2013届垂径定理第二课时
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垂径定理复习ppt课件
随堂训练
8．如图，公路MN和公路PQ在点P处交汇，且
∠QPN=30°，点A处有一所中学，AP=160m，
假设拖拉机行驶时，周围100m内会受到噪音的
影响，那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶
时，学校是否会受到噪音影响？试说明理由，
如果受影响，已知拖拉机的速度为18km/h，那
么学校受影响的时间为多少秒？
A
B
10
双基训练 1.确定一个圆的条件是—圆—心——和—半—径——
2.已知AB=10cm,以AB为直径作圆,那么在此 圆上到AB的距离等于5的点共有( C )
A.无数个 B.1个 C.2个 D.4个
3.下列说法中正确的个数是（ B ）
①.直径是弦
②.半圆是弧
③.平分弦的直径垂直于弦
④.圆是轴对称图形，对称轴是直径
A.1个 B.2个
C.3个
D.4个
11
双基训练
4. 如图,将半径为2cm的圆形纸片折叠后，圆弧 恰好经过圆心，则折痕AB的长为( C )
A.2cm B. 3cm C. 2 3cm D. 2 5cm
5.已知点P是半径为5的⊙O内
O
的一定点，且OP=4，则过P
点的所有弦中，弦长可能取 A
B
的整数值为（ C ）
A B
O
P
2
பைடு நூலகம்
随堂训练 1．如图，在⊙O中，弦AB的 A 长为8cm，圆心O到AB的距离 为3cm，则⊙O的半径是_____．
2．如图，在⊙O中，CD是直径， EA=EB,请些出三个正确的结论 _____________________．
C
EB ·O
B ED ·O
A
3
湘教版九年级数学下册2 垂径定理课件
►走进颐和园，眼前是繁华的苏州街，现在依稀可以想象到当年的热闹场 面，苏州街围着一片湖，沿着河岸有许多小绿盘子里装着美丽的荷花。这 里是仿照江南水乡--苏州而建的买卖街。当年有古玩店、绸缎店、点心铺 等，店铺中的店员都是太监、宫女妆扮的，皇帝游览的时候才营业。我正 享受着皇帝的待遇，店里的小贩都在卖力的吆喝着。 ►走近一看，我立刻被这美丽的荷花吸引住了，一片片绿油油的荷叶层层 叠叠地挤在水面上，是我不由得想起杨万里接天莲叶无穷碧这一句诗。荷 叶上滚动着几颗水珠，真像一粒粒珍珠，亮晶希望对您有帮助，谢谢 晶的。 它们有时聚成一颗大水珠，骨碌一下滑进水里，真像一个顽皮的孩子！
2. 一根水平放置的圆柱形输水管道横截面如图所示, 其中有水部分水面宽 0.8 m、水深 0.2 m, 则此输水 管道的直径是（ ）
A. 0.4 m
B. 0.5 m
C. 0.8 m
D. 1 m
3. 如图, 圆弧形拱桥的跨度 AB＝12 m, 拱高 CD＝ 4 m, 则拱桥的半径为（ ） A. 6.5m B. 9m C. 13 m D. 15 m
与 分别相等吗？
C
O
E
A
B
D
因为圆是轴对称图形， 将 ⊙O 沿直
径CD对折，AE 与 BE 重合， ，
分别与 , 重合， 即
AE = BE ，
,
.
C
O
E AB
D
连接 OA，OB.
∵ OA = OB，
∴ △OAB 是等腰三角形.
∵ OE ⊥ AB，
∴ AE = BE， ∠AOD =∠BOD.
从而∠AOC =∠BOC.
由垂径定理得 AE AB 4cm.
2
在 Rt△AEO 中， 由勾股定理得 OA2 ＝ OE2 + AE2. 即 r2 ＝ （r-2）2 + 42. 解得 r ＝ 5 . ∴ CD = 2r = 10 （cm）.
