复变函数第4章无穷级数

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时的极限。 成立, 则称 C 为复数列 {C n } 当 n → ∞ 时的极限。
记为 lim C n = C
n→ ∞
定理1 复数列 {cn } = {a n + ibn } ( n = 1,2,⋯) 收敛于 c = a + ib 的充要条件是 : lim an = a , lim bn = b。
n→ ∞ n→∞
1. 洛朗 ( Laurent ) 级数 洛朗级数 : 既有正幂次项 , 同时又有负幂次项的级 数
一般形式 :
n = −∞
∑ a n ( z − z0 ) =
n
+∞
n = −∞
a n ( z − z0 ) + ∑ a n ( z − z0 )n ∑
n n=0
−1
∞
= ⋯ + a − n ( z − z 0 ) − n + ⋯ + a −1 ( z − z 0 ) −1 + a 0 + a1 ( z − z 0 ) + ⋯ + a n ( z − z 0 ) n + ⋯
π 1 in 求出极限。 例 讨论数列 (1 + )e 的敛散性 , 若收敛 , 求出极限。 n 1 π π 解 : cn = 1 + cos + i sin n n n
1 π 1 π = 1 + cos + i 1 + sin n n n n
4. 幂级数的性质
(1) 设 f ( z ) = ∑ a n z n , 收敛半径为 R1 g ( z ) = ∑ bn z n , 收敛半径为 R2
n =1 n =1 ∞ ∞
则在 | z |< R = min( R1 , R2 ) 内 :
λ 1 f ( z ) + λ 2 g ( z ) = ∑ ( λ 1 a n + λ 2 bn ) z n
∞
定理3 级数 ∑ cn 收敛 的必要条件是 lim cn = 0。
n =1
∞
n→∞
1 i 的敛散性。 例 考察级数 ∑ + n 的敛散性。 2 n =1 n 解 : 因为 ∑ 1 所以原级数发散。 发散, 所以原级数发散。 n =1 n
∞
二、 幂级数
1. 定义
a n z n = a 0 + a1 z + ⋯ + a n z n + ⋯ ∑
1 展开成幂级数。 例 将函数 在 z = 0 展开成幂级数。 2 (1 + z )
解:
1 1 = − 2 (1 + z ) 1+ z
∞
′
= − ∑ ( − 1) n z n n =1
= ∑ ( − 1) n −1 nz n −1
n =1 ∞
′
(| z |< 1)
2. 复数项级数
设 { c n } ( n = 1,2 , ⋯) 是复数列 , 则称
∞
∑c
n =1
n
= c1 + c 2 + ⋯ + c n + ⋯
为复数项级数。 其前 n 项和 为复数项级数。
c1 + c 2 + ⋯ + c n = S n
称为级数的部分和。 称为级数的部分和。
若部分和数列 { S n } 收敛 , 则级数
∞ 1 = ∑ ( − 1) n z n [ln(1 + z )] = 1 + z n=0
′
(| z |< 1)
所以
1 ln( 1 + z ) = ∫0 dz 1+ z
z
= ∑ ∫0 ( − 1) n z n dz
z n=0
∞
= ∑ ( − 1) n
n=0
∞
1 n +1 z n+1
(| z |< 1)
n→ ∞
∑c
n =1
∞
n
收敛 , 并且
lim S n = S 称为级数的和 ; 若数列 { S n } 不收敛 , 则 称级数
∑c
n =1
∞
n
发散。 发散。
定理2 级数 ∑ cn 收敛 的充要条件是
n =1
∞
∑a
n =1
∞
n
和
∑b
n =1
∞
n
都收敛 (cn = a n + bn , n = 1,2, ⋯)。
例 求下列幂级数的收敛半 径 :
zn （1）∑ 3 n=0 n
∞
( z − 1) n （2）∑ n n=0
∞
an ( n + 1) 3 解 : (1) R = lim = lim =1 3 n→∞ a n→ ∞ n n +1
内绝对收敛。 所以此级数在圆 | z |= 1 内绝对收敛。
