根与系数的关系

小结
一元二次方程根与系数的关系
两根之和等于一次项系数除以二次项 系数的商的相反数,两根之积等于常数项除 以二次项系数所得的商.
x1 x2
b a
x1 x 2
c a
两根之和等于一次项系数除以二次项系数的 商的相反数,两根之积等于常数项除以二次项 系数所得的商.
请根据以上的观察发现进一步猜想:方
程 aax²+bbx+cc=0(a≠0)的 x1 x 2, x 1 x 与2
系数a,b,c的关系 .
x1 x2 = ― ─
x1x2 =─
这种关系是这几个方程所特有的还是对
于任意的一元二次方程都适合的呢？
ax2bxc0(a0)中
Q x1 b2 b a 24ac,x2 b2 b a 24ac
x1
x2
b b24acb b24ac
2a
2a
b b24acb b24ac 2a
2b b
2a
a
x1 x 2
bb24ac bb24ac
•
2a
2a
(b)2 ( b2 4ac)2 4a2
一元二次方程 根与系数的关系
一元二次方程的一般形式
ax2bxc0a0
方程的判别式 b2 4ac
当∆＞０时，方程才有解，可以用求根公
式写出它的根
求根公式 x b b2 4ac 2a
x1 x2
x1 x 2
x25x60
2x25x30
6x2x20
请大家再仔细的观察这张表,能不能发现
x1 x 2, x 1 x 2 与方程的系数有什么关系
b2 (b2 4ac) 4a2
4ac 4a2
c a
对任意的一元二次方程，它的两 根之和与两根之积与方程的系数都有这 样的关系存在，就是
x1 x2
b a
x1 x 2
c a
此定理是法国数学家
韦达首先发现的，也 称为韦达定理
例：已知方程５x²+kx-6=0的一个根是２，求它 的另一根及 k的值．
解：设另一根为x,根据跟与系数的关系 可 知
2x 6 5
Q 23 k
百度文库55
，得到 x 3
5
k 5(23)7
5
例2 不解方程，求方程2x2+3x-1=0的两
个根的（1）平方和 （2）倒数和
解：设方程的两个根是x1 x2那么 x1+x2 =-—32 x1.x2 =-—12 .
（1）∵（x1+x2）2=x12+2x1.x2 + x22
∴ x12+x22 = （x1+x2）2 - 2x1.x2 （2）=x—1（1 +x—-1232—=）—x2x-1—1+2.x（—x22—-—21=）—=——2312143— =3