一元二次方程难题解析

一元二次方程难题解答 （一）

1.已知m 是方程022=--x x 的一个根，则代数式)12

)((2

+--m

m m m 的值是______ 解： m 是方程022

=--x x 的一个根

∴022=--m m 即22=-m m 0≠m 方程两边除以m 得： 02

1=-

-m

m 1

2=-

m m

∴4)11(2)12

)((2=+⨯=+--m m m m 2.已知a x =是方程0120162

=+-x x 的一个根，求代数式1

201614031222

2

+-+-a a a a 的值

解： a x =是方程0120162

=+-x x 的一个根

∴0120162=+-a a ∴120162-=-a a 或a a 201612=+

12016140312222

+-+-a a a a =a

a a a a 2016201614032222

-

++-a a a a -++-=1)2016(22 11)1(2-=+-⨯=

3.关于m 的方程0272

2

=--m n nm 的一个根为2，求2

2-+n n 的值。

解：由题意得：2=m 把2=m 代入方程得：022742

=--n n 整理得：01722

=+-n n 方程两边除以n 得：0172=+-n n 721

=+n

n 方程两边平方得：28122

2

=+

+n

n 262

2=+∴-n n 4.已知36)41(2

22=-+m m ，求m m 1-的值。

解： 36)41(222=-+m m 64122

±=-+∴m m

10122=+∴m m 或2122

-=+∴m m （舍去）

102)1(2=+-∴m m 即8)1(2=-m m 221

±=-∴m

m

5.用换元法解下列方程： （1）0)1(3)1(2

2

2

=---x x

解：设y x =-12

，则原方程为032

=-y y 0)3(=-y y 30

21==∴y y

当0=y 时，012

=-x 1±=x 当3=y 时，312

=-x 2±=x

∴原方程的解为22

1

14321-==-==x x x x

6.设y x 、为实数，求54222

2

+-++y y xy x 的最小值，并求出此时x 与y 的值。 解：54222

2

+-++y y xy x 1)44()2(2

2

2

++-+++=y y y xy x 1)2()(2

2

+-++=y y x

0)2(0

)(22≥-≥+y y x 11)2()(22≥+-++∴y y x

当⎩⎨

⎧=-=+020y y x 即⎩

⎨⎧=-=22

y x 时，该式的最小值为1

7.关于x 的方程)0(0)(2

≠=++m k h m k h x m 均为常数，、、的解是31-=x

22=x ，求方程0)3(2=+-+k h x m 的解。

解：0)(2

=++k h x m m

k

h x -

=+2

)( m k h x -±=+ m k h x -±-=

∴3-=-

+-m k h 2=---m

k

h 0)3(2=+-+k h x m m

k

h x -

=-+2)3( m k h x -±=-+3

3+-

±-=m

k

h x 0331=+-=∴x 5322=+=x 8.对于*，我们作如下规定：2*2

2

+-=b a b a ，试求满足10*)12(=+x x 的x 的值。

解:由题意得：102)12(2

2

=+-+x x 021442

2=+-++x x x

07432

=-+x x 0)73)(1(=+-x x 0730

1=+=-x x 3

71

21-

==∴x x

9.解含绝对值的方程：解方程：0112

=---x x

解：当01≥-x 时，即1≥x ，1-=-x x

原方程化为01)1(2

=---x x 即02

=-x x 解得：10

21==x x

1≥x ，故是原方程的解舍去）1(021==x x

当01<-x 时，即1

原方程化为01)1(2

=---x x 即022

=-+x x 解得：21

21-==x x

1

综上所述，原方程的解为2,121-==x x

10.解方程：1)1(2122

=+-+

x x x x 解：配方得：03)1

(2)1(2=-+-+x

x x x

设y x

x =+1，原方程可化为0322

=--x y ，解得13

21-==y y

当31=y 时，31

=+

x

x ，即0132=+-x x ，解得253±=x 当12-=y 时，11

-=+x

x ，即012=+-x x ，方程无实数解 。 经检验：2531+=

x ，2

5

32-=x 是原方程的解。 11.解方程：12212

2

2

-=--

x x x x 解：01212222

=+---x

x x x

设y x x =-22

，则原方程可化为0112

=+-

y

y ，0122=-+y y ，解得：3421=-=y y

当41-=y 时，422-=-x x ，即0422

=+-x x ，此方程无实数解 当32=y 时，322=-x x ，即0322

=--x x ，解得：1,321-==x x 经检验：1,321-==x x 是原方程的解。

17.已知关于x 的一元二次方程0)(2)(2

=-+++c a bx x c a ，其中c a 、、b 分别为△ABC 三边的长。（1）如果1-=x 是方程的根，试判断△ABC 的形状，并说明理由； （2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC 的形状，并说明理由； （3）如果△ABC 是等边三角形，试求这个一元二次方程的根。 解：（1）把1=x 代入方程得：02=-+-+c a b c a b a b a ==-∴即0

22

∴△ABC 为等腰三角形

（2）2

2

2

2

2

2

2

444)(44))((4)2(c a b c a b c a c a b +-=--=-+-=∆