01977_《垂径定理》公开课一等奖课件
教师点评与总结
在学生的分享和交流过程中，教师进 行适时的点评和总结，强调垂径定理 的重要性和应用价值，并引导学生对 探究过程进行反思和总结。
2024/1/28
18
05
课堂互动环节展示
Chapter
2024/1/28
19
提问环节
提出问题
什么是垂径定理？它的定义和性 质是什么？
2024/1/28
引导思考
Chapter
2024/1/28
23
重点内容回顾总结
2024/1/28
垂径定理的定义和性质
垂径定理指出，对于任意圆和经过圆心的直径，若该直径垂直于 某条弦，则该直径平分该弦，并且平分该弦所对的两条弧。
垂径定理的证明方法
通过构造直角三角形和运用勾股定理等方法，可以证明垂径定理的 正确性。
垂径定理的应用场景
02
推论1
平分弦（不是直径） 的直径垂直于弦，并 且平分弦所对的两条 弧。
03
推论2
弦的垂直平分线经过 圆心，并且平分弦所 对的两条弧。
04
推论3
平分弦所对的一条弧 的直径，垂直平分弦 ，并且平分弦所对的 另一条弧。
2024/1/28
8
垂径定理证明过程
要点一
已知
在⊙O中，DC为直径，AB是弦， AB⊥DC于点E，AB被DC平分于点E 。
值。
2024/1/28
21
练习环节
2024/1/28
基础练习
01
提供一些基础题目，让学生运用垂径定理进行求解，巩固所学
知识。
拓展练习
02
设计一些难度较大的题目，引导学生进一步探索垂径定理的应
用和拓展。
互动答疑
垂径定理第二课时
四、教学重点及难点： 经历科学探究的一般过程，即：提出问题、研究问题、解答问题。
2. 讲解规则：老师这儿有两个漏斗和两个乒乓球。现在请两位同学每人拿起一个漏斗，力气大的同 学将漏斗口朝上，把乒乓球放在漏斗口内，用力向上吹漏斗口；力气小的同学将漏斗口朝下，把乒 乓球放在漏斗把上，用力向上吹，看看谁能把乒乓球球吹走，谁就获胜。大家猜一猜，谁能把乒乓 球吹走？ 3. 学生猜测： 4. 验证猜测： 5. 自由探索：教师引导学生分析现象，提出问题，猜测原因。 6. 教师小结：这个小游戏包含着科学道理，在我们的身边到处可见，只要你细心观察，你就会体验 到，今天这节课我们就从探究身边的科学开始。 （板书科学） [设计意图：通过此环节能调动学生的学习兴趣，激发学生探索科学的积极性，让学生感受到自主学 习的快乐。 ]
（四）课外拓展，继续探索 一节课的时间总是这么短暂，但我们探索科学的脚步不会因为下课铃声响起而停止。课下，就让我 们以“身边的科学”为主题进行一次调查活动，继续我们探索科学的脚步吧！
下面是赠送的团队管理名言学习，
4、管理工作中最重要的是：人正确的事，而不是正确的做事。 5、管理就是沟通、沟通再沟通。 6、管理就是界定企业的使命，并激励和组织人力资源去实现这个使命。界定使命是企 业家的任务，而激励与组织人力资源是领导力的范畴，二者的结合就是管理。 7、管理是一 种实践，其本质不在于“知”而在于“行”；其验证不在于逻辑，而在于成果；其唯一权 威就是成就。 8、管理者的最基本能力：有效沟通。 9、合作是一切团队繁荣的根本。 10、将合适的人请上车，不合适的人请下车。 11、领导不是某个人坐在马上指挥他的部队，而是通过别人的成功来获得自己的成功。 12、企业的成功靠团队，而不是靠个人。 13、企业管理过去是沟通，现在是沟通，未来还是沟通。 14、赏善而不罚恶，则乱。罚恶而不赏善，亦乱。 15、赏识导致成功，抱怨导致失败。 16、世界上没有两个人是完全相同的，但是我们 期待每个人工作时，都拥有许多相同的特质。 17、首先是管好自己，对自己言行的管理，
2. 讲解规则：老师这儿有两个漏斗和两个乒乓球。现在请两位同学每人拿起一个漏斗，力气大的同 学将漏斗口朝上，把乒乓球放在漏斗口内，用力向上吹漏斗口；力气小的同学将漏斗口朝下，把乒 乓球放在漏斗把上，用力向上吹，看看谁能把乒乓球球吹走，谁就获胜。大家猜一猜，谁能把乒乓 球吹走？ 3. 学生猜测： 4. 验证猜测： 5. 自由探索：教师引导学生分析现象，提出问题，猜测原因。 6. 教师小结：这个小游戏包含着科学道理，在我们的身边到处可见，只要你细心观察，你就会体验 到，今天这节课我们就从探究身边的科学开始。 （板书科学） [设计意图：通过此环节能调动学生的学习兴趣，激发学生探索科学的积极性，让学生感受到自主学 习的快乐。 ]
（四）课外拓展，继续探索 一节课的时间总是这么短暂，但我们探索科学的脚步不会因为下课铃声响起而停止。课下，就让我 们以“身边的科学”为主题进行一次调查活动，继续我们探索科学的脚步吧！
下面是赠送的团队管理名言学习，
4、管理工作中最重要的是：人正确的事，而不是正确的做事。 5、管理就是沟通、沟通再沟通。 6、管理就是界定企业的使命，并激励和组织人力资源去实现这个使命。界定使命是企 业家的任务，而激励与组织人力资源是领导力的范畴，二者的结合就是管理。 7、管理是一 种实践，其本质不在于“知”而在于“行”；其验证不在于逻辑，而在于成果；其唯一权 威就是成就。 8、管理者的最基本能力：有效沟通。 9、合作是一切团队繁荣的根本。 10、将合适的人请上车，不合适的人请下车。 11、领导不是某个人坐在马上指挥他的部队，而是通过别人的成功来获得自己的成功。 12、企业的成功靠团队，而不是靠个人。 13、企业管理过去是沟通，现在是沟通，未来还是沟通。 14、赏善而不罚恶，则乱。罚恶而不赏善，亦乱。 15、赏识导致成功，抱怨导致失败。 16、世界上没有两个人是完全相同的，但是我们 期待每个人工作时，都拥有许多相同的特质。 17、首先是管好自己，对自己言行的管理，
浙教版九年级数学上册 3.3《垂径定理》(共20张PPT)
D
O
4、已知：如图在⊙O中，弦AB//CD。 求证：A⌒C=⌒BD
O
A
B
C
D
5.过已知⊙O内的一点A作弦,使A是该弦的中点, 然后作出弦所对的两条弧的中点
E
BC就是所要求的弦 点D,E就是所要求的弦 所对的两条弧的中点.
