真空中恒定磁场的安培环路定理

半径为R，面上均匀分布的总电流为I。 I
解：沿圆周 L的B环流为
R
B dl B 2 r 0 I内
P
(L)
当r R时, I内 I B 2 r 0I
B 0I 2 r
当r R时,
I内


I R2

r2
dB dB
dI dB dB
a b cd a
ab
bc
cd
da
B ab 0
0
0

B dl
(L)

0 ab
N L
I
0 abn I
B 0 nI
7
例题 一矩形截面的空心环形螺线管，尺寸如图所示，
其上均匀绕有N匝线圈，线圈中通有电流I。试求：
（1）环内距轴线为r 远处的磁感应强度；
（2）通过螺线管截面的磁通量。
P
dI
BL
B 2
r

0
r2 R2
I
B 0I r 2 R2
R
6r
2、求无限长螺线管内的磁感应强度。设螺线管长
为L，共有N匝线圈，通有电流I。
解：管内中部磁场均匀，方
向与管平行；管外中部贴近管 壁处磁场很弱，B=0。
a
Pb
作一长方形环路abcda
d
c

B dl B dl B dl B dl B dl
B1

0I
2π r1
B2

0I
2π r2
B1
dφ
I r1
B2
dl1
dl2
r2
l
B1
dl1


μ0 I 2π
dφ
B2
dl2

μ0 I 2π
dφ
l B dl
l1
B1 dl1 l2
B2 dl2
0I d 0I d
0 2
0 2
I
解：与螺线管共轴的圆周上各点
B大小相等，方向沿圆周切线。

B dl B 2 r 0N I
r
(L)
B 0N I
2 r d1
dr r
Φm S B dS

2 d2
Bhdr
2
0N I h
2
d1 dr
2
r d2
2
0N I h ln d1
2
d2
安培环路定理证明：( 取一特殊情形 )
电流是长直导线，闭合曲线在垂直于直导线的平面上
(1) 闭合曲线包围长直电流：
B 0I 2 R
IB
l B dl


0I dl
2πR

0I
2πR
dl
l
dl oR
l B dl 0I
l
B
若电流反向时，则：
I
l
B

dl


0I
2πR
l B dl 0
3
(3) 多电流情况
I1
I2
I3
l
注意

B dl l

(
l
B1

B2

B3 )

dl

lB1 dl Bl 2 dl lB3 dl
0(I2 I3)

B l

dl

0

I
闭合径所 包围电流
电流 I 正负的规定 ：I 与 L 成右螺旋时， I为正；
反之为负。
4
对安培环路定理的几点讨论
(1) 安培环路定理只是说明了B矢量的环流与闭合路 径所围绕电流有关，并非说其中的磁感应强度只与所
围绕电流有关。
磁场中任一点的磁感应强度是由激发这磁场的全部 电流所决定的，不管这些电流是否被所取闭合回路所 围绕。
d2
h
d1
8
dl
l
0I
1
对任意形状的回路
B 0I 2 r
B dl B dl cos Brd
B dl 0I rd 0I d
2π r
2π
l B dl
2 0
0I d 2
l B dl 0I
I
l
d
B
dl
I
r
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l
2
(2) 闭合曲线不包围长直电流：
(2) 安培环路定理指出，磁场中B矢量的环流一般不 等于零，所以磁场是非保守场。
(3) 对某些具有对称性分布电流的磁感强度可利用 安培环路定理方便地计算。

B l

dl

0

I
对比
1 n
S
E dS

0
qi
i 1
5
二、安培环路定理的应用举例
1、求无限长载流圆柱导体内外的磁场。设圆柱体