( 2 ) R = lim an n+1 = lim =1 n→ ∞ a n→ ∞ n n +1
2. 幂级数的收敛半径及收敛圆
定理 ( Abel 定理 ) 若幂级数
∑a
n=0
∞
n
z n 在 z = z0 ( ≠ 0) 处
收敛 , 则此级数在 | z |<| z 0 | 内绝对收敛 ; 若在 z = z 0 处 内发散。 发散 , 则级数在 | z |>| z 0 | 内发散。
幂级数的收敛情况 :
2. 解析函数的洛朗展开
定理 设 f ( z ) 在 r <| z − z 0 |< R 内处处解析 , 则 f ( z ) 在 r <| z − z 0 |< R 内可以展开成洛朗级数 :
上式称为 f ( z ) 在 z 0 处的泰勒展开式 , 该幂级数称 为泰勒级数。 为泰勒级数。
2. 将函数展开成泰勒级数 的方法
级数的代数运算、 利用基本展开公式及幂 级数的代数运算、代换 、 将函数展开成幂级数。 逐项求导或逐项积分等 将函数展开成幂级数。
常用的基本展开式 : ∞ 1 n z (i) e = ∑ z (| z |< +∞ ) n = 0 n! ∞ ( − 1) n 2 n + 1 (i i) sin z = ∑ z (| z |< +∞ ) n = 0 ( 2 n + 1)!
设 {C n } ( n = 1,2 , ⋯) 是复数列 , 其中 , C n = a n + ibn ( a n , bn ∈ R ) ( n = 1, 2, ⋯), C = a + ib 为一确定的复 若对 ∀ ε > 0, 总存在 N (∈ N + ) 使当 n > N 时 , 数。 有
| C n − C |< ε
标准形式 :
n = −∞
∑ an z =
n
+∞
n = −∞
∑ an z + ∑ an z = ∑ a−n z
n n n=0 n =1
−1
∞
∞
−n
+ ∑ an z n
n=0
∞
洛朗级数的收敛域为圆 环域 : r <| z |< R 特殊情形 : r = 0, R = +∞
内可逐项求导、 洛朗级数在其收敛圆环 内可逐项求导、逐项积 分 , 内解析。 且其和函数在收敛圆环 内解析。
第四章 无穷级数
本章基本要求
理解复数项级数收敛、 理解复数项级数收敛、发散等概念 了解幂级数收敛的概念， 了解幂级数收敛的概念，会求收敛半径 掌握一些基本初等函数的麦克劳林展开 式，并会把一些简单解析函数展开为幂 级数 会用间接方法将简单的函数在其孤立奇 点附近展开为罗朗级数
一、复数项级数
1. 复数列的极限
n =1 ∞
(1)
称为幂级数 ( a i , i = 1,2, ⋯ 为复常数 )。
一般形式 :
∞
a n ( z − z 0 ) n = a 0 + a1 ( z − z 0 ) + ⋯ + a n ( z − z 0 ) n + ⋯ ( 2 ) ∑
n =1
注 : ( 2 ) 式可利用变换 t = z − z 0 化为 (1)。
n=0
∞
( 2 ) 幂级数的和函数在其收 敛圆内是解析函数 ;
( 3 ) 幂级数在其收敛圆内可 逐项求导或逐项积分 , 即 ′ ∞ ∞ n ∑ a n z = ∑ na n z n −1 n =1 m =0 ∞ ∞ z ∞ z a ∑ a n z n dz = ∑ ∫ a n z n dz = ∑ n z n + 1 ∫0 n =1 n = 0 0 n=0 n + 1 且逐项求导或逐项积分 后, 收敛半径不变。 收敛半径不变。
的幂级数。 注 : (1) 上述方法适应于不缺项 的幂级数。对于缺项的 情况 , 可用正项级数的比值法 或转化为不缺项级数求 ;
an ( 2 ) 一般幂级数 ∑ a n ( z − z 0 ) 的收敛半径 R = lim , n→ ∞ a n=0 n +1
n
∞
收敛圆为 | z − z 0 |= R 。
三、 解析函数的泰勒展开
1. 解析函数的泰勒展开
定理 设 f ( z ) 在区域 D 内解析 , 则对 ∀ z 0 ∈ D 及 U ( z 0 , δ ) ⊂ D , 都有
f (z) = ∑
且展开式唯一。 且展开式唯一。
∞
n=0
f ( n ) ( z0 ) ( z − z0 )n n!