O
C
A
B
D
１．本节课主要内容：（1）圆的轴对称性；（2）垂径定理． 2．垂径定理的应用：（1）作图；（2）计算和证明． 3．解题的主要方法：
（1）画弦心距和半径是圆中常见的辅助线； （2）半径（r)、半弦、弦心距(d)组成的直角三角形 是研究与圆有关问题的主要思路，它们之间的关系： 弦长 AB2 r2d2.
1．若将一等腰三角形沿着底边上的高对折， 将会发生什么?
２．如果以这个等腰三角形的顶点为圆心， 腰长为半径作圆，得到的圆是否是轴对称图 形呢？
由垂径定理得:
AC=BC=1/2AB=0.5×16=8
10
由勾股定理得:
C
88
O C O B 2 B C 21 0 2 8 2 6
答:截面圆心O到水面的距离为6.
D
圆心到圆的一条弦的距离叫做弦心距.
例如,上图中,OC的长就是弦AB的弦心距.
1、已知⊙O的半径为13cm，一条弦的弦心距为5cm， 求
C
AD
B
O
已知：如图，⊙O 的半径为2， AB为 弦，
OC ⊥AB OC交AB 于D ，AB = 3 ，求
CD.
C
AD
B
O
已知：如图，⊙O 中， AB为 弦，OC ⊥AB
OC交AB 于D ，AB = 6 ，CD = 1. 求⊙O 的半
垂径定理ppt课件
连接OA,如图所示,则OA=OD=250,
1
AC=BC= AB=150,
2
∴OC= 2 − 2 = 2502 − 1502 =200,
∴CD=OD-OC=250-200=50,即这些钢索中最长的一根为50 m,
故选B.
数学
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2.如图,☉O的弦AB垂直于CD,点E为垂足,连接OE,若
2
∵AC垂直平分OD,垂足为E,
1
∴∠AEO=90°,OE= OD,
2
1
∴OE= OA,设OE=x,则OA=OB=2x,
2
在Rt△AEO中,AE2+EO2=AO2,
即:32+x2=(2x)2,解得x= 3.
∴BE=OE+OB=x+2x=3x=3 3.
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北师大版 九年级数学下册
4.《九章算术》是我国古代数学成就的杰出
代表作,其中《方田》章给出计算弧田
(即弓形)面积所用的公式为:弧田面积
1
= (弦×矢+矢2),弧田(如图)由圆弧和其所对弦所围成,公式中
2
“弦”指圆弧所对弦长AB,“矢”指弓形高,在如图所示的弧田中,
半径为5,“矢”为2,则弧田面积为
10
.
数学
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5.如图,已知OC是☉O的半径,点P在☉O的直径BA的延长线上,
弦的一半和圆心到弦的垂线段构成的直角三角形),利用直角
三角形的相关知识进行解题.
数学
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知识点二 垂径定理的逆定理
平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的 弧 .
1
AC=BC= AB=150,
2
∴OC= 2 − 2 = 2502 − 1502 =200,
∴CD=OD-OC=250-200=50,即这些钢索中最长的一根为50 m,
故选B.
数学
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2.如图,☉O的弦AB垂直于CD,点E为垂足,连接OE,若
2
∵AC垂直平分OD,垂足为E,
1
∴∠AEO=90°,OE= OD,
2
1
∴OE= OA,设OE=x,则OA=OB=2x,
2
在Rt△AEO中,AE2+EO2=AO2,
即:32+x2=(2x)2,解得x= 3.
∴BE=OE+OB=x+2x=3x=3 3.
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北师大版 九年级数学下册
4.《九章算术》是我国古代数学成就的杰出
代表作,其中《方田》章给出计算弧田
(即弓形)面积所用的公式为:弧田面积
1
= (弦×矢+矢2),弧田(如图)由圆弧和其所对弦所围成,公式中
2
“弦”指圆弧所对弦长AB,“矢”指弓形高,在如图所示的弧田中,
半径为5,“矢”为2,则弧田面积为
10
.
数学
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5.如图,已知OC是☉O的半径,点P在☉O的直径BA的延长线上,
弦的一半和圆心到弦的垂线段构成的直角三角形),利用直角
三角形的相关知识进行解题.
数学
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知识点二 垂径定理的逆定理
平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的 弧 .
九年级数学上册(浙教版)课件 3.3 垂径定理 第2课时 垂
︵ 7．如图，⊙O 的直径 AB 平分CAD，AB 交 CD 于 E，AE 与 BE 的 长度之比为 5∶1，CD＝16 cm，则⊙O 的半径为__2_4__5__cm.
5
8．如图，AB是半圆的直径，点O是圆心，点C是半圆上一点，点 E是弧AC的中点，OE交弦AC于点D，若AC＝8 cm，DE＝2 cm， 则OD的长为__3__cm.
9．如图，AB 为⊙O 的直径，从圆上一点 C 作弦 CD⊥AB，∠OCD ︵︵
的平分线交⊙O 于 P，求证：AP＝BP.
