曲率挠率Frenet公式与标架
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r(t)
密切平面 T(t)
C N(t)
从切平面 O
图 2-7
(
dr dt
,
d2r dt2 ,
d3r dt3
)
=
dr dt
d2r 2
dt2
．
例1 对常数 a > 0 和常数 b ，计算曲线
r(t) = (a cos t , a sin t , b t)
的挠率.
注意解法有多种：
可先作弧长参数化，再用定 义式计算；
或先确定参数与弧长参数的 关系，再利用复合求导以及
故由 (4.2) 式便知有
= (T , N , N ) = (T*A , N*A , N*A) = (T* , N* , N*) A = (T* , N* , N*) =* ． □
wk.baidu.com
一．挠率
❖ 定理1 对曲率非零的曲线 C 而言，C 为平面曲线的 充要条件是其挠率函数恒等于零．
❖ 定理2 设无逗留点的弧长 s 参数化曲线 C: r = r(s) 与 C*: r* = r*(s) 合同，则两条曲线在对应点 r(s) 与 r*(s)
定义1 对于无逗留点的曲线 C ，称 = B •N 为曲线的
挠率函数，其中 B 为从法向量对弧长的导数；当挠率非 零时，称其倒数为挠率半径．
可证（习题2.4.1）挠率在容许参数变换下不变．
一．挠率
❖ B ∥N ．
❖ 对于无逗留点的曲线 C ，称 = B •N 为曲线的挠率
函数，其中 B 为从法向量对弧长的导数． ❖ 计算：按挠率定义和Frenet标架的单位正交右手性质，
(4.1) B (s) = N ，
(4.2) = (TN)•N = (TN ) •N = (T , N , N )
= (r(s) , r(s) , r(s) r(s) r(s)
+ r(s)
d ds
1) r(s)
(r(s) , r(s) , r(s))
=
r(s)2
(r(s) , r(s) , r(s))
三. 曲线的曲率和 Frenet 标架
一．曲率
考虑单位切向及其方向相对于弧长的变化率． 定义1 曲率向量；曲率；曲率半径． 曲率和曲率向量的定义不依赖于正则参数的选取． 定理2 设弧长 s 参数化曲线 C: r = r(s) 与 C*: r* = r*(s)
合同，则两条曲线在对应点 r(s) 与 r*(s) 处的曲率 (s) 与 *(s) 总相等．
适用于一般场合下利用已知知识参与解决问题的过程， 特别适用于理性的数量关系问题的求解过程， 当然包括适用于对曲面几何问题的讨论．
具体的例子，读者可以回头总结前面的相关例题、定理 和公式的证明过程，直至理论框架．
典型的使用过程，也可以参阅第七章§6中球面曲线的局 部特征定理及其证明．本章§7中也经常使用这些步骤．
率 (s) 与 *(s) 总相等．
证明 与上一节定理2的证明相同，对曲线 C* 各相应量 的记号总打星号表示，并设矩阵 ASO(3) 和位置向量 OP = (b1 , b2 , b3) ，使
一．挠率
❖ 定理2 设无逗留点的弧长 s 参数化曲线 C: r = r(s) 与 C*: r* = r*(s) 合同，则两条曲线在对应点 r(s) 与 r*(s)
① 将几何条件表示成解析表达式；
② 分析条件，合理进行求导（或积分等等）运算 和代数运算若干次，寻找所求几何结论所对应的解
析表达式；
③ 从解析式表述几何结论．
在学习过程中，特别需要注意培养和提高恰当地使用这 种步骤的能力．
二．Frenet公式
不仅仅局限在曲线几何上，从更为一般的角度讲，上述 步骤实际上是“翻译”和“推演”这两类过程在进行适 当的结合和互相提示；这种思维方式是重要的，
=
(s)2
．
一．挠率
定理1 对曲率非零的曲线 C 而言，C 为平面曲线的充要 条件是其挠率函数恒等于零．
证明 由上节例4的结论可知，只要证明“从法向量恒等 于常向量”等价于“挠率函数恒等于零”，
而这由 B (s) = N ，即可得证． □
定理2 设无逗留点的弧长 s 参数化曲线 C: r = r(s) 与 C*: r* = r*(s) 合同，则两条曲线在对应点 r(s) 与 r*(s) 处的挠
处的挠率 (s) 与 *(s) 总相等．
❖ 证明 与上一节定理2的证明相同，对曲线 C* 各相应 量的记号总打星号表示，并设矩阵 ASO(3) 和位置向 量 OP = (b1 , b2 , b3) ，使
r = OP r*A ，T = T*A ，T = T*A ， =* ．
将曲率向量用主法向量表示出来，则进一步有 N = N*A ，N = N*A ．
=
00ds
ds
0
ds
d00 s
T N B
．
❖ 这组公式称为曲线论基本方程，它包含了曲线几何的 最基本信息：弧长，曲率，挠率．
——在本章的后续内容中，可以进一步体会出这组公 式的重要含义．
二．Frenet公式
dr = T ds ；
