高数线面积分

时间内流向有向 曲面 指定一 侧的流体的流量。
R( x , y , z )dxdy R[ x , y , z ( x , y )]dxdy
D xy D xy
为有向曲面
下侧
R( x , y , z )dxdy R[ x , y , z ( x , y )]dxdy
L ( AB )
在D 内恒成立；
4 0 在 D内存在二元函数 u( x , y ), 使 du Pdx Qdy .
.
等价的意义是： 若其中一个成立，另外三个也成立。
5. 高斯公式 若：
解决 曲面积分与三重积分的联系 问题.
1. 空间闭区域 Ω 由分片光滑的闭曲面 围成；
2. 在 Ω 上 函数 P ( x , y , z ), Q ( x , y , z ), R( x , y , z ) C 1 .
(4) 在 G内存在函数 u( x , y , z ), 使 du Pdx Qdy Rdz .
.
P
Q
9. 散度
在空间直角坐标系里，设有向量场
A( x , y , z ) P ( x , y , z )i Q ( x , y , z ) j R( x , y , z )k
则源自文库
f ( x , y , z )dS

指空间曲面

f [ x , y , z ( x , y )]
D xy
1 z x2 z y2 d xd y
第二型 (对坐标)
Pdydz Qdzdx

设有向曲面 ： z z ( x , y ) ,
上侧
则
R d xd y

P y
)d xd y
Γ
Pdx Qdy Rdz
或记为


d yd z x P
d zd x y Q
d xd y z R
Γ
Pdx Qdy Rdz .
. .
*8
空间曲线积分的四个等价命题.
(1) 空间区域G是一维单连通区域;
设
(2) 在 G内函数P ( x , y , z ), Q ( x , y , z ), R( x , y , z ) C 1 .
则数量函数 P x Q y R z P x 称为向量场A( x , y , z )在点( x , y , z ) Q y R z .
的散度。记为
div A
例： 设 u f ( x , y , z ) C 2 , 求 grad u和 div(grad u ). 解：
M [ x ( t ), y( t )] x 2 ( t ) y 2 ( t )dt 为 ( x , y ), 则曲线质量________________________________.

二 下列计算对吗？
1. 用格林公式计算 x 3 dy y 3 dx , L : x 2 y 2 a 2 正向, D为 L所围区域.

边界曲线有关；
(2) Pdydz Qdzdx Rdxdy 0, 其中 是 G中任一闭曲面;

(3)
P x

Q y

R z
0 在G 内恒成立 .
.
7. Stokes 公式

解决 曲线积分与曲面积分的联系 问题.
若： . Γ 为分段光滑的空间有向闭曲线， 1
是以Γ 为边界的分片光滑的有向曲面，
量以及通过曲面的通量计算问题。 填空(4个). 二. 下列计算对吗？ (5题) 三. 判别积分的类型并计算. (4题) 四. 课堂练习. 1. 单项选择题(3题)
2. 计算题(3题)
一.多元函数积分学概况 （按积分区域分类）
积分区域 积分区域 一型：对弧长
定积分
推广 推广
曲线积分
二型：对坐标
Stokes 公式
则有
( x

P
Q y

R z
)d V
Pdydz Qdzdx Rdxdy


( P cos Q cos R cos )dS

. .
其中 是 的整个边界曲面的外侧.
cos , cos , cos 是 在点 ( x , y , z ) 处外法向的方向余弦 .
3. 格林公式
解决 平面的曲线积分与二重积分的联系 问题。
1 若： . xOy 平面上闭区域 D由分段光滑的曲线 L围成
2. 在 D上 函数P ( x , y ), Q ( x , y ) C 1
D L
则有
Pdx Qdy ( x
L D
Q

P y
)d xd y
其中 L 是 D 的整个正向边界曲线.
两型之间 的关系
Pdx Qdy ( Pcos Qcos )d s
L L
. 其中 ( x , y ), ( x , y )为有向曲线弧 L上 点( x , y )处切向量的方向角. .
2. 第Ⅰ型、第Ⅱ型曲面积分的比较
曲面积分 标准形式 物理意义
当 f ( x , y , z ) 0,
特殊情况(D是复连通的)下，格林公式成为：
l
L
D
Pdx Qdy
L
Pdx Qdy
l
(
D
Q x

P y
)d xd y
(逆)
(顺)
注： 若在 D 内又有
Q x

P y
, 则
Pd x Qd y Pd x Qd y
L l
(逆)
(逆)
4. 平面曲线积分的四个等价命题
第十部分 曲线、曲面积分

第十部分 曲线、曲面积分
一. 重点和难点：了解多元函数积分学的整体思想。 1. 第Ⅰ型 、第Ⅱ型曲线积分的定义、性质、各自不同的计算方法和 两型曲线积分互相转换的关系式。
2. 第Ⅰ型 、第Ⅱ型曲面积分的定义、性质、各自不同的计算方法和
两型曲面积分之间互相转换的关系式。 3. 格林公式的条件、结论和应用 。
不同处
d s φ 2 ( t ) 2 ( t )d t
第一型 (对弧长)