解：连结 OP，∵OC＝OP，∴∠OCP＝∠P，又 ∠DCP＝∠OCP，∴∠DCP＝∠P，∴CD∥OP，
︵︵ ∵CD⊥AB，∴OP⊥AB，∴AP＝BP
10．在半径为5 cm的⊙O中，弦AB的长为6 cm，当弦AB的两个端点A， B在⊙O上滑动时，AB的中点在滑动过程中所经过的路线为( )C A．正方形 B．直线 C．圆 D．多边形
第3章 圆的基本性质
3．3 垂径定理
第2课时 垂径定理的推论
垂直
平分
1．定理1：平分弦(不是直径)的直径_______于弦，并且_______弦所
对的弧．
2．定理2：平分弧的直径__垂__直__平__分____弧所对的__弦__．
知识点一：垂径定理的推论 1．已知⊙O 的半径为 2 cm，弦 AB 长 2 3 cm，则这条弦的中点 到弦所对劣弧的中点的距离为( A ) A．1 cm B．3 cm C．1 cm 或 3 cm D. 3 cm 或 3 cm
15．某居民小区一处圆形下水管道破裂，修理人员准备更换一段新 管道，如图，污水水面宽度为60厘米，水面至管道顶部距离为10厘 米，问修理人员应准备内径多大的管道？
解：100厘米
《垂径定理课件》PPT课件
垂径定理课件
阿旺中学
2021/3/8
1
垂径定理应用（一）
诊断测试题：
1、垂径定理的题设是（ ），结论是（
）。
２、下列图形中，能使用垂径定理的图形是（
）
L H
O
F
A
G
B B
S
O
A
E O
T A
BD
E O
C
2021/3/8
2
提出问题：
在我们生活中处处存在数学问题，比如：某 村在村口建一个如图形状的门楼，半圆拱的 圆心距地面２米，半径１.５米。现有一辆高 ２.９米，宽２.５米的集装箱卡车，问能通过 这个门楼吗？要解决这个问题，必须运用圆 的有关知识，这就是我们今天要学习的主要 内容。
A
B
O
AB
CD O
E
AC
DB O
F
例１题图
变式１题图 变式２题图
变式１：若以Ｏ为圆心，再画一个圆交ＡＤ与Ｂ、Ｃ 两点，则ＡＢ与ＣＤ之间存在怎样的大小关系？
变式２：若以Ｏ为圆心，在变式１题图的基础上再画 一个圆，则ＥＡ与ＢＦ，ＥＣ与ＤＦ之间存在怎样的 大小关系？
2021/3/8
6
变式３：在变式１题图的基础上，连结ＯＡ、ＯＢ， 将大圆隐去，得到下图，设ＯＡ＝ＯＢ，试证明ＡＣ ＝ＢＤ。
分析：由ＡＢ⊥ＡＣ，ＯＤ⊥ＡＢ，ＯＥ⊥ＡＣ，易得四
边形ＡＤＯＥ是矩形，现只需证
＝
。
证明：∵ＡＢ⊥ＡＣ，ＯＤ⊥ＡＢ，ＯＥ⊥ＡＣ
∴∠Ａ＝
＝
＝９０° A
B D
∴四边形ＡＤＯＥ是矩形
EO
又∵ ＯＤ⊥ＡＢ，ＯＥ⊥ＡＣ
C
∴
＝０.５ＡＣ，
＝０.５ＡＢ
阿旺中学
2021/3/8
1
垂径定理应用（一）
诊断测试题：
1、垂径定理的题设是（ ），结论是（
）。
２、下列图形中，能使用垂径定理的图形是（
）
L H
O
F
A
G
B B
S
O
A
E O
T A
BD
E O
C
2021/3/8
2
提出问题：
在我们生活中处处存在数学问题，比如：某 村在村口建一个如图形状的门楼，半圆拱的 圆心距地面２米，半径１.５米。现有一辆高 ２.９米，宽２.５米的集装箱卡车，问能通过 这个门楼吗？要解决这个问题，必须运用圆 的有关知识，这就是我们今天要学习的主要 内容。
A
B
O
AB
CD O
E
AC
DB O
F
例１题图
变式１题图 变式２题图
变式１：若以Ｏ为圆心，再画一个圆交ＡＤ与Ｂ、Ｃ 两点，则ＡＢ与ＣＤ之间存在怎样的大小关系？
变式２：若以Ｏ为圆心，在变式１题图的基础上再画 一个圆，则ＥＡ与ＢＦ，ＥＣ与ＤＦ之间存在怎样的 大小关系？
2021/3/8
6
变式３：在变式１题图的基础上，连结ＯＡ、ＯＢ， 将大圆隐去，得到下图，设ＯＡ＝ＯＢ，试证明ＡＣ ＝ＢＤ。
分析：由ＡＢ⊥ＡＣ，ＯＤ⊥ＡＢ，ＯＥ⊥ＡＣ，易得四
边形ＡＤＯＥ是矩形，现只需证
＝
。
证明：∵ＡＢ⊥ＡＣ，ＯＤ⊥ＡＢ，ＯＥ⊥ＡＣ
∴∠Ａ＝
＝
＝９０° A
B D
∴四边形ＡＤＯＥ是矩形
EO
又∵ ＯＤ⊥ＡＢ，ＯＥ⊥ＡＣ
C
∴
＝０.５ＡＣ，
＝０.５ＡＢ
冀教版九年级上册数学《垂径定理》PPT教学课件
连接 OP，∵OC＝OP，∴∠OCP＝∠P，又∠DCP＝∠OCP，∴∠DCP
︵ ＝BP
︵
＝∠P，∴CD∥OP，∵CD⊥AB，∴OP⊥AB，则AP
14．(9分)如图，两个圆都以点O为圆心，大圆的弦AB交小圆于点C，D，
求证：AC＝BD.