(4.4)
d
T N B
=
00ds
ds
0
ds
d00 s
T N B
．
❖ 曲线论基本方程包含了曲线几何的最基本信息：弧长，
曲率，挠率．
❖ 鉴于其重要地位，称为Frenet-Serret公式，或简称为
Frenet公式，并通常写为
dr ds
=T ；
(4.5)
d ds
T N B
= 00
0
0
0
T N B
．
二．Frenet公式
在明确了Frenet公式之后，Frenet标架关于弧长的各阶导 向量在Frenet标架下的分量就都可以用曲率、挠率以及它 们的各阶导数等几何量具体表示出来． 因此，利用Frenet公式和微积分学的一般知识，就有求解 曲线几何问题的常用一般步骤：
定义式计算； 或代入公式 (4.3) 计算．
这里采用第二种算法，按 上节例5接着计算．
二．Frenet公式
❖ 按照标架运动的一般规律，对于无逗留点的曲线 r ， 其Frenet标架关于曲线弧长 s 的运动公式（作微小位 移时的变换公式）现在已经可以确定为
dr = T ds ；
(4.4)
d
T N B
曲率、挠率 Frenet 标架与Frenet 公式
一．挠率
分析从法向量 B(s) 对弧长 s 求导所得向量 B (s) 的行为
由于从法向量是单位向量场，易知 B (s)B(s) ； 而由 B(s) = T(s)N(s) 对弧长 s 求导得
B = T N TN = TN T ． 于是，B ∥N ． 把 B (s) 在Frenet标架 {r(s); T(s) , N(s) , B(s)} 下的分量 抽象出来，将找到所需要的几何量．
二．Frenet 标架
在曲线上与自身几何属性密切相关的标架场． 当曲率向量非零之时，利用曲率向量的单位化向量建立 符合需要的单位正交右手标架场．
二．Frenet 标架
在曲线上与自身几何属性 密切相关的标架场．
当曲率向量非零之时，利 用曲率向量的单位化向量 建立符合需要的单位正交 右手标架场．
B(t) 法平面
处的挠率 (s) 与 *(s) 总相等．
❖ 定理意义： 挠率确实是刻划曲线弯曲状况的又一个重要的几何量， 因而又可称之为曲线的第二曲率； 又由于挠率体现了密切平面的扭转状况，通常说它表 示了曲线的扭曲程度．
挠率的计算
❖ 在一般参数下，挠率的 用位置向量表示的计算
公式可以利用复合求导
而由弧长参数下的计算 公式 (4.2) 式和 (3.9) 式 推出（参见习题 4 ）， 也可以从 (3.8) 式和 (3.9) 式导出
密切平面 T(t)
C N(t)
从切平面 O
图 2-7
(
dr dt
,
d2r dt2 ,
d3r dt3
)
=
dr dt
d2r 2
dt2
．
例1 对常数 a > 0 和常数 b ，计算曲线
r(t) = (a cos t , a sin t , b t)
的挠率.
注意解法有多种：
可先作弧长参数化，再用定 义式计算；
或先确定参数与弧长参数的 关系，再利用复合求导以及
故由 (4.2) 式便知有
= (T , N , N ) = (T*A , N*A , N*A) = (T* , N* , N*) A = (T* , N* , N*) =* ． □
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一．挠率
❖ 定理1 对曲率非零的曲线 C 而言，C 为平面曲线的 充要条件是其挠率函数恒等于零．
❖ 定理2 设无逗留点的弧长 s 参数化曲线 C: r = r(s) 与 C*: r* = r*(s) 合同，则两条曲线在对应点 r(s) 与 r*(s)
定义1 对于无逗留点的曲线 C ，称 = B •N 为曲线的
挠率函数，其中 B 为从法向量对弧长的导数；当挠率非 零时，称其倒数为挠率半径．
可证（习题2.4.1）挠率在容许参数变换下不变．
一．挠率
❖ B ∥N ．
❖ 对于无逗留点的曲线 C ，称 = B •N 为曲线的挠率
函数，其中 B 为从法向量对弧长的导数． ❖ 计算：按挠率定义和Frenet标架的单位正交右手性质，
(4.1) B (s) = N ，
(4.2) = (TN)•N = (TN ) •N = (T , N , N )
= (r(s) , r(s) , r(s) r(s) r(s)
+ r(s)
d ds
1) r(s)
(r(s) , r(s) , r(s))
=
r(s)2
(r(s) , r(s) , r(s))
三. 曲线的曲率和 Frenet 标架
一．曲率
考虑单位切向及其方向相对于弧长的变化率． 定义1 曲率向量；曲率；曲率半径． 曲率和曲率向量的定义不依赖于正则参数的选取． 定理2 设弧长 s 参数化曲线 C: r = r(s) 与 C*: r* = r*(s)
合同，则两条曲线在对应点 r(s) 与 r*(s) 处的曲率 (s) 与 *(s) 总相等．