L
f ( x , y )d s

L
f ( x , y , z )ds
⌒
L指曲线 AB
线密度为 f ( x , y )的曲线型构 件的质量 M .
W
积分下限 < 上限
此处下限是 , 上限是...
L 第二型 (对坐标) Pdx Qdy Rdz L
P ( x , y , z )dydz Q ( x , y , z )dzdx R( x , y , z )dxdy 两型之间 ( Pcos Qcos R cos )dS 的关系

. . 其中cos ， cos , cos 为曲面 指定一侧的法线向量的方向余弦. .
.
( 3 ) 若流速 V P ( x , y , z ) i Q ( x , y , z ) j R ( x , y , z ) k，则流体在
单位时间 内流过曲面 的流量为 _________________________ .
Φ
Pdydz Qdzdx Rdxdy
( 4 ) 已知平面曲线 x x ( t ), y y ( t )( t ) 上任一点的密度
.
6.曲面积分与曲面无关的条件.
设
(1) G是空间二维单连通区域;
(2) 在 G内函数P ( x , y , z ), Q ( x , y , z ), R( x , y , z ) C 1 .
则在G内下面的三个命题等价： 只与的 (1) Pdydz Qdzdx Rdxdy 与所取的曲面 无关，
.
解： P xy , Q yz , R zx , R y Q z 2 yz ,
2 2 2
.
由轮序对称性，
rot A 2{ yz . zx , xy }.
11.曲线积分和曲面积分的应用: 填空.
(1) 已知变力F P ( x , y )i Q ( x , y ) j，则 F 沿平面有向曲线 C 从
Qd y Pdx _____ . 点 A 到点 B 所作的功为 __________ W
AB
⌒
( 2 ) 若变力 F P ( x , y , z ) i Q ( x , y , z ) j R ( x , y , z ) k，则 F 沿空间
. .
.
W Pd x Q d y R d z ⌒ 曲线 C 从点 A 到点 B 所作的功为 ___________________ . AB
y z z x x A( x , y , z )在点( x , y , z )处的旋度。记为
i x P j y Q k z R
向量 (
R

Q
)i (
P

R
)j(
Q

P y
)k 称为向量场
rot A
2 2 2 例： 设 A { xy , yz , zx }, 求 rot A.
设
(1) 平面区域D是单连通区域;
(2) 在 D内函数P ( x , y ), Q ( x , y ) C 1
则下面的四个命题等价：
1 0 沿 D内任何一闭路L上的积分为零，即
2 0 曲线积分
30 P y Q x
Pd x Qd y 0 ;
L
Pdx Qdy与路径无关，只与起点A与终点B有关;
grad u { f x , f y , f z }, div(grad u ) f xx f yy f zz .
. .
10. 旋度
在空间直角坐标系里，设有向量场
A( x , y , z ) P ( x , y , z )i Q ( x , y , z ) j R( x , y , z )k
Γ 的正向与 的侧符合右手法则.

2. 在包含曲面 在内的空间区域内，
函数P ( x , y , z ), Q ( x , y , z ), R( x , y , z ) C 1 . 则有
(

R y

Q z
)d yd z (
P z

R x
)d zd x (
Q x
L
解：
y
Q x
L
a
L

P y
3( x 2 y 2 )
x 3 dy y 3 dx 3 ( x 2 y 2 )d xdy
则下面的四个命题等价：
(1) 沿 G内任一闭曲线L的积分为零，即
(2) 在 G内曲线积分
与终点B有关;
Pd x Qd y R d z 0 ;
L
Pdx Qdy Rdz与路径无关， 只与起点A
L ( AB )
R P Q R (3) ， ， 在 G内恒成立； y x x z z y
4. 平面曲线积分的四个等价命题，它们等价的条件，以及应用。
5. 高斯公式的含义和用法. 6. 曲面积分与曲面无关的条件. 7. 斯托克斯(Stokes)公式的含义和用法.
*8.
空间曲线积分的四个等价命题. 10. 了解旋度，会计算旋度.
9. 了解散度，会计算散度.
11. 曲线积分和曲面积分在实际中的应用：求曲线、曲面的质量、 重心和转动惯量；解决变力作功问题；解决矢量场沿有向闭曲线的环
Pdx Qdy
Pd x Qd y
L
1.都是化曲线积分为 定积分计算。 2.都要把曲线表示式 代入被积函数。
dx φ ( t )dt dy ( t )dt
积分下限为起点A的 t 值 上限为终点 B的 t 值
表示力F P , Q
沿 L 从点 A 到点 B
L方向：从AB 所作的功.
计算方法
设曲面 ： z z ( x , y )
域为 D xy ,
第一型 (对面积)


f ( x , y , z )dS
f ( x , y , z )dS表示

且 在 xOy 面投影区
面密度为 f ( x , y , z )的空间曲面薄 壳的质量 M .
表示在速度场 V P , Q , R , 单位 中
二重积分
一型：对面积 D
推广
曲面积分 二型：对坐标
推广
三重积分

高斯公式
1. 第Ⅰ型、第Ⅱ型曲线积分的比较
曲线积分 标准形式 物理意义
当 f ( x , y ) 0, f ( x , y )ds表示
L
计算方法 相似处
x φ (t ) 设 曲 线 L： y (t ) t