过点O作OM⊥AB，垂足为M，由垂径定理可得MA＝MB，MC＝MD，
CD AB，
AD ＝BD
（或
AC ＝BC）
AE＝BE.
Ｃ
Ｏ
Ａ
Ｅ
Ｄ
Ｂ
思考：
“不是直径”这个条件能去掉吗？如果不能，请举出反例.
M
A
提示：
C
D
O
圆的两条直径是互相平分
B
的，但是不一定相互垂直.
N
一条直线满足五个条件：
①过圆心（非直径）
④平分弦所对优弧 ①
⌒ ⌒ ⌒ ⌒
求证：AＥ=BＥ，AC =BC, AD =BD.
证明：如图，连接OA，OB.
∵ OA＝OB，CD⊥AB，
∴ AE＝BE.
又∵ ⊙O关于直径CD对称，
∴ A点和B点关于直径CD对称，
重合，
∴当圆沿着直径CD对折时，点A与点B重合，与
＝ .
因此
＝ .
同理得到
＝OC＝5，则OD＝OC-CD＝5-
1＝4.∵ OC⊥AB，∴ ∠ODA＝
90°，∴ AD＝＝3.又∵ AB为⊙O
的弦，∴AB＝2AD＝6.
课堂小结
定 理
垂
径
定
理
推论
辅助线
垂直于弦的直径平分弦,
2.3垂径定理课件(共31张PPT)2023-2024学年度湘教版数学九年级下册
∴这段弯路的半径约为 545 m.
6.《九章算术》被尊为古代数学“群经之首”，其卷九勾股定理篇记载： 今有圆材埋于壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问 径几何？如图，大意是，今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大 小，用锯去锯这个木材，锯口深CD等于1寸，锯道AB长1尺，则圆形 木材的直径是（ D ）（1尺＝10寸）
猜想1：如果有一条直径平分一条弦，那么它就能垂直于这条弦， 也能评分这条弦，也能平分这条弦所对的两条弧
图示：
C
C
C
A
B
A
E
O·
A
·O
B
·O
E
·
CE
D
O
A
B
B
D
D
D
被平分的弦是直径
被平分的弦不是直径
猜想1：如果有一条直径平分一条弦，那么它就能垂直于这条弦， 也能评分这条弦，也能平分这条弦所对的两条弧
A．12寸 C．24寸
B．13寸 D．26寸
课堂小结
内容
垂径定理
推论
辅助线
垂直于弦的直径平分这条弦,并且平 分弦所对的两条弧
一条直线满足:①过圆心;②垂直于弦; ③平分弦（不是直径）; ④平分弦所对 的优弧;⑤平分弦所对的劣弧. 满足其中两个条件就可以推出其它三个
结论（“知二推三”）
两条辅助线：连半径，作弦心距,构造直
新知学习
思考
在⊙O中，AB 是任一条弦，CD 是⊙O 的直径，且 CD ⊥ AB，垂
足为 E. 试问：AE 与 BE，AC 与 BC，AD 与 BD 分别相等吗？
因为圆是轴对称图形， 将 ⊙O 沿直径CD对折，
C
AE 与 BE 重合，AC ，AD 分别与 BC , BD
垂径定理
垂直于弦的直径 平分弦，并且平分弦 所对的两条弧．
在圆中解决有关弦的问题时，经常是 过圆心作弦的垂线段，连接半径等辅助线， 为应用垂径定理创造条件，结合勾股定理 进行计算。
谢谢大家！
B
有相 等的 曲线 吗？
在下列图形中，你能否利用垂径定理找到相等 的线段或相等的圆弧.
D
B O
E
A A C E
O
O
A
A
E C
B
C
B
D
O E B D
O
C
A
E D
B
A
E C
B
如图，在⊙O中，弦AB的 长为8cm，圆心O到AB的距 离OE为3cm，求⊙O的半 径．
A
E
. O
B
弦心距
如图，在⊙O中，直径AB=10， AB⊥CD于M，OM=3，则CD= 8
填空：
线段、角、矩形、菱形、正方形、 等腰三角形 圆
、
C
1
弦
直径 弦与直径垂直
O A
2 3
EBDຫໍສະໝຸດ 执教C.A
条件： CD是直径， AB是弦，CD⊥AB， 垂足为E.
O E B
叠合法
D AE＝BE AC＝BC
⌒ ⌒
垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦 ⌒ ⌒ AD＝BD 所对的两条弧．
升华问题
平分弦 AE=BE C 平分弦所对的 顶点在对称轴上 的角 ∠AOE=∠BOE
M
.
