中级微观经济学讲义-生产理论

练习：举例说明有效率的生产的含义。
第三讲 生产者理论
一、生产技术
（二）生产函数
局部均衡分析意味着只关注一种产出的情况。 生产函数描述了有效率的生产。生产函数一般 表示 为y f ( x ) ( x , x ...x n )。 生产函数可以理解为生产可能性集的最上界， 生产可能性集是 { y f ( x )}。
第三讲 生产者理论
一、生产技术
替代弹性 沿等产量移动时两种要素投入比例的变化对 等产量线斜率变化的敏感程度。
d(
xj
xi xi fj fj
) ) xj d ln ( d ln ( fi xi fj ) )
xj
i, j
d(
fi
fi
思考： 替代弹性的大小蕴含的经济学含义。
第三讲 生产者理论
位似生产技术
提示：人均资本量和劳动生产率的关系。
第三讲 生产者理论
一、生产技术
【规模报酬不变的条件】－生产的简单复制
某种技术要求有最小生产规模。
非整数的调整的困难（可分性）。
技术性的物理特征（输油管道）。
投入品无法复制（短期）。
思考：为什么经常假设规模报酬不变？
第三讲 生产者理论
f ( x1 , x2 ) A(a1 x1 a2 x2 )
练习：计算典型生产函数的边际替代率和替代弹性。
第三讲 生产者理论
一、生产技术
（四）生产技术的假定
Y
0 Y
y Y y Y
y Y，y y y Y
' '
y 0 y 0
f ( x ) 0 xi y Y，y' Y (0,1)，y (1 ) y' Y
成本函数是要素价格的凹函数
第三讲 生产者理论
二、成本最小化
（二）成本函数与生产函数
描述企业的技术特征既 可以使用生产函数，也 可以使用成本函数。 1. STC wx ( w , w , y ; x ) w x STC 2. SAC y 3. SAVC wx ( w , w , y ; x ) y
第三讲 生产者理论
二、成本最小化
成本函数
c( w，y ) w x( w , y )
c( w，y ) * y
c( w，y ) xi ( w , y ) w i
c( tw，y ) tw x( tw，y ) tc( w , y )
关于y严格递增。 关于w是递增的。 关于w是一次齐次的。 关于w是凹的。
第三讲 生产者理论
三、利润最大化
（一）利润最大化的条件
【以完全竞争为例】 二阶条件是生产函数的海塞矩阵负半定。 可以理解为凹函数。一种投入下要求边际报 酬递减，多种投入下意味着规模报酬非递增。
第三讲 生产者理论
三、利润最大化
（一）利润最大化的条件－续
y
= py-wx 等利润线
y = f(x)
一、生产技术
（六）生产技术的贡献
假设生产函数为y A( t ) f [ k ( t ),l ( t )]，其中A( t ) 表示技术因素( 中性技术进步 )。两边对时间求导得 dy dA y dk dl y ( fk fl ) 。再除以产量 dt dt A( t ) dt dt f ( k , l ) y，整理得 dt y dy dA dt f k k dt f l l dt 。 A f ( k ,l ) k f ( k ,l ) l dk dl
思考：生产中的两阶段决策？ 练习： 1.根据包络定理说明拉格朗日乘数的经济含义。
第三讲 生产者理论
二、成本最小化
条件要素需求
y外生
x( w，y )
关于w是零次齐次的。 x i ( w , y ) 要素需求法则： 0 w i x i ( w , y ) 替代性： 0 w j
思考：要素需求函数和消费者行为理论中的哪个函数是类似的？
这可以表示为：G y G A y ,k Gk y ,l Gl
第三讲 生产者理论
二、成本最小化
（一）成本最小化的生产特征
基本模型
min wx x s .t . f ( x ) y 其中w ( w1 , w2 ...wn )
第三讲 生产者理论
二、成本最小化
2c( w，y ) xi ( w , y ) wi2 wi
规模报酬不变时c( w , y ) yc( w ,1 )。
思考：成本函数作为凹函数的经济学含义。
第三讲 生产者理论
二、成本最小化
c( w , y )
斜率 c( w，y ) xi ( w , y ) w i
3
2 1
wi
（一）成本最小化的生产特征
构造拉格朗日函数： L wx ( y f ( x ))
* f ( x ) * 一阶条件：w i x i
f ( x * ) f ( x * )
x i x j
wi wj wi * f ( x ) * x i

x * x ( w， y )
提示：“好”的技术具有的基本性质。
第三讲 生产者理论
一、生产技术
（五）生产技术的时间因素
【可变比例下报酬的度 量】 边际产出MPi ( x ) f i ( x )，平均产出APi ( x ) f ( x ) 产出弹性 i ( x ) 【边际报酬递减】 1.要素组合的最优比例－ 分工。 2.马尔萨斯－“Dismal science”。 f i ( x ) xi f(x) MPi ( x ) APi ( x ) xi
第三讲 生产者理论
三、利润最大化
（二）供给函数和利润函数－续
证明利润函数是凸函数： t ( p , w ) ( 1 t ) ( p , w ) ( pt , w t ) 其中： pt tp ( 1 t ) p w t tw ( 1 t )w 提示：根据利润最大化的含义利润公式
第三讲 生产者理论
生产的技术约束
要素价格
成本最小化
产品价格
利润最大化
第三讲 生产者理论
一、生产技术
（一）生产可能性集
生产是各种投入组合转化为产出的过程。这个 过程受到的基本约束是技术的可行性。 描述技术约束的一般方式是生产可能性集，即 Y R n，其中y ( y , y ... yn ) Y是一个生产计划， 分量代表了各种投入和产出的数量。 例如y ( ,, , , )。 有效率的生产是指对于 y，生产可能性集中不存 在y ' y，y ' y。
企业维持原来的选择
4. 关于( p , w )是一次齐次的。 5. 关于( p , w )是凸的。
练习： 证明利润函数关于（p,w）是凸函数。
第三讲 生产者理论
三、利润最大化
（二）供给函数和利润函数－续

