1 n
1 2
u(t T0 ) u1(t T0 ) u2 (t T0 )
记mT1 nT2 T0
u1(t mT1) u2 (t nT2 )
u1(t) u2 (t) u(t)
位移最大时，速度为零；速度最大时，位移为零
加速度与位移的“相位差是180度”意味着什么？
加速度与位移的最大值出现在同一时刻，但符号相反
无阻尼单自由度系统的自由振动
② 两个同频率不同的简谐振动的合成，如果两频率比为有理数（可通约） 时，合成振动为周期振动；为无理数时，为非周期振动；
合成信号：u(t) u1(t) u2(t)
结论：只要以系统静平衡位置为坐标原点，那么在列写系统运动方程 时就可以不考虑系统重力的作用。
第一章：单自由度系统的振动
无阻尼单自由度系统的自由振动
•正确理解固有频率的概念 •会求单自由度无阻尼系统的固有频率
无阻尼单自由度系统的自由振动
1. 固有频率概念的引出
mu&&(t) ku(t) 0 u(t) uest