F
O
A 平分弦所对 的两条弧 ⌒ ⌒ AD=BD ⌒ ⌒ AC=BC
E
D
B
∠ADC=∠BDC ∠AFD=∠BFD
条件： CD是直径， AB是弦，CD⊥AB， 垂足为E.
九年级数学上册第三章圆的基本性质3.3垂径定理第2课时垂径定理的推论随堂练习(含解析)浙教版(20
第2课时九年级数学上册第三章圆的基本性质3.3 垂径定理第2课时垂径定理的推论随堂练习（含解析）（新版）浙教版第3课时第4课时第5课时编辑整理：第6课时第7课时第8课时第9课时第10课时尊敬的读者朋友们：第11课时这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（九年级数学上册第三章圆的基本性质3.3 垂径定理第2课时垂径定理的推论随堂练习（含解析）（新版）浙教版）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
第12课时本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为九年级数学上册第三章圆的基本性质3.3 垂径定理第2课时垂径定理的推论随堂练习（含解析）（新版）浙教版的全部内容。
第13课时第14课时垂径定理的推论1．下列命题中，正确的是（ C ）A．过弦的中点的直线平分弦所对的弧B．过弦的中点的直线必过圆心C．弦所对的两条弧的中点的连线垂直平分弦，且过圆心D．弦垂线平分弦所对的弧2．如图3－3－15，⊙O的弦AB＝8，M是AB的中点，且OM＝3,则⊙O的半径等于( D ）图3－3－15A．8 B．2 C．10 D．53．已知圆的半径为2 cm,圆中一条弦长为2错误! cm，则这条弦的中点到弦所对劣弧的中点的距离为( A ）A．1 cm B．2 cm C。
错误! cm D.错误! cm第3题答图【解析】如答图，连结OC，由垂径定理及其逆定理，知OC⊥AB且O，C，D 三点共线，连结OA.在Rt△AOC中，OC＝错误!＝错误!＝1(cm),∴CD＝OD－OC＝2－1＝1(cm)．故选A.4．如图3－3－16，在⊙O中（填写你认为正确的结论)：图3－3－16(1）若MN⊥AB,垂足为C，MN为直径，则__AC＝BC，错误!＝错误!，错误!＝错误! __；(2）若AC＝BC，MN为直径，AB不是直径,则__MN⊥AB，错误!＝错误!，错误!＝错误!__;(3）若MN⊥AB，AC＝BC，则__MN过圆心,错误!＝错误!，错误!＝错误!__；（4)若错误!＝错误!，MN为直径，则__错误!＝错误!，AC＝BC,MN⊥AB__．5．如图3－3－17，M是CD的中点,EM⊥CD，若CD＝4，EM＝8，则错误!所在的⊙O的半径为__错误!__．图3－3－17 第5题答图【解析】如答图，连结OC.∵M是CD的中点,EM⊥CD,∴EM过⊙O的圆心点O.设半径为x，∵CD＝4，EM＝8，∴CM＝错误!CD＝2，OM＝8－OE＝8－x。
3.3垂径定理(2)课件公开课课件教案教学设计
2.如图所示，AB 是半圆的直径，E 是B︵C的中点， OE 交弦 BC 于点 D.已知 BC＝8 cm，DE＝2 cm， 则 AB 的长为__1_0___cm.
【解析】 E 是B︵C的中点，OE 交弦 BC 于点 D，∴ OE⊥BC，CD＝BD＝4 cm.设 OB＝x cm，则 OD＝(x－ 2)cm.在 Rt△ODB 中，OD2＋BD2＝OB2，∴(x－2)2＋42 ＝x2，解得 x＝5，2x＝10.
定理2 平分弧的直径垂直于弧所对的弦.
⌒⌒
已知：如图，⊙O的直径交弦AB(不是直径)于点P，AC=BC
求证：CD⊥AB 证明：连结OA，OB，则AO=BO
∴△AOB是等腰三角形⌒⌒ ∵ຫໍສະໝຸດ C=BC∴∠AOC=∠BOC
∴CD⊥AB
新知讲解
典例精讲
例3 赵州桥的跨径（桥拱圆弧所对的弦的长）为 37.02 m,拱高 (桥拱圆弧的中点到弦的距离)为7.23m, 求赵州桥的桥拱圆弧的半 径(精确到0.01m).
作业布置
教材课后作业题第1-6题。
并且AM=BM.
你能说说这样找的理由？
●M ●O
想一想 垂径定理的逆命题是什么？
垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．
条件
结论1
结论2
逆命题1：平分弦的直径垂直于弦．
逆命题2：平分弧的直径垂直于弧所对的弦．
C
探索规律
AB是⊙O的一条弦，且AM=BM． 过点M作直径CD． 右图是轴对称图形吗？ 如果是，其对称轴是什么？ 你能发现图中有哪些等量关系？ 与同伴说说你的想法和理由．
4.某一公路隧道的形状如图所示，半圆拱的圆心距离地面2m，半径为 1.5m.一辆高3m，宽2.3m的集装箱卡车能顺利通过这个隧道吗?如果要 使高度不超过4m，宽为2.3m的大货车也能顺利通过这个隧道，且不改 变圆心到地面的距离，半圆拱的半径至少为多少米?