* = py* - wx*
惰性利润函数
p
要素价格不变时的利润函数产品价格凸性
练习： 画出要素价格不变时的利润函数要素价格凸性。
第三讲 生产者理论
一、生产技术
（五）生产技术的时间因素
【固定比例与规模报酬】 1.对于所有t 0和任意x，如果f ( tx ) tf ( x )，规模报酬不变。 2.对于所有t 1和任意x，如果f ( tx ) tf ( x )，规模报酬递增。 3.对于所有t 1和任意x，如果f ( tx ) tf ( x )，规模报酬递减。
*
x*
x
第三讲 生产者理论
三、利润最大化
（一）利润最大化的条件－续
y
= py-wx 等利润线
y = f(x)
*
x*
思考： 如果没有边际报酬递减（一种投入可变）。
x
第三讲 生产者理论
三、利润最大化
（一）利润最大化的条件－续
多种投入情况下，如果 规模报酬递增 : t 1 f ( tx* ) tf ( x* ) pf ( tx* ) wtx* ptf ( x* ) wtx*
第三讲 生产者理论
三、利润最大化
（二）供给函数和利润函数
【利润函数的性质】 ( p , w ) pf ( x* ) wx* 1. Hotelling引理： y( p , w )， xi ( p , w )。 p w i 2. 关于p是递增的。 3. 关于w是递减的。
第三讲 生产者理论
三、利润最大化
（二）供给函数和利润函数－续
【要素需求x ( p , w )函数的性质】 1. 关于( p , w )是零次齐次的。 x i ( p , w ) 2. 0。 w i 【供给函数f ( x( p , w ))的性质】 1. 关于( p , w )是零次齐次的。 y ( p , w ) 2. 0。 p

wx 4. SAFC y STC 5. SMC y 由于固定成本的分摊性 质，平均固定成本随着 产量上升递减。 报酬递减规律则意味着 平均可变成本和边际成 本呈U型。且边际 成本穿过平均可变成本 和平均成本的最低点。
提示： 1.AC=MC时的产量称为最低有效规模（MES）
一、生产技术
（五）生产技术的时间因素
【局部规模报酬的度量】 规模弹性 dy( t ) t ( x ) dt y d ln f ( tx ) lim t 1 d ln t
t 1
df ( tx ) t dt f ( tx )
t 1
t 1

f ( x )x
i 1
n
i
f(Leabharlann Baidu)
第三讲 生产者理论
第三讲 生产者理论
二、成本最小化
（二）成本函数与生产函数－续
【成本函数的次可加】 STC( yi ) STC( y ) 设y yi，平均成本递减意味着 ，即 yi y i STC( y ) STC( yi ) yi，求和得 STC( yi ) STC( y )。成本的次 y i 可加性可以描述规模经 济或范围经济效应。
思考： 如果规模报酬不变，能否满足二阶条件？
第三讲 生产者理论
三、利润最大化
（二）供给函数和利润函数
利润最大化的一阶条件 可以得到要素 需求函数 x* x( p , w )，带入生产函数得到 供给函数 y f ( x( p , w ))，代入目标函数
*
得到利润函数 ( p , w ) pf ( x* ) wx*。
提示：生产函数抽象掉企业合约安排的具体细节，即衡量的是潜在产出。
第三讲 生产者理论
一、生产技术
（三）生产中的替代性
投入要求集是指至少可 以生产一定产出的所有 的投入 组合的集合，可以表示 为V ( y )。投入要求集的边界称 为等 产量集，在两种投入的 情况下即等产量线。
x2 V(y)
f(x)=y
讨论与思考：一次齐次生产函数的性质（位似生产技术）。
规模报酬不变
y f ( k , l )

1 l
y k k f ( ,1) y f ( ,1) l l l l
k f ( ,1) l MPk k ( ) l k f ( ,1) k l MPl k l ( ) l
一、生产技术
具有特征的生产函数
1.完全替代生产函数 3.列昂惕夫生产函数 4.CES生产函数
f ( x1 , x2 ) ax1 bx2
2.Cobb Douglas生产函数
ax1 , bx2 f ( x1 , x2 ) m in
1
1 f ( x1 , x2 ) Ax1 x2
o
x1
附录：正则技术（Regular technology），即投入要求集是非空闭集。
第三讲 生产者理论
一、生产技术
任意两种要素投入的边际技术替代率
dx j dxi
dy
MRTSi , j
x2
f ( x ) x i f ( x ) x j
o
x1
讨论与思考： 边际技术替代率取决于产量水平以及要素投入比例。
第三讲 生产者理论
三、利润最大化
（一）利润最大化的条件
【以完全竞争为例】 利润最大化决策的优化问题是 max pf ( x ) wx。
x
f ( x * ) 一阶条件是p w i ( 即每种要素投入的边 x i 际收益产品MRP等于这种要素投入的价格 )。进一步， wi 对于任意两种要素满足 MRSTi , j。还有* p， wj 即边际成本等于价格。