9 第十章 压杆稳定问题解析

压杆稳定问题
§10-4
中、小柔度杆的临界应力
EI 欧拉公式一般表达式 Fcr ( l )2
问题：欧拉公式适用范围？如何研究此 范围之外的压杆的失稳？ 问题：受压杆件稳定性问题与强度问题 的分界点？
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第十章 一、 临界应力与柔度
压杆稳定问题
Fcr σcr 临界应力 A 2 π E I σcr 2 μl A
第十章
压杆稳定问题
上一讲回顾
1、 两端非铰支细长压杆的临界载荷——解析法 力学模型· 数学方程· 齐次方程的非零解· 系数行列式为零 2、 两端非铰支细长压杆的临界载荷——类比法 要点：寻找与两端铰支压杆受力与变形特征相同的相当长度
l
F F
l l
F
3、欧拉公式的统一形式：
2 EI Fcr 2 ( l )
压杆稳定问题
p 的压杆－非细长杆，属于超过材料比例极限的
稳定问题，通常用经验公式计算。 （I）直线型经验公式(合金钢、铝合金、铸铁与松木等)
cr a b
式中a , b为材料常数，单位MPa, 可查表。 又：临界应力不能大于材料的极限应力cu，令: （塑） a cu s
2

4 0.5 7 8 0.1 1 10
2
109.3 p
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第十章 大柔度杆，用Euler公式 (2) 计算临界失稳时温升 设温度增加 T , 温度应力
压杆稳定问题
d
D
t E t E T
令
t cr
2E cr 2
0
小柔度杆 中柔度杆
p
大柔度杆

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第十章
下述表述正确的是______。
cr A. 中柔度杆采用欧拉公式计算 cu 临界应力，结果可能不安全。 cu
压杆稳定问题

B. 中柔度杆采用欧拉公式计算 临界应力，结果安全，偏于 保守。 C. 大柔度杆采用中柔度杆公式 计算临界应力，结果可能不 安全。 D. 大柔度杆采用中柔度杆公式 计算临界应力，结果安全， 偏于保守。
2E E T 2
2 2 T 66.1C 2 6 2 12.5 10 109.3
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第十章
压杆稳定问题
§10-5
一、 稳定条件
压杆稳定条件与合理设计
cr
nst st
Fcr F Fst nst
Fst ：稳定许用压力
p
cr a b
2E cr 2
o
0
小柔 中柔
p
大柔度杆

答：A、C
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第十章 （II）抛物线型经验公式
压杆稳定问题
cr a1 b12
a1, b1为材料常数
( 0 p )
适用于结构钢与低合金结构钢等
10
第十章
压杆稳定问题
例 图示硅钢活塞杆, d = 40mm, E = 210GPa, p= 100, 求Fcr=？

l
i
l
A I
cr a b
i or
临界应力总图

I , A
选择惯性矩较大的截面形状 注意失稳的方向性
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第十章 注意失稳的方向性
压杆稳定问题
在x-y平面失稳 z 1 在x-z平面失稳 y 0.7 yl z l y z Iy Iz
解：
2
I d4 4 d i 2 1.0 102 m A 64 d 4 l p 大柔度杆 200 i
2 EI 2 E d 4 Fcr 65.1 kN 2 2 (l ) ( l ) 64
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第十章
压杆稳定问题
6 o
例：E 210GPa， p 200MPa ， 12.5 10 / C ，
，求不失稳允许的温度。 D 10cm，d 8cm，l 7m
d
D
解: (1)、计算钢管临界柔度
2E p 102 p
钢管实际柔度：
l
i 4 l d D 1 D
定义
i I A
Fcr
π 2 EI
μl
2
——截面的惯性半径，只与截面形状相关
——压杆的柔度或长细比，无量纲量
i 欧拉公式可以写成

l
综合反映了压杆长度l，支撑方式与截面几何 性质i对临界应力的影响。
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2E cr 2
第十章 二、 Euler公式的适用范围
压杆稳定问题
nst ：稳定安全因数

st
：稳定许用应力
wk.baidu.com
选择稳定安全因数时，除了遵循确定强度安全 因数的一般原则外，还应考虑加载偏心与压杆初曲 等因素。一般：稳定安全因数 > 强度安全因数。
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第十章 二、压杆的合理设计
压杆稳定问题
2E 依据： 欧拉公式 cr 2
经验公式 1. 合理截面形状：
A
A
z>y，设计Iz>Iy; 等稳定设计： z / I z y / I y
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第十章
压杆稳定问题
2E 依据： 欧拉公式 cr 2
2.合理选择材料：
2E cr 2 p
材料比 例极限 令 p

E
E
p
p
Euler公式的适用条件：
p
p：材料常数，仅与材料弹性模量E及比例极限p有关 p 的压杆，称为大柔度杆
l
i
决定于压杆长度l，支撑方式与截面几何性质i
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第十章 三、临界应力的经验公式
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第十章
压杆稳定问题
• 欧拉公式的适用范围：
Q 理想均质材料,细长杆
Q 线弹性 Q 小挠度(小变形)
Q 压力沿杆件轴线
F
d 2w M ( x) dx 2 EI
F
细长杆的定义？如何量化？
2
第十章
压杆稳定问题
第十章
§10-4 §10-5
压杆稳定问题
中小柔度杆的临界应力 压杆稳定条件与合理设计
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第十章
cu a b0
, cu b b （脆） p，大柔度杆；0≤ <p，中柔度杆； <0，小柔度杆
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0
第十章
压杆稳定问题
•临界应力总图——临界应力（或极限应力）随柔 度变化的曲线
cr cu cu
p
cr a b
2E cr 2