湘教数学2.3垂径定理 (2) 公开课一等奖课件
பைடு நூலகம்
3． (4 分)如图所示， AB 为⊙O 的直径， CD⊥AB， 若 AB＝10， CD＝8， 则圆心 O 到弦 CD 的距离为__3__．
4．(4 分)如图，M 是 CD 的中点，EM⊥CD，若 17 CD＝4，EM＝8，则所在圆的半径是__ __． 4
1 3 解：∵OE⊥AB ，∴AF＝ AB ＝ ，OA＝ r，OF 2 2 ＝OE－EF＝r－1， 在 Rt△AOF 中， OA2－OF2＝AF2， 32 13 2 2 ∴r －(r－1) ＝( ) ，解之得 r＝ (m) 2 8
班主任： 我觉得何旋今天取得这样的成绩， 我觉得，很重要的是，何旋是土生土长的北京 二中的学生，二中的教育理念是综合培养学生 的素质和能力。我觉得何旋，她取得今天这么 好的成绩，一个来源于她的扎实的学习上的基 础，还有一个非常重要的，我觉得特别想提的 ，何旋是一个特别充满自信，充满阳光的这样 一个女孩子。在我印象当中，何旋是一个最爱 笑的，而且她的笑特别感染人的。所以我觉得
解：过 O 作 OG⊥AB 于 G，则 AG＝BG 又 AC＝BD，∴AG＋AC＝BG＋BD 即 CG＝DG，∴OC＝OD 即△OCD 是等腰三角形
14．(10 分)如图是一个半圆形桥洞截面示意图， 圆心为 O，直径 AB 是河底线，弦 CD 是水位线，CD ∥AB，且 CD＝24 cm，OE⊥CD 于 E，测得 sin∠DOE 12 ＝ . 13 (1)求半径 OD； (2)根据需要， 水面要以每小时 0.5 cm 的速度下降， 则经过多长时间才能将水排干．
10．如图，在半径为 5 的⊙O 中，AB，CD 是互相 垂直的两条弦，垂足为 P，且 AB＝CD＝8，则 OP 的 长为( C ) A．3 B．4 C．3 2 D．4 2
3． (4 分)如图所示， AB 为⊙O 的直径， CD⊥AB， 若 AB＝10， CD＝8， 则圆心 O 到弦 CD 的距离为__3__．
4．(4 分)如图，M 是 CD 的中点，EM⊥CD，若 17 CD＝4，EM＝8，则所在圆的半径是__ __． 4
1 3 解：∵OE⊥AB ，∴AF＝ AB ＝ ，OA＝ r，OF 2 2 ＝OE－EF＝r－1， 在 Rt△AOF 中， OA2－OF2＝AF2， 32 13 2 2 ∴r －(r－1) ＝( ) ，解之得 r＝ (m) 2 8
班主任： 我觉得何旋今天取得这样的成绩， 我觉得，很重要的是，何旋是土生土长的北京 二中的学生，二中的教育理念是综合培养学生 的素质和能力。我觉得何旋，她取得今天这么 好的成绩，一个来源于她的扎实的学习上的基 础，还有一个非常重要的，我觉得特别想提的 ，何旋是一个特别充满自信，充满阳光的这样 一个女孩子。在我印象当中，何旋是一个最爱 笑的，而且她的笑特别感染人的。所以我觉得
解：过 O 作 OG⊥AB 于 G，则 AG＝BG 又 AC＝BD，∴AG＋AC＝BG＋BD 即 CG＝DG，∴OC＝OD 即△OCD 是等腰三角形
14．(10 分)如图是一个半圆形桥洞截面示意图， 圆心为 O，直径 AB 是河底线，弦 CD 是水位线，CD ∥AB，且 CD＝24 cm，OE⊥CD 于 E，测得 sin∠DOE 12 ＝ . 13 (1)求半径 OD； (2)根据需要， 水面要以每小时 0.5 cm 的速度下降， 则经过多长时间才能将水排干．
10．如图，在半径为 5 的⊙O 中，AB，CD 是互相 垂直的两条弦，垂足为 P，且 AB＝CD＝8，则 OP 的 长为( C ) A．3 B．4 C．3 2 D．4 2
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（3A）如2图个，若APB=23,B个P=6，求COP4个=
。 D 5个
（4）圆上到弦AB的距离为2cm的点有
个
E F
22、如图,圆O与矩形ABCD交于E、F、G、H, EF=10,HG=6,AH=4.求BE的长.
A
H
G
D
M
N
BE
·
F
C
0
垂径定理的应用
23、已知:矩形ABCD与⊙O相交于M,N,F,E.若
17、如图，在⊙O内有折线OABC，OA=4， AB=6，∠A=∠B=60°，求弦BC的长。
C
O
A
B
18（2011•兰州）如图，⊙O过点B、C，圆心O在等腰Rt
△ABC的内部，∠BAC=90°，OA=1，BC=6．则⊙O
的半径为
。
19、如图，若以O为圆心再画一个圆交弦AB于C、D两
点，(1)判断AC与BD的大小，并证明你的发现。 （2）若AB=8，CD=4，求圆环的面积。
OE=4，ED=2，则BC长度为
。
2.（2012•嘉兴）如图，在⊙O中，直径AB丄弦CD于
点M，AM=18，BM=8，则CD的长为
.