(| z − z 0 |< δ )
( − 1) n 2 n (iii) cos z = ∑ z (| z |< +∞ ) n = 0 ( 2 n )! ∞ 1 (iv) = ∑ z n (| z |< 1) 1 − z n=0
∞
∞ 1 (v) = ∑ ( − 1) n z n 1 + z n=0
(| z |< 1)
例 将 f ( z ) = ln( 1 + z ) 在 z = 0 展开成幂级数。 展开成幂级数。 解 : 因为
(1) 对 ∀ x > 0 , 若 ∑ a n z 收敛 , 则 ∑ a n z n 在复平面上
n n=0 n=0 ∞ ∞
z0
处处绝对收敛 ;
( 2 ) 除 z = 0 外 , 对 ∀ z = x > 0 , ∑ a n z 发散 , 则 ∑ a n z n
n n=0 n=0
∞
∞
在复平面上除原点外处 处发散 ;
∞
n
∞ 1 1 ( 2) =− = − ∑ 2 n ( z − 1) n 2z − 3 1 − 2( z − 1) n= 0
∵ 2( z − 1) < 1 ∴ | z − 1 |<
1 2
四、 洛朗级数
当 f ( z ) 在 z 0 不解析时 , f ( z ) 在解析区域 0 <| z − z 0 |< R 或在 r <| z − z 0 |< R 内是否可以展开成幂级 数 ?
n=0
∞
3. 收敛半径的求法
(1) 比值法
a n +1 1 若 lim = L , 则收敛半径 R = 。 n→ ∞ a L n
( 2 ) 根值法
若 lim n | a n | = L , 则收敛半径 R =
n→ ∞
1 。 L
特别 , 当 L = 0 时 , R = +∞ ; L = ∞ 时 , R = 0。
例 将 f (z) =
1 分别展开为 z 和 z − 1 的幂级数 , 2z − 3 并求其收敛半径。 并求其收敛半径。
1 1 1 解 : (1) =− ⋅ 2z − 3 3 1 2z − 3
2z ∵ <1 3 3 ∴ | z |< 2
1 2z 1 ∞ 2n n = − ∑ = − ∑ n +1 z 3 n=0 3 3 n=0 3
1 π 由于 lim 1 + cos = 1, n→ ∞ n n
1 π lim 1 + sin = 0 n→ ∞ n n
π 1 in 所以数列 (1 + )e 收敛, 且极限为 1。 n
例 判别数列 cn = e
nπ 解 : cn = cos − 2 nπ = cos 2
( 3 ) 既存在
x1 > 0 使
∑
∞
n=0
a n z n 收敛 , 又存在
x2 > 0 使
∑a
n=0
∞
n
z n 发散 , 显然有 , x 1 < x 2 , 且在 | z |≤ x 1 内级 , 在 | z |≥ x 2 内级数发散。 内级数发散。
x1 R x2
数处处收敛
存在 R > 0 , x 1 < R < x 2 , 使得当 | z |< R 时 , 级数
nπ 由于 lim cos n→ ∞ 2
−
nπ i 2
( n = 1,2, ⋯) 的敛散性。 的敛散性。
nπ + i sin − 2
nπ − i sin 2
及
nπ lim sin 不存在 n→ ∞ 2
发散。 所以数列 {C n }发散。
∑ a n z 绝对收敛 ; 当 | z |> R 时 , 级数
n n=0
∞
a n z n 发散。 发散。 ∑
n=0
∞
R 称为幂级数
a n z n 的收敛半径 , | z |= R 称为收敛圆。 称为收敛圆。 ∑
n=0
∞
在 | z |= R 上 , 幂级数
a n z n 可能收敛 , 也可能发散。 也可能发散。 ∑