适用于一般场合下利用已知知识参与解决问题的过程， 特别适用于理性的数量关系问题的求解过程， 当然包括适用于对曲面几何问题的讨论．
具体的例子，读者可以回头总结前面的相关例题、定理 和公式的证明过程，直至理论框架．
典型的使用过程，也可以参阅第七章§6中球面曲线的局 部特征定理及其证明．本章§7中也经常使用这些步骤．
率 (s) 与 *(s) 总相等．
证明 与上一节定理2的证明相同，对曲线 C* 各相应量 的记号总打星号表示，并设矩阵 ASO(3) 和位置向量 OP = (b1 , b2 , b3) ，使
一．挠率
❖ 定理2 设无逗留点的弧长 s 参数化曲线 C: r = r(s) 与 C*: r* = r*(s) 合同，则两条曲线在对应点 r(s) 与 r*(s)
① 将几何条件表示成解析表达式；
② 分析条件，合理进行求导（或积分等等）运算 和代数运算若干次，寻找所求几何结论所对应的解
析表达式；
③ 从解析式表述几何结论．
在学习过程中，特别需要注意培养和提高恰当地使用这 种步骤的能力．
二．Frenet公式
不仅仅局限在曲线几何上，从更为一般的角度讲，上述 步骤实际上是“翻译”和“推演”这两类过程在进行适 当的结合和互相提示；这种思维方式是重要的，
=
(s)2
．
一．挠率
定理1 对曲率非零的曲线 C 而言，C 为平面曲线的充要 条件是其挠率函数恒等于零．
证明 由上节例4的结论可知，只要证明“从法向量恒等 于常向量”等价于“挠率函数恒等于零”，
而这由 B (s) = N ，即可得证． □
定理2 设无逗留点的弧长 s 参数化曲线 C: r = r(s) 与 C*: r* = r*(s) 合同，则两条曲线在对应点 r(s) 与 r*(s) 处的挠
处的挠率 (s) 与 *(s) 总相等．
❖ 证明 与上一节定理2的证明相同，对曲线 C* 各相应 量的记号总打星号表示，并设矩阵 ASO(3) 和位置向 量 OP = (b1 , b2 , b3) ，使
r = OP r*A ，T = T*A ，T = T*A ， =* ．
将曲率向量用主法向量表示出来，则进一步有 N = N*A ，N = N*A ．
=
00ds
ds
0
ds
d00 s
T N B
．
❖ 这组公式称为曲线论基本方程，它包含了曲线几何的 最基本信息：弧长，曲率，挠率．
——在本章的后续内容中，可以进一步体会出这组公 式的重要含义．
二．Frenet公式
dr = T ds ；
(4.4)
d
T N B
=
00ds
ds
0
ds
d00 s
T N B
．
❖ 曲线论基本方程包含了曲线几何的最基本信息：弧长，
曲率，挠率．
❖ 鉴于其重要地位，称为Frenet-Serret公式，或简称为
Frenet公式，并通常写为
dr ds
=T ；
(4.5)
d ds
T N B
= 00
0
0
0
T N B
．
二．Frenet公式
在明确了Frenet公式之后，Frenet标架关于弧长的各阶导 向量在Frenet标架下的分量就都可以用曲率、挠率以及它 们的各阶导数等几何量具体表示出来． 因此，利用Frenet公式和微积分学的一般知识，就有求解 曲线几何问题的常用一般步骤：
定义式计算； 或代入公式 (4.3) 计算．
这里采用第二种算法，按 上节例5接着计算．
二．Frenet公式
❖ 按照标架运动的一般规律，对于无逗留点的曲线 r ， 其Frenet标架关于曲线弧长 s 的运动公式（作微小位 移时的变换公式）现在已经可以确定为
dr = T ds ；
(4.4)
d
T N B
曲率、挠率 Frenet 标架与Frenet 公式
一．挠率
分析从法向量 B(s) 对弧长 s 求导所得向量 B (s) 的行为
由于从法向量是单位向量场，易知 B (s)B(s) ； 而由 B(s) = T(s)N(s) 对弧长 s 求导得
B = T N TN = TN T ． 于是，B ∥N ． 把 B (s) 在Frenet标架 {r(s); T(s) , N(s) , B(s)} 下的分量 抽象出来，将找到所需要的几何量．
二．Frenet 标架
在曲线上与自身几何属性密切相关的标架场． 当曲率向量非零之时，利用曲率向量的单位化向量建立 符合需要的单位正交右手标架场．
二．Frenet 标架
在曲线上与自身几何属性 密切相关的标架场．
当曲率向量非零之时，利 用曲率向量的单位化向量 建立符合需要的单位正交 右手标架场．
B(t) 法平面
处的挠率 (s) 与 *(s) 总相等．
❖ 定理意义： 挠率确实是刻划曲线弯曲状况的又一个重要的几何量， 因而又可称之为曲线的第二曲率； 又由于挠率体现了密切平面的扭转状况，通常说它表 示了曲线的扭曲程度．
挠率的计算
❖ 在一般参数下，挠率的 用位置向量表示的计算
公式可以利用复合求导
而由弧长参数下的计算 公式 (4.2) 式和 (3.9) 式 推出（参见习题 4 ）， 也可以从 (3.8) 式和 (3.9) 式导出