3．（2012•黄冈）如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB
于E，已知CD=12，BE=2，则⊙O的直径为
。
4、已知⊙O中，AB为弦，半径OD所在直线垂直
于AB于点C，若AB = 2 3 cm, OC=1cm，则CD的
即R2 3.62 (R 2.4)2.
解得 R=3.9（m）. 在Rt△ONH中，由勾股定理，得
OH ON2 HN2 , 即OH 3.92 1.52 3.6.
DH 3.6 1.5 2.1 2. ∴此货船能顺利通过这座拱桥.
垂足为E，且AB=CD，已知CE=1，ED=3，则⊙O的半径
是
．
8、（2012•陕西）如图，在半径为5的⊙O中，AB、CD
是互相垂直的两条弦，垂足为P，且AB=CD=8，则
OP的长为
。
9、如图，⊙C经过原点且与两坐标轴分别交于点
A与点B，点A的坐标为(0，4)，∠BOC=300，
则⊙C的半径 ，圆心C的坐标
O
A C ED B
图5
圆 20、你能破镜重 吗？
n
m C
A
B
·O
圆 破镜重
m
n
C
A
B
·O
作图依据：
弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧。
21、如图，⊙O的直径为10cm，弦AB为8cm，P为弦 AB上的一动点，
（1）线段OP的长度取值范围是
。
（2）若OP得长度为整数则满足条件的点P有（ ）个
12、已知，⊙O的直径AB和弦CD相交于
点E，AE=6厘米，EB=2厘米，
∠BED=30°， 求CD的长。
C
F
A
B OE D
13. (2011.威海)如图，⊙O的直径AB与弦CD交于点E，
AE=5，BE=1，CD=
4 2 ，则∠AED= ．
变式：14、已知，⊙O的半径为13cm， 两弦AB∥CD，AB=10cm，CD=24cm, 求两弦AB、CD的距离。
长为
。
5. （2011.牡丹江）已知⊙0的直径AB=40，弦CD⊥AB 于点E，且CD=32，则AE的长为（ ）
A．12
B．8 C．12或28 D．8或32
6. （2010•海南）如图，将半径为4cm的圆形纸片
折叠后，圆弧恰好经过圆心O，则折痕AB的长度
为
cm．
A
B
7. （2011•安徽）如图，⊙O的两条弦AB、CD互相垂直，
AM=2,DE=1,EF=8.则MN=(C )
A.2 B.4 C.6 D.8 M A
N B
DE
FC
O
24．（2010•陕西）如图，已知AB为⊙O的弦,P为⊙O上 的动点，要使△ABP为等腰三角形，则所有符合条件的 点P有（ ）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
25.某一公路隧道的形状如图，半圆拱的圆心距
离地面2m，半径为1.5m。一辆高3m，宽2.3m的 集装箱卡车能顺利通过吗？
船能过拱桥吗
• . 如图,某地有一圆弧形拱桥,桥下水面宽为7.2米,拱顶 高出水面2.4米.现有一艘宽3米、船舱顶部为长方形并 高出水面2米的货船要经过这里,此货船能顺利通过这 座拱桥吗？
船能过拱桥吗
• 解:如图,用 AB表示桥拱,AB 所在圆的圆心为O,半径为Rm,
AE B
·O
CF
D
C
·FO D
AEB
15.（2012.泰安）梯形ABCD的四个顶点都在⊙O上 ， 且AB∥CD，若⊙O的半径为5，AB=8,CD=6，求梯形 面积。
D
E
C
·O
A
F
B
D
EC
A
F
·B o
16、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC= 5cm， BC=12cm，以C为圆心，AC为半径的圆交斜边于D， 则BD= 。
经过圆心O作弦AB的垂线OD,D为垂足,与 AB 相交于点C.根
AD 据由1垂题A径设B定得 理1A,BD7是.2A7.B23的,C.6中D, 点,2C.是4, HANB的中12点M,CND就1.是5.拱高.
2
2
OD OC DC R 2.4.
在Rt△OAD中，由勾股定理，得
OA2 AD2 OD 2 ,
垂径定理的应用
对于一个圆中的弦长a、圆心到弦的距离d、 圆半径r、弓形高h，这四个量中，只要已知其 中任意两个量，就可以求出另外两个量。
a
h
2
d
r
O
⑴d + h = r
⑵ r2 d 2 (a)2 2
1.（2011.台湾）如图，AB为圆O的直径，C、D两点
均在圆上，其中OD与AC交于E点，且OD⊥AC．若
.
y
A C
E
B
Байду номын сангаасOx
10N、（如0图，，-1半0）径，为函5的数⊙P与y的y轴图kx相象交过于点点P，M(求0，k的-4值)、
y
O
x
M
．
P
N
11. (2012.锦州) 如图，∠PAC=30°，在射线AC上
顺次截取AD=3cm，DB=10cm，以DB为直径作⊙O交 射线AP于E、F两点，则线